高二数学上学期第一次月考（人教A版选择性必修第一册第一章～第二章，高效培优·强化卷）

**基本信息** 聚焦直线与圆、空间向量核心内容，通过基础辨析（如直线平行的充要条件）、空间几何动态问题（如折叠后线面关系）及探究性解答（如轨迹方程与存在性证明），考查数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|直线对称、圆的位置关系、空间向量运算|基础与能力梯度设计，如单选考直线与圆基础，多选考含参数直线综合辨析| |填空题|3题15分|直线旋转、圆外切参数范围、正四棱锥切割|情境化设计，如手工切割模型参数计算，考查空间想象| |解答题|5题77分|轨迹方程、空间几何证明与计算、存在性探究|综合性探究，如19题面面夹角存在性问题，融合逻辑推理与数学运算；18题轨迹与面积最值，体现数学建模|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 4 5 6 8 B D A A C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD ABD BC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 5 13. [4 4号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】(1)因为直线5x-3y+1=0的斜率为k=5,所以其倾斜角为4 3 61 则1的倾斜角为后+受开，可知1的斜率飞=m无 所以1的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0;(5分) (2) 当+2 -表示M(,)与点4，-2)连线的斜率kw, 又M(x,乃)是直线1在x∈[-2，)部分上的动点，如下图示： 2 PB(1,2) -2 -10 1 2衣 C(-2,-1) -2A(1,-2) 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则kAc= -1+2=-1 -2-13 直线AB的斜率不存在，则kw≤kAc, 即及+2 -的取值范围为 1 -0,- (13分) 16.(15分) 【解析】(1)由题意知，1的斜率存在且不为0， 设斜率为k,则1的点斜式方程为y-2=k(x+1), 则它在两坐标轴上截距分别为-1-2和k+2, k 所以-1-2+k+2=0,解得k=-2(此时直线过原点，舍去)或k=1, 所以1的点斜式方程为y-2=x+1,即x-y+3=0;（7分) 2)由1D知，4--1,0，B0,k+2,(k>0y 所以405的面积是1小k+2斗2-+2+2之22+2=4. 2k1 2k2 k V2 k 当且仅当2 k 2即k=2时，等号成立， 1的点斜式方程为y-2=2(x+1), 所以1的斜截式方程为y=2x+4.(15分) 17.(15分) 【解析】(1)由题意知AG-B+BC+CG-丽+AD+号C网 =B+D+(BB:-BC)=B+D+(4-AD) =4B+4D+44 因为四边形ABCD是正方形，∠AAD=∠A1AB=60°，AA=4AB=4, 所以AB.AD=0,AB·A4=1×4cos60°=2，AD.A4=1×4cos60°=2， 所以G丽+而+ +4+4++号0 1×+ 1 + ×4+0+2+ 4 2s3 2 2 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即线段4G的长为.(7分) 2 (2)因为BD,=AD,-AB=AD+AA-AB,AA=4AB=4, 由(1)知，以AB.AD=0,AB·A4=2,AD·AA=2, 所以BD=AD+A4-AB =VAD+A4+AB+2AD·AA-2AD.AB-2AA·AB =V12+42+1+2×2-2×0-2×2=3V5. 又4GD-(丽++4(D+4- D丽0西西而 分-+分0分2+2 2 2 21 所以cos(4G,BD} AG·BD 2 7V66 4GBD53×35 66· 设直线AG与BD,所成角为6，则sin6= 1-cos(4G,BD可=122 66 即直线4G与BD,所成角的正弦值为1122 (15分) 66 18.(17分) 【解析】(1)设动点M的坐标为(x,y),因为S(-1,0),T(2,0),且MS=2T|, 所以Vx+1)2+y2=2V(x-2)°+y2, 整理得x2+y2-6x+5=0,即(x-3)2+y2=4, 所以动点M的轨迹C的方程为(x-3)2+y2=4,(5分) (2)①如图，因为直线1不与x轴重合，所以设直线1的方程为x=m+2, 即x-my-2=0,则直线GH的方程为mx+y-2m=0. 由(1)知轨迹C为圆，圆C的半径为r=2, 设圆C的圆心C(3,o)到直线1和直线GH的距离分别为d,d2, 1 则d= 5,d= v1+m Vm2+1 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以EF卡2F2-d=2,4-,1 =2 4m2+3 3m2+4 1+m Vm2+1 1GH卡2P-4d=2,4-m Vm2+1 -2V+1 1 所以S四边形8GRH= 4m°+3 /3m2+4 m LEFGHE22 2Vm+1=2V2+ m4+2m°+1 当m=0时，S四边形aH=4V5; -≤212+ 7 当m≠0时， S四边形8G5H=212+ m2+2+- 2+2,m. m m 当且仅当m2=1时等号成立. 综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7.(10分) G ②.5，小，联立4为my-203-0 则%+%以m=+g) 2m 因为曲线C与x轴交于P,9两点，所以不妨取P(1,0),Q(5,0)(如图)， 则直线E的方程为y六：)产：)， my+1 直线QF的方程为y=、x-列=上，c-5). x3-5 my3-3 联立两直线方程得x=4m+3那+5少=6%-+3+5业=3别-业=-1， 3y1+3 3y+y3 3y1+y2 所以N在定直线x=-1上，得证.(17分) 19.(17分) 1 【解析】(I)证明：取PB中点E,连接AE,EN,则EN=一BC,EN//BC, 又AD=BC,AD1IBC,所以EN1IAD且EN=AD, 所以四边形ADNE为平行四边形，则DNIIAE, 又DNC平面PAB,AEC平面PAB, 所以DN/平面PAB 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E (5分) (2)由已知得，AB=2,AC=2,BC=2V2, AB2+AC2=BC,.AB⊥AC, 又PA⊥平面ABCD,AB,ACC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AC,建立如图空间直角系A-z ()(0),c(.2),D(-110)P(.)..1 亚然平面Pa5附法向量广=-Q10.N-01》 ∴点N到平面PAB的距离d= ZA (12分) D B… (3)假设存在点M满足题意，令PM=2PD,∈[0,1]，则M(-,,1-), 显然平面ACD的法向量m=(0,0,1),设平面AMC的法向量为n=(x,y,z) i·AC=0 2y=0 由 nAM=0 -x+y+(1-元)：=0'取方=(1-元，0，)， m.n 2 ∴.cos45°=cosm,i m同0-)+示21 即22=1-22+22，解得元= 2 》画(》 记BM与平面MAC所成角为B, 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则sin6=cos(M, BM.n 2v6 BMi 271 9 V4×V2 :存在点M,满足要求，且BM与平面M4C所成角的正弦值为2N6 (17分) 9 6/6 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆：的面积被直线平分，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 3．“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过点 B．若，则或 C．若，则 D．当时，始终不过第一象限 10．已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（    ） A．以线段为直径的圆周长最小值为 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点 D．的最大值为25 11．如图，在三棱锥中，，平面，，E，F，G，H分别为，，，的中点，M是的中点，N是线段GH上的动点，则（    ）． A．存在，，使得 B．不存在点N，使得 C．的最小值为 D．异面直线AC与EF所成角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为______. 13．已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为______. 14．在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为________．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 16．（15分）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 17．（15分）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示，并求线段AG的长； (2)求直线AG与所成角的正弦值． 18．（17分）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． ②略 19．（17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 2．已知圆：的面积被直线平分，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】根据题意，圆：， 即，其圆心为，半径， 圆：的面积被直线平分， 即直线经过圆的圆心， 则有，解可得， 即所以圆的圆心，半径为1， 圆的标准方程是，圆心，半径为4， 其圆心距， 所以两个圆外切， 故选：D. 3．“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得，则，解得或， 当时，，则. 综上所述，“”可推出两直线平行，但由两直线平行推不出“", 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4．与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 5．已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A，若，则，． B，若，则，． C，若，则，． D，若，则，． 一题多解    多方法解题 设，则，若点在平面内， 则，则． 依次验证A，B，C，D中的坐标知，只有B选项中的坐标满足（即）． 故选：B. 6．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 故选：C. 7．已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为点关于直线的对称点， 则的中点为，    由轴对称的性质，可得，解得，即． 故直线的方程为，即， 由，解得， 即直线与交于点． 由于，故当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为． 故选：C 8．如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【详解】对于A，在菱形中，，，则是正三角形， 由为边的中点，得，又，则， 而，平面，则平面， 又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，则平面， 又平面与平面的交线为，平面，因此，B正确； 对于C，由A知，，折起后仍有，，又平面， 则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 因此，C错误； 对于D，由选项C知平面，则为平面的一个法向量， 又，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则，由图形知二面角为锐角，其余弦值为，D正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过点 B．若，则或 C．若，则 D．当时，始终不过第一象限 【答案】ACD 【详解】对于A：直线，即， 令，解得，所以直线过定点，故A正确； 对于B：若，则，解得或， 当时，，，则， 当时，，，即， 则与重合，故舍去，所以，故B错误； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，斜率， 所以该直线过第二、三、四象限，不过第一象限，故D正确． 故选：ACD． 10．已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（    ） A．以线段为直径的圆周长最小值为 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点 D．的最大值为25 【答案】ABD 【详解】由题意得圆圆心，半径，点， 对于：如图所示，易知， 当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立， 故线段为直径的圆周长最小值为，故正确；    对于：， ， 所以当时，面积的最大，最大值为，故正确； 对于：若以线段为直径圆过坐标原点， 由直径所对的圆周角为直角可得， 易知当点在轴上时，满足题意， 所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故错误； 对于：设点，易知，， 则， 所以， 即的最大值为25，故正确； 故答案为：. 11．如图，在三棱锥中，，平面，，E，F，G，H分别为，，，的中点，M是的中点，N是线段GH上的动点，则（    ）． A．存在，，使得 B．不存在点N，使得 C．的最小值为 D．异面直线AC与EF所成角的余弦值为 【答案】BC 【详解】在三棱锥中，，平面，故，，，两两垂直，以B为坐标原点， 以，，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，． 所以，，． 由，得，则，方程组无解， 因此不存在a，b使得，故A错误； 由N是线段上的动点，设，则，， 由，所以不存在点N，使得，故B正确； ，当且仅当时取等号，故C正确； ，，所以，，， 则，所以异面直线AC与EF所成角的余弦值为，故D不正确． 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为______. 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则，直线的倾斜角为， 设直线的斜率为，则， ∵直线与轴的交点为， 所以直线的方程：，即． 原点到的距离为. 故答案为：． 13．已知圆：，圆：，其中，.若两圆外切，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】圆和圆外切， 则，整理得到， 表示圆的点与形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线方程为，即， 所以，解得. 故答案为： 14．在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为________．    【答案】 【详解】因为， 设，则， 由于四点共面，故，解得， 故，则． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则的倾斜角为，可知的斜率， 所以的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线在部分上的动点，如下图示： 则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. 16．（15分）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 17．（15分）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示，并求线段AG的长； (2)求直线AG与所成角的正弦值． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）由题意知 ． 因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 即线段的长为． （2）因为，， 由（1）知，以，，， 所以 ． 又 ， 所以． 设直线AG与所成角为，则， 即直线AG与所成角的正弦值为． 18．（17分）已知定点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程． (2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点． ①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值； ②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①7 ；②设，联立得， 则． 因为曲线与轴交于P，Q两点，所以不妨取（如图）， 则直线PE的方程为， 直线QF的方程为． 联立两直线方程得， 所以在定直线上，得证． 【详解】（1）设动点的坐标为，因为，且， 所以， 整理得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）①如图，因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为， 即，则直线GH的方程为． 由（1）知轨迹为圆，圆的半径为， 设圆的圆心到直线和直线GH的距离分别为， 则， 所以， 所以． 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上所述，四边形EGFH面积的最大值为7． ②略 19．（17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. (2)1 (3)存在， 【详解】(1)证明：取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. （3）假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $