专题01 切线的判定与性质有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01切线的判定与性质有关的四种模型 题型归纳 题型一切线的证明：有切点，连半径，证垂直 题型二切线的证明：无切点，作垂直，证半径 题型三直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型四一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型专练 题型一：切线的证明：有切点，连半径，证垂直 1,(2026陕西西安模拟预测)如图，△ABC内接于⊙0，∠ABC=2∠C,点D在线段CB的延长线上， 且BD=AB,连接AD B (1)求证：AD是⊙O的切线： (2)当AB=5,AC=8时，求BC的长 2.(2026内蒙古通辽模拟预测)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=∠C,AD‖BC. D (1)求证：AD为⊙O的切线： (②)若AB=3V5,BC=6,求⊙0的半径. 3.(2026河南周口二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为BC的中点，过点D作 DE∥BC,交AB的延长线于点E,连接CD,BC,BD. 119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为3，DE=4,求CD的长. 4.(2026江西九江二模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D分别在圆上，D是AC的中点，连接BD交 AC于点F,点E在线段BC的延长线上，且∠BDE=∠A+∠ABD, O B (I)求证：DE是⊙O的切线， (2)若∠ABC=60°，⊙0的半径为2，求图中阴影部分的面积. 5.(25-26九年级下山东泰安期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是边AB上一点，以BE 为直径的圆O交AC于点D,连接ED并延长，交BC的延长线于点F,且BF=BE. B 图1 图2 (1)如图1，求证：AC是⊙0的切线： (②)如图2，连接BD,若∠A=30°，BC=6,求阴影部分的面积. 题型二：切线的证明：无切点，作垂直，证半径 6.(2026湖北武汉模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A0平分∠BAC交BC于点O,以点 O为圆心，OC为半径的圆交BC于点D. 219 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C (I)求证：AB为圆O的切线； (2)若AC=6,BC=8,求圆O的半径R. 7.(2026广西钦州三模)如图，∠B=∠D=90°，1=∠2，AB与CD交于点0，以O为圆心，OB长为 半径作圆。 0 B (I)证明：AC是⊙O的切线： (2)已知BC=6,AB=8,求OC的长. 8.(2026辽宁模拟预测)等腰△ABC中，AB=AC,点O为BC边中点，如图1，以O为圆心作圆与AB 相切于点M, M M B 图1 图2 (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)如图2，点D为⊙0上一点，∠AMD=40°，连接D0并延长交O0于点N若⊙0半径为3，求弧MN 的长度 9.(2026江苏淮安·一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点O为边AC上一点，BO平分∠ABC. 以点O为圆心，OA为半径的OO与边AC相交于点D. 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A O D (①)求证：BC是OO的切线： (2)若AB=10,BC=26,求⊙0的半径. 10.(25-26九年级上：广东惠州期末)如图1，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA为半 径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F. E D M 图1 图2 (1)若⊙0的半径为3，∠B=60°，则劣弧AF的长为 (结果保留兀或根式) (2)如图2，若⊙0与BC相切于点M.求证：CD与⊙0相切： (3)在(2)的基础上，若AC=8,CM=4,求⊙0的半径. 题型三：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 11.(25-26九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙I为△ABC的内切圆， BC=9,AC=12.求⊙I的半径. B 12.(25-26九年级上江苏镇江期中)己知：如图，在△ABC中，∠ACB=90, 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()求作：⊙0，使点O在AC上，且OO与BC、AB都相切：（保留作图痕迹，不写作法） (②)若AC=4,BC=3,求则⊙0的半径长为一 13.(25-26九年级上陕西延安期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,⊙0是 △ABC的内切圆，分别切边BC,AC,AB于点D,E,F. B D C E (1)求⊙0的半径. (2)若Q是Rt△ABC的外心，连接O0,求O卫的长度. 14.(25-26九年级上内蒙古鄂尔多斯期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆， 半径为r,切点为D、E、F,连接OD,OE,OF, E B D C ()若BC=6,AC=8,则r= (2)若Rt△ABC的周长为L,面积为S,则S,L,r之间有什么数量关系，并说明理由 15.(下册第三章追梦基础训练卷（二）)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=,AC=b,AB=c, ⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,⊙O的半径为r.试用含a、b、c的代数式表示r B 小亮的思路：连接OD、OE.因为⊙0为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,所以 BD=BF,AF=AE,且OD⊥BC,OE⊥AC,易证四边形ODCE为正方形，所以DC=CE=r.因为 DC+CE=(BC-BD)+(AC-AE)=BC+AC-(BD+AE)=BC+AC-(BF+AF)=BC+AC-AB, 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC+AC-AB 2 即r=a+b-c 2· 小丽的思路是分别连接AO、BO和CO,把△ABC分割成3个小三角形：△AOB、△BOC和△COA,利用 这3个小三角形的面积之和等于△ABC的面积求出r. ()尝试按照小丽的思路求出1： (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于 ⊙O的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释。 题型四：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 16.(25-26九年级上·云南红河阶段检测)如图，△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点 D,E,F,AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm. B 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, (I)求AF的长， (2)已知SAABC=6N6cm2,求OD的长. 17.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，⊙0为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H,点D,E分 别为BC,AC上的点，且DE为⊙O的切线. GD (1)若∠C=40°，求∠AOB的度数； (②)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周长. 18.(2025九年级全国·专题练习)阅读材料：已知△ABC的周长为1，面积为S,内切圆O0的半径为r, 探究r与S,1之间的关系. 6/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图① 图② 解：如图①，连接OA,OB,OC S. 1 S.oc=CA.r,:.S-1AB.r+iBC.r+CA-r-31r,r 1 1 2S 2 1 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5,12,13的三角形的内切圆半径. (2)如图(2)，若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S,各边长分别为a,b,c, d,试推导四边形的内切圆半径公式. 19.(2025山西运城一模)阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图l,在△ABC中，三边AB=C,BC=a,AC=b,OI是它的内切圆，切点分别为D, E,F,如何求AD、BD、CE的长呢？ 【解法】OI是△ABC的内切圆，切点为D,E,F,AD=AF,BD=BE,CE=CF,设 x+y=c ,则有y+z=a, ，如果设，那么有 AD=AF=x BD=BE=y CE=CF=z x+z=b.x+y+z=▲ P=A x=p-a y=p-b z=p-c D E 图1 任务： 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0D B E 图2 图3 ()直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： (2)如图2，这是一张三角形纸片ABC,⊙O为它的内切圆，小悦沿着与OO相切的DE剪下了一个三角形 纸片BDE,己知AC=4cm,AB=6cm,BC=5cm,求三角形纸片BDE的周长 (3)如图3，△ABC的内切圆O与BC,AB,AC分别相切于点D,E,F,∠A=90°，BD=3,CD=2, 求SBc. 20.(25-26九年级上·山东威海·期末)【阅读材料】 已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a,AC=b,AB=C,内切圆O的半径为r.连接OA、OB、 OC,△ABC被划分为三个小三角形. 图1 1 1 1 1 S=S.o8c+S.ouc+S.O8=BCr+ 2 AC.r+4B.r-(a+b+e)r. .= 2S a+b+c' 【理解运用】 D E Q 图2 图3 (1)Rt△ABC两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为 - (2)如图2，△ABC中AB=17,BC=21,AC=10,求△ABC的内切圆的半径： 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在四边形ABCD中，⊙O与⊙O分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O与△ABD切点分别为E、 F、G,设⊙O的半径为5，⊙O2的半径为5，若∠ADB=90°，AE=4,BC+CD=10,S△Dsc=9, =1,求1的值. 9/9 专题01 切线的判定与性质有关的四种模型 题型一 切线的证明：有切点，连半径，证垂直 题型二 切线的证明：无切点，作垂直，证半径 题型三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型四 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型一：切线的证明：有切点，连半径，证垂直 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接，延长，交于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴， ∴，即， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，延长，交于，连接，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，进而得出，根据为直径得出，根据圆周角定理得出，根据角的和差关系可得，即可证明是的切线； （2）过点作于，根据等角对等边得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，设，则，，利用勾股定理得出，解方程求出，根据可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴． 2．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，是的外接圆，，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接并延长，交于点，连接，． ， ． 又． ∴垂直平分，即． ， ， ． ∵是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到是的切线； （2）由（1）得，，根据勾股定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ， 在中，由勾股定理，得， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理，得， 解得， 即的半径为． 3．（2026·河南周口·二模）如图，是⊙O的直径，点C在上，D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接，，． (1)求证∶是的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)证明∶连接，，交于点F． ∵，D为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，利用垂径定理，由是中点，得；再由，推出；结合是半径，根据切线判定定理得证． （2）先在中用勾股定理求，再用面积法求高；接着用勾股定理求，进而算出；再在中求；最后由弧中点性质，得，从而求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点H， ∵在中，，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ． 4．（2026·江西九江·二模）如图，是的直径，点C，D分别在圆上，D是的中点，连接交于点F，点E在线段的延长线上，且． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，过点C作于点M，则，由题意易得是等边三角形，然后可得．，进而根据割补法进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵D是的中点， ∴，即． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：连接，过点C作于点M，则，如图所示， ∵的半径为2， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴阴影部分的面积是． 5．（25-26九年级下·山东泰安·期中）如图，在中，，点E是边上一点，以为直径的圆O交于点D，连接并延长，交的延长线于点F，且． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，则，得出，根据，得出，则，证出，则，结合是的半径，即可证明是的切线． （2）根据，，，得出，，结合，证出是等边三角形，则，，求出，，勾股定理求出，即可求出，，再求出，结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 题型二：切线的证明：无切点，作垂直，证半径 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； (2) 【分析】（1）过点作于点，首先根据角平分线的性质证明，继而根据切线的判定定理证明与相切． （2）通过证明，得到，根据勾股定理得到，继而得到，在中根据勾股定理解得． 【详解】（1）略； （2）解：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 7．（2026·广西钦州·三模）如图，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆． (1)证明：是的切线； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：过点O作，垂足为点E， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为半径， 又∵， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）过O点作，垂足为点E，证明，推出，即可证明； （2）设的半径为r，则，，由得，用勾股定理解求出r，再用勾股定理解即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：在中，由勾股定理得，，， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得， 即， ∴． 8．（2026·辽宁·模拟预测）等腰中，，点O为边中点，如图1，以O为圆心作圆与相切于点M． (1)求证：是的切线； (2)如图2， 点D为上一点，，连接并延长交于点N．若半径为3，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，连接，，证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：作于点，连接，， ∵，点为边中点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径为3， ∴弧的长度． 9．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，点O为边上一点，平分．以点O为圆心，为半径的与边相交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，由角平分线的性质定理可得，从而可得是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，由（1）可得是的切线，则，，设的半径为，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分．， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）可得是的切线， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴的半径为． 10．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） (2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 【答案】(1) (2) 证明：连接，作于点， ∵与相切于点M， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴与相切； (3)3 【分析】本题考查切线的性质和判定，求弧长，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明为等边三角形，进而得到，再利用弧长公式进行计算即可； （2）连接，作于点，切线的性质得到，角平分线的性质，得到，即可得证； （3）设的半径为，则，在中利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：设的半径为，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ∴设的半径为3． 题型三：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知：如图，在中， (1)求作：，使点O在上，且与都相切；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求则的半径长为______． 【答案】(1)如图： (2) 【分析】本题考查勾股定理、作图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． （1）根据角平分线的性质和圆的特点，画出相应的图形即可； （2）根据勾股定理求出的长，再根据等面积法即可求得的半径长． 【详解】（1）解：先作的平分线，交于点O，再以O为圆心，长为半径画圆，即为所求； （2）解：作于点D，如上图所示， ，，， ， ， ， 解得， 故答案为： 13．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F． (1)求的半径． (2)若Q是的外心，连接，求的长度． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解； （2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r． ∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，． 在中，，，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴的半径为1； （2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F， ∴，，．，，． ∴四边形为正方形， ∵， ∴四边形为正方形，   ∴， ∴． ∵Q是的外心， ∴， ∴． 在中，，即， 解得（负值舍去）． 14．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和． （1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）解：连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得：； （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 15．（下册第三章追梦基础训练卷（二））如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 题型四：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 16．（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 17．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    18．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 【点睛】本题考查了三角形和四边形分别与内切圆的半径关系． 19．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 20．（25-26九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （2）过点作，设，则，利用勾股定理，建立方程，求出，进而求出，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （3）根据材料中内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：∵两条直角边长为3和4， ∴斜边的长为：， ∵出的面积为：， 根据材料： 它的内切圆半径为:； （2）解：如图2，过点作， 则， ∴， 中，，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为， 根据材料： 的内切圆半径为:； （3）解：， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01切线的判定与性质有关的四种模型 题型归纳 题型一切线的证明：有切点，连半径，证垂直 题型二切线的证明：无切点，作垂直，证半径 题型三直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型四一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型专练 题型一：切线的证明：有切点，连半径，证垂直 1. 【答案】(I)证明：如图，连接A0,延长AO,交⊙0于E,连接CE, .BD=AB, ∴.∠D=∠DAB, :∠ABC=∠D+∠DAB .∠ABC=2∠DAB .∠ABC=2LACD .∠ACD=∠DAB=∠D, ,AE为⊙O直径， ∴.∠ACE=90° .∠ACD+∠ECB=90°， :∠BAE和∠ECB是BE所对的圆周角， .∠BAE=∠ECB, 1/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAB+∠BAE=90°，即∠DAE=90°， AD是⊙O的切线. (2)BC=39 (2)解：如图，过点A作AF⊥BC于F, B 由(I)可知，∠ACD=∠DAB=∠D, .AD=AC, .AF⊥BC, &0r=cr-00, 设CD=2x,则DF=CF=x, .AB=5,AC=8,BD=AB, ..BF=x-5. AF2=AB2-BF2,AF2 AC2-CF2, .AB2-BF2=AC2-CF2,即5-(x-5)}2=82-x2, 32 解得：x 5 ·.BC=CD-BD=2x-5=39 5 2. 【答案】(I)证明：如图，连接AO并延长，交BC于点H,连接OB,OC. A D O H :∠ABC=∠ACB .AB=AC 又OB=OC .AH垂直平分BC,即∠AHB=90°. 2/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ADI BC .∠DAO=∠AHB=90°， .OA⊥AD .OA是⊙O的半径， AD是⊙O的切线. (2)解：由1)得，H=)BC=3, :AB=35, 在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH=V(3V5)2-32=6, 设⊙O的半径为r,则A0=r,OH=6-r, 在RtBOH中，由勾股定理，得r2=(6-r)2+32, 解得r只， .15 即⊙0的半径为4 3. 【答案】(I)证明：连接OC,OD,OD交BC于点F. B .OB=OC,D为BC的中点， .'CD=BD OD垂直平分BC, ∴.∠OFB=90° DE∥BC ∴.∠ODE=∠OFB=90° .DE⊥OD, DE是⊙O的切线， (2)解：过点D作DH⊥BO于点H, 3/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B .在RtAODE中，OD=3,DE=4, .OE=VD02+DE2=5, ODx DE-OEx DH, 2 .DH=12 OH =VOD-DH=9 ·BH=OB-OH=6 BD=DH2+BH7-615 :D为BC的中点， .CD=BD CD=BD=6/5 · 4. (1)证明：如图，连接OD D M .D是AC的中点， .OD⊥AC,即∠OPC=90° ,∠BDE=∠A+∠ABD,∠CFB=∠A+∠ABD, ∴.∠BDE=∠CFB, 4/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DEIl AC. ∴.∠ODE=∠OPC=90° .OD⊥DE .OD是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线， (2)解：连接OC,过点C作CM⊥AB于点M,则∠CMO=90°，如图所示， ⊙0的半径为2， ∴.0B=OC=2. :∠ABC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴.∠B0C=60° OM-BM-30B-1 ∴.CM=VOC2-OM2=V5, .S8a6So3607×2xV3-2V37 2死-5 阴影部分的面积是 5. 【答案】() 证明：连接OD,则OD=OE, .∠ODE=LBEF, D BF BE ∴.∠F=∠BEF, ∠ODE=∠F, .OD∥BF, ∠AD0=∠ACB=90°， ~OD是⊙0的半径，且AC⊥OD, 5/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC是⊙O的切线： (2)解：：∠AD0=∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6, ∴.∠AOD=90°-∠A=60°，AB=2BC=12, ..OD=OE ∴△DOE是等边三角形， ∴.OD=OE=DE,∠OED=60°， ∴.∠EDA=∠OED-∠A=30°=∠A, .AE=DE, OB=OE=AE=DE=34B-4 .BE=2OE=8. :BE是⊙O的直径， .∠BDE=90°， .BD=VBE2-DE2=V82-42=4V5, ∴Sm=)×4x4W5=8v5】 1 S.won=.o.43 .∠BOD=2∠OED=120°， 120元×4216 ∴.S扇形BOD= 3 π， 360 16 .S阴影=S扇形BOD-S.BOD= 2π-4V5】 3 16 阴影部分的面积为3π-4W5 题型二：切线的证明：无切点，作垂直，证半径 6. 6/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E, .∠ACB=90° :OC⊥AC, :AO平分∠BAC交BC于点O,OE⊥AB, ..OE=OC, ∴点E在⊙O上， 又OE⊥AB, :AB与OO相切： (2)解：OC⊥AC,OE⊥AB, ∴.在Rt△AEO和RtAACO中， EO=CO A0=A0 :Rt△AEO≌Rt△ACO(HL), .AE=AC=6」 在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC2=10, .BE=AB-AE=10-6=4, 圆O的半径为R, ∴.BO=BC-OC=8-R, OE⊥AB, .∠BEO=90°」 :在Rt△BOE中，BE2+OE2=B0',即4+R2=(8-R,解得：R=3, ∴圆O的半径R=3. 2 【答案】(1)证明：过点O作OE⊥AC,垂足为点E, 7/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 0 C B ∴.∠OEC=∠OEA=90°， .∠B=90°， .∠B=∠0EC=90°， 「∠B=∠OEC 在 和 中， ∠1=∠2 △BOC△EOC 0C=0C .△BOC≌aEOC(AAS). ..OB=OE, OB为半径， .OE为半径， 又，OE⊥AC, .AC是⊙O的切线： (2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=BC2+AB2,BC=6,AB=8, AC=V62+82=10, 设⊙O的半径为r,则OB=OE=r, ..OA=AB-OB=8-r, 由(I)得△BOC≌aEOC(AAS). .BC=CE=6, ∴.AE=AC-CE=10-6=4, 在Rt△OAE中，由勾股定理得OE2+AE2=OA, 即2+42=(8-r)2, 解得：r=3, 在RtAOBC中，由勾股定理得OC2=OB2+BC2, 即0C2=32+62=45, 8/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0C=35」 8. (I)证明：作OE⊥AC于点E,连接OM,OA, M E B :AB=AC,点O为BC边中点， .∠BAO=∠CAO, :AB是⊙O的切线， .∠AMO=∠AEO=90°， .OA=OA, .△AMO≌△AEO(AAS). .OE=OM,即OE是⊙O的半径， .AC是⊙O的切线： (2)解：连接MN,OM, A M B ,AB是⊙O的切线，∠AMD=40°， ∴.∠AMO=90° .∠OMD=90°-∠AMD=50°. .DN是⊙O的直径， ∴.∠DMN=90°， .∠OMN=90°-∠OMD=40°， ..OM =ON, 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OMN=∠ONWM=40°. .∠M0N=180°-40°-40°=100°， ⊙0半径为3， 100π×3_5π 弧MN的长度= 1803· 9. (1)证明：如图，过点O作OE⊥BC于点E, A d B E C :BO平分∠ABC.∠BAC=90° ∴.OE=OA, .OA是⊙0的半径， .OE是⊙0的半径， :.BC是⊙O的切线； (2)解：，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=10,BC=26, ..AC=BC2-AB2 =24, 由(1)可得BC是⊙O的切线， .BE=AB=10 ∴CE=BC-BE=16, 设OO的半径为r,则OA=OE=r, .0C=AC-0A=24-r, 由勾股定理可得OC2=OE2+CE2, .(24-r)}=r2+162, :r≤20 3 20 ∴⊙0的半径为3· 10 (1)解：菱形ABCD, 10120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=BC, ∠B=60°， :.△ABC为等边三角形， ∠BAC=60°， OA=OF, :.△AOF为等边三角形， .∠AOF=60° 60mx3=, :.le=180 故答案为：π； (2) 证明：连接OM,作ON⊥CD于点N, A B M .⊙O与BC相切于点M, OM⊥BC, 菱形ABCD」 ∴，AC平分∠BCD .OM⊥BC,ON⊥CD, ..OM=ON .ON是⊙0的半径， 又，ON⊥CD. :.CD与⊙O相切： (3)解：设⊙0的半径为r,则OA=OM=r, ..OC=AC-OA=8-r, .OM⊥BC, .0C2=CM2+0M2, :.(8-r}=r2+4,解得r=3: 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设⊙0的半径为3. 题型三：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 11. 【详解】解：设⊙I的半径为r,⊙I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接D,E,F,如图所示. B D E易得四边形 是正方形， F IECF ..CE=CF=IE=r. 在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=9,AC=12, ...AB=AC2+BC2 =15. 由切线长定理，得AD=AF=AC-r,BD=BE=BC-r, .AB=AD+BD..AB=AC-r+BC-r,815=12-r+9-r, 解得r=3, .⊙1的半径为3. 12. 【答案】(1)如图： (2)解：作OD⊥AB于点D,如上图所示， AC=4,BC=3,∠ACB=90°， .AB=VAC2+BC2=V42+32=5, S.ABC=S40B+S.CoB; 12120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3×4_5:0D+30C 2 2 2 解得OD=0C=2 故答案为：2 13 【详解】(1)解：如图，连接OF,OA,OB,OC,设⊙O的半径为r. 0 A E :OO是△ABC的内切圆，分别切边BC,AC,AB于点D,E,F, .OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4, .'AB=BC2+AC2=5. ,S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB, 2*3x4 x3r+ 1 1 ×4r+ 21 2 ×5r, 解得r=1, .⊙0的半径为1： (2)解：：O0是△ABC的内切圆，分别切边BC,AC,AB于点D,E,F, ∴.BD=BF,CD=CE,AE=AF,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB ∴.四边形ODCE为正方形， ..OD=OE, 四边形ODCE为正方形， .CD=CE=r=1, .BD BF=2. :Q是Rt△ABC的外心， 03=448-, 13120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.FO-0B-BF-1 在Ra0ro.or+fg=0g:即P-+月=0g, 解得005 （负值舍去)· 14. 【详解】(1)解：连接OA、OB、OC, A E B D C S.ABC=S.4B0+S.Boc+S.0C 2×ABxOF+-×ACXOE+-xBCxOD 2 .OE=OD=OF=r ÷Sc=AB+BC+4O-@ 在RIAABC中， BC=6,AC=8, ∴.AB=VAC2+BC2=10 :5c-2×4C×BC=x6x8=24. 代入①得：r=2: (2).AB+BC+AC=L, 1 代入①得S.4c= .L.r=S. S,L,r之间数量关系为2S=Lr 15. 【详解】(1) 14120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，连接OF,OD,OE. ,⊙O为△ABC的内切圆，且点D、E、F分别为切点， .OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB, 5e-5x+5m+Sm方8c00+号4C0E+号B-0, 1 1 即3ah=1a+1br+cr, 2 22 1 10 “2b=2(a+b+c小r, ab 解得r= a+b+c· (2)两种思路求出来的”的表达式在数值上是相等的. ab a+b-c 理由：要证明a+b+c2 只需证(a+b+c)(a+b-c)=2ab. 即证(a+b)2-c2=2ab. 故只需证a2+2ab+b2-c2=2ab, 故即证a2+b2=c2, 又，△ABC为直角三角形，由勾股定理显然有a2+b=c2, ab a+b-c 原等式成立，即a+b+c2 题型四：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 16. 【详解】(I)解：，△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, .AF=AE,BF=BD,CD=CE, 设AF=AE=x,则BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 15120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm .AF=2cm,BD=5-x=3cm,EC=6-x=4cm, 则AF的长为2cm: (2).AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, :半周长s=B+BC+C4-9, 2 又S△Ac=6V6cm2, 66=r.9, r=26 3， 2√6 则oD的长为3cm, 17. 【详解】(1)解：，∠C=40°， ,∠ABC+∠BAC=180°-40°=140°， ,⊙O为△ABC的内切圆， .∠BAO=∠CAO,∠ABO=∠CBO」 ∠0AB+∠0B1=2x140=70, .∠A0B=180°-70°=110°： (2):⊙0为△ABC的内切圆，DE为OO的切线，设切点为I, ∴.EH=EI,DI=DG, △CDE的周长为： CD+CE+DE =CD+CE+EI+DI =CD+CE+EH+DG =CG+CH ..AF=AH,BF=BG,CG=CH, .CG+CH=(AB+BC+AC)-(AH+AF+BF+BG) =8+6+9-2AB =8+6+9-2×6 16120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =11 G D 18. 【详解】(1)解：52+122=132」 ∴此三角形为直角三角形， 1 :三角形的面积S=2×5x12=30, 2×30 .r 5+12+132. (2)解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O,连接OA,OB,OC,OD,则 S=S.OB+S.onc+S.oCD+S.ODA CCDD4-r 2 -asbsesd)r. 2s a+b+c+d D B 19 【详解】(1)解：⊙I是△ABC的内切圆，切点为D,E,F, .AD=AF,BD=BE,CE=CF, x+y=c 设 ,则有y+z=a AD=AF=x BD=BE=y CE=CF=z x+z=b 三式相加可得2x+2y+2z=a+b+c, 17120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..x+y+z= a+b+c 2, x=p-a 如果设。a+b+c,那么有y=p-b D=- 2 Z=p-c a+b+c a+b+c 故答案为： 2 2； (2)解：△ABC的周长为4+5+6=15， :由题意相P片， 如图，设切点分别为M”N·R则BM=BN-54= 2 2； 0 D 0 EN 图2 .DM=DR,EN=ER, ∴.DE=DM+EN, ∴.三角形纸片BDE的周长=BD+BE+DE=BD+BE+DM+EN, 1 =BM+BN=2×5=7cm: (3)解：设AE=AF=x,依题意得BE=BD=3,CD=CF=2, ..AB=x+3,AC=x+2, .BC=BD+CD=5. 根据勾股定理可得(c+3)}'+(c+2)2=52，,整理得x2+5x-6=0, 解得x=1或x=-6(不合题意，合去)， .AE=AF=1, AB=4,AC=3, :.S.ABC= 1 1 AB·AC=二×4×3=6. 2 20. 【详解】(1)解：Rt△ABC两条直角边长为3和4， ∴.Rt△ABC斜边的长为：√32+42=5， 18120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “出Rt△ABC的面积为：2 3×4=6, 根据材料： 2×6 它的内切圆半径为3+4+5=1： (2)解：如图2，过点A作AH⊥BC, B 图2 则∠AHB=∠AHC=90°， .AB2-BH2=AH2=AC2-CH2 △ABC中AB=17,BC=21,AC=10, 设BH=x,则CH=21-x, .172-x2=102-(21-x}, 解得：x=15, BH=15 ∴.AH=√AB2-BH2=8, ÷A1BC的面积为)BCAH=)×21x8=84. 1 根据材料： 2×847 △4BC的内切圆半径为17+21+102： (3)解：Ssc=9,5=1, :.BC+CD+BD-250C=18 .BC+CD=10. .BD=8 ⊙O是△ABD的内切圆， .AE=AG=4,BE=BF,DF=DG, .DG+BE=BD=8. ∴.设DG=x,则BE=8-x, 19120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADB=90°， AD+BD=AB2,即(4+x+82=(4+8-x), 解得x=2, .AD=AG+DG=4+2=6, -Se号40-BD-x6x8=24, AD+AB+BD=AG+AE+(DG+BE)+BD=4+4+8+8=24 .= 2S,0—-2x24-2 AD+AB+BD 24 20120