第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“特殊平行四边形”单元卷，覆盖矩形、菱形、正方形定义、性质及判定，通过基础辨析（如选择1）、动态探究（如选择8）、旋转综合（如解答25）实现能力梯度，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|矩形对角线性质（2题）、菱形周长与中位线（3题）|第8题动态变化判断图形形状，考查空间观念| |填空题|5/20|菱形内角与对角线（11题）、正方形旋转角度计算（12题）|第15题正方形中动点最值，体现数学思维| |解答题|10/90|矩形与菱形判定（17题）、正方形旋转综合证明（25题）|第25题三问递进，考查推理能力与创新意识|

第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列命题中，正确的是（　　） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（　　） A．cm B．2 cm C．2cm D．4 cm 3．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　） A．3.5 B．4 C．7 D．14 4．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　） A． B． C． D． 5．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（　　） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 6．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（　　） A．24 B．18 C．12 D．10 7．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D从点B出发沿BC边向点C运动，运动到点C停止，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形AEDF形状的变化依次为（　　） A．矩形→菱形→矩形 B．矩形→正方形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形 9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（　　） A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知菱形的周长为30cm，两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为_______． 12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　　 ． 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则EC的长度是　　 ． 14．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4．设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣4）2的值为　　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　　 ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB，AE⊥BD于点E，求OE的长． 17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形． 18．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE＝DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 19．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF． （1）求证：△AEF≌△BED． （2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形． 21．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：BE＝CE． （2）求∠BEC的度数． 22．如图，点E是正方形ABCD内一点，△EDC是等边三角形，连接AE、BE，延长BE交边AD于F点． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）求∠AEF的度数． 23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积． 24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 25．在图1﹣3中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点． （1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DM＝MF； （2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DM＝MF； （3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由） 参考答案 第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2026—2027学年北师大版九年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列命题中，正确的是（　　） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【解答】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形； B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可； C、符合菱形定义； D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 故选：C． 2．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（　　） A．cm B．2 cm C．2cm D．4 cm 【解答】解：∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝OC，BO＝OD， ∴AO＝BO＝4cm， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB＝AO＝4cm， 故选：D． 3．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　） A．3.5 B．4 C．7 D．14 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28， ∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD， ∵H为AD边中点， ∴OH是△ABD的中位线， ∴OHAB7＝3.5． 故选：A． 4．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形为矩形， ∴OB＝OD＝OA＝OC， 在△EBO与△FDO中， ∵， ∴△EBO≌△FDO（ASA）， ∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB， ∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的， ∴S△AOB＝S△OBCS矩形ABCD． 故选：B． 5．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（　　） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2 【解答】解：由题意可得：图1中所得矩形的长为5cm，宽为4cm， ∵虚线的端点为该矩形两邻边的中点， ∴AC＝4cm，BD＝5cm， ∴如图（2）所示的菱形的面积为：4×5＝10（cm2）． 故选：A． 6．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（　　） A．24 B．18 C．12 D．10 【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE＝6， 在Rt△BCO中，BO4，即可得BD＝8， 又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10， ∴△BDE是直角三角形， ∴S△BDEDE•BD＝24． 故选：A． 7．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长是2， ∴BD2， ∵△DEF与△DEC关于直线DE对称， ∴DC＝DF＝2，EC＝EF， ∴BF＝22， △BEF的周长＝BF+BE+EF＝BF+BE+EC＝BF+BC＝22+2＝2． 故选：A． 8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D从点B出发沿BC边向点C运动，运动到点C停止，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形AEDF形状的变化依次为（　　） A．矩形→菱形→矩形 B．矩形→正方形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴平行四边形AEDF是矩形， ∴在点D的运动过程中，四边形AEDF始终是矩形， 当AE＝AF时，矩形AEDF是正方形， ∴四边形AEDF形状的变化依次为：矩形→正方形→矩形． 故选：B． 9．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（　　） A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF 【解答】解：设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x， ∵沿EF翻折后点C与点A重合， ∴AE＝CE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2， 即42+x2＝（8﹣x）2 解得x＝3， ∴AE＝8﹣3＝5， 由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF， ∵矩形ABCD的对边AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF＝5， ∴A正确； 在Rt△ABE和Rt△AGF中， ， ∴△ABE≌△AGF（HL）， ∴B正确； 过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形， ∴EH＝AB＝4， AH＝BE＝3， ∴FH＝AF﹣AH＝5﹣3＝2， 在Rt△EFH中，EF＝2， ∴C正确； 由AF＝5，EF＝2，可得EF≠AF， 故D错误； 故选：D． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC． ∴DEAC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知菱形的周长为30cm，两个相邻内角的度数之比为1：2，则较短对角线的长为　7.5cm ． 【解答】解：相邻两个内角的度数之比是1：2， ∴两个相邻角度分别为60°、120°， ∵较长的对角线所对的角为120°， ∴较短的对角线所对的角为60°，较短的对角线与菱形的一组邻边构成的是等边三角形， 那么较短的对角线长为30÷4＝7.5（cm）． 故答案为：7.5cm． 12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是　45°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°． ∵等边三角形ADE， ∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°． ∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°， AB＝AE， ∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°， ∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°． 故答案为：45°． 13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则EC的长度是　2.5　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OCAC＝5，OB＝ODBD＝5， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°， ∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠DAC＝30°， ∴DCAC＝5， ∴ECDC＝2.5． 故答案为：2.5． 14．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4．设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣4）2的值为　16　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y， ∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°． 又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4， ∴BF＝DF＝EF＝4． ∴CF＝4﹣BC＝4﹣y． ∴在直角△DCF中，DC2+CF2＝DF2，即x2+（4﹣y）2＝42＝16， ∴x2+（y﹣4）2＝x2+（4﹣y）2＝16． 故答案为：16． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　1　 ． 【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°， 在△DAE和△ABF中， ， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠BAF+∠DAF＝90°， ∴∠EDA+∠DAF＝90°， ∴∠AGD＝90°， ∵DT＝AT， ∴GTAD＝1，BT， ∴BG≥BT﹣GT， ∴BG1， ∴BG的最小值为1． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB，AE⊥BD于点E，求OE的长． 【解答】解：∵对角线相等且互相平分， ∴OA＝OD ∵∠AOD＝60° ∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD， BD＝2DO，ABAD， ∴AD＝2， ∵AE⊥BD，∴E为OD的中点 ∴OEODAD＝1， 答：OE的长度为 1． 17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形． 【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB， ∴四边形OBEC是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴平行四边形OBEC是矩形． 18．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE＝DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF， 同理∠DAE＝∠FDA， ∵AD＝DA， ∴△ADE≌△DAF（ASA）， ∴AE＝DF； （2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴∠DAF＝∠FDA． ∴AF＝DF． ∴平行四边形AEDF为菱形． 19．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． AB∥CD． ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴AC＝BE， ∴BD＝BE． （2）解：在矩形ABCD中，BO＝1， ∴2×1＝2， ∵∠DBC＝30°， ∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°， ∴△OCD是等边三角形． ∴CD＝OD＝1． ∴AB＝CD＝1．DE＝CD+CE＝CD+AB＝1+1＝2． 在Rt△BCD中，， ∴四边形ABED的面积． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF． （1）求证：△AEF≌△BED． （2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形． 【解答】证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EDB， ∵E为AB的中点， ∴EA＝EB， 在△AEF和△BED中， ， ∴△AEF≌△BED（ASA）； （2）∵△AEF≌△BED， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BD， ∴四边形AFBD是矩形． 21．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）求证：BE＝CE． （2）求∠BEC的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90° ∵三角形ADE为正三角形 ∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60° ∴∠BAE＝∠CDE＝150° 在△BAE和△CDE中， ∴△BAE≌△CDE ∴BE＝CE； （2）∵AB＝AD，AD＝AE， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， 又∵∠BAE＝150°， ∴∠ABE＝∠AEB＝15°， 同理：∠CED＝15° ∴∠BEC＝60°﹣15°×2＝30°． 22．如图，点E是正方形ABCD内一点，△EDC是等边三角形，连接AE、BE，延长BE交边AD于F点． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）求∠AEF的度数． 【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°， 又∵△CDE是等边三角形， ∴CE＝DE，∠EDC＝∠ECD＝60°， ∴∠ADE＝∠ECB， ∴△ADE≌△BCE（SAS）． （2）解：∵△CDE是等边三角形， ∴CE＝CD＝DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD， ∴CE＝AD， ∴△ADE为等腰三角形，且顶角∠ADE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE（180°﹣30°）＝75°， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠EBC＝75°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AFB﹣∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°． 23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD， 又∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC＝BE， ∴BD＝BE； （2）解：过点O作OF⊥CD于点F， ∵由（1）知：四边形ABEC为平行四边形， ∴AC＝BE， ∴BE＝BD＝10， ∵△BCD≌△BCE， ∴CD＝CE＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝OB，∠BCD＝90°， ∵OF⊥CD， ∴OF∥BC， ∴CF＝DFCD＝3， ∴EF＝6+3＝9， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC＝8， ∵OB＝OD， ∴OF为△BCD的中位线， ∴OFBC＝4． ∴△ODE的面积为DE•OF12×4＝24． 24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F， ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF； （2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°， ∵CE＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF＝6.5； （3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 证明：当O为AC的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 25．在图1﹣3中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点． （1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DM＝MF； （2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DM＝MF； （3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由） 【解答】解：（1）MD＝MF 证明：延长DM交FE于N． ∵正方形ABCD、CGEF， ∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE， ∴∠MAD＝∠NEM． 又∵MA＝ME，∠AMD＝∠NME， ∴△AMD≌△EMN， ∴DM＝MN， ∴M为直角三角形DFN的中点， ∴2FM＝DN ∴MF＝MD． （2）延长DM到N， 使MN＝MD，连接FD、FN、EN， 延长EN与DC延长线交于点H． ∵MA＝ME，∠AMD＝∠EMN，MD＝MN， ∴△AMD≌△EMN， ∴∠DAM＝∠MEN，AD＝NE． 又∵正方形ABCD、CGEF， ∴CF＝EF，AD＝DC，∠ADC＝90°， ∠CFE＝∠ADC＝∠FEG＝∠FCG＝90°． ∴DC＝NE． ∵∠DAM＝∠MEN， ∴AD∥EH． ∴∠H＝∠ADC＝90°． ∵∠G＝90°，∠HIC＝∠GIE， ∴∠HCI＝∠IEG． ∵∠HCI+∠DCF＝∠IEG+∠FEN＝90°， ∴∠DCF＝∠FEN． ∵FC＝FE， ∴△DCF≌△NEF， ∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE． ∵∠CFE＝90°， ∴∠DFN＝90°， ∴FM⊥MD，MF＝MD． 解法二：延长DM交CE于N，连接DF，FN ∵AD∥CE， ∴∠DAM＝∠NEA， 在△ADN与△ENM中， ∴△ADE≌△ENM， AD＝NE；又AD＝DC， ∴CD＝NE， 在△DCF与△FNE中 ∴△CDF≌△ENF， ∴∠DFC＝∠EFN， ∴∠DFN＝∠EFN+∠NFC＝90°，且FN＝DF， MF是Rt△DFN斜边中线， ∴DM＝MF． （3）相等． 学科网（北京）股份有限公司 $