重难点专训03 数列与不等式综合七大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“通法+题型+分层”构建数列与不等式综合突破体系，7大通法覆盖判定、放缩、构造等核心方法，7类题型实现从基础到压轴的逻辑递进，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|7种通法|作差商判单调、裂项/等比放缩、构造转化等|从方法原理到适用情境，形成判定-证明-应用完整链条| |题型通法及变式提升|7类题型（34例）|每种题型配套通法+变式，如放缩工具箱、恒成立最值方向|从单调性到新定义压轴，难度梯度契合高考命题| |分层过关练|巩固14题+创新18题|分层设计，巩固题强化通法，创新题突出跨模块综合|对接一轮复习，兼顾基础巩固与能力提升|

重难点专训03 数列与不等式综合 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 数列单调性与有界性判定 2 题型2 放缩法证明数列不等式 3 题型3 数列求和与恒成立/能成立 5 题型4 递推数列的构造转化与不等式 8 题型5 数列与函数、导数综合 10 题型6 数学归纳法证明数列不等式 11 题型7 新定义与综合压轴 12 重难专题分层过关练 15 巩固过关 15 创新提升 18 解题方法及技巧提炼 通法 适用情境 核心步骤 典型载体 ① 作差（商）判单调 判定增减、比较项大小 算 定号；正项用 与 1 比较 等差/等比、递推数列 ② 裂项放缩 分式倒数和型不等式 ，求和后抵消 倒数和 < 常数 ③ 等比/指数放缩 指数型求和不等式 通项放大为等比数列，用求和公式封闭 、 型 ④ 指对放缩 含 ln、e 的不等式 、 等函数不等式 与函数导数综合 ⑤ 分离参数＋最值 恒成立/能成立 参数移一边，求另一边最值（） 与参数 ⑥ 构造转化 递推求通项/证不等式 配常数构造等比、取倒数、除以公比 等 ⑦ 数学归纳法 与 n 有关的命题 奠基＋递推，第二步目标导向放缩 单调性、不等式 题型通法及变式提升 题型1 数列单调性与有界性判定 （1）作差法（最通用）：计算 ，恒正→严格递增，恒负→严格递减。递推数列常“作差后代入递推式”化简。 （2）作商法（正项数列）：比较 与 1 的大小，大于 1 递增、小于 1 递减。 （3）函数单调性：若 且 单调，则 单调。 （4）数学归纳法：递推定义的数列，可直接归纳证明 。 （5）有界性常用套路：先证单调，再结合首项或放缩确定上、下界；或“归纳构造”直接得到界。 1.已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 2．已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3.设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 4.已知在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 5.已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求正整数的最小值； (3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围. 题型2 放缩法证明数列不等式 （1）裂项放缩：把分式通项放大（或缩小）为可“裂项相消”的形式，求和后只剩首尾项。 （2）等比放缩：把通项放大为等比数列，用求和公式“封闭”。 （3）指对放缩：用 、 等函数不等式（详见题型五）。 常用放缩工具箱如下： 放缩式 适用情境 （） 倒数和的上界估计 倒数和的下界估计 （） 奇平方和上界 倒数和与对数比较 及 对数型不等式夹逼 （ 收敛） 指数型放缩 6．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 7．已知数列的前项和． (1)求； (2)证明：． 8.若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且． (1)求的所有可能取值； (2)若对任意，，求，的所有可能取值； (3)在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 9.已知数列满足. (1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列； (2)若，求证：； (3)对于（2）中的数列，求证： 10.对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． (1)若，求的元素个数及； (2)当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 题型3 数列求和与恒成立/能成立 （1）求 的封闭形式；（2）分离参数，把问题化为求 的最值；（3） 时，用 判单调再求最值。 恒成立与能成立的最值方向（务必牢记）： 恒成立： 对一切 n → ；　 对一切 n → 。 能成立（存在 n）： 有解 → ；　 有解 → 。 11.已知数列是等差数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 12.已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 13.已知数列满足是正整数 (1)求数列的通项公式； (2)设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围． 14.等差数列的公差不为0，是其前n项和．已知，且，，依次成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对一切正整数n都成立，求实数的取值范围． 15．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 16.已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和以及的值； (3)若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 17.已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18.已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有. (1)求数列的通项公式； (2)若（n为正整数），求数列的前n项和； (3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围. 19.已知数列满足，． (1)求， (2)求数列的通项公式 (3)如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值 题型4 递推数列的构造转化与不等式 （1）一阶线性 （）：配常数 ，使 ，构造等比数列。 （2）分式递推 ：优先“取倒数”化为线性递推。 （3）累加累乘： 用累加； 用累乘。 （4）不等式证明常“先求通项、再作差/放缩”——求通项是笨但稳的路。 20．已知函数，定义数列满足：， (1)证明：； (2)证明：． 21.设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求证：. 22．当时，定义函数： ，完成以下问题： (1)证明不等式：，并指出等号成立条件. (2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围. (3)设数列满足，证明：数列单调递减，且对任意正整数n，有. 23．已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列. (1)若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由. (2)若为的衍生数列，证明：. (3)若为的衍生数列，证明：. 题型5 数列与函数、导数综合 （1）函数迭代成数列：，研究性质先看 的单调性与不动点。 （2）导数证数列不等式：构造辅助函数，用单调性证明函数不等式，再令自变量取数列中的项。 （3）切线递推：过曲线上点作切线求截距，得递推式。 常用函数不等式（由导数可证，等价于“切线在曲线一侧”）： 不等式 成立范围 取等条件 — — 24．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 25.已知函数 (1)若，求函数的严格减区间 (2)若方程在实数集上有四个解，求实数的取值范围 (3)若，数列满足．是否存在使得数列严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话．说明理由 26.已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 题型6 数学归纳法证明数列不等式 （1）第一类数学归纳法：奠基（验证 ）＋ 递推（假设 成立 → 证 成立）。 （2）第二步“目标导向”：把待证式写成“含归纳假设的形式”，用放缩或代数变形衔接。 （3）递推型不等式：通常“假设 ，证 ”，即 （ 单调时）。 27．用数学归纳法证明：，． 28．（1）若数列满足，，求； （2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：． 29．设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，. (1)求数列、的通项公式； (2)记，，用数学归纳法证明：. 题型7 新定义与综合压轴 三步走：①圈出新定义概念，翻译成数学式子；②特例试探（ 找规律）；③把问题转化为熟悉的通法（放缩/最值/构造）。 30．（25-26高三下·上海·阶段检测）设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. (1)设，判断函数是否具有“性质”？ (2)已知函数具有“性质”，且，记，求证：； (3)对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 31.已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. (1)已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）； (2)设.若首项为1，公比为q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围； (3)已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列为有界变差数列. 32.对于任意实数c，d（），定义区间，，，的长度均为.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这些区间的长度的和称为I的长度，特别地，记正整数集，且，若对任意的，2，…，，区间的长度始终不小于恒成立，则称该集合为“称心集”. (1)若的解集为B，求集合B的区间长度； (2)若关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，求实数t的取值范围； (3)求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由. 33.已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 34.设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 2.已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 3．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4.在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列数列，的前项和. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围. 5.已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， (1)求数列的前项和； (2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 6.已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 7.已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 8．设，给定数列，其中，．求证： (1)，； (2)如果，那么． 9．已知函数．设数列满足，，数列满足， (1)用数学归纳法证明； (2)证明：． 10．记为数列的前项和，记 (1)求的通项公式； (2)设，证明： 11．已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列． (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：． 12．已知等比数列的前项和为，满足， (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：． 13．记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 14．已知函数，且在上的最小值为． (1)求的解析式； (2)证明：． 创新提升 1.已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 2.已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 3.当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 4.已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． (3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 5.已知数列的前n项和为，已知数列的各项均为正数，，且； (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (3)若，求对所有的正整数n都有成立的实数k的取值范围？ 6.已知数列满足，. (1)计算的值； (2)求数列的通项公式； (3)设，为整数，不等式对一切且均成立，求的最大值. 7.已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 8.已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值； (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 9.已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 10.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列； (1)若是等比数列，且，，，求； (2)若，令，证明：是等比数列，并求的值； (3)若是首项为1的等差数列，d为公差，，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时d的值； 11.已知函数对任意实数、都满足，且 (1)当时，求的表达式； (2)设，记数列的最小项的项数为，求 的值． (3)设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 12.已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式； (3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 13.定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 14．已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 15．“裂项相消”是解决数列求和问题的一种方法，很多数列的通项其实都可以写成两项相减的形式. 例如：，，…... ，将这些式子累加便可得到，于是可以求得. 相信你现在已经学会了“裂项相消”，现在已知，. (1)求数列的前100项和； (2)求； (3)证明:对任意的正整数，. 16．已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 17．已知数列满足，，记． (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (3)设，为数列的前项和，证明：． 18．从数列中选取连续的k项，，，…，，记，则称数列是的数列．已知在数列中，，，对任意的，公比为的等比数列是的数列． (1)求，的值． (2)证明：． (3)设，数列的前n项和为，证明：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 数列与不等式综合 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 数列单调性与有界性判定 2 题型2 放缩法证明数列不等式 5 题型3 数列求和与恒成立/能成立 11 题型4 递推数列的构造转化与不等式 19 题型5 数列与函数、导数综合 26 题型6 数学归纳法证明数列不等式 30 题型7 新定义与综合压轴 33 重难专题分层过关练 39 巩固过关 39 创新提升 48 解题方法及技巧提炼 通法 适用情境 核心步骤 典型载体 ① 作差（商）判单调 判定增减、比较项大小 算 定号；正项用 与 1 比较 等差/等比、递推数列 ② 裂项放缩 分式倒数和型不等式 ，求和后抵消 倒数和 < 常数 ③ 等比/指数放缩 指数型求和不等式 通项放大为等比数列，用求和公式封闭 、 型 ④ 指对放缩 含 ln、e 的不等式 、 等函数不等式 与函数导数综合 ⑤ 分离参数＋最值 恒成立/能成立 参数移一边，求另一边最值（） 与参数 ⑥ 构造转化 递推求通项/证不等式 配常数构造等比、取倒数、除以公比 等 ⑦ 数学归纳法 与 n 有关的命题 奠基＋递推，第二步目标导向放缩 单调性、不等式 题型通法及变式提升 题型1 数列单调性与有界性判定 （1）作差法（最通用）：计算 ，恒正→严格递增，恒负→严格递减。递推数列常“作差后代入递推式”化简。 （2）作商法（正项数列）：比较 与 1 的大小，大于 1 递增、小于 1 递减。 （3）函数单调性：若 且 单调，则 单调。 （4）数学归纳法：递推定义的数列，可直接归纳证明 。 （5）有界性常用套路：先证单调，再结合首项或放缩确定上、下界；或“归纳构造”直接得到界。 1.已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【详解】(1)数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 2．已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】(1) 由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， 则，即； （2）数列， 则， 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即有，即的取值范围是. 3.设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【详解】（1）因为， 故即， 所以当时， 左右两边除以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故由得， （2）由（1）以及题意得， 即，， 所以，故， 因为数列是严格减数列， 所以， 所以，即， 故，即的取值范围为. 4.已知在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【详解】（1），即， ， 当时，， ， 则这个等式相加得， ， ， 当时，满足该式， ． （2）证明：， ， 为递增数列， ， 综上可得，． 5.已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求正整数的最小值； (3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围. 【详解】（1）∵，∴当时，， 又满足上式，所以. （2）∵， ∴， ∴，解得，∴， 即正整数的最小值为17. （3）因为是严格增数列，所以对任意正整数，有恒成立， 即恒成立， 其中且，所以， 化简得到恒成立， 在，时严格减， 所以，当时，取到最大值为3， 所以. 题型2 放缩法证明数列不等式 （1）裂项放缩：把分式通项放大（或缩小）为可“裂项相消”的形式，求和后只剩首尾项。 （2）等比放缩：把通项放大为等比数列，用求和公式“封闭”。 （3）指对放缩：用 、 等函数不等式（详见题型五）。 常用放缩工具箱如下： 放缩式 适用情境 （） 倒数和的上界估计 倒数和的下界估计 （） 奇平方和上界 倒数和与对数比较 及 对数型不等式夹逼 （ 收敛） 指数型放缩 6．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 7．已知数列的前项和． (1)求； (2)证明：． 【详解】（1）， 又， 所以． (2)证明：当时，； 当时， 所以，当时，． 8.若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且． (1)求的所有可能取值； (2)若对任意，，求，的所有可能取值； (3)在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 【详解】（1）由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设． ； （2）若对任意，，则，或； ①若，则，或， 或，或； ②若，则，或， 或； 综上，或 (3)因为，且对任意，总存在， 使得， 所以数列的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式， 又因为对任意，，所以， 所以， 所以 9.已知数列满足. (1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列； (2)若，求证：； (3)对于（2）中的数列，求证： 【详解】（1）依题意，，而，则， ，要使数列为等差数列，则，即公差， 而，则，于是，解得， 显然，此时， 即对，恒有，因此数列是以为公差的等差数列， 所以当时，. (2)函数的定义域为，令，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， ，即，，，即， 当时，，显然时上式成立， 又，因此，所以. (3)由（2）知，而，则， ，显然，又函数是上的增函数，则可递推得， 当时，，于是， 当时，， 而，即，恒有， 因为当时，，则当时，，而 因此当时，，， ， 于是， 所以. 10.对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． (1)若，求的元素个数及； (2)当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 【详解】（1）当时，，其定义域为. 由得. 设，则， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 注意到，所以在恰有一个零点，且， 又，所以，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点， 所以，所以的元素个数为， 又因为，所以. （2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意； 当时，，其定义域为， 由得. 设，则， 设，则， ①当时，，所以在单调递增， 又，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，符合题意； ②当，故恰有两个零点. 又因为，所以， 当时，；当时，； 当时，； 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增； 注意到，所以在恰有一个零点， 且， 又时，，所以在恰有一个零点， 从而至少有两个不动点，不符合题意； 所以的取值范围为，即集合. （ⅱ）由（i）知，，所以， 此时，，， 由（i）知，在单调递增， 所以当时，，所以，即， 故若，则，因此若存在正整数使得，则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，， 下面我们先证明当时，， 设，， 所以，所以在单调递减， 所以，即当时，， 从而当时，， 从而，即， 故，即， 由于，，所以，，故， 故时，， 所以，. 题型3 数列求和与恒成立/能成立 （1）求 的封闭形式；（2）分离参数，把问题化为求 的最值；（3） 时，用 判单调再求最值。 恒成立与能成立的最值方向（务必牢记）： 恒成立： 对一切 n → ；　 对一切 n → 。 能成立（存在 n）： 有解 → ；　 有解 → 。 11.已知数列是等差数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以公差，， 故； （2）因为，且时，恒成立， 所以， 因为时，，所以，所以， 所以，所以实数的最小值为. 12.已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1），则当时，， 当时，，不符合， 所以． （2）因为，，所以，． 令，则， 当时，不妨设的第n项的值最小， 只需令， 解得， 又， 所以的最小值为， 所以，即的取值范围是． 13.已知数列满足是正整数 (1)求数列的通项公式； (2)设，如果对于任意正整数，都有，求实数的取值范围． 【详解】（1）， 时，． 两式相减得，， 又，，从而，所以等比数列，公比为， 所以，； （2）由（1）知，，，，，当时，， ，当时，，，即时，递减， 所以的最大值是， 对于任意正整数，都有，则，解得或， 所以的取值范围是． 14.等差数列的公差不为0，是其前n项和．已知，且，，依次成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对一切正整数n都成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）设首项为，公差为， 因为，，依次成等比数列，所以， 即，化简得， 因为，所以，即， 联立方程组，解得， 则. （2）因为，所以， 因为对一切正整数n都成立， 所以，即， 可得，令，即恒成立， 由基本不等式得，当且仅当时取等，此时解得， 则，，即，可得， 故实数的取值范围为. 15．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【详解】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则； (2)不存在，理由为： 即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. 16.已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和以及的值； (3)若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【详解】(1)证明：由，， 因为（）， ∴数列是公比为，首项为1的等比数列. （2）因为，所以， . （3）因为，所以， 所以，所以恒成立，所以， 设，易知，，， 当时，，令，故单调递减， 即， 所以，所以. 17.已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：数列的前项和为，且对任意正整数，都有， 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：因为， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，所以，， 所以，， 由可得，此时，数列单调递增，即， 由可得，即， 由可得，此时，数列单调递减，即， 所以，数列中的最大项为. （3）解：因为 ， 所以， ， 因为对任意的正整数，不等式恒成立，则. 因此，实数的取值范围是. 18.已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有. (1)求数列的通项公式； (2)若（n为正整数），求数列的前n项和； (3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围. 【详解】（1）因为，则有： 当时，则，解得； 当时，则， 两式相减得，整理得； 且，可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以，即. （2）由（1）可得：， 所以， 所以数列的前n项和. （3）由（1）可得：， 令，即，解得， 可得数列的最大项为， 因为等式对任意正整数n都成立，即， 可得，解得或， 所以实数t的取值范围. 19.已知数列满足，． (1)求， (2)求数列的通项公式 (3)如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值 【详解】（1）由题意得； （2）， ， 累加可得， 又，又也适合该式， 故. （3）由（2）知， 当n为奇数时，， 单调递减，且， ； 当n为偶数时，， 单调递增，且， ，而， 综上，的最大值和最小值分别为，，函数在上单调递增， 由对，恒成立， ∴， 的最小值为. 题型4 递推数列的构造转化与不等式 （1）一阶线性 （）：配常数 ，使 ，构造等比数列。 （2）分式递推 ：优先“取倒数”化为线性递推。 （3）累加累乘： 用累加； 用累乘。 （4）不等式证明常“先求通项、再作差/放缩”——求通项是笨但稳的路。 20．已知函数，定义数列满足：， (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)易知在上单调递增且， 因为，所以，于是． 设，则， 要证，只需证， 即证， 令，容易验证， 得， 令，则， 所以在上单调递增， 又，故，所以在上单调递增， 所以，得证； (2)令，则， 则在上单调递减，则，即， 则，故，所以， 由（1）知，所以， 综上：成立，得证！ 21.设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求证：. 【详解】(1)证明： 因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为； (3)证明： 当时，，又， 所以， 要证明 只需证明， 只需证明， 只需证明，由（2）可得， 只需证明， 只需证明， 只需证明 只需证明 设，，则 则函数在上单调递减，所以当时，， 又，所以，故， 所以 所以． 22．当时，定义函数： ，完成以下问题： (1)证明不等式：，并指出等号成立条件. (2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围. (3)设数列满足，证明：数列单调递减，且对任意正整数n，有. 【答案】(1)因为，所以， 令，则， 则在上单调递减，而，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 可得在上单调递增，在上单调递减， 而，，则成立，当且仅当和时取等. （2）由题意得， 当时，恒成立， 当时，，此时满足， 当时，，不满足，排除， 故实数k的取值范围为. (3)因为，所以， 可得，则数列单调递减， 令， 后面可以用数学归纳法证明， 当时，满足， 假定当时，满足，即， 则证明当时，满足即可， 而， 可得，， 则证即可， 即证即可， 故证， 而，， 则证成立， 令，解得，即证， 先证明，，则证， 令，则，， 因为，所以，再证明即可， 即证即可，故证即可， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递减， 可得，故得证， 此时得到，故在上恒成立， 可得，即得证， 再证明，则证， 令，可得， 令，则， 令，则， 则在上单调递增，由余弦函数性质得在上单调递增， 得到在上单调递增，而，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，， 且，可得， 由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，，则恒成立， 即得证，故得证， 则可由归纳法得到对任意正整数n，有成立. 23．已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列. (1)若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由. (2)若为的衍生数列，证明：. (3)若为的衍生数列，证明：. 【答案】(1)是的衍生数列，理由如下： 已知，导函数，数列，即，， 因此，， 所以，且， 根据题意，是的衍生数列. (2)已知，导函数， 根据衍生数列定义，有正项数列满足且， 即， 化简得，所以是首项为，公差为的等差数列，即， 令， 利用错位相减法：，， 两式相减得， 即，解得， 由于，所以，故，即. (3)已知，导函数， 根据衍生数列定义，有正项数列满足且， 即， 化简得， ①先证明： 由递推式可知，说明数列单调递增， 由于，， 所以，，，， 所以， 化简得，当时严格大于，当时取等号， 因此； ②再证明： 已知，由于，所以， 所以， 利用放缩：当时，， 则， 所以，即， 综上所述，. 题型5 数列与函数、导数综合 （1）函数迭代成数列：，研究性质先看 的单调性与不动点。 （2）导数证数列不等式：构造辅助函数，用单调性证明函数不等式，再令自变量取数列中的项。 （3）切线递推：过曲线上点作切线求截距，得递推式。 常用函数不等式（由导数可证，等价于“切线在曲线一侧”）： 不等式 成立范围 取等条件 — — 24．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. (2)证明：设，，，，所以，，则直线为. 令，则. ，因为，且，所以， 所以数列是严格递减数列. (3)，理由如下： 当时，，，令，则，令.所以.构造函数，令，，求导， 构造函数，，所以单调递增，且，所以， 所以函数在上单调递增，当，，根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性，当，，此时； 当，，此时；当，，此时. 25.已知函数 (1)若，求函数的严格减区间 (2)若方程在实数集上有四个解，求实数的取值范围 (3)若，数列满足．是否存在使得数列严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话．说明理由 【详解】（1）当时，函数的定义域为R， 又，令，即，解得， 所以函数的减区间为. （2）显然是方程的解， 问题转化为方程有三个解，令， 又，令，即， 解得或，所以在上为增函数， 令，即，解得，所以在上为减函数， 又，， 又当时，当时， 依题意与有3个不同的交点，即， 解得，故实数的取值范围为. (3)不存在使得数列严格递减，理由如下： 假设严格递减，又， 对任意正整数k，记，则， 从而， 则,且， 这表明， 从而对每个都有， 从而对每个都有，即，即， 记，， 所以，从而， 此时， 所以设，则有，，且单调递减. 由，知， 而， 所以，这就表明 而，所以，故恒成立. 但是当时，该表达式不成立， 所以假设不成立，故不存在所求的. 26.已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 【详解】（1）数列的前项和为①， 当时，解得. 当时，②， ①－②得，整理得， 所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以. 数列满足，点在直线上. 所以（常数），所以. （2）， 所以①， ②， ①－②得， 整理得. （3）由（1）得， 所以， 所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1， 对所有的正整数都有都成立， 故，可得， 所以恒成立，只需满足，故， 故的取值范围为. 题型6 数学归纳法证明数列不等式 （1）第一类数学归纳法：奠基（验证 ）＋ 递推（假设 成立 → 证 成立）。 （2）第二步“目标导向”：把待证式写成“含归纳假设的形式”，用放缩或代数变形衔接。 （3）递推型不等式：通常“假设 ，证 ”，即 （ 单调时）。 27．用数学归纳法证明：，． 【答案】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 【分析】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 28．（1）若数列满足，，求； （2）若n为大于1的自然数，且，用数学归纳法证明：． 【详解】（1）由，又有， 所以易知，且，联立解得； （2）证明：由题意知：， 所以令 ， 即证明， 因为n为大于1的自然数， 当时，左边，右边， 左边右边，所以时，不等式成立； 假设当时原不等式也成立， 即成立； 则当时， ， 即， 所以依然成立，即时，原不等式仍成立， 所以且时原不等式总成立. 故. 29．设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，. (1)求数列、的通项公式； (2)记，，用数学归纳法证明：. 【详解】（1）（1）设首项为，公差为，由，得， 解得，故； 由，得，即，又因为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，即， 所以，故. (2) 由（1）知，即用数学归纳法：， ①当时，左边，右边，不等式成立； ②假设时成立，即， 即当时， . 即当时，不等式也成立. 由①，②可知，不等式对任意都成立. 题型7 新定义与综合压轴 三步走：①圈出新定义概念，翻译成数学式子；②特例试探（ 找规律）；③把问题转化为熟悉的通法（放缩/最值/构造）。 30．（25-26高三下·上海·阶段检测）设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. (1)设，判断函数是否具有“性质”？ (2)已知函数具有“性质”，且，记，求证：； (3)对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 【详解】（1）因为， 由均值不等式可得，当且仅当时，等号成立， 因此恒成立， 所以满足“性质”. (2)由具有“性质”， 令，，得. 当时，由得， 整理得，所以. 当时，由可得， 由题意可得，可得， 由可得， 整理可得，所以， 因为，故，所以，即，故. (3)具有“性质”，证明如下： 对任意的，设，， 则，且， 当时， ． 当时，在中， 将替换为，将替换为， 可得， 整理得（*）. 当时，由（*）得，即， 当时，由（*）得，即． 所以在上严格增，在上严格减，从而. 因此对任意的．都有． 即，所以具有“性质”． 31.已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. (1)已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）； (2)设.若首项为1，公比为q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围； (3)已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列为有界变差数列. 【详解】（1），若使数列为有界数列，则需使，则为有界数列； 由知，，则， ，则即可，则数列为有界变差数列. （2）因为，则， 当时，则，显然满足题意； 当时，则，则， 若，则，对任意正整数不恒成立，舍去； 当时，则是首项为，公比为的等比数列，则， 若时，，此时取即可，符合题意； 若时，当时，与题意矛盾，舍去； 综上可得，的取值范围为. (3)因为为有界数列，则存在，使得对任意的恒成立， 因为为有界数列，则存在，使得对任意的恒成立， 且， 因为和为单调递增的有界数列， 所以， 所以， 所以， 所以取即可满足条件，则数列为有界变差数列. 32.对于任意实数c，d（），定义区间，，，的长度均为.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这些区间的长度的和称为I的长度，特别地，记正整数集，且，若对任意的，2，…，，区间的长度始终不小于恒成立，则称该集合为“称心集”. (1)若的解集为B，求集合B的区间长度； (2)若关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，求实数t的取值范围； (3)求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由. 【详解】（1）因为，当时，即时， ，解得，此时； 当时，即时，， 解得，此时； 所以，所以集合的区间长度为2. （2），化简得，解得该不等式的解集为. ，化简得， 所以，即，且， 设该不等式的解集为，则，因为不等式组的解集构成的各区间长度之和为5， 所以，所以在时恒成立， 当时，恒成立，可得； 当时，恒成立，即恒成立， 而在上单调递减，所以，所以. 综上可得的取值范围为； (3)因为，所以，，可得， 因此. 同时，又因为，可得， 所以均成立. 当时，取， 则，故可知. 又当时，，所以. 因此，“称心集”中元素个数的最大值为. 33.已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)若集合具有性质，求的最小值； (2)已知集合具有性质，求证： ①对任意的都有；    ②； (3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【详解】（1）集合具有性质，则对任意的，都有，即， ，解得且，可得的最小值是. (2)①由题意，，又， ，可得， ②由①可得. (3) 由（2）知，，又，可得，因此，同理，， 又，，则也均成立. 当时，取，则，可知. 又当时，，则，即. 因此集合中元素个数的最大值为7. 34.设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得 (2)证明：因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：， 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有， 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有； （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：， 而当时，， 当时， ， 所以， 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， 变形得：， 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，， 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【详解】（1）因为等比数列中，，所以，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）可知，所以， 由题意可知，设数列的前项和为，则 ，由， 且，所以，所以，所以单调递增， 又，， 所以使不等式成立的最小正整数的值为10. 2.已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【详解】证明：对任意， 且，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即 （2）记 ， 对任意恒成立， 故数列是严格增数列， 且， 故. 3．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，， 当时，， 当时，， 则. （2）， 设，当时，， 恒成立， 则， 因为，所以. 4.在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列数列，的前项和. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由已知可得，即，解得， 故数列的通项公式为； 当时，， 当时，， 验证：当时，满足上式， ∴数列的通项公式为； （2）由（1）可得， ∴， 则不等式即对任意的正整数恒成立， 因为，当时最大值为， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 5.已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， (1)求数列的前项和； (2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 【详解】（1）根据题意，设等差数列的前三项分别为， 则， 解得或，又数列为递增数列，所以， ，. （2）由（1）得，， 则， . 因为是单调递增，，又，所以有最小值. 6.已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）因为，所以， 则， 又，不符合上式， 所以. （2）若，则成立，即，得； 若，则，，则恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则的最大值为，则， 综上，实数的取值范围为. 7.已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式和前n项和； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）等差数列中，，则， 故， ∵，∴，． （2）∵对任意，恒成立， ∴对任意，恒成立． 当n为奇数时，，∴对正奇数n恒成立． 设． ∵对正奇数n恒成立， ∴，∴，∴； 当n为偶数时，，∴对正偶数n恒成立． 设． ∵对正偶数n恒成立， ∴，∴，∴． 综上，． 8．设，给定数列，其中，．求证： (1)，； (2)如果，那么． 【答案】(1)即证． ，，， 假设，则，，． 综上所述，根据数学归纳法，命题成立． (2)由（1）得． 当时，， 当时，，又， ，即； ． 9．已知函数．设数列满足，，数列满足， (1)用数学归纳法证明； (2)证明：． 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 下面用数学归纳法证明不等式． ①当时，，不等式成立， ②假设当时，不等式成立，即，即， 那么 ， 即，所以当时，不等式也成立． 根据①和②，可知不等式对任意都成立． （2）由（1）知，． 所以 ． 故对任意，． 10．记为数列的前项和，记 (1)求的通项公式； (2)设，证明： 【详解】（1）当时，； 当时，，代入得 ， 验证时，，符合上式. 因此的通项公式为. (2)由，代入通项得，变形得， 对和式裂项相消得. 因为是正整数，，所以，因此， 即，得证. 11．已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列． (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：． 【详解】（1）设是等比数列的公比， 由题可得，即，则，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项． (2)由（1）得， 则， 于是， 两式相减得，， 因此，因为，所以． 12．已知等比数列的前项和为，满足， (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：． 【详解】（1）由，得（），     两式相减得，则， 由数列是等比数列，得数列的公比为， 方法一：由，得，化简得 则，解得，所以数列的通项公式为. 方法二：由，得， ，解得， 所以数列的通项公式是. （2），结合（1）得，则，                      因此 ，则，即数列是递增数列，               又，，所以． 13．记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【详解】（1）由正项数列，前项和， 当时，， 整理得， 解得舍去. 当时，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. (2)由（1）知， 由， 得 . 所以数列的前项和， 得， 因此，. 14．已知函数，且在上的最小值为． (1)求的解析式； (2)证明：． 【详解】（1）因为当时，恒为常数，与已知矛盾，所以． ， 当时，，可得为减函数，此时在上的最小值为， 与在区间上的最小值为矛盾； 当时，，可得为增函数，此时在上的最小值为， 依题意，解得，满足， 故． (2)证明：由， 知 ，即得证． 创新提升 1.已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）等差数列中，，而， 则，是方程的两根，由公差，得， 于是，，，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， ，由数列是等差数列，得， 则，化简得，而，解得， 当时，，数列为等差数列， 所以. （3）由（1）（2）得， 则， 因此， ， ， 由，得， 当时，，，当时，， 因此，由对一切都成立， 得，而，则， 所以存在整数，使对一切都成立，的最小值为13. 2.已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 【详解】(1)证明：当时，，则， 当时，，则， 即，因此是以为首项，公差为1的等差数列， 则，. （2）由（1）得， ， 则， 则， 所以； （3），不等式， 即对任意正整数都成立， 令，则， 则，数列是递增数列， 因此，即，所以实数的最大值为. 3.当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 【详解】（1）依题意，，当时，， 两式相减得，而当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，，， 因此 所以的符号为正. （3）由（2）知数列是单调递增数列，是其最小项，即， 假设存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立， 于是恒成立，则，即， 解得或，取，当时，对于一切正整数，都有恒成立， 所以存在，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立. 4.已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由． (3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 【答案】(1)证明：因为的各项均为正数，，且， 则，可得， 所以数列是以首项为，公差为2的等差数列． (2)不存在，理由如下： 由（1）可得：， 则， 令，即，解得， 且，可得， 可知数列的最大项为， 所以不存在正整数m，使得成立. （3）由（2）可得：，其前n项和为； 由题意可知：，其前n项和为； 因为，， 且， 对于数列可知：其前2024项是在数列的前3034项的基础上去掉数列的前10项， 所以. 5.已知数列的前n项和为，已知数列的各项均为正数，，且； (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (3)若，求对所有的正整数n都有成立的实数k的取值范围？ 【详解】（1）时，则，故， 而，则，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （2）由，则，即，而， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，且，即. （3）由（1）（2）知：，而， 所以为递减数列，要使对所有的正整数n都有成立， 则，即在上恒成立， 当，即时，在上恒成立； 当，即时，只需，可得； 综上，. 6.已知数列满足，. (1)计算的值； (2)求数列的通项公式； (3)设，为整数，不等式对一切且均成立，求的最大值. 【详解】（1）由题意可知 ； 所以 （2）由（1）猜想：.                                 证明：当时，，符合上式； 假设当时，成立， 那么时，， 上式也成立. 由此，对任意正整数，成立. 即数列的通项公式为 （3）由（2）得.                              不等式对一切且均成立， 即对一切且均成立， 即，其中且.   令， 则 ， 得. 所以数列为严格增数列， ， 所以.                                            又因为为整数，所以. 7.已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 8.已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值； (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1），， （2）由可得①，②， ②①得，因为，所以，已知，， 所以数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 因为，所以， 则③，两边同时乘以2得 ④，③④得 ， 所以. （3）由（2）知数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 则， 若对于任意，恒成立，则恒成立，令， ， 当时，，即； 当时，，即， 所以，则的最大值为，所以， 即的取值范围是. 9.已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 【详解】（1）当； 当时，， . 当时，代入符合； 所以，； （2）， . 由单调性知，递增，当时，， 当时，，所以 所以，所以， 所以最小值为. （3） 数列为等比数列，首项为，公比为2， 所以. 所以，令， 所以 当时，， 当时，，所以， 又，，， 因为集合为正整数有且仅有两个元素， 当时，集合为正整数有且仅有两个元素. 所以实数为为的取值范围. 10.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列； (1)若是等比数列，且，，，求； (2)若，令，证明：是等比数列，并求的值； (3)若是首项为1的等差数列，d为公差，，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时d的值； 【详解】（1）由题意可知，， 设等比数列的公比为，则， 所以. 即，解得. (2)因为，所以， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. =. =. （3）由，得， 即， 所以，即. 因为， 所以， 因为，，所以 所以，解得， 所以正整数k的最大值为， 此时，解得. 11.已知函数对任意实数、都满足，且 (1)当时，求的表达式； (2)设，记数列的最小项的项数为，求 的值． (3)设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数． 【详解】（1）由题可知，，即 ， 故数列 是首项为，公比为的等比数列，则． （2）由题可知，，又， 则= 当，严格递增；当，严格递减， 所以数列的最小项为，则. （3）由题可知，，又， 故数列是首项为，公差为的等差数列， 则 所以 = . 当时，为单调减函数，故为单调增函数， 又故要满足题意，只需，解得，故最小正整数的取值为2012． 12.已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式； (3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 解得，所以，. （2）设，则， ， 因为为正整数，所以能被4整除，所以为偶数， 即公共项为，. （3）因为，所以，所以； 又，所以， ， ， 两式相减可得 . ， . 因为，所以； 所以， 时，令， 则， 即为递增数列，所以，解得， 故的最小值为. 13.定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以； (2)是“数列”，理由： 由已知条件可得，，故，所以． 当时，根据通项公式可得， ①②得，又也成立，所以，                                       设，即，所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”； （3）由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故．                假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以，                     又， 所以，则．                           ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，. 14．已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知，所以． (3)由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 15．“裂项相消”是解决数列求和问题的一种方法，很多数列的通项其实都可以写成两项相减的形式. 例如：，，…... ，将这些式子累加便可得到，于是可以求得. 相信你现在已经学会了“裂项相消”，现在已知，. (1)求数列的前100项和； (2)求； (3)证明:对任意的正整数，. 【详解】（1）因为， 所以； （2）由，，……，， 累加可得， 所以 ， 令得：. (3)证明：当显然成立， 当时，， 所以 ， 综上对任意的正整数，. 16．已知数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，设为数列的前n项和，求 (3)证明：对，． 【详解】（1）由可得， ，，依此类推可得 ， 数列是首项为3，公差为1的等差数列， ，即； （2） 用错位相减法求和： 两式相减得：． 其中等比数列部分：，代入得： ． ． (3)证明：由上分析， 故对，， ， 因为，所以 即 17．已知数列满足，，记． (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (3)设，为数列的前项和，证明：． 【详解】（1），，. （2）因为 ， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ， 且也符合上式． 综上， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列； (3)由（2）得，则， 可得， 两式相减，可得： ， 则   易知   因为，所以为递增数列，则，所以． 18．从数列中选取连续的k项，，，…，，记，则称数列是的数列．已知在数列中，，，对任意的，公比为的等比数列是的数列． (1)求，的值． (2)证明：． (3)设，数列的前n项和为，证明：． 【详解】（1）由题设时，，，，， 所以，，成等比数列，且公比为2， 所以，． （2）依题意得，，成等比数列，且公比为， 所以， 当时，， 当时，满足，所以， 所以， 故． （3）由（2）得，，则， 所以 ， 所以， 因为，所以， 所以，故得证． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $