第一章 有理数（绝对值、有理数比较大小）基础复习讲义2026--2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学有理数复习讲义通过分层梳理绝对值（定义、性质、几何意义）和有理数比较大小的知识点，结合核心性质（非负性、相反数关系）及三大几何模型（两绝对值和、三绝对值和、两绝对值差）构建知识体系，用解题模板和题型分类呈现脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础概念理解（如判断绝对值说法正误）到综合动点问题（数轴上A、P两点距离为2求t），培养几何直观和推理意识。非负性求值题型训练抽象能力，易错点提醒助力精准突破，基础学生掌握方法，优秀学生深化思维，教师可据此实施分层教学。

第一章 有理数 （复习专题讲义） （课时1.5绝对值、1.6有理数比较大小） 1.5、绝对值 【知识点1】绝对值定义： 一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点2】绝对值性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即= 核心性质：① 非负性：，绝对值最小的数为0；② 互为相反数的两数绝对值相等，即；③ 若，则或。 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有; （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 【解题模板】正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是其相反数。 【知识点3】绝对值几何意义 （1）几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； 的几何意义：数轴上表示数的点与数的点之间的线段距离。 通用距离公式：数轴上任意两点、，两点距离 （距离恒为非负数）。 三大万能固定模型（直接套用，无需推导） 模型1：两绝对值和 最小值：，取等条件：，无最大值。 模型2：三绝对值和 最小值：，取等条件：（取中间零点）。 模型3：两绝对值差 最大值：，最小值：。 【题型一】绝对值概念理解 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法①一定是负数；②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；③若，则a与b互为相反数；④若，则a是非正数．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ★【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 【变式2】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）写出1，的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 【题型二】基础绝对值化简 【例题】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【变式1】（24-25七年级上·河南周口·期中改编）若a与-4互为相反数，则 ． 【变式2】（1）如果，则_____． （1） 若 ，则 ______． 【变式3】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【题型三】绝对值的非负性求值 【例题】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习改编）已知． （1）求x，y的值； 【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【变式3】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． （3）若 ，则 的值为______． 【题型四】绝对值几何意义+动点综合★★ 【例题1】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且．  （1）写出数轴上点B表示的数 ； （2）表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ． ②的最小值为 ； （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为 时，A，P两点之间的距离为2． 【变式1】（21-22七年级上·江苏南通·期末）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【变式2】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）式子能取得的最小值是 ，这时 ；式子能取得的最大值是 ，这时 ． 【变式3】（1） 的最小值为______，此时 的取值范围是______． （2） 的最小值为______． （3）若 ，则整数 的值有______个． 1.6、有理数的大小比较 【知识点1】基本法则 ① 正数 负数。 ② 正数大于一切负数。 ③ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【知识点2】数轴比较法 数轴上右侧的数一定大于左侧的数： 【知识点3】绝对值比较法 同为正数：绝对值大的数大。 同为负数：绝对值大的数反而小。 【知识点4】（1）作差比较法：若,则；若，则；若，则； （2）求商比较法：两个正数比较，若，则；若，则；若，则. 【易错】 ① 比较两个负数时，忘记“绝对值大的反而小”。 ② 在数轴上找点不准确，导致大小判断错误。 ③ 作差比较时符号运算错误。 【题型一】利用数轴上比较有理数的大小 【例题】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境气温变化，冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”将它们从左到右排列为 ． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型二】其他方法比较有理数的大小 【例题】比较大小：（1）______．（填“”、“”或“”） （2）_________； （3）_________； 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：与． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期末）先阅读图1中的方法，再解题．如图2，在数轴上，点分别表示数，，则与1的大小关系为（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 （复习专题讲义）解析 （课时1.5绝对值、1.6有理数比较大小） 五、绝对值 【知识点1】绝对值定义： 一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点2】绝对值性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即= 核心性质：① 非负性：，绝对值最小的数为0；② 互为相反数的两数绝对值相等，即；③ 若，则或。 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有; （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 【解题模板】正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是其相反数。 【知识点3】绝对值几何意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； 的几何意义：数轴上表示数的点与数的点之间的线段距离。 通用距离公式：数轴上任意两点、，两点距离 （距离恒为非负数）。 三大万能固定模型（直接套用，无需推导） 模型1：两绝对值和 最小值：，取等条件：，即当 在 、 之间（含端点）时取得最小值。无最大值。 模型2：三绝对值和 最小值：，取等条件：（取中间数）。 模型3：两绝对值差 最大值：，最小值： 【题型一】绝对值概念理解 【例题】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法①一定是负数；②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；③若，则a与b互为相反数；④若，则a是非正数．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．根据绝对值的意义进行解答即可． 解：①当时，不是负数，故该说法错误； ②互为相反数的两个数的绝对值也相等，故该说法错误； ③a与b也可以相等，故该说法错误； ④a是0或负数，即a是非正数，故该说法正确． 综上分析可知，说法正确的个数是1． 故选：A． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义，根据绝对值的定义，即绝对值相等的两个数互为相反数；两个负数绝对值大的反而小，解答即可． 解：A、错误，两个负数绝对值大的反而小； B、错误，两个正数绝对值大的数较大； C、正确； D、错误，绝对值相等的两个数有可能互为相反数． 故选：C． 【变式2】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）写出1，的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 【答案】（1）1，0.5，；（2）c 【分析】本题考查了数轴，绝对值． （1）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数求解即可； （2）根据数与原点的距离大小关系，判断绝对值的大小关系． 解：（1）； （2）因为在点A，B，C，D中，点C离原点最近，所以在有理数a，b，c，d中，c的绝对值最小． 【题型二】绝对值化简 ★【例题】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算及意义，先由，得到，结合绝对值意义即可得到答案，熟记绝对值运算及意义是解决问题的关键． 解：，， ， ， 故答案为：． ★【变式1】（24-25七年级上·河南周口·期中改编）若a与-4互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键．根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 解：∵a与4互为相反数， ∴a-4=0， ∴a=4， 故答案为：1． 【变式2】（1）如果，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）若 ，则 ______． 【答案】 【分析】先计算 ，再求绝对值等于2的数． 【详解】解：，．故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·上海宝山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】 【详解】解：根据在数轴上的位置得：且， ∴，，， ∴ 【题型三】绝对值的非负性求值 【例题】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习改编）已知． （1）求x，y的值； 【答案】（1），；（2）6或 【分析】本题主要考查了非负数的性质−绝对值和解一元一次方程等知识点， （1）根据非负数的性质求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出y+z=0，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 解：（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，； 由（1）知， ∴-3与z互为相反数 ★【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴a-1=0, b-2=0, 解得a=1，b=2 ∴， 故选：A． ★【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 解：∵，说明等于0时2m+7的绝对值最小， 此时时，的值最小， 即2m+7=0,说明2m与7互为相反数，所以2m=-7, 说明2个m为-7，一个m就是-7的一半， 则； 故答案为：． 【变式3】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． （2） 若 ，则 的值为______． 【答案】 0 0 6 0 5 【分析】根据非负数的性质求出 、 的值，再代入计算． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． （3）：，，且和为0， ，，解得 ，． ．故答案为：5． 【题型四】绝对值几何意义+动点综合★★ ★★【例题】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且．  （1）写出数轴上点B表示的数 ； （2）表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ． ②的最小值为 ； （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为 时，A，P两点之间的距离为2． 【答案】（1）；（2）①6或；②；（3）3或 【分析】（1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）依据距离的非负性，分两种情况计算即可． （1）解：点B表示的数为； 故答案为：； （2）解：①因为，由绝对值的几何意义可以得到表示x的点为6和10时到表示8的点距离为2 则或； ②要求距离最小值，说明表示的点在-12和8之间，所以它们距离为12+8=20 故答案为：①6或10；②20； （3）解：由A，P两点之间的距离为2，由绝对值几何意义说明表示P点表示的数为6和10， 当P点表示数为6时，（秒）； 当P点表示的数为10时，（秒）。 所以当或秒时，A，P两点之间的距离为2． 故答案为：3或． 【点拨】本题考查了绝对值的定义及几何意义的运用，关键掌握绝对值的非负性，根据实际距离分类讨论计算． ★【变式1】（21-22七年级上·江苏南通·期末）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用、数轴上的点等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据数轴上的点到原点的距离公式由绝对值几何意义可得，然后分类讨论，求解即可获得答案． 解：由题意得，由绝对值定义可是∴或， 当解说明a与-（a+4）互为相反数， ∴a+a+4=0， ∴两个a的和与4互为相反数， ∴a与2互为相反数， ∴， 当时，一个数不可能等于这个数再加上4，这时的a不存在， 故答案为：． ★★【变式2】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）式子能取得的最小值是 ，这时 ；式子能取得的最大值是 ，这时 ． 【答案】 4 1 3 0.5/ 【分析】根据绝对值都是非负数，由小学加减法可得：加数最小时，和最小，减数最小时，差最大，即可得出答案． 解：， 当时，最小，最小值，此时； ， 当时，最大，最大值，此时． 故答案为：①4，②1，③3，④． 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用了绝对值是非负数的性质，小学所学的加数最小时和最小，减数最大时差最大． 【变式3】（1） 的最小值为______，此时 的取值范围是______． （2） 的最小值为______． （3）若 ，则整数 的值有______个． （1）【答案】2； 【分析】 表示数 到1和3的距离之和，当 在1和3之间时距离之和最小，为 ． 【详解】解：最小值为2，此时 ． （2）【答案】5 【分析】 表示数 到2和 的距离之和，当 在 和2之间时距离之和最小，为 ． 【详解】解：最小值为5．故答案为：5． （3）【答案】7 【分析】 表示数 到2和 的距离之和，最小值为 ，当 在 和2之间时取最小值，此时 ，整数 有 ，，，，0，1，2，共7个． 【详解】解：共7个．故答案为：7． 六、有理数的大小比较 【知识点1】基本法则 ① 正数 负数。 ② 正数大于一切负数。 ③ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【知识点2】数轴比较法 数轴上右侧的数一定大于左侧的数： 【知识点3】绝对值比较法 同为正数：绝对值大的数大。 同为负数：绝对值大的数反而小。 【知识点4】（1）作差比较法：若,则；若，则；若，则； （2）求商比较法：两个正数比较，若，则；若，则；若，则. 【易错】 ① 比较两个负数时，忘记“绝对值大的反而小”。 ② 在数轴上找点不准确，导致大小判断错误。 ③ 作差比较时符号运算错误。 【题型一】利用数轴比较有理数的大小 ★【例题】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【分析】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， ★【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境气温变化，冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”将它们从左到右排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴．熟练掌握用数轴表示数，数轴上数的大小排列顺序，是解题的关键． 把，1，这三个数在数轴上表示出来，根据三个点的位置，用“<”把三个数连起来． 解：在数轴上表示，1，这三个数， 观察数轴发现，它们从左到右排列为，，1， ∴． 故答案为：． ★【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 比较有理数的大小的法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数．观察数轴得出，即可逐一判断． 解：由数轴可知，， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴可得，且 ∴． 【题型二】其他方法比较有理数的大小 【例题】（1）比较大小：______．（填“”、“”或“”） （2）_________； （3）_________； 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小的规则，先计算两个数的绝对值，通分比较绝对值大小后即可得到原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴． 【详解】解：（2）∵负数都小于， ∴； （3）∵，，， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的大小比较方法，根据负数比较大小时绝对值大的数反而小的方法即可求解，解题的关键是正确理解负数相比较，绝对值大的数反而小． 解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：_与． 【答案】 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期末）先阅读图1中的方法，再解题．如图2，在数轴上，点分别表示数，，则与1的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法，即，根据数轴中x的取值范围判断差的正负即可． 【详解】解：， 由，得， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $