限时训练卷27平面向量与复数-2027年高考数学一轮复习限时训练专题

**基本信息** 以复数与平面向量的概念运算为基础，通过选择、填空、解答多题型综合训练，培养数学抽象与逻辑推理能力，构建从基础到应用的知识网络。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|约7题（如第1、3、16题）|基础概念辨析与运算，结合几何意义|概念（共轭复数、实部虚部）→运算（加减乘除）→几何意义（复平面位置）| |平面向量|约12题（如第8、11、19题）|线性运算、数量积应用及几何综合，含动态问题|线性运算→数量积（夹角、模）→几何应用（三角形四心、动态最值）|

2027年高考一轮限时训练卷27　平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）设复数的共轭复数为，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】已知，则，则. 2．（2026高三上·全国·专题练习）向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出，结合平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为，，且，所以，解得. 3．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义写出复数对应的点的坐标即得. 【详解】因为复平面内，复数对应的点为， 所以表示复数的点在第四象限. 4．（25-26高三·四川泸州·期末）在中，，记，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， 即 = =. 5．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）已知，则复数的虚部为（    ） A．－1 B．2 C．i D．1 【答案】D 【详解】因为，可得， 则，所以复数的虚部为1. 6．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知向量、满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ，即，解得. 7．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得向量，的夹角为，，， 则 . 8．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期末）如图，给定两个单位向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧（包含端点）上运动，若，其中，，则的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】建系将向量问题坐标化，设动点参数用角度表示，由坐标等式解出系数表达式，代入目标式后用辅助角公式求最值. 【详解】以为坐标原点，所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 由题意，、是单位向量，夹角为，因此，， 设，，则. 已知，代入坐标得， 根据横纵坐标相等，列方程组，解得. 将代入，根据辅助角公式可得 ， 为锐角，且 ，由于，因此可取到. 当时，取得最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·青海海东·期末）设，，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C．是纯虚数 D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，， 所以=， 在复平面对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以， ，所以，故D正确. 10．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知向量，，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】利用向量坐标运算，垂直则点积为0，平行则坐标交叉相乘相等，夹角余弦等于点积除以两向量模的乘积，投影向量套对应公式，逐个代入计算判断对错. 【详解】 选项A：若，则点积为0，即，解得，故A错误. 选项B：若，满足交叉项相等：，解得，故B正确. 选项C：若，则，，，， 因此，故C正确. 选项D：若，在方向上的投影向量公式为，代入数据得，故D正确. 11．（25-26高三·四川乐山·期末）设是所在平面内一点，则（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则点在的角平分线上 【答案】ABD 【分析】A. 向量模相等即到三顶点距离相等，符合外心定义；B.由向量和为零结合中线性质，推出点满足重心分比；C. 由数量积相等推出垂直关系，说明为垂心而非内心；D. 利用单位向量构造角平分线方向，证得与角平分线共线. 【详解】选项A：三角形外心是外接圆圆心，性质是到三个顶点距离相等，即，符合外心定义，A正确； 选项B：若 ，取中点，由向量中点性质得 ，代入得， 说明在中线上，且满足重心分中线为的性质，故是的重心，B正确； 选项C：由 变形得，即； 同理可得，，说明是的垂心，不是内心，C错误； 选项D：设，，则分别是沿方向的单位向量，且， 则题中条件为，即， 又因为 ， 所以也垂直于，而的方向是的内角平分线方向， 因此与角平分线共线，点在的角平分线上. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·湖北随州·期末）已知复数是关于的方程（R，R）的一个根，则________． 【答案】 【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对原理得到另一根，结合韦达定理求的值，再计算. 【详解】∵是实系数方程的根， 实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为， 由韦达定理得，， 解得，故. 13．（25-26高三·陕西安康·期末）在中，点满足，点满足，若，则__________；若，，，则__________. 【答案】 / 【详解】由点满足，得 由点满足，得， . 又，所以， 所以. 若，，， 则. 14．（26-27高三·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为______. 【答案】6 【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得， 的最小值可利用基本不等式可得. 【详解】 因为点为的重心，所以 ，则. 因为三点共线， ， 所以 ， ，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·福建福州·期末）已知，是同一平面内的两个向量，其中，． (1)若，求在上的投影向量坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据投影向量的计算公式求解即可. （2）根据向量夹角的求解公式及向量共线求解即可. 【详解】（1）因为，所以，， 在上的投影向量为， 故在上的投影向量坐标为． （2）， 由，得． 当时，则存在唯一的实数使得，解得． 所以当时，与共线，且方向相同，此时夹角为0，不符题意． 故与的夹角为锐角时，实数的取值范围是． 16．（25-26高三·上海·期末）已知复数． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)当 时，复数z是实系数一元二次方程 的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数实部为0、虚部不为0的定义列不等式组求解即可； （2）先计算时的值，代入实系数方程后利用复数相等的充要条件列方程组可求得的值，进而可求解. 【详解】（1）复数为纯虚数， 则，解得. （2）当时，， z是关于x的方程的一个根， 得：，所以， 由复数相等的充要条件得：， 解得， 所以. 17．（25-26高三·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得； 方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图，． （2）设，则 ． 设，则，则，解得， 所以． 方法二：            （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 18．（25-26高三·天津宝坻·期中）已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【详解】（1）因为为实数，所以，即，所以或； （2）因为为纯虚数，所以，即，所以； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限,所以，即，所以. 19．（25-26高三·江西南昌·阶段检测）如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． (1)若，证明：； (2)若，求的值； (3)若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 【答案】(1) 因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以． (2)； (3)． 【详解】（1）略 （2）解：设，由， 得， 即， 即， 因为不共线，所以，解得． （3）解：因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，设， 则 因为，所以， 所以的取值范围是． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷27　平面向量与复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）设复数的共轭复数为，则（    ） A．3 B． C．5 D． 2．（2026高三上·全国·专题练习）向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高三·四川泸州·期末）在中，，记，．则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）已知，则复数的虚部为（    ） A．－1 B．2 C．i D．1 6．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知向量、满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 8．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期末）如图，给定两个单位向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧（包含端点）上运动，若，其中，，则的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·青海海东·期末）设，，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C．是纯虚数 D． 10．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知向量，，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 11．（25-26高三·四川乐山·期末）设是所在平面内一点，则（   ） A．若，则点是的外心 B．若，则点是的重心 C．若，则点是的内心 D．若，则点在的角平分线上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·湖北随州·期末）已知复数是关于的方程（R，R）的一个根，则________． 13．（25-26高三·陕西安康·期末）在中，点满足，点满足，若，则__________；若，，，则__________. 14．（26-27高三·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·福建福州·期末）已知，是同一平面内的两个向量，其中，． (1)若，求在上的投影向量坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．（25-26高三·上海·期末）已知复数． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)当 时，复数z是实系数一元二次方程 的一个根，求的值． 17．（25-26高三·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 18．（25-26高三·天津宝坻·期中）已知是虚数单位，复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 19．（25-26高三·江西南昌·阶段检测）如图，在中，点分别在边上，点为的中点且交于点． (1)若，证明：； (2)若，求的值； (3)若是边长为2的正三角形，点是与不重合的动点，求的取值范围． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $