1.3.3《公式法》（第三课时）课件 2026-2027学年鲁教版（2024）（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦因式分解综合应用，核心知识点为提公因式法与公式法的结合运用。课堂导入先回顾提公因式法和平方差、完全平方公式，再通过“尝试·交流”环节引导学生对含括号多项式先化简再分解，搭建新旧知识过渡支架。 其亮点在于融入“正方形环”几何情境，培养学生几何直观和抽象能力，例题提供多种解法发展推理意识，通过简便计算、证明等应用案例强化应用意识。学生能形成严谨分解习惯，教师可借助结构化练习提升教学效率。

第一章 因式分解 公式法 3 第三课时 鲁教版(2024)八年级上册数学 1 2 3 熟记平方差、完全平方公式，掌握因式分解一般步骤：先提公因式，再用公式；能综合运用提公因式法、公式法分解因式，分解到不能再分解为止。 经历综合分解因式的练习，体会整体思想，提升观察辨析、综合运算能力。 养成分步解题、检查结果的习惯，体会数学方法的灵活运用，培养严谨的推理意识。 学 习 目 标 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 回顾复习 1.我们都学过哪些分解因式的方法？ 系数：取各系数的最大公约数 字母：取相同字母的最低次幂 (1)提公因式法 关键：确定公因式 (2)运用公式法 ①平方差公式 a2－b2= (a +b) (a－b) ②完全平方式 a2+2ab+b2=(a+b)2 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 学习新课 多项式 x(x+6)+9 能因式分解吗？与同伴进行交流。 尝试·交流 x(x+6)+9 =x2+6x+9 =(x+3)2 结论：有括号不能直接分解式子可以先化简整理后，再进行因式分解。 乘法运算 完全平方式 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 学习新课 把 y(y+4)－4(y+1) 因式分解。 例5 例题分析 解：y(y+4)－4(y+1) =y2+ 4y－4y－4 =y2－4 =(y+2)(y－2)。 对于这样不能直接分解的多项式我们应该如何来分解？ 总结：如果多项式不能直接分解因式，可以先把多项式进行计算化简并整理，然后再选择适当的方法进行分解因式。 第一步计算； 第二步化简整理平方差的形式； 第三步利用平方差公式分解因式。 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 学习新课 例6 例题分析 本题如何分解？你想到了几种方法？ 把(x2+1)2－4x2因式分解. 解法一： 第一步计算化简； 第二步整理成一个完全平方式； 第三步利用完全平方公式分解因式； 再利用平方差公式分解到不能再分解为止。 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 学习新课 例6 例题分析 把(x2+1)2－4x2因式分解. 解法二：(x2+1)2－4x2 =(x2+1)2－(2x2)2 =(x2 +1+ 2x )(x2+1-2x ) =(x+1)2(x－1) 2 第一步整理成平方差的形式； 第二步利用平方差公式分解因式； 最后再利用完全平方公式分解到不能再分解为止。 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 （正方形两条对角线的交点叫作正方形的 中心，中心重合且四边分别平行的两个正方 形之间的部分叫作“正方形环”，其相邻两条 平行线之间的距离称为“正方形环”的宽。 如图 1-5，若在一个内、外正方形的边长分 别为 b，a，宽为 m，面积为 S 的“正方形环”内部，再作一个周长为 l 的正方形（虚线），把这个“正方形环”分成两个宽度相等的“正方形环”，如图1-6。 （1）请用含a，b的代数式表示m，l和S。 （2）S与m，l之间具有怎样的等量关系？你能通过剪、拼“正方形环”验证你的猜想吗？ 学习新课 操作·思考 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 学习新课 操作·思考 （1）请用含a，b的代数式表示m，l和S。 （2）S与m，l之间具有怎样的等量关系？你能通过剪、拼“正方形环”验证你的猜想吗？ 解析： 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 学习新课 操作·思考 （2）S与m，l之间具有怎样的等量关系？你能通过剪、拼“正方形环”验证你的猜想吗？ 解析：(2) 等量关系：S = m · l。 验证：将正方形环沿四条边剪开，得到2个长为a、宽为m的长方形和2个长为b、宽为m的长方形，把四个长方形首尾拼接为一个大长方形，该长方形宽为m， 长为a + b + a + b = 2(a + b) = l，拼接前后面积相等，因此S = m · l，猜想成立。 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 （1）回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？ 学习新课 回顾·反思 解析：(1) 感悟 ① 整式乘法是将多个整式的乘积转化为多项式，因式分解是将多项式转化为多个整式的乘积，二者运算方向相反。 ② 在熟练掌握整式乘法的基础上反向推导得到因式分解的方法。 ③ 可通过整式乘法运算检验因式分解的正确性，将分解得到的整式重新相乘，对比结果与原多项式是否一致。 ④ 因式分解体现了“化繁为简”的数学思想：它将结构复杂的多项式拆解为更简单的整式乘积，可简化一些运算。 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 （2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明。 学习新课 回顾·反思 解析：(2) 适用场景及举例 因式分解可大幅降低运算量，典型便利场景如下： 解：a2(ab+2b2)+ab3 =a3b+2a2b2+ab3 = ab(a2+2ab+b2) =ab(a+b) ②代数式化简求值 举例：已知 a+b=5,ab=3,求a2(ab+2b2)+ab3的值。 把a+b=5，ab=3代入原式=3×52=75 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 学习新课 回顾·反思 解析：(2) 适用场景及举例 因式分解可大幅降低运算量，典型便利场景如下： （2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明。 ③ 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 一变：不能直接分解因式的式子要通过计算化简先变形； 二提：有公因式的多项式，要先提取公因式； 三套：符合平方差公式与完平方公式的多项式套用公式进行分解因式； 四查：检查分解之后的多项式因式还能不能继续分解，要分解到不能再分解为止。 学习新课 因式分解的一般步骤： 知识点 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 随堂练习 1．把下列各式因式分解： （1）a（a - 2）+ 1； （2）m（m + 9）- 9（m + 1）； （3）x（4 - x）- 4。 巩固新知 【1.答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 随堂练习 2．把下列各式因式分解： （1）x4 - 2x2 + 1； （2）（y2 + 9）2 - 36y2； （3）2（x2 - ）- x4。 巩固新知 （2） （3） 【2.答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 （2）因式分解题目类型： ①不能直接分解因式的情况；②需要多次分解因式的情况。 （3）分解因式的一般步骤: 一变：不能直接分解因式的式子要通过计算化简变形； 二提：有公因式的多项式，要先提取公因式； 三套：符合平方差公式与完平方公式的多项式套用公式进行分解因式； 四查：检查分解之后的多项式因式还能不能再分解，要分解到不能再分解为止。 因式分解 （1）因式分解的一般步骤： 课堂总结 知识梳理 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 单击此处添加标题文本内容 达标测评 基础达标 1. 因式分解： (1) m ( m ＋8)＋16＝ ⁠； (2)( x －5)( x ＋11)＋64＝ ⁠ ⁠. ( m ＋4)2　 ( x ＋3)2 　 2. 分解因式 a4－2 a2＋1的结果是(　D　) A. ( a2＋1)2 B. ( a2－1)2 C. a2( a2－2) D. ( a ＋1)2( a －1)2 【解析】 原式＝( a2－1)2 ＝[( a ＋1)( a －1)]2 ＝( a ＋1)2( a －1)2. D 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 单击此处添加标题文本内容 达标测评 基础达标 3. 因式分解： (1)(4 a2＋ b2)2－16 a2 b2； 【(1)解】原式＝(4 a2＋ b2＋4 ab )(4 a2＋ b2－4 ab ) ＝(2 a ＋ b )2(2 a － b )2. (2)16 x4－8 x2 y2＋ y4. 【(2)解】原式＝(4 x2－ y2)2 ＝(2 x ＋ y )2(2 x － y )2. 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 单击此处添加标题文本内容 达标测评 达标拓展 解：a2(ab+2b2)+ab3 =a3b+2a2b2+ab3 = ab(a2+2ab+b2) =ab(a+b) 4.已知 a+b=5,ab=3,求a2(ab+2b2)+ab3的值。 把a+b=5，ab=3代入原式=3×52=75 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 1．把下列各式因式分解： （1）(x + 1)2 - 4x； （2）(m + n)3 - 4(m + n)； （3）(x + 1)(x - 1)- 3； （4）(x + 2)(x + 3)+ 。 知识技能 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 【1.答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 1．把下列各式因式分解： （1）(x + 1)2 - 4x； （2）(m + n)3 - 4(m + n)； （3）(x + 1)(x - 1)- 3； （4）(x + 2)(x + 3)+ 。 知识技能 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 【1.答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 2．把下列各式因式分解： 知识技能 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 【2.答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 2．把下列各式因式分解： 知识技能 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 【2.答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 3．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块， 其中有 2 块是边长为 a cm 的大正方形，2 块是边长为 b cm 的小正方形，5 块长为 a cm、宽为 b cm 的相同的 小长方形，且a＞b。 （1）观察图形，可以发现代数式2a2 + 5ab + 2b2可以因 式分解为_______________________ 。 （2）若图中阴影部分的面积为34 cm2，大长方形纸板的周长为30 cm。 ① 求a + b的值； ② 求图中空白部分的面积。 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 问题解决 (2a + b)(a+ 2b) 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 问题解决 【3.(2)答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 问题解决 【3.(2)答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 4．今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径 五步。问为田几何。（选自《九章算术》） 题目大意：如图，有一块圆环形田，内圆周长 92 步，外圆周长 122 步，两圆半径的差为 5 步，圆环 形田的面积是多少（π取 3）？ 《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积，即圆环形田的面积。请说明这种算法的道理。 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 问题解决 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 习题 1.3.3 课本第17页 课外作业 问题解决 【4.答案】 第一章 ︱ 因式分解 八年级 上册 数 学 祝愿你的学习之旅轻松愉悦、成果丰硕！ 再 见 ！ 心怀热忱攻难题，手握妙法化困境。 $