限时训练卷24　平面向量-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量核心应用，以三角形、四边形为载体，覆盖线性运算、数量积、投影及特殊点问题，注重几何直观与运算推理结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线性运算与表示|5题|三角形/四边形中向量分解与表示|从基底表示到线性运算，构建向量关系| |数量积与投影|6题|模长、夹角、投影向量计算|数量积定义→几何意义→投影应用| |特殊点与最值|8题|垂心/外心/动点最值问题|特殊点性质与向量运算结合，渗透函数思想| |综合应用|1题|奔驰定理证明与应用|从基本运算到定理应用，提升综合推理能力|

2027年高考一轮限时训练卷24　平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·山东潍坊·阶段检测）在中，，点是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得 . 2．（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设交于，交于，可求得，进而得到，然后利用向量的运算和平面向量基本定理即可求解． 【详解】如图所示，设交于，交于， 由于， 故，又，故， 同理可得，故， 而，故，， 根据三点共线，三点共线，可得，， 解得． 3．（25-26高三·辽宁葫芦岛·期末）在中，,,,,垂足为，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】如图： 因为，所以. 且，所以. 所以. 4．（25-26高三·陕西汉中·期末）已知为边长为3的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标将最小值的问题转化为二次函数闭区间的最小值问题即可求解 【详解】作中点，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立如图平面直角坐标系. 设，， 则， 所以 该二次函数对称轴为，此时有最小值. 5．（25-26高三·重庆·期中）已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算将用和表示，对比系数得到与参数的关系，结合参数范围求解的取值范围. 【详解】设，由点在线段上，得. 由，得，所以. 又，， 所以. 又，所以. 因为，所以. 6．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建系，写出各点坐标，计算数量积表达式，由参数范围最终求得数量积取值区间为. 【详解】如图： 以为原点，为轴，与垂直方向为轴，由， 则： 设，即， 那么     数量积， 的取值范围是. 7．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）在中，，，，点M为所在平面内一点，满足，其中.当取最小值时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由余弦定理求出角的余弦值，进而求出的值，由向量基本定理将用线性表示，结合向量数量积的运算律化简成关于的二次函数，利用其性质求出的值，即可求得的长. 【详解】由余弦定理，， 则， 因，代入， 整理可得， 则 ， 因，则当时，取得最小值，此时，， 故 ，故. 8．（25-26高三·浙江台州·期末）在中，，，，，则（   ） A．0 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到为的外心，取的中点，求得和，进而得到，再由三角形的面积公式和余弦定理，求得和，得到，即可求解. 【详解】由题意知：，可得为的外心， 取的中点，连接，则，所以， 又由， 同理可得， 所以， 可得， 因为在中，，，可得，解得， 又因为，由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 则， 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·贵州黔西南·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】分别利用向量模长为 1、两向量垂直则数量积为 0、两向量平行坐标交叉相乘相等、数量积等于 4 的对应坐标公式列方程求解 λ，判断各选项正误. 【详解】对于A：，解得，A正确； 对于B：若，则，即， 解得，B正确； 对于C：，由，得，解得，C正确； 对于D：由，得，解得或，D错误. 10．（25-26高三·甘肃酒泉·期末）若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形，均为正方形，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B．在上的投影向量为 C．在上的投影向量为 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】结合题意，根据投影向量定义依次求解. 【详解】对于A，过作于，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 设，则，， 由可得， 所以，则， 所以在上的投影向量为，故A正确； 对于B，过点作于， 因为，，， 所以，，故， 所以在上的投影向量为，故B错误； 对于C，根据向量加法的平行四边形法则，得， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 11．（25-26高三·四川绵阳·阶段检测）已知三点A，B，C分别为，若存在点满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若所有满足条件的点组成的平面区域的面积为16，且 ，则的最小值为9 D．若，则三点共线 【答案】ACD 【分析】向量数量积坐标运算计算判断A；由投影向量计算公式计算判断B；由A可知，结合题意根据矩形面积计算公式可得，由基本不等式计算判断C；由平面向量线性运算可得，判断D；. 【详解】选项A，由题，则，A正确； 选项B，，在方向上的投影向量为，B错误； 选项C，由A可知，，所以可以作为平面内一组基底，， 以为邻边的平行四边形面积为， 设，过点作，过点C作且， 设，连接并延长交于点，如图所示：    由题意可知点组成的平面区域为图中矩形，其面积为， 化简可得， 由基本不等式可知，所以， 因为，解得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，C正确. 选项D，若，则， ，即， 所以，故，则三点共线，D正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·福建泉州·阶段检测）如果单位向量满足6，则__________． 【答案】 【分析】根据向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，所以 ，求得， 所以. 13．（26-27高三上·北京·开学考试）已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则______；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由题设建立平面直角坐标系，利用数量积坐标表示可得答案 【详解】连接，设交于，由题设可得，据此如下图建立平面直角坐标系. 则. ，则,，从而； 设，其中. 则，从而，当，即与重合时取等号. 14．（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，.为内一点，，则______. 【答案】 【分析】根据奔驰定理可得，进而得到，，再根据数量积的运算律求解． 【详解】， ， 即， 解得， ， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·云南丽江·期末）已知向量，满足，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先根据向量数量积的定义求，再根据求实数的值. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【详解】（1）由题意可得，，， 因为，所以， 即，解得． （2）设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16．（25-26高三·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，，，点是的中点，是线段上靠近点的三等分点，，设，． (1)若， ①用，表示，； ②求的大小； (2)若，且，求平行四边形的面积． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①借助平面向量线性运算法则计算即可得；②借助数量积公式计算可得，即可得的大小； （2）借助平面向量数量积公式计算可得，再利用平行四边形面积公式计算即可得. 【详解】（1）①由题知，，， 则， ； ②， ，即； （2）若，则， 又，， ， ，解得， 而，又，， 平行四边形的面积． 17．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，．    (1)若，请用向量，来表示向量，； (2)若，，求的面积； (3)若，，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，及向量的加减、数乘运算即可求解； （2）先根据二倍角的余弦公式求出，从而求出，再根据数量积的定义求出，进而根据三角形的面积公式即可求解； （3）先分析当和时的情况，从而得到，，再结合题意推出，从而根据三点共线的性质，及基本不等式即可求解． 【详解】（1）由是线段的中点，且， 则； 又， 所以． （2）由，得， 又，则为锐角，所以， 又，则，所以， 所以． （3）由，， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意， 则，，所以，， 又，且， 则， 所以， 即， 由题意得，，三点共线，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，取得最小值，最小值为． 18．（25-26高三·江西景德镇·期末）在梯形中，，，，．点是腰上一点，且，与交于点. (1)用表示 (2)若， （i）求的值； （ii）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）设，，根据向量的线性运算分别得，，根据平面向量基本定理即可建立方程组，运算得解； （2）（i）过点作交于点，可得四边形是平行四边形，在中，由余弦定理可得，以点为坐标原点，为轴，建立如图平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量数量积坐标运算得解； （ii）设，利用向量数量积坐标运算得到的表达式，利用二次函数求出最值. 【详解】（1）设，， 因为，，所以， 所以， ， 又，所以， 所以， 所以，解得， 所以. （2）（i）过点作交于点，又， 所以四边形是平行四边形，故，，， 在中，由余弦定理可得， 所以，即，解得. 以点为坐标原点，为轴，建立如图平面直角坐标系， 由，，，可得，，， 所以，， 所以. （ii）设， 则，，， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 19．（25-26高三·重庆·期末）阅读下列材料： 如图，已知点在锐角的内部，，，的面积记为，，，则．该结论因图像神似奔驰车标，因此称它为“奔驰定理”． 根据你对材料的理解请完成以下问题． (1)若为锐角的外心，请证明：； (2)若为锐角的内心，，，，且，求的值； (3)若为锐角的外心，且，求的值． 【答案】(1)设锐角的外接圆半径为，外心为，则,根据圆心角与圆周角的关系：，， 三个小三角形的面积分别为： , , , 由奔驰定理：，代入面积表达式： 两边同除以（），得： 证毕. (2) (3) 【分析】（1）求出三块三角形的面积，转化为 ，约去可得； （2）为的内心，则，再利用奔驰定理求解； （3）利用（1）的结论，得出,,,利用二倍角公式求出 ，，，从而得出. 【详解】（1）略. （2）为的内心，内切圆半径为， 则三个小三角形面积是，，， 因此， 由奔驰定理得。 将向量用表示：,, , 代入奔驰定理等式： 整理得： 则 对比，得： ，所以 因此 （3）由（1）的结论，外心满足； 又，所以 设（）， 由三角形内角和，得， 因此, 所以，所以① 同理可得另外两个方程：② ③ 联立①②③解得：,,, 因为A,为锐角，所以，，， 由正弦定理. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷24　平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·山东潍坊·阶段检测）在中，，点是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高三·辽宁葫芦岛·期末）在中，,,,,垂足为，则（   ） A． B． C． D．4 4．（25-26高三·陕西汉中·期末）已知为边长为3的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·重庆·期中）已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）在中，，，，点M为所在平面内一点，满足，其中.当取最小值时，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·浙江台州·期末）在中，，，，，则（   ） A．0 B． C．6 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·贵州黔西南·期末）已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高三·甘肃酒泉·期末）若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形，均为正方形，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B．在上的投影向量为 C．在上的投影向量为 D．在上的投影向量为 11．（25-26高三·四川绵阳·阶段检测）已知三点A，B，C分别为，若存在点满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若所有满足条件的点组成的平面区域的面积为16，且 ，则的最小值为9 D．若，则三点共线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·福建泉州·阶段检测）如果单位向量满足6，则__________． 13．（26-27高三上·北京·开学考试）已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则______；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为______. 14．（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，.为内一点，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·云南丽江·期末）已知向量，满足，且与的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 16．（25-26高三·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，，，点是的中点，是线段上靠近点的三等分点，，设，． (1)若， ①用，表示，； ②求的大小； (2)若，且，求平行四边形的面积． 17．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，．    (1)若，请用向量，来表示向量，； (2)若，，求的面积； (3)若，，求的最小值． 18．（25-26高三·江西景德镇·期末）在梯形中，，，，．点是腰上一点，且，与交于点. (1)用表示 (2)若， （i）求的值； （ii）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值． 19．（25-26高三·重庆·期末）阅读下列材料： 如图，已知点在锐角的内部，，，的面积记为，，，则．该结论因图像神似奔驰车标，因此称它为“奔驰定理”． 根据你对材料的理解请完成以下问题． (1)若为锐角的外心，请证明：； (2)若为锐角的内心，，，，且，求的值； (3)若为锐角的外心，且，求的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $