高二数学上学期第一次月考（人教A版选择性必修第一册第一章～第二章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 试卷聚焦人教A版选择性必修第一册空间向量与解析几何，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配高二首次月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题77分|空间向量应用、直线与圆综合、立体几何探究|19题结合菱形四棱锥，考查线面平行证明与点到直线距离存在性，体现空间观念与创新意识；18题设置选填条件求圆方程，培养模型意识与问题解决能力|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 2．在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以． 故选：C. 3．已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 4．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 5．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 6．如图，正四棱台中，，，，是的中点，在直线上各取一个点，，使得M，P，Q三点共线，则线段的长度为（    ）    A．3 B． C． D．4 【答案】C 【详解】连接交于点，连接交于点，连接，由正四棱台的结构特征， 两两垂直，故以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为在正四棱台中，，，，所以，， 所以，，，，，， 因为是的中点，所以，设，， 所以， ． 要使三点共线，则共线，即存在，使得， 则解得 所以，， 所以， 所以．    故选：C. 7．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 8．如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间中三点，则（   ） A．向量与向量垂直 B．平面的一个法向量为 C．与的夹角余弦值为 D． 【答案】AC 【详解】由已知，则，所以，A对； 由，则，与不垂直，B错； 由，则，C对； 由，D错. 故选：AC 10．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【详解】对于A，令得，直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，直线与直线之间的距离为，故B正确； 对于C，直线的斜率为，以为方向向量的直线的斜率为3，故C错误； 对于D，由，得，故D正确． 故选：BD. 11．已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【详解】由题意得，，故A正确； ，所以，，故B不正确； 由题意得，，，， 所以，， 设是平面的法向量，则, 令，则，，则，故C正确 ，则点到平面的距离为，故D不正确. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为________． 【答案】 【详解】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得，此时满足题意， 所以. 故答案为： 13．若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】如图， 化简曲线得：， 表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆. 直线经过定点且斜率为， 半圆与直线有两个交点， 设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为， 当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时， 直线与半圆有两个相异的交点，由点到直线的距离公式， 当直线与半圆相切时满足， 解之得，即， 又因为直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故答案为：. 14．如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 【答案】4 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图． 因为二面角的平面角大小为，所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为是四边形内部一点（包括边界），所以的轨迹是过点的一条线段． 延长交于点，设， 由题意得，，，， 所以，，． 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，令，则． 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段上时，面积最大，最大值为． 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 16．（15分）已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【答案】(1)(2)①相离；② 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 17．（15分）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)，(2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ）． （ⅱ）因为， 所以，所以． 18．（17分）已知圆C过点，圆心在y轴上，且______． 在①圆心C在直线上；②圆C的半径为2；③圆C过点这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答下列问题． (1)求圆C的标准方程； (2)设点，满足存在圆C上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）若选条件①，设圆心， 由题意得，解得， 所以．设半径为r，则． 则圆C的标准方程为． 若选条件②，设圆心，由题意知，解得， 所以圆心，半径为2， 所以圆C的标准方程为． 若选条件③，设圆心，由题意知， 即，解得， 所以圆心，且半径为， 所以圆C的标准方程为． （2），即， 又，所以， 故点T在以点为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即，解得， 即实数的取值范围是.    19．（17分）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【详解】(1) 证明：取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 4 5 6 B C C A C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC BD AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-2 3.别 14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解折】)由直线2x+3y8=0y=号+可得斜率为} 3 所以根据垂直关系可设所求直线方程为y=二x+b, 3 、则依题意有4三1+b，解得6)， 所以所求直线方程为y= 3+,整理得3x-2y+5=0,(5分) 2 2 「x-2y+3=0 x=1 (2)联立 2x+3y-8=0解得2，即直线1与的交点为L,2. 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为y=@, 代入(1,2)得k=2,此时y=2x; 当直线的截距都不为0时，设直线方程为+’=1(a,b≠0)， a b a=-b 依题意仁+2-1”解得a=-16=1,此时直线方程为x-y+1=0, la b 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述：所求直线方程为y=2x或x-y+1=0.(13分) 16.(15分) x-y-1=0 【解析】(1)联立方程 x+y-5=0’解得x=3,y=2: 因为所求直线垂直于直线3x+4y-5=0,所以所求直线的斜率为 4 故所求直线方程为y-2=3x-3),即4r-3y-6=0,（4分) (2)①以A(-1,1)、B(0,2)为直径的圆的方程为⊙D:(x+1)x+(y-1)(y-2)=0, 生x+-分故该的区心为D引半为 13 -1 故圆心到直线的距离为22 32、2, 2 22 故直线！与圆D的位置关系为相离.(9分) ②设点A(-1,1)关于直线l,对称的点为C(m,n), m-1_n+1-1=0 则{22 ，解得m=2,n=-2,即C(2,-2); n-1 =-1 m+1 则PA+|PB=|PB+PC≥BC=2N5, 故|PA|+|PB1的最小值为2W5.（15分) B 17.(15分) 【解析】(1)连接AD,取AD中点为O,连接OB,OF, 2/5 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F D B 因为底面ABCDEF是正六边，形所以丽+乐=A0-号D,即D-2a+25, 所以A,D=AD-AA=2a+2b-c,又因为FE=A0,所以 AE,=AF+FE+EE,=AF+AO+AA,=a+2b+c.（5分) (2)由题知，AC=AC-AA=AB+BC-AA=AB+A0-A4=2a+b-c, 很据cos∠BA4=cos☑f14=},可知cos(a,c=cos6,c)=} 因为底面是正六边形，所以(a,5）-,所以csa.5)-=(8分 (D4,c.4D=(2a+6-c(2a+25-c=4+26++6a-万-4a.c-36.c= 4+26++64*436-416+8+16-12-8-6=14. (i)因为AE,=a+2b+c, 所以AE=(a+2b+c)=la+45++4a-6+2a-c+46.c =a+46+f+4a5+2x4+4644+16+16-8+4+8=40,所以 AE=2N10.(15分) 18.(17分) 【解析】(1)若选条件①，设圆心C(x,y), x=0 由题意得 y= 2x+1 3 「，解得 x=0 y=1’ 所以C(0,1).设半径为n,则r=4C=V2-0)+1-1)°=2. 则圆C的标准方程为x+(y-1)=4.(7分) 若选条件②，设圆心C(0,b),由题意知4C=(2-0)'+(1-b)=2,解得b=1, 3/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以圆心C(0,1),半径为2， 所以圆C的标准方程为x2+(y-1)=4,（7分) 若选条件③，设圆心C(O,b),由题意知AC=MC, 即2-0)+1-b=5-0)+(2-b°，解得b=1, 所以圆心C(0,),且半径为5-0+(2-1)=2， 所以圆C的标准方程为x2+(y-1)=4.(7分) (2)TA+TP=TO,T=TO-TP=PO, 又PO≤2r=4,所以TA≤4， 故点T在以点A(2,)为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即(t-2)+(0-1)≤16，解得2-V15≤t≤2+V15, 即实数t的取值范围是2-V15,2+V15.(17分) 19.(17分) 【解析】(I)证明：取线段PC的中点M,连接OM,EM,在△PCD中，E,M分别为PD,PC的中点. MICD,且EM=CD 又：底面ABCD是菱形，且O为AB的中点， ∴A01ICD,且A0=CD, 2 ∴.EM/AO,且EM=AO, ∴.四边形AOME为平行四边形， ..OM//AE 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又OMc平面POC,AE文平面POC .AE/平面POC (7分) D (2)在平面PAB内过点O作Oz⊥AB, 又由平面PAB⊥底面ABCD,且平面PAB⌒平面ABCD=AB,可得Oz⊥平面ABCD, 又菱形4BCD中∠ABC-胥，且BC=20B,所以可得在△0BC中有0C1AB,(10分) 以0为原点，分别以OB,OC,0:所在直线为x:轴建立空间直角坐标系，由OA=PA且∠PB-了，所以 △0PA是正三角形，所以P(-1,0,3),C(0,2N5,0,D(4,23,0) 设DF=DP,e[0, 0F=0D+DF=0D+Dp=(3-4,23-23元，32： OD o丽4=125+2万，d=0际-(o, 7 即员-a-4-5-2-2:-12y-27 化简得9=1，故入=写（舍负） 综上，存在点F,DP=317分） 5/5 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 2．在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 3．已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 5．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 6．如图，正四棱台中，，，，是的中点，在直线上各取一个点，，使得M，P，Q三点共线，则线段的长度为（    ）    A．3 B． C． D．4 7．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间中三点，则（   ） A．向量与向量垂直 B．平面的一个法向量为 C．与的夹角余弦值为 D． 10．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 11．已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为________． 13．若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是__________. 14．如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 16．（15分）已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 17．（15分）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 18．（17分）已知圆C过点，圆心在y轴上，且______． 在①圆心C在直线上；②圆C的半径为2；③圆C过点这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答下列问题． (1)求圆C的标准方程； (2)设点，满足存在圆C上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $