专题4.3 数据的离散程度（7题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“数据的离散程度”核心知识点，系统梳理极差、方差、标准差的概念及计算方法，进而延伸至离差平方和的应用，构建从基础概念到实际分析的递进式学习支架，帮助学生逐步掌握数据波动的刻画方法。 资料以情境化题目为载体，如“经典文化传承大赛成绩分析”“机器人测评数据比较”等实例，引导学生用数学眼光观察数据特征，通过题型分类训练（求方差、判断稳定性等）培养数学思维，结合即学即练与综合练习，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升数据分析与决策能力。

专题4.3 数据的离散程度 教学目标 1. 经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。 2. 理解极差、方差、标准差的意义，掌握方差与标准差的计算方法。 3. 能运用方差、标准差刻画一组数据的离散程度（波动大小），并在具体情境中加以应用，做出合理判断。 教学重难点 教学重点 1. 理解极差、方差、标准差的概念及其统计意义。 2. 掌握方差与标准差的计算方法，并运用它们衡量数据的离散程度。 教学难点 1. 方差概念的构建与理解，尤其是理解各数据与平均数差的平方和的平均数这一抽象统计量。 2. 在具体问题情境中，灵活运用方差、标准差对数据的波动情况进行分析、解释与决策。 知识点01 极差、方差、标准差 1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大. 2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 3）标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性. 【即学即练1-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． (1)根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 在以上成绩统计表中，__________，__________，__________． (2)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】(1)6，7，7 (2)选乙组参加决赛．理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而甲组的方差大于乙组的方差， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【分析】（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）先求出乙组数据的方差，根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10， 中间两个数的平均数是，则中位数； 重新排列乙组数据为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10， ， 数据7出现了四次，次数最多，故众数． （2）略． 【即学即练1-2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）2026年春晚人形机器人的表演，集中展示了中国在这一领域的世界级实力，但通往通用人形机器人的“世界模型”之路依然漫长，这场竞赛的下半场，将聚焦于如何让机器人的“大脑”和它的身体一样强大．某公司从自己生产的甲、乙两种型号的人形机器人中各随机抽取10台对感知与环境交互能力进行测评，以便持续升级改进，并对测评成绩进行整理、描述和分析，绘制成如下的统计图表（测评成绩用表示，总分为100分，共分四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 甲型10台人形机器人测评成绩：69，79，83，85，85，86，92，92，92，96． 乙型10台人形机器人测评成绩在C组中的数据：85，85，85，89． 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的___________，___________，___________； (2)求的值； (3)根据以上数据，你认为哪种型号人形机器人的感知与环境交互能力较好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】(1)85，92，30 (2)的值为 (3)甲型人形机器人的感知与环境交互能力较好． 理由：甲、乙两种型号人形机器人的测评成绩的平均数相同，但甲型人形机器人的方差更小，成绩更稳定，所以甲型人形机器人感知与环境交互能力较好（理由合理即可）． 【分析】（1）根据乙型共抽取10台，组有4台，求出组占比，则可求；根据中位数的定义、众数的定义即可求出，； （2）根据平均数的定义即可求出； （3）理由合理即可； 【详解】（1）解：10个数据的中位数是第5、6个数据的平均数， 乙型人行机器人组有（台），组有（台）， 第5、6个数据都在组，分别为85、85， ∴， 甲型人形机器人测评成绩中，92出现次数最多（共3次）， ； 根据题意可得组占比为， ； （2）解：； （3）略． 知识点02 离差平方和 离差平方和是统计学中衡量数据离散程度的核心指标，定义为各数据值与均值之差的平方总和，公式为 SS = Σ(xi - x̄)²。 核心作用：作为方差与标准差的计算基础；数值越大表示数据波动越大；在方差分析中可分解为组间和组内两部分，用于检验组间差异是否显著。 注意：其值受样本量影响，不宜直接比较不同数据集，常与自由度结合使用。 【即学即练2-1】（25-26八年级下·吉林松原·期末）为庆祝七一建党105周年，学校举办党史知识竞赛，某小组3名同学初赛得分分别为6、7、8，则这组成绩数据的离差平方和为__________． 【答案】2 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，即可得到结果． 【详解】解： ， 离差平方和为：． 【即学即练2-2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）将一组数据分成两组，现有甲、乙两种分法，分法甲分成的两组的离差平方和分别为和，分法乙分成的两组的离差平方和分别为和，按照组内离差平方和最小原则，更好的分组方式是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】 甲 【分析】根据组内离差平方和最小原则，分别计算两种分法的总组内离差平方和，比较大小后，总离差平方和更小的分组符合要求，即为更好的分组方式． 【详解】解：计算两种分法的组内离差平方和总和：分法甲：，分法乙：， 因为 ，分法甲的组内离差平方和更小，符合组内离差平方和最小原则， 因此更好的分组方式是甲． 题型01 求方差 【典例1】（2024·山东潍坊·模拟预测）若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 【变式1】（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 【答案】A 【分析】根据平均数和方差公式求解即可． 【详解】解：平均数． 方差． 【变式2】（25-26八年级下·云南临沧·期末）一组数据3，4，5，6，7的方差为__________． 【答案】2 【分析】先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算方差． 【详解】解：计算这组数据的平均数： ， 代入方差公式计算得：， 即这组数据的方差为2． 【变式3】（25-26七年级下·湖南常德·期末）某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的定义计算结果． 【详解】解：首先整理六天的最高气温数据：，，，，，，共个数据， 计算这组数据的平均数：， 根据方差的定义，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，代入计算得： ． 题型02 利用方差求未知数据的值 【典例2】（2025·江苏常州·二模）在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩(单位：环)为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是________环． 【答案】7（答案不唯一） 【分析】本题考查的是求解一组数据的方差，方差的含义，先求解前4次的成绩的方差，再根据5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，计算增加一次成绩后的方差即可得到答案． 【详解】解：这射击员知道前4次的成绩为：7，9，8，6． 此时平均数为：， 此时方差为： 当第5次射击成绩为时， ∴五次平均数为， ∴， 当第5次射击成绩为时， ∴此时平均数为； ， ∴当第5次射击成绩为或环时，满足条件． 故答案为：7（答案不唯一）． 【变式1】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 【答案】 【分析】根据方差的定义，方差计算公式即可得到结果． 【详解】解：方差的计算公式为，其中为这组数据的平均数，为数据的个数， 对比题目给出的方差为，可得该组数据的平均数． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据方差，则这组数据平均数为______． 【答案】 【分析】根据方差的定义公式，对比题目给出的方差表达式，确定公式中平均数的对应值即可得到结果． 【详解】解：对于个数据，设其平均数为，方差的定义公式为． 将题目给出的方差表达式与方差公式对比，可得这组数据的平均数． 【变式3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为________． 【答案】 【分析】根据方差的定义，对比方差标准公式可得到这组数据的数据个数和平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解： 这组数据的平均数，数据个数 这组数据的总和为． 题型03 根据方差判断稳定性或做决策 【典例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）射击训练班中的甲，乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，， 乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 a 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线统计图； (3)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________．（填“变大”“变小”或“不变”） (4)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【答案】(1)，， (2)乙成绩变化情况的折线统计图如下： (3)变小 (4)解∵两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小， ∴甲的成绩较稳定， ∴选择甲参加射击比赛． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据（1）中结果，画出乙成绩变化情况的折线统计图即可； （3）根据乙的次成绩，求出次成绩的方差，与原方差比较即可得出答案； （4）根据平均数相同，方差越小，成绩越稳定解答即可． 【详解】（1）解：∵乙的次成绩为，，，，， ∴乙的次成绩的平均数； ∵甲的次成绩为，，，，，其中数据出现的次数最多， ∴甲的成绩的众数； 把乙的次成绩从低到高排列为，，，，， ∵最中间的数据为， ∴乙的次成绩的中位数． （2）解：由（1）可知，，， 乙成绩变化情况的折线如下：略 （3）解：∵乙的第次命中的成绩是环，， ∴次成绩的平均数为， ∴次成绩的方差为， ∵， ∴选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会变小． （4）解：略 【变式1】（2026·辽宁·中考真题）某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 【答案】(1)50 (2)49 (3)解：工厂的质检部门会推荐甲品牌，理由如下： 甲、乙的平均数都为，而甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 故工厂的质检部门会推荐甲品牌． 【分析】（1）根据平均数求解公式列式求解即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）根据平均数和方差的意义分析判断，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：将乙按从小到大的顺序排列为：45，45，46，48，49，49， 49，54，56，59， 其中第五位与第六位数是49，49， 中位数； （3）略 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）为了丰富校园文化生活，展示学生艺术风采，某中学举办了一场“校园十佳歌手”的初赛，比赛设定满分为分，参赛学生的成绩均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 (1)在以上成绩统计表中， ， ． (2)通过计算说明，哪组队员发挥的更加稳定？ (3)小瑜推荐乙组队员参赛，你认为她的理由可能是什么？ 【答案】(1)6；6 (2)乙组队员发挥的更加稳定，理由如下： 甲组数据的方差为 乙组数据的方差为 因为，即乙组的方差比甲组小， 所以乙组队员发挥的更加稳定； (3)因为两组的平均数相同，但乙组的中位数比甲组高，方差比甲组小，成绩更稳定，所以推荐乙组队员参赛 【分析】（1）根据中位数和下四分位数的定义求解即可； （2）分别计算甲乙两组的方差，根据方差越小数据越稳定判断即可； （3）从中位数和方差的角度分析即可． 【详解】（1）解：方法一：乙组数据排列为5，6，6，6，7，7，7，7，9，10，，取整数，第3个数据为6，则； 方法二：前5个数据的中位数即为； 将甲组数据排列为5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，中位数是第5、6个数据的平均数，故； （2）略 （3）略 【变式3】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）某市射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明计算平均数，（环），______（环）； (2)小颖计算四分位数并绘制了A、B两名运动员的箱线图．①处应填__________环，②处应填__________环；③处应填__________环，基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数________选手B射击成绩的中位数（填、或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9 (2)7.5；9；9.5； (3)选择B选手参加青少年射击比赛，理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的成绩更加稳定，且平均数更高 【分析】（1）根据平均数的意义解答即可； （2）先把运动员A，B的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：运动员B的平均数为： （环）； （2）解：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 法一：下四分位数为，即， 法二：∵ ∴下四分位数为，即， 中位数为，即； 选手B的数据从小到大排列为8，8，9，9，9，9，10，10， 法一：上四分位数为，即， 法二：∵ ∴上四分位数为，即， 基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数． （3）略 题型04 求极差、标准差 【典例4】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【答案】 【分析】先找出这组数据的最大值与最小值，再计算两者的差即可. 【详解】解：这组数据的最大值为，最小值为，因此极差为. 【变式1】（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）一组数据，0，1，2，7的极差是__________． 【答案】 【分析】极差是一组数据中最大值与最小值的差，准确找出这组数据的最大值和最小值，再代入定义式计算即可． 【详解】解：在数据，0，1，2，7中，最大值为，最小值为， ∴极差为． 【变式2】（2026·上海松江·模拟预测）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【答案】 【分析】根据所给出的数据求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：， 则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为______． 【答案】 【分析】本题考查求标准差，根据平均数求出的值，根据标准差的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 题型05 已知极差求未知数据 【典例5】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）数据0，，x，3，4的极差是8，则________． 【答案】或7 【分析】根据极差的定义，分x为这组数据的最小值和最大值两种情况进行讨论，分别计算求解即可． 【详解】解：①当x为这组数据的最小值时，这组数据的最大值为4， 可得， 解得，符合题意； ②当x为这组数据的最大值时，这组数据的最小值为， 可得， 解得，符合题意． 综上，x的值为或7． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若一组数据，，，，，的极差为，则的值为___________ 【答案】或 【分析】本题考查极差，熟练掌握计算法则是解题关键．根据极差的定义求解．分两种情况：为最大值或最小值 【详解】解：一组数据，，，，，的极差为， 当为最大值时，，； 当是最小值时，，解得：． 故答案为：或． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知样本，，，的极差是6．则样本的平均数为______． 【答案】3或1 【分析】此题考查了极差、求平均数，根据极差是一组数据中的最大值减去最小值的差求得x．再利用平均数的求解方法求解即可． 【详解】解：∵样本，，，的极差是6， ∴或， ∴或 ∴样本的平均数为或， 故答案为：3或1． 【变式3】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则__． 【答案】或3 【分析】此题考查了极差，分两种情况讨论，当是数据中最小的数时和当是数据中最大的数时，根据极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键． 【详解】解：当是数据中最小的数时，； 当是数据中最大的数时． 则或3； 故答案为：或3． 题型06 求离差平方和 【典例6】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【答案】 【分析】离差平方和是所有数据与平均数的差的平方的和，分别计算每个差的平方再求和即可． 【详解】解：∵这组数据为，，，，，平均数为7， ∴离差平方和为． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【分析】已知每个数据与平均数的差，根据离差平方和的定义直接计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为，由题意可得，，． 离差平方和是所有数据离差的平方之和， 这组数据的离差平方和为：． 【变式2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）有四名学生某次航天知识竞赛的成绩（单位：分）分别是，，，，现将这组数据分成和两组，则这种分法的组内离差平方和是________． 【答案】 【分析】分组为第一组，，第二组，，组内离差平方和为两组各自离差平方和的和，先计算每组平均数，再计算每组内数据与平均数差的平方和，相加得到结果． 【详解】解：计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和为：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和为：， 因此总组内离差平方和为． 【变式3】（25-26八年级下·山西晋城·期末）一次数学测验后，李老师随机抽取了份试卷，其成绩（单位：分）分别为，，，，，则这组数据的离差平方和为________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，最后求和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为， 则这组数据的离差平方和． 题型07 离差平方和的应用 【典例7】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【答案】③ 【分析】按成绩高低分组时，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，分组越合理，对比各组给出的离差平方和即可得到结果． 【详解】解：首先将5名同学的成绩从小到大排序得：， 对比四个分组的组内离差平方和可得：， 分组③的组内离差平方和最小，组内成绩最接近，因此最合理的分组是③． 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】根据题意，最优分组要求同组内株高尽量接近，对应组内离差平方和最小，只需比较三组组内离差平方和的大小即可求解． 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组，， 序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【答案】和 【分析】先将原数据从小到大排列，再比较三个间隔的组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则确定分组位置即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到． 比较三个间隔的组内离差平方和，可得． 可知第个间隔的组内离差平方和最小， 因此在第个间隔处分组，得到两组分别为和． 即这两组是和． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）体育老师打算在甲、乙、丙、丁四名同学里挑选一人，代表班级参加学校跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，离差平方和分别是，，，，你认为_______同学的成绩最稳定． 【答案】乙 【分析】比较离差平方和的大小即可判断成绩的稳定性． 【详解】解：∵四名同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中为测试次数， ∴相同，方差大小与离差平方和的大小一致． ∵，，，， ∴， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．根据标准差是方差的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵数据的方差是， ∴这组数据的标准差是； 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）一个容量为80的样本的最大值是123，最小值是40，取组距为10，则可以分成（     ）． A．7组 B．8组 C．9组 D．10组 【答案】C 【分析】先计算最大值与最小值的差，再除以组距，用进一法取整即可得到组数． 【详解】∵样本中最大值为123，最小值为40， ∴极差为， ∵组距为10， ∴，根据组数计算规则，小数部分需进位，因此可以分成9组． 3.（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据从小到大排列：，，，，，，中位数为，则这组数据的方差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据中位数的定义求出未知数据，再计算平均数，最后根据方差公式计算方差即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据共个，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，将数据从小到大排列后，第个数是，第个数是， ∵中位数为， ∴， 解得， 平均数：， 根据方差公式计算：， ， ， ． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题意先求出乙的方差，再结合选项逐一验证甲的方差，即可得到满足条件的值． 【详解】解：∵乙的苗高为， ∴乙的平均数， ∴乙的方差． 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，不满足，不符合要求； 当时，甲的平均数，得，满足条件． 二、填空题 5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于______． 【答案】18 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义．由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为3，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为3， 所以这组数据的总和为， 故答案为：18． 6．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）数据，，，，的离差平方和是__________． 【答案】10 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算所有数据与平均数差的平方和即可得到结果． 【详解】解：， 离差平方和 ． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 【答案】 6 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差，熟练掌握平均数，方差及标准差的计算方法是解答本题的关键先由平均数公式求得的值，再由方差公式求解出方差，开方后即可得出标准差． 【详解】：∵平均数， ∴， ∴， ∴方差， ∴标准差为． 故答案为：，． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 【答案】16 【分析】根据方差的定义推导每个数据扩大倍数后的新方差即可，若一组数据每个数据都乘以常数，新数据的方差为原方差乘以． 【详解】解：设原数据为，原数据的平均数为，原方差为， 由题意得 将每个数据乘以后，新数据为 新数据的平均数 新数据的方差 ． 三、解答题 9．（25-26九年级下·广西玉林·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：七年级打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； （2）解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； （3）解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 10．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期末）某校举办“强国有我”演讲比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 a 乙 8.8 b 0.96 丙 c 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： (1)求出，，的值； (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 【答案】(1)0.56，9，8.8 (2) 选甲更合适，理由如下： 三位选手的平均成绩一样说明三人实力相当，但甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定， 选甲更合适． 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差；折线统计图、条形统计图、扇形统计图；从图获取有效信息是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数、方差的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案． 【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲的方差为 由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：10、9、9、9、8， 乙得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8, 丙得分的平均数为 故，，， 故答案为：0.56，9，8.8； （2）略 11．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）在学校组织的汉字听写大赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图： (1)根据图中提供的数据列出如下统计表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 80 b 八（2）班 a 90 则______，______． (2)此次大赛中八（2）班成绩在70分以上（含70分）的人数是多少？ (3)八（1）班的同学认为他们班的成绩更好，你能写出一条支持该班同学的理由吗？ 【答案】(1)70，80 (2)21人 (3) ①平均数相同的情况下，八班中位数大，故八班的成绩更好一些． ②八班的方差小，成绩稳定． 【分析】本题主要考查中位数、众数和方差，解题的关键是掌握众数的定义、中位数和方差的意义． 对于，根据中位数的定义和众数的概念求解可得； 对于，用班级总人数乘以成绩在70分以上含70分的人数所占百分比即可得； 对于，从中位数和方差的角度求解可得答案． 【详解】（1）解：∵八班A、B等级的百分比之和为， 而A、B、C等级所占百分比之和， 八班成绩的中位数在C组， 八班成绩的中位数， 八班的众数； 故答案为：70，80； （2）解：每班参加比赛的人数为：（人），（人）， 答：此次大赛中八班成绩在70分以上含（70分）的人数是21人； （3）略 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： 操作规范性和书写准确性的得分统计表：             项目 统计量学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 小海 4 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 ，比较和的大小： ； (2)计算表格中的值； (3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由． 【答案】(1)2，> (2)2 (3) 从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差， 所以小海在物理实验操作中发挥稳定． 【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （2）利用加权平均数的求法即可求解； （3）从平均分和方差进行判断即可． 【详解】（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3， 中位数为， 观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则， 故答案为：2，； （2）解：小海书写准确性的平均数为（分）； （3）略 1、 单选题 1.（25-26八年级下·天津和平·期末）甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察折线统计图，比较甲、乙两人成绩的波动大小即可判断方差的大小． 【详解】解：观察图象可知，甲的成绩波动较小，乙的成绩波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，波动越小方差越小， ∴． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 【答案】D 【分析】本题考查求平均数和标准差，根据平均数和方差的变化规律：一组数据的平均数为，方差为，则：的平均数为，方差为，以及标准差为方差的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，的平均数为：，方差为：， ∴标准差为：； 故选D． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图是某次测试成绩的箱线图，根据图中信息，下列判断错误的是（     ） A．本次测试成绩的中位数是分 B．本次测试成绩的最高分是分 C．本次测试成绩的极差（最高分与最低分的差）是分 D．本次测试成绩在分和分的人数共占总人数的 【答案】C 【分析】明确箱线图的含义，本题箱线图从低到高的五个数值分别为：最小值（最低分），下四分位数，中位数，上四分位数，最大值（最高分），逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A：箱线图中箱体中间线对应中位数，中位数是分，判断正确，不符合题意； 选项B：箱线图最上端对应最高分，最高分是分，判断正确，不符合题意； 选项C：极差最高分最低分分，不是分，判断错误，符合题意； 选项D：下四分位数的含义是的数据小于它，上四分位数的含义是的数据大于它， 因此分占总人数，分占总人数，合计占，判断正确，不符合题意． 4．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 【答案】C 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为，新数据的平均数为，方差为， 由题意得，． 新数据的平均数为 ， ∵， ∴， 同理，……，， ∴新数据的方差为 ． 5．（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据组内离差平方和的定义，计算各选项两组的离差平方和之和，总和最小的分组即为正确选项. 【详解】解：A.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； B.的平均数为，离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为； C.的平均数为，离差平方和为；的离差平方和为，总离差平方和为； D.的离差平方和为；的平均数为，离差平方和为，总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小. 二、填空题 6．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）现有一组数据：，则这组数据的离差平方和为______，方差是______． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义计算各数据与平均数差的平方和，最后根据方差的定义计算方差． 【详解】解：由题意可得，这组数据的平均数， 离差平方和 ； 方差． 7．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是__________仪仗队．（填“甲”或“乙”） 【答案】 甲 【分析】根据箱线图的特征，通过观察数据的极差或分布范围来判断数据的离散程度，离散程度越小，身高越匀称． 【详解】解：由箱线图可知，甲队队员身高的最小值为，最大值为，极差为， 乙队队员身高的最小值为，最大值为，极差为， ∵，则甲队队员身高的波动较小，数据更集中， 故身高较为匀称的是甲仪仗队 ． 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 【答案】4 【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加． 【详解】解：的组内平均数为，组内离差平方和为； 的组内平均数为，组内离差平方和为； 所以这种分组情况的组内离差平方和为． 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）10名学生1分钟的跳绳成绩（单位：次）如下：60，65，70，80，85，90，100，110，120，150．为提高这些学生的跳绳成绩，冯老师计划将他们按跳绳成绩分为A，B两组进行分层训练，并计算每种方式的成绩数据的组内离差平方和，结果如下表： 分组方式 A组 B组 方式1 60，65，70 80，85，90，100，110，120，150 3600 方式2 60，65，70，80，85 90，100，110，120，150 2550 方式3 60，65，70，80，85，90，100 110，120，150 2102.38 上述三种分组方式中，较为合理的是__________（填“方式1”“方式2”“方式3”）． 【答案】方式3 【详解】解：根据分组合理性的判断规则，组内离差平方和越小，组内数据越集中，分组越合理． 比较三种分组方式的组内离差平方和大小可得：， 方式3的组内离差平方和最小，因此方式3分组较为合理． 10.（25-26八年级上·全国·周测）一组数据：2，x，1，3，5，4．若这组数据的中位数是3，则这组数据的标准差是______． 【答案】 【分析】本题考查了中位数和标准差，正确的计算是解题的关键． 先根据中位数的定义求出的值，再求出这组数据的平均数，最后根据标准差公式进行计算即可． 【详解】解：将数据除去后从小到大排列为 由中位数为3可知，排序后中间两数应为3和 ∵这组数据的中位数为， ∴， 解得：， ∴这组数据的平均数是， ∴这组数据的方差是：， ∴这组数据的标准差是：， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级下·陕西西安·期末）随着人工智能的快速发展，智能机器人的应用越来越广泛．某景区引入了一款智能导游机器人，让其与景区人工导游开展“景点讲解”项目比拼，邀请5位游客分别对智能导游机器人和人工导游打分，打分成绩采用百分制（单位：分）． 【收集数据】 智能导游机器人得分：95，96，96，96，97， 人工导游得分：94，95，95，97，99． 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 智能导游机器人 96 0.4 人工导游 96 95 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中____________，____________； (2)求智能导游机器人得分的平均数；（写出计算过程） (3)【应用数据】根据以上数据分析，你认为智能导游机器人和人工导游在“景点讲解”项目比拼中谁的得分波动性较小，请说明理由． 【答案】(1)96；95 (2)解：智能导游机器人得分的平均数为（分）， 即； (3)解：智能导游机器人的得分波动性较小．理由如下： 人工导游得分的方差， ∵， ∴智能导游机器人的得分波动性较小． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解； （2）根据平均数的计算公式求解； （3）先根据方差公式计算出人工导游得分的方差，然后比较两方差的大小，则根据方差的意义进行判断． 【详解】（1）解：∵智能导游机器人得分中96出现了3次，出现次数最多， ∴智能导游机器人得分的众数为96，即； 人工导游得分的中位数为95， 即； （2）略 （3）略 12．（25-26八年级下·福建泉州·期末）泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 【答案】(1)，， (2)26 (3)因为，，，， 所以，， 所以B球员的冲刺发挥更稳定． 【分析】（1）根据平均数、众数和方差的定义进行解答即可； （2）根据方差的定义进行解答即可； （3）结合平均数、方差进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵的平均数为93， ∴， 解得． ∴B的数据中出现次数最多的是，共出现3次，故众数； （2）解：球员1分钟跑动距离的方差； （3）略 13．（2026·山东东营·中考真题）为深入实施国家教育数字化战略，东营市某县区举办中学生编程竞赛活动．现从甲、乙两所学校各随机抽取名学生的成绩（满分分）进行整理、描述和分析（成绩用表示，均不低于分，分为一般：；良好：；优秀：三档）． （一）收集数据 甲学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 乙学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． （二）整理数据 （三）分析数据 甲、乙两学校所抽取学生竞赛成绩统计表： 统计量学校 平均数 中位数 方差 甲 乙 （四）应用数据 (1)填空：_________，_________，________（填“”“”或“”）； (2)甲学校有名学生参加了此次竞赛活动，请估计甲学校参赛学生中获得优秀的人数； (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对甲、乙两所学校的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况作出评价． 【答案】(1)；； (2)名 (3)乙学校学生成绩的中位数比甲学校学生成绩的中位数高，所以乙学校学生的成绩较好（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）由甲学校的成绩可知，甲学校抽取的名学生的成绩在之间的有人，即可计算出的值；根据中位数的定义求出乙学校学生成绩的中位数；由折线统计图可知甲学校学生成绩的波动较小，乙学校学生成绩波动较大，所以甲学校学生成绩的方差小于乙学校学生成绩的方差； （2）利用样本百分率估计总体百分率求出甲学校名学生中获得优秀的人数； （3）利用中位数评价竞赛情况． 【详解】（1）解：由甲学校的成绩可知，甲学校抽取的名学生的成绩在之间的有人， ， ； 把乙学校抽取的名学生的成绩按照从小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、， 其中第、名学生的成绩为、， ； 由折线统计图可知甲学校学生成绩的波动较小，乙学校学生成绩波动较大， ； （2）解：由扇形统计图可知甲学校学生成绩达到优秀的占， 甲学校的名学生中成绩达到优秀的人数有； （3）略 14．（2026·湖南长沙·中考真题）2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭点火发射．这是中国载人航天第40次发射任务、长征火箭的第644次飞行、神舟飞船的第23次飞行．某学校为调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行航天知识测试，用表示测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分），将成绩分为四个等级（：；：；：；：）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表： 七、八年级成绩统计表 年级 平均数 方差 七年级 84.38 134.48 八年级 86.40 114.54 根据以上信息，解答下列问题： (1)请将七年级成绩条形统计图补充完整； (2)八年级成绩扇形统计图中，等级对应圆心角的度数为____________； (3)若该校七年级的800名学生都参加测试，估计成绩为等级的有____________人； (4)请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况． 【答案】(1) (2) (3)320 (4)从平均数看，八年级平均成绩为86.40分，高于七年级的84.38分，说明八年级学生航天知识测试的整体水平更高； 从方差看，八年级方差为114.54，小于七年级的134.48，说明八年级学生航天知识测试的成绩更稳定． 【分析】（1）先求出C等级学生人数，然后补全统计图即可； （2）先求出B等级学生占比，然后用乘以这个比值即可； （3）用总人数乘以成绩样本中成绩为等级人数的占比即可； （4）根据平均数和方差的意义解答，合理即可． 【详解】（1）解：C等级学生人数：（人）， 补全条形统计图略； （2）解：B等级学生占比：， 等级对应圆心角的度数为：； （3）解：（人）， 即估计成绩为等级的有320人； （4）略． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期末）为了解八年级学生在跳绳方面的水平状况，改进体育教学，某校从八年级随机抽取了若干位同学进行跳绳测评，下面是对八年级（1）班抽取的10位同学1分钟跳绳次数（单位：次）的分析过程； 【收集与整理】将10位同学的1分钟跳绳次数四六分组，统计如下： 分组方式 组别 次数 方式一 I组 120，130，135，135 II组 135，140，140，140，150，165 方式二 甲组 120，130，135，135，135，140 乙组 140，140，150，165 【描述与分析】各组数据统计量分析表： 分组方式 组别 平均数 中位数 众数 离差平方和 组内离差平方和 方式一 I组 130 150 II组 140 140 600 方式二 甲组 135 乙组 145 140 根据以上信息，解答下面问题： (1)填空：上表中， ， ； (2)计算表中的值；（要求写出计算过程） (3)【判断与决策】为方便教学，需要按照组内离差平方和最小原则进行分组．请通过计算选择你认为合适的分组方式． 【答案】(1)； (2)由表格可得，； (3)方式二的分组更合适； 由题意得，方式一的组内离差平方和：， ∵， ∴方式二的分组更合适． 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）先算出方式一的组内离差平方和，再结合题意选择即可． 【详解】（1）解：由表格可得，，； （2）略 （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 数据的离散程度 教学目标 1. 经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。 2. 理解极差、方差、标准差的意义，掌握方差与标准差的计算方法。 3. 能运用方差、标准差刻画一组数据的离散程度（波动大小），并在具体情境中加以应用，做出合理判断。 教学重难点 教学重点 1. 理解极差、方差、标准差的概念及其统计意义。 2. 掌握方差与标准差的计算方法，并运用它们衡量数据的离散程度。 教学难点 1. 方差概念的构建与理解，尤其是理解各数据与平均数差的平方和的平均数这一抽象统计量。 2. 在具体问题情境中，灵活运用方差、标准差对数据的波动情况进行分析、解释与决策。 知识点01 极差、方差、标准差 1）极差：一组数据中最大值与最小值的差 极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大. 2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 3）标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性. 【即学即练1-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． (1)根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 在以上成绩统计表中，__________，__________，__________． (2)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【即学即练1-2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）2026年春晚人形机器人的表演，集中展示了中国在这一领域的世界级实力，但通往通用人形机器人的“世界模型”之路依然漫长，这场竞赛的下半场，将聚焦于如何让机器人的“大脑”和它的身体一样强大．某公司从自己生产的甲、乙两种型号的人形机器人中各随机抽取10台对感知与环境交互能力进行测评，以便持续升级改进，并对测评成绩进行整理、描述和分析，绘制成如下的统计图表（测评成绩用表示，总分为100分，共分四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 甲型10台人形机器人测评成绩：69，79，83，85，85，86，92，92，92，96． 乙型10台人形机器人测评成绩在C组中的数据：85，85，85，89． 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的___________，___________，___________； (2)求的值； (3)根据以上数据，你认为哪种型号人形机器人的感知与环境交互能力较好？请说明理由．（写出一条理由即可） 知识点02 离差平方和 离差平方和是统计学中衡量数据离散程度的核心指标，定义为各数据值与均值之差的平方总和，公式为 SS = Σ(xi - x̄)²。 核心作用：作为方差与标准差的计算基础；数值越大表示数据波动越大；在方差分析中可分解为组间和组内两部分，用于检验组间差异是否显著。 注意：其值受样本量影响，不宜直接比较不同数据集，常与自由度结合使用。 【即学即练2-1】（25-26八年级下·吉林松原·期末）为庆祝七一建党105周年，学校举办党史知识竞赛，某小组3名同学初赛得分分别为6、7、8，则这组成绩数据的离差平方和为__________． 【即学即练2-2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）将一组数据分成两组，现有甲、乙两种分法，分法甲分成的两组的离差平方和分别为和，分法乙分成的两组的离差平方和分别为和，按照组内离差平方和最小原则，更好的分组方式是________．（填“甲”或“乙”） 题型01 求方差 【典例1】（2024·山东潍坊·模拟预测）若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【变式1】（25-26八年级下·吉林·期末）在一次数学测试中，5名同学的数学成绩分别为：78，82，85，90，95．则这组数据的平均数和方差分别为（     ） A．86，35.6 B．86，30.8 C．85，34 D．85，30.8 【变式2】（25-26八年级下·云南临沧·期末）一组数据3，4，5，6，7的方差为__________． 【变式3】（25-26七年级下·湖南常德·期末）某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 题型02 利用方差求未知数据的值 【典例2】（2025·江苏常州·二模）在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道前4次的成绩(单位：环)为：7，9，8，6．要使这5次成绩的方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是________环． 【变式1】（25-26八年级下·湖北孝感·期末）一组数据的方差为，则该组数据的平均数是______． 【变式2】（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据方差，则这组数据平均数为______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为________． 题型03 根据方差判断稳定性或做决策 【典例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）射击训练班中的甲，乙两名选手在次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：，，，， 乙：，，，， 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 a 9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)完成图中表示乙成绩变化情况的折线统计图； (3)若选手乙再射击第次，命中的成绩是环，则选手乙这次射击成绩的方差与前次射击成绩的方差相比会________．（填“变大”“变小”或“不变”） (4)教练根据这次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ 【变式1】（2026·辽宁·中考真题）某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用打印技术制造．现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末（打印原料）可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一： 每桶打印合格产品数（单位：个） 甲：48，51，48，51，48，50，51，50，51，52 乙：45，49，46，56，45，49，54，48，49，59 信息二：    信息三： 每桶打印合格产品数统计表 品牌 平均数 中位数 方差 甲 乙 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数的值； (2)求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数的值； (3)若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌？说明理由． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）为了丰富校园文化生活，展示学生艺术风采，某中学举办了一场“校园十佳歌手”的初赛，比赛设定满分为分，参赛学生的成绩均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 (1)在以上成绩统计表中， ， ． (2)通过计算说明，哪组队员发挥的更加稳定？ (3)小瑜推荐乙组队员参赛，你认为她的理由可能是什么？ 【变式3】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）某市射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加青少年射击比赛．现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名运动员每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图，将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明计算平均数，（环），______（环）； (2)小颖计算四分位数并绘制了A、B两名运动员的箱线图．①处应填__________环，②处应填__________环；③处应填__________环，基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数________选手B射击成绩的中位数（填、或）； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8.5 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 题型04 求极差、标准差 【典例4】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）一组数据：，，，，．这组数据的极差是________． 【变式1】（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）一组数据，0，1，2，7的极差是__________． 【变式2】（2026·上海松江·模拟预测）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示： 每天出次品的个数 0 2 3 4 天数 3 2 4 1 那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是_____． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为______． 题型05 已知极差求未知数据 【典例5】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）数据0，，x，3，4的极差是8，则________． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若一组数据，，，，，的极差为，则的值为___________ 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知样本，，，的极差是6．则样本的平均数为______． 【变式3】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则__． 题型06 求离差平方和 【典例6】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）一组数据：8，6，7，7，7的平均数是7，这组数据的离差平方和是____________． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）若一组数据，，与平均数的差分别为，，，则这组数据的离差平方和是_____． 【变式2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）有四名学生某次航天知识竞赛的成绩（单位：分）分别是，，，，现将这组数据分成和两组，则这种分法的组内离差平方和是________． 【变式3】（25-26八年级下·山西晋城·期末）一次数学测验后，李老师随机抽取了份试卷，其成绩（单位：分）分别为，，，，，则这组数据的离差平方和为________． 题型07 离差平方和的应用 【典例7】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某校游泳队有5名同学准备参加50米自由泳比赛，为了让队员更有效地进行赛前训练，教练计划将他们按50米自由泳最好成绩（单位：秒）的高低分成两组，下表给出了4种分组情况及组内离差平方和，则这5名同学的最合理的分组序号是___________． 序号 第1组 第2组 组内离差平方和 ① 32.5 33.2，34.0，36.5，36.8 9.67 ② 32.5，33.2 34.0，36.5，36.8 4.97 ③ 32.5，33.2，34.0 36.5，36.8 1.17 ④ 32.5，33.2，34.0，36.5 36.8 9.13 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【变式2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）在引体向上测试中，名同学完成的个数分别为，，，．想使个数相差较小的同学分在一组，于是将个数据从小到大排列，共分了个间隔，经计算第个间隔的组内离差平方和约；第个间隔的组内离差平方和为；第个间隔的组内离差平方和为，根据组内离差平方和最小原则，把这名同学引体向上的个数分为两组．这两组是____________． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）体育老师打算在甲、乙、丙、丁四名同学里挑选一人，代表班级参加学校跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，离差平方和分别是，，，，你认为_______同学的成绩最稳定． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期末）一个容量为80的样本的最大值是123，最小值是40，取组距为10，则可以分成（     ）． A．7组 B．8组 C．9组 D．10组 3.（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据从小到大排列：，，，，，，中位数为，则这组数据的方差为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出5株小麦苗，测得苗高如下表，若甲块田地小麦苗高的方差大于乙块田地小麦苗高的方差，则表中的值可能是（    ） 甲 10 11 12 13 乙 8 9 10 11 12 A．12 B．13 C．14 D．15 二、填空题 5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于______． 6．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）数据，，，，的离差平方和是__________． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知一个样本，0，2，x，3，平均数为2，则这个样本的方差是______，标准差是______． 8．（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据方差为4，若将每个数据都乘以2，新数据方差为________． 三、解答题 9．（25-26九年级下·广西玉林·期中）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 10．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期末）某校举办“强国有我”演讲比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 a 乙 8.8 b 0.96 丙 c 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： (1)求出，，的值； (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 11．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）在学校组织的汉字听写大赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图： (1)根据图中提供的数据列出如下统计表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 80 b 八（2）班 a 90 则______，______． (2)此次大赛中八（2）班成绩在70分以上（含70分）的人数是多少？ (3)八（1）班的同学认为他们班的成绩更好，你能写出一条支持该班同学的理由吗？ 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： 操作规范性和书写准确性的得分统计表：             项目 统计量学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 小海 4 2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的 ，比较和的大小： ； (2)计算表格中的值； (3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由． 1、 单选题 1.（25-26八年级下·天津和平·期末）甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）若样本，的平均数为12，方差为4，则对于样本，下列结论正确的是（   ）． A．平均数为12，标准差为2 B．平均数为12，标准差为4 C．平均数为27，标准差为2 D．平均数为27，标准差为4 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图是某次测试成绩的箱线图，根据图中信息，下列判断错误的是（     ） A．本次测试成绩的中位数是分 B．本次测试成绩的最高分是分 C．本次测试成绩的极差（最高分与最低分的差）是分 D．本次测试成绩在分和分的人数共占总人数的 4．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）已知一组数据、、、、的平均数为5，方差为8，则数据、、、、的平均数和方差分别为（    ） A．20、13 B．7、16 C．7、32 D．7、29 5．（25-26八年级下·天津·阶段检测）现有一组数据2，8，5，12，若将其分为两组，根据组内离差平方和最小的原则，正确的分组方式是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、填空题 6．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）现有一组数据：，则这组数据的离差平方和为______，方差是______． 7．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是__________仪仗队．（填“甲”或“乙”） 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）10名学生1分钟的跳绳成绩（单位：次）如下：60，65，70，80，85，90，100，110，120，150．为提高这些学生的跳绳成绩，冯老师计划将他们按跳绳成绩分为A，B两组进行分层训练，并计算每种方式的成绩数据的组内离差平方和，结果如下表： 分组方式 A组 B组 方式1 60，65，70 80，85，90，100，110，120，150 3600 方式2 60，65，70，80，85 90，100，110，120，150 2550 方式3 60，65，70，80，85，90，100 110，120，150 2102.38 上述三种分组方式中，较为合理的是__________（填“方式1”“方式2”“方式3”）． 10.（25-26八年级上·全国·周测）一组数据：2，x，1，3，5，4．若这组数据的中位数是3，则这组数据的标准差是______． 三、解答题 11．（25-26八年级下·陕西西安·期末）随着人工智能的快速发展，智能机器人的应用越来越广泛．某景区引入了一款智能导游机器人，让其与景区人工导游开展“景点讲解”项目比拼，邀请5位游客分别对智能导游机器人和人工导游打分，打分成绩采用百分制（单位：分）． 【收集数据】 智能导游机器人得分：95，96，96，96，97， 人工导游得分：94，95，95，97，99． 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 智能导游机器人 96 0.4 人工导游 96 95 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中____________，____________； (2)求智能导游机器人得分的平均数；（写出计算过程） (3)【应用数据】根据以上数据分析，你认为智能导游机器人和人工导游在“景点讲解”项目比拼中谁的得分波动性较小，请说明理由． 12．（25-26八年级下·福建泉州·期末）泉州闽超联赛赛前体能测试，对、两名本土前锋进行1分钟折返冲刺跑动距离测试（单位：米），相同场地与热身条件下，每人测试5次，数据统计如下表： 前锋 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 众数 95 90 95 85 100 95 90 90 95 95 93 (1)表格中___________，___________，___________； (2)求球员1分钟跑动距离的方差； (3)已知B球员该项数据方差为6，结合平均数、方差，判断哪位球员的冲刺发挥更稳定，说明理由． 13．（2026·山东东营·中考真题）为深入实施国家教育数字化战略，东营市某县区举办中学生编程竞赛活动．现从甲、乙两所学校各随机抽取名学生的成绩（满分分）进行整理、描述和分析（成绩用表示，均不低于分，分为一般：；良好：；优秀：三档）． （一）收集数据 甲学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 乙学校名学生的竞赛成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． （二）整理数据 （三）分析数据 甲、乙两学校所抽取学生竞赛成绩统计表： 统计量学校 平均数 中位数 方差 甲 乙 （四）应用数据 (1)填空：_________，_________，________（填“”“”或“”）； (2)甲学校有名学生参加了此次竞赛活动，请估计甲学校参赛学生中获得优秀的人数； (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对甲、乙两所学校的竞赛成绩进行对比，并对竞赛情况作出评价． 14．（2026·湖南长沙·中考真题）2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭点火发射．这是中国载人航天第40次发射任务、长征火箭的第644次飞行、神舟飞船的第23次飞行．某学校为调查同学们对航天知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取40名学生进行航天知识测试，用表示测试成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分），将成绩分为四个等级（：；：；：；：）并对成绩进行整理、描述和分析，绘制出如下有待完善的统计图表： 七、八年级成绩统计表 年级 平均数 方差 七年级 84.38 134.48 八年级 86.40 114.54 根据以上信息，解答下列问题： (1)请将七年级成绩条形统计图补充完整； (2)八年级成绩扇形统计图中，等级对应圆心角的度数为____________； (3)若该校七年级的800名学生都参加测试，估计成绩为等级的有____________人； (4)请你从平均数和方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生对航天知识的了解情况． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期末）为了解八年级学生在跳绳方面的水平状况，改进体育教学，某校从八年级随机抽取了若干位同学进行跳绳测评，下面是对八年级（1）班抽取的10位同学1分钟跳绳次数（单位：次）的分析过程； 【收集与整理】将10位同学的1分钟跳绳次数四六分组，统计如下： 分组方式 组别 次数 方式一 I组 120，130，135，135 II组 135，140，140，140，150，165 方式二 甲组 120，130，135，135，135，140 乙组 140，140，150，165 【描述与分析】各组数据统计量分析表： 分组方式 组别 平均数 中位数 众数 离差平方和 组内离差平方和 方式一 I组 130 150 II组 140 140 600 方式二 甲组 135 乙组 145 140 根据以上信息，解答下面问题： (1)填空：上表中， ， ； (2)计算表中的值；（要求写出计算过程） (3)【判断与决策】为方便教学，需要按照组内离差平方和最小原则进行分组．请通过计算选择你认为合适的分组方式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $