第25章一元二次方程单元同步训练检测卷（一）2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以一元二次方程概念为起点，通过解法选择、根的性质分析、实际问题建模及新定义探究，构建“概念-解法-应用-创新”的完整逻辑体系，突出运算能力与模型意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2|定义要素判断|从一元二次方程定义出发，明确二次项系数非零等核心要素| |解法应用|选择8、填空11、解答15|配方法/公式法/因式分解法选择|基于方程特征选择最优解法，体现转化思想| |根的性质|选择4-5、7、10，填空13，解答16、19|判别式/韦达定理应用|通过判别式判断根的情况，利用韦达定理解决参数及代数式求值问题| |实际应用|选择3，解答17-18|等量关系建模|将增长率、利润、几何面积问题转化为方程模型，培养应用意识| |综合探究|填空14，解答20|新定义迁移|通过“同构二次方程”“师梅方程”培养抽象能力与创新意识|

第25章一元二次方程单元同步训练检测卷（一）人教版2026—2027学年九年级数学上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的根是（     ） A． B． C． D． 3．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 5．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 6．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 7．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 9．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 10．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．已知是关于的方程的一个根，则________． 12．有一个人患了流感，两轮传染后共有人患了流感，则平均每人传染_____人． 13．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 14．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 17．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 18．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 19．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 20．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3) 若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A A A C D D B 11． 12． 13． 14． 15．【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 16．【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 17．【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 18．【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 19．【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 20．【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $