学易金卷：高二数学上学期第一次月考03（全国通用版，范围：人教A版选择性必修第一册第1～2章）

**基本信息** 本卷聚焦选择性必修一空间向量与解析几何，通过基础题（如直线垂直求参数）、综合题（如三棱锥体积最值）及创新题（如翻折问题）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配高二学段月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|直线垂直、空间基底、圆的位置关系|单选考基础（如方向向量求参数），多选考综合（如正方体中面面垂直判断）| |填空题|3题15分|圆的对称、二面角中线段长、体积比最值|结合图形（如四面体体积比）考查空间想象| |解答题|5题77分|平行四边形轨迹、圆的弦长、三棱锥线面角、翻折问题|18题分层设问（线面角正弦值、体积最小值），19题翻折结合面面垂直证明，体现探究性|

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 ABC ACD ABC 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.(x-12+(y+2)2=5 13.√17 14.54 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解折】（山）由43,3)，B5.》,得=(-2,2)， 所以P1-PEHBAH-2y+2°=2V .(3分) (2)设2W）,而43,3引B5P2,D,则PA=1,2,B0=G-5,6-) x-5=1 由四边形APBQ是平行四边形，得PA=BQ,即-1=2，解得x,=6=3, 所以点的坐标是(6,3).(7分) (3)由点M是直线P上的一个动点，得 W=20F=21,2eR,即M2a),于是 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 MA=(3-2元，3-)，MB=(5-2,1-) MAMB=(3-22)5-22)+(3-2)1-)=522-201+18=5(2-2)2-2 因此 所以当2=2时，MA·MB取得最小值-2.(13分) 16.(15分) 【解析】(1)对直线l的方程变形：将mx-y+2-m=0整理为m(x-1)+(2-y)=0, x-1=0 x=1 该式对任意实数m恒成立，因此需满 2-y=0:解得y=2 即定点D的坐标为，2).(4分) (2)设弦AB的中点为Mx,),圆C的圆心为C(0,),由垂径定理可得CM⊥AB, ,D1,2) 因为M在直线上，直线恒过 ,枚CM1MD.即CM-DW=0, 代入C=y-D.DW=6-ly-2得：-+0-W0-2=0 该轨迹为圆C内部的圆弧.(9分) (3)设圆心C到直线的距离为，圆C的半径 R=5 由弦长公式得B2R-d=25-d,因此d最大时B最小 由于直线l恒过定点DL,2),故d≤CDl,当且仅当CD⊥I时d取最大值CD1, 计算得CDFV0-0+2-=V2.IAB1=2V5-(W2列-2V5 出时直线C0的斜李o0,由CD得om=-l,解得m(QS分) 17.(15分) 【解折】4)证明：直线过定点O0,0),直线过完点 A(2,1) 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当m0时， 长=a(司=，则1，且交点不可能为20和0) 所以与的交点必在以线段01为直径的圆上. 设P列，由PF1F,得(-2)+0-)=0，即+-2x-y=0 当m=0时，，=0，专：X=2,此时交点P20,包在+广-2x-y=0上 00) 所以，交点P的轨迹方程为+少广-2x-y=0(除点 综上，对m∈R,与的交点P在一个定圆上7分) (2)由()得(0,0)，B(2,1,设定圆圆心为 因为P3=2r= 5,所以当PBLRB时，△PA的面积取得及大值。 为m×2rx= 1 4 P B O(P) 又s20方，则k。=2,所以直线Pg:2c-刃，即y=2x+月 1-01 2 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 13 与定圆方程联立整理得4x2-8x+3=0,解得x=2或x=2, 所以直线为y=3x或y=-3,即m=3或3：(15分) 18.(17分) 【解析】(1)由题意，连接AD,如图所示， 由D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点）， 则正=P+P庇=P+}PD=亚+D-P) =+(西+}P-若丽+片c+号而.4分y 32 6 3 (2)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC, 过点A作AM⊥PB,垂足为M,如图所示， 因为平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AMc平面PAB, 所以AM⊥平面PBC,又BCC平面PBC,所以AM⊥BC, 又AMOPA=A,AMC面PAB,PAC面PAB,则BC⊥平面PAB, 因为PBC平面PAB,所以BC⊥PB, 过E作EN⊥PB,垂足为N,由EN,BCC平面PBC, 所以ENIIBC,所以EN⊥平面PAB,则∠EAN为直线AE与平面PAB所成角， 山度意U知N-兮0-名ac-。ac-A6-名Pw-P8-写Pm+G-有FF- 3， 根据余弦定理得：N2=PA+PN2-2P1-Pcos45=P+2 -2x1x2x2.5 -× 3 329, 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以MN=5,AE=VEN+AN 2 3 设直线AE与平面PAB所成角为B, 1 6 在直角三角形 中有： sin0=EN AE√2121 ANE 6 √21 所以直线AE与平面PAB所成角的正弦值为2· (10分) (3)由(2)知，PA⊥AB,PA⊥BC,BC⊥AB, 以A为原点，以AC,AP所在直线分别为少2轴， 在平面ABC内，以与AC垂直的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系， .c刘小rafg小gg引 设G0,m,0),H(0,0n),m>0,n>0 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 G,H,E,F 由于 元， GH=AGF+uGE 四点共面，则存在实数“，使得 0=2a+ + 4 12A -m= -m+ m u 即 4 4 解得 3 n 2√2m+n=2√2mn 而2√2m+n≥2V2v2m,故2√2mm≥2W22mm,解得mn≥V2, V2 当且仅当22m=,即m=21=2 时等号成立， 1x22 而r到平面P4C的距离为2×2=4， 1 所以ram=an-专.oa· 432 424 24 12, 2,=2 当且仅当m “时等号成立.(17分) 19.(17分) 【解析】(1)()因为 ∠BAD=60°AB=2AD=23 在△ABD中，由余弦定理，BD=AD+AB2-2AD×ABcos60°=9，BD=3, 所以AD+BD=AB2,即∠ADB=90°，所以AD⊥BD. 因为平面PBD⊥平面BDC,平面PBDO平面BDC=BD, PDC平面PBD,PD⊥BD, 所以PD⊥平面BDC. 因为BCC平面BDC,所以BC⊥PD;(4分) 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (i)设BCna=F,连接EF, 因为CDIa,CDc平面BCD,平面BCDNa=EF, 所以EFIICD」 BE_PB_2 因为PE平分∠BPD,所以EDPD1, 贺异8F-号Cn-号 所以FC1 3 由(1)知， BC1BD,BD=3,BC=N5,PDL平面BDC 法1： 以B为原点，BC,BD及垂直平面BCD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系B-z, 则E(0,2,0), c(3,0,0）,P0,35) 因为F-等-2.-.元-i3同， 设平面PEF(即a)的一个法向量为 =(c,y2) [2 7.EF=0 2x-2y=0 3 所以7=0'即 y+3z=0，令 =3则=5°- 所以7=35，- 设C到平面a的距离是d, 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以d= 7.PC3W5-33+3-39 V13 13, 所以点c到平面。的距离是13：(8分) Z B 法2： 由EDFC-号，得BE=2Cr= BE BF 2 3, 2 所以CFE的面积为×CFxBE=x5 23 3· 由(I)知PD⊥平面BDC,BCC平面BDC,所以PD⊥BC. 又BC⊥BD,BD∩PD=D,BD,PDC平面BDP,所以BC⊥平面BDP, 因为PBC平面BDP,所以BC⊥PB, PF2=Pg2+BF2-40PF=230 所 3,即 3 4+1640 在 中，由余弦定理得os∠PEF=3,3-V5 2x2x454,所 △PEF 3 sin/PEF=13, 4 设C到平面PEF的距离为h, 5=x是x2x45x 15 xh 因为'p-cEr=Ve-PEF,所以33 ×2× 32 34 h=V39 √39 所以13，所以点C到平面α的距离是13；(8分) (2)以B为原点，BC,BD及垂直平面BCD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 建立如图所示的空间直角坐标系B-z, E B 因为PD=5,设Pv5cos03,V5sin0) 因为c50.0）,E0,2.0)】 所以BE=(02,0),BP=(N3cos6,35sin9) 设平面的一个法向量为厅=(，片)】 mBE=0 2y,=0 则m.BP=0,所以x×V3cos0+3y+名×V5sin8=0, 解得5=0，令无=6如0， 则子c0s0 所ym=(5in80,-cos0) 又因为死-(5,20）.币-(5cos0-5,35sne) 设平面PCE的一个法向量为7=(，少，) CE=0 -√3x2+2y2=0 所以 :Cp=0'所以xV5cos0-5)+3y+,×V5sim0=0: 得i=(2sin8,v5sin0,-(+2os0)） m.n 2+cose 2+cos0 所以 os(m. l3sin20+4cos0+5 -3cos20+4cos0+8, 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 e[1,3] 令2+cos8=t,则 t 所以eosa训-3+16-2 -32+16t-12, 2 设f)=-3+16t-12' 1 1 因为 0+6--2g+ 12 t 2i3+3't[l,3] 所以当，eos0=时，了0取得小位行 3 所wa9, 设锐二面角B-PE-C的大小为， 因为sina=V-cos2<m,i>， 所以sinas2 7 2√7 所以锐二面角的正弦值的最大值为7，由正弦函数的单调性知角存在最大角.(17分) 10110………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修一第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 3．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 5．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 6．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 10．如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 11．棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．当时，平面 C．若，则与平面所成角的最小值为 D．当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆关于直线对称的圆的方程为___________． 13．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且， ，，，，则的长______. 14．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点， 点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 16．（15分） 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 17．（15分） 已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． (1)请用表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 19．（17分） 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修一第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 3．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 5．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得 最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 6．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 10．如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 11．棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．当时，平面 C．若，则与平面所成角的最小值为 D．当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆关于直线对称的圆的方程为___________． 13．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且， ，，，，则的长______. 14．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点， 点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 16．（15分） 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 17．（15分） 已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． (1)请用表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 19．（17分） 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) P D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【解析】由题意，与垂直，可得： ，解得. 要使，只需，解得：. 故选：A 2．若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2．【答案】C 【解析】∵与共面， ∴A，B，D不正确，C正确. 故选：C 3．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．【答案】C 【解析】 依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 故选：C 4．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 4．【答案】B 【解析】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 故选：B. 5．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得 最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 5．【答案】D 【解析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【解析】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 故选：D 6．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．【答案】A 【解析】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 故选：A. 7．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 7．【答案】D 【解析】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 故答案为：D． 8．设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．【答案】A 【解析】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 9．【答案】ABC 【解析】圆的圆心为，半径为，故A正确； 圆的圆心为，半径为，故B正确； 圆的圆心为，半径为， 则，故C正确； 因圆的圆心到直线的距离， 则直线与圆相离，没有公共点，所以直线不可以是，故D错误. 故选：ABC 10．如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．【答案】ACD 【解析】对于A选项，因为是的中点， 所以，故A正确； 对于B选项，因为是的中点， 所以，故B错误； 对于C选项，因为是的中点， 所以，故C正确； 对于D选项，因为是的中点， 所以，故D正确. 故选：ACD 11．棱长为1的正方体中，点满足，，．则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．当时，平面 C．若，则与平面所成角的最小值为 D．当，时，过点作正方体外接球的截面，截面面积的最小值为 11．【答案】ABC 【解析】以为原点，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 且，则， 对于A，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即， ，即与平面的法向量平行，则平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，若，则，则有，即， 则， 则， 因此，因为点不在平面内，所以平面，故B正确； 对于C，由，得， 即，因为，如图， 点的轨迹是平面内，以为圆心，1为半径的一段四分之一圆弧， 易得平面， 所以与平面所成的角为， 所以在中，， 要使最小，则使最小，即求的最大值， 显然点与点或重合时，取最大值1， 所以，即，C正确； 对于D，若，则，即面的中心， 易得正方体外接球的球心位于体对角线的中点，坐标为， 外接球半径满足， 球心到点的距离的平方为， 过球内一点作截面，当截面垂直于直线时，截面圆的面积最小， 设最小截面圆的半径为，则有， 则截面面积的最小值，故D错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆关于直线对称的圆的方程为___________． 12．【答案】 【解析】由圆，将其化为标准式可得， 所以圆心坐标为，半径为， 由圆与圆关于直线对称，则可得圆心坐标为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 13．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且， ，，，，则的长______. 13．【答案】 【解析】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以 即. 故答案为：. 14．如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点， 点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 14．【答案】 【解析】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)求的最小值． 15．（13分） 【解析】（1）由，，得， 所以． （2）设，而，则， 由四边形是平行四边形，得，即，解得， 所以点的坐标是． （3）由点是直线上的一个动点，得，即，于是 因此， 所以当时，取得最小值． 16．（15分） 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 16．（15分） 【解析】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 17．（15分） 已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 17．（15分） 【解析】(1)证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． (1)请用表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 18．（17分） 【解析】（1）由题意，连接，如图所示，    由为的中点，为的三等分点（靠近点）， 则 . （2）因为平面，平面，所以， 过点作，垂足为，如图所示， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，面，面，则平面， 因为平面，所以， 过作，垂足为，由平面， 所以，所以平面，则为直线与平面所成角， 由题意可知， 根据余弦定理得：， 所以，, 设直线与平面所成角为， 在直角三角形中有： 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，，，， 以为原点，以所在直线分别为轴， 在平面内，以与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， 由于四点共面，则存在实数，使得， 即，解得， 而，故，解得， 当且仅当，即时等号成立， 而到平面的距离为， 所以， 当且仅当时等号成立. 19．（17分） 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 19．（17分） 【解析】(1)（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以， 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $