2026-2027学年山东省滕州市鲍沟中学周清试题八年级数学（勾股定理）

**基本信息** 聚焦勾股定理，通过基础辨析、实际情境（无人机飞行、吸管长度）、文化传承（赵爽弦图、《九章算术》）及规律探究，实现知识巩固与能力梯度提升，适配八年级周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|直角三角形判定、折叠问题、面积关系|结合几何直观，考查概念辨析与简单应用| |填空题|6题|赵爽弦图、垂美四边形、圆柱最短路径|融入文化元素与空间观念，强化模型意识| |解答题|6题|《九章算术》芦苇问题、物理实验绳子问题、勾股数组规律|突出实际应用与推理能力，体现跨学科联系|

· 2026-2027学年山东省滕州市鲍沟中学周清试题 · 八年级数学试题（勾股定理） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 2．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 3．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 5．一架无人机从地面点起飞，先垂直上升40米到达点，再水平飞行30米到达点，则点到点的距离为（     ） A．50米 B．60米 C．65米 D．70米 6．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 7．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 8．在中，，垂直交于，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   10．如图，将沿的平分线翻折，点的对应点为点，若，，时，则的长（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，长方形操场的长为，宽为，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________． 12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 13．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 15．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 16．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 三、解答题 17．如图，在中，，，，试求线段的长． 18．如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 19．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 此题源自《九章算术》，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈尺．） 20．满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： (1)按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示，〇表示； (2)猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，，）． 21．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 22．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性、数形结合来简化解决一些复杂数学问题．如图公路上两点（看作直线上的两点）相距分别是公路北边的两个村庄（看作两个点）．点是公路上的一个中转站．已知，垂足分别为． (1)求村庄到中转站的距离； (2)求村庄到公路上点的距离． 试卷第4页（共5页） 试卷第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D A D A D B C 1．C 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 2．D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分情况讨论，避免漏解． 【详解】解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论： ①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ∴第三边长的平方是25或313． 3．C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 4．D 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ， ． 5．A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据题意得到直角三角形，利用勾股定理计算O到B的距离即可 【详解】由题意得 ， 米， 米， 为直角三角形，， 米， 即点到点的距离为50米． 6．D 【分析】需结合勾股定理与完全平方公式的变形，整体求解的值． 【详解】解：∵中为斜边，， ∴， ∵， ∴， 将代入上式，得， ∴． 7．A 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 8．D 【分析】根据勾股定理求出，根据等面积法得到，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 9．B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 10．C 【分析】先利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质可得，，从而求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ， 由折叠的性质可知 ， ， ， 点在的延长线上， ， 设，则 ， ， 在中，， 由勾股定理得即， 解得， ． 11． 【分析】根据长方形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：长方形操场的长为，宽为， ，， ． 12．3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的面积为， ． 13．1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 14．34 【分析】在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 15． 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 16．，， 【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组． 【详解】解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． 17． 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 18．解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】根据求出，即可得出，从而可判断三角形的形状． 【详解】略 19．水的深度为尺，芦苇的长度为尺 【分析】根据题意，构造直角三角形，设水的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图所示： 设水的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺， 由于水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池正中央，则（尺）， 在中，，，，，则由勾股定理可得， ，解得， ， 答：水的深度为尺，芦苇的长度为尺． 20．(1)8，10； (2)①证明：∵，， ， ∴当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，）； ② 【分析】（1）找到两个正整数的和与它们的差为36即可； （2）①根据整式的加减即可证明； ②根据完全平方公式和整式的加减即可求解. 【详解】（1）解：按此规律，填空： 上面一组勾股数中，▲表示8，〇表示10； （2）解：①略 ②∵， ∴当是大于2的偶数时，用n表示勾股数：． 21．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据已知条件求出，再根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：， ， ，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，， ， ． 答案第8页（共9页） 答案第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $