专题14 直线与圆的位置关系的十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统整合直线与圆位置关系核心知识点，提炼判定方法与易错点，通过典例变式实现能力迁移，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5知识点+易错点|直线与圆位置关系判定、切线性质与判定、切线长定理等核心方法|从d与r关系（概念）到切线性质（原理），再到内切圆（应用），形成概念-原理-应用链条| |题型归纳|10题型（1典例+3变式）|位置关系求参、切线长度/角度计算、平移相切、尺规作图等分类解法|题型与知识点对应，由基础判断到综合计算，逐步提升复杂度| |压轴挑战|15综合题|动态几何、多知识点融合、无刻度作图等突破策略|结合中考命题趋势，强化模型意识与逻辑推理，突破思维上限|

专题14 直线与圆的位置关系 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系及求参 题型二、与一元二次方程根的关系 题型三、圆的切线求长度 题型四、圆的切线求角度 题型五、切线长定理求长度与角度 题型六、求三角形内切圆的半径与内心的坐标 题型七、平移时相切求距离与t 题型八、切线的判定 题型九、尺规作切线 题型十、无刻度尺作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 知识点 具体内容 易错点概括 直线与圆的三种位置关系 设圆O半径为r，圆心O到直线l的距离为d： 1. 相交：d＜r，直线与圆有2个公共点 2. 相切：d＝r，直线与圆有1个公共点，直线叫切线，公共点叫切点 3. 相离：d＞r，直线与圆没有公共点 混淆d的定义，错将直线上某点到圆心的距离当成d，导致位置关系判断错误 切线的判定定理 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 忽略两个判定条件中的任意一个：只满足“过半径外端”不垂直，或只垂直半径不过外端，都错误判定为切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 遇切线不会连接圆心和切点构造直角，解题时找不到垂直关系 切线长定理 过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角 混淆“切线”和“切线长”概念，错将切线长当成切线的长度，忽略切线是直线、切线长是线段长度的区别 三角形的内切圆与内心 和三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个角角平分线的交点，叫做三角形的内心 混淆内心和外心概念：错把内心当成三边垂直平分线交点、错记内心位置与性质 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系及求参 典例1 如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 变式1-1如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 变式1-2如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 变式1-3如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 类型二、与一元二次方程根的关系 典例2 已知，的半径为一元二次方程的根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 变式2-1已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 变式2-2已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是______． 变式2-3一直角三角形的两直角边长是方程的两个根，此直角三角形内切圆的半径___________． 题型三、圆的切线求长度 典例3 如图，在菱形中，E为上一点，以为直径的与相切于点E，若，则等于（     ） A． B． C． D． 变式3-1如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3-2如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点C．若，的半径长为2，则的长为________． 变式3-3如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 题型四、圆的切线求角度 典例4 如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式4-1如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式4-2如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 变式4-3如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 题型五、切线长定理求长度与角度 典例5 如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 变式5-1如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 变式5-2如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 变式5-3如图，是的切线，切点分别是．若，则的长为__． 题型六、求三角形内切圆的半径与内心的坐标 典例6 如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 变式6-1如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 变式6-2如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 变式6-3如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 题型七、平移时相切求距离与t 典例7 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 变式7-1如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心、为半径画，把直线：平移后成为的切线，下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移2个单位 B．向上平移1.5个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1.5个单位 变式7-2如图，的半径，直线l与相切于点C，将其沿方向平移至直线，交于点，交线段于点H，若，则平移的距离是_____． 变式7-3在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 题型八、切线的判定 典例8 如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 变式8-1如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 变式8-2如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 变式8-3如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 题型九、尺规作切线 典例9 如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． (1)尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 变式9-1如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，． (1)求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的半径长． 变式9-2如图，已知平行四边形． (1)用直尺和圆规作，使过A，B两点，且与相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，（），当为多少度时，（1）中所作的圆的半径最小，并求出最小半径． 变式9-3如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以O为圆心，为半径作，求证：是的切线； 题型十、无刻度尺作图 典例10 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，作的高线； (3)在图③中，作以为直径的圆O的切线． 变式10-1如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 变式10-2如图，四边形的顶点B、C、D在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹） (1)如图①，若顶点A在上，且，画出的平分线； (2)如图②，若顶点A在外，且和是的切线，画出的平分线． 变式10-3如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．用无刻度的直尺作图． (1)在图1中画出一条恰好平分周长的直线； (2)在图2中画出的外接圆的一条切线． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 3．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点P，C在弦的两侧，，是的切线，C在上，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 5．如图，点是边长为的等边的内心，将绕点逆时针旋转得到，交于点，交于点，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 7．是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 8．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 9．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 10．如图，中，，，，点P在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为________． 11．作图题（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹） 如图，已知在中，， (1)按要求完成作图： ①用尺规作的角平分线，交于O， ②以O为圆心，为半径作； (2)判断（1）中与的位置关系，直接写出结果． 12．如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 13．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 14．如图，中，，，动点P从A点出发，以每秒个单位的速度沿向B点匀速运动，同时Q点从B点出发，以每秒1个单位的速度沿向C点匀速运动，设运动时间为t秒，． (1)将线段绕P点逆时针旋转至，作交于G． ①如图1，当时，求证：； ②如图2，当时，则线段：、、之间有怎样的数量关系，证明你的结论； (2)若以为直径的圆与相切，直接写出t的值为______． 15．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l：和线段，给出如下定义：若将线段沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段是以直线l为轴的的“关联线段”． (1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，不是以直线l为轴的的“关联线段”是________； (2)是边长为的等边三角形，点，若是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值； (3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，求这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 直线与圆的位置关系 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系及求参 题型二、与一元二次方程根的关系 题型三、圆的切线求长度 题型四、圆的切线求角度 题型五、切线长定理求长度与角度 题型六、求三角形内切圆的半径与内心的坐标 题型七、平移时相切求距离与t 题型八、切线的判定 题型九、尺规作切线 题型十、无刻度尺作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 知识点 具体内容 易错点概括 直线与圆的三种位置关系 设圆O半径为r，圆心O到直线l的距离为d： 1. 相交：d＜r，直线与圆有2个公共点 2. 相切：d＝r，直线与圆有1个公共点，直线叫切线，公共点叫切点 3. 相离：d＞r，直线与圆没有公共点 混淆d的定义，错将直线上某点到圆心的距离当成d，导致位置关系判断错误 切线的判定定理 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 忽略两个判定条件中的任意一个：只满足“过半径外端”不垂直，或只垂直半径不过外端，都错误判定为切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 遇切线不会连接圆心和切点构造直角，解题时找不到垂直关系 切线长定理 过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角 混淆“切线”和“切线长”概念，错将切线长当成切线的长度，忽略切线是直线、切线长是线段长度的区别 三角形的内切圆与内心 和三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个角角平分线的交点，叫做三角形的内心 混淆内心和外心概念：错把内心当成三边垂直平分线交点、错记内心位置与性质 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、直线与圆的位置关系及求参 典例1 如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 变式1-1如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 变式1-2如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出是解决问题的关键． 作于D，于E，于F，根据题意得出四边形是正方形，得出，由勾股定理得出，由内心的性质得出，，，由勾股定理求出，，由直线与圆的位置关系，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，， 则， 四边形是长方形， 是的内心， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， 设， 则， ， ， ，， ，， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段有两个公共点， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段没有公共点， 综上可知，的取值范围是或． 故答案为：或． 变式1-3如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 类型二、与一元二次方程根的关系 典例2 已知，的半径为一元二次方程的根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故的半径为， ∵， ∴直线与圆相离 故选：C． 变式2-1已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， 故选：A． 变式2-2已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相离 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、直线与圆的位置关系， 先解一元二次方程求出圆的半径r，再比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，从而确定直线与圆的位置关系． 【详解】解：， 因式分解得：， 解得：，， 圆的半径是正数， ， ， ， 直线与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 变式2-3一直角三角形的两直角边长是方程的两个根，此直角三角形内切圆的半径___________． 【答案】 【分析】先解一元二次方程得到两条直角边长，再利用勾股定理求斜边长，然后作出图形，根据等面积法列方程求内切圆半径即可得到答案． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，， 即直角三角形的两条直角边长分别为6和8， 在直角三角形中，由勾股定理可得，斜边长为， 在中，，点是切点，连接，连接，如图所示： ，， ， 设内切圆的半径为， 则， 即， 解得， 则此直角三角形内切圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元二次方程、勾股定理、等面积法求直角三角形内切圆半径、解一元一次方程等，熟记一元二次方程解法、勾股定理及三角形内切圆性质是解决问题的关键． 题型三、圆的切线求长度 典例3 如图，在菱形中，E为上一点，以为直径的与相切于点E，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质将设出来，并将表示出来，根据圆的切点性质，得出，利用勾股定理求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴， 在中，， ∴，解得． 变式3-1如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，由圆周角定理可知是的直径．设与边的切点为F，连接并延长交于G点，由切线的性质可知，进而可得，由垂径定理可得．设的半径为r，在中，根据勾股定理列方程可求得，则可得，再根据勾股定理可求得，则可得，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 连接， ∵， ∴是的直径， ∴O点是的中点， ∵与直线相切， 设与边的切点为F，连接并延长，交于G点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴． 变式3-2如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在圆O上，边交线段于点C．若，的半径长为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转可得为等边三角形，进而可求出，再利用，可证明是等腰三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， 为等边三角形， ， 与相切于点B， ， 根据旋转可知：， ，， ， ， ． 变式3-3如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 【答案】 【分析】利用切线垂直半径、正方形性质证矩形得，垂径定理求，勾股定理列方程求半径． 【详解】解：设与相切于点，连接并延长交于点，连接． 与相切于点， ． 四边形是正方形， ，，， ，四边形为矩形， ， ， 为的中点， ． 设的半径为，则，， ． 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， 的半径为2.5． 题型四、圆的切线求角度 典例4 如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，再根据切线的性质得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 变式4-1如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 变式4-2如图，在中，，，圆心在上的半圆与斜边相切于点，则的度数是_____度． 【答案】25 【分析】先求出，连接，则，求出，最后再由圆周角定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，连接， ∵圆心在上的半圆与斜边相切于点， ∴， ∴， ∴． 变式4-3如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 【答案】/度 【分析】连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型五、切线长定理求长度与角度 典例5 如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 变式5-1如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 变式5-2如图，是的内切圆，与，，的切点分别为，，，若，则的度数是________． 【答案】/40 【分析】根据切线长定理得到，，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是的内切圆，与，，的切点分别为，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 变式5-3如图，是的切线，切点分别是．若，则的长为__． 【答案】5 【分析】本题主要考查了切线长定理，由切线长定理可得，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的切线，切点分别是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 题型六、求三角形内切圆的半径与内心的坐标 典例6 如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． 变式6-1如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于E， 作于F，连接，由四边形是菱形，是的内心，求得．．．可得．由，．则可得菱形的面积． 【详解】解：作于E， 作于F，连接， ． 四边形是菱形， ，，． 是的内心， ，． ． ． ． ． ． ，， ． ． ． ． ． 变式6-2如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，于点，由内心的定义和角平分线的性质可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为内心， ，，分别平分，，， ，，， ， ． 变式6-3如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 题型七、平移时相切求距离与t 典例7 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 变式7-1如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心、为半径画，把直线：平移后成为的切线，下列平移方法正确的是（   ） A．向下平移2个单位 B．向上平移1.5个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1.5个单位 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移及直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线和相交；直线和相切；直线和相离．根据直线与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：如图， 当直线向下平移过点C时，可得， 所以此时直线是的切线， 此时直线与轴交于点， 所以把直线：向下平移2个单位后成为的切线， 故选：A． 变式7-2如图，的半径，直线l与相切于点C，将其沿方向平移至直线，交于点，交线段于点H，若，则平移的距离是_____． 【答案】2 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，平移的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，结合切线的性质，垂径定理，得到，再利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 直线l与相切于点C， ， ，即交于点， 的半径，， ， ， ； 故答案为：． 变式7-3在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)当t为2秒或4秒时，的面积等于． (2)①当或或或或时，与四边形的一边相切．②当时，与四边形有四个交点． 【分析】（1）根据题意得，，由此根据三角形面积公式建立方程求解即可； （2）①由题意可知圆Q与不相切．如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．此时与相切；如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接，结论方程即可，当正好与四边形的边相切时，如图3所示．建立方程即可．如图4，当重合，重合，同理可得：此时，与相切，②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点．由①可得，此时，如图，当过时，连接，可得，（舍去）．可得当时，与四边形有四个交点． 【详解】（1）解：∵当运动时间为t秒时，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积等于， ∴． ∴． 解得：，． 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于． （2）解：①由题意可知圆Q与不相切． 如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合． ∵， ∴． ∴． ∴为圆Q的切线． 此时与相切； 如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接， 此时四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， 当正好与四边形的边相切时，如图3所示． 由题意可知：． 在中，由勾股定理可知：，即． 解得：，（舍去）； 如图4，当重合，重合， 同理可得：此时，与相切， 综上所述可知当或或或时，与四边形的一边相切． ②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点； 如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点． 由①可得，此时， 如图，当过时，连接， 由题意可知：． 由勾股定理可知：，． ∵， ∴，即． 整理得：． 解得：，（舍去）． ∴当时，与四边形有四个交点． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理，一元二次方程的解法，根据题意画出图形是解题的关键． 题型八、切线的判定 典例8 如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 变式8-1如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 变式8-2如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 【答案】(1)解：与相切．理由如下： 如图，连接， ∵与相切于点B，， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； (2)，的半径为 【分析】（1）连接，证明，可得证； （2）根据题意，求得，，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 变式8-3如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 题型九、尺规作切线 典例9 如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． (1)尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)如图，为所作的图形． (2)与相切．理由如下： 如图，过点D作于点G． ∵ 是等边三角形， 是 边的中线， ∴平分． ∵与相切于点E， ∴于点E． 又∵于点G， ∴． ∴点G在上， ∴与相切于点G 【分析】（1）过点D作于点E，以点D为圆心，以为半径作圆即可． （2）过点D作于点G．证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 变式9-1如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，． (1)求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的半径长． 【答案】(1)如图所示： (2)证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点O，再以点O为圆心，的长度为半径画圆，则即为所求作； （2）连接半径，由得；结合得，代入等量代换，推出，即，即可判定； （3）设半径，则．在中，根据勾股定理，代入得，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，则，， 在中，由勾股定理得： 解得， ， 的半径长为． 变式9-2如图，已知平行四边形． (1)用直尺和圆规作，使过A，B两点，且与相切（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，（），当为多少度时，（1）中所作的圆的半径最小，并求出最小半径． 【答案】(1)如图即为所求作的圆： (2)当或时，圆的最小半径为 【分析】（1）作的中垂线交于点,连接，作的中垂线交于点,则过A，B两点，且与相切； （2）分类讨论，当时取得最小值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 圆的半径为的长度， ①当圆的半径最小时， ∵ ∴ 则当点重合时，时取得最小值， 则点与点重合，且在线段的中垂线上， 则,, ∴ ∴; ②当圆的半径最小时， ∵ ∴ 则当点重合时，则时取得最小值， 则点与点重合，且在线段的中垂线上， 则,, ∴ ∴ ∴． 变式9-3如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以O为圆心，为半径作，求证：是的切线； 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）作，根据角平分线的性质，得到，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：作， ∵平分，，即， ∴， ∴为的半径， ∴是的切线. 题型十、无刻度尺作图 典例10 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，作的高线； (3)在图③中，作以为直径的圆O的切线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取格点E，F，使四边形是矩形，根据矩形的对角线互相平分即可解答； （2）取格点T，连接交于点N，线段即为所求； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，即为所求． 【详解】（1）解：如图， 取格点E，F，则四边形是矩形， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的中线； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的高． （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∵是直径， ∴是的切线． 变式10-1如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点．请仅用无刻度的直尺按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出的内心． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点即为所求； 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，根据中位线定理可得，进而得，由得，代换得，故即为所求； （2）连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，由、是的中线可得也是的中线，同（1）可证平分，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接，即为所求； ∵点是的中点，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分； （2）解：如图，在（1）的基础上，连接、交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求． ∵点是的中点，是中点，即、是的中线， ∴是的中线，即点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平分， 又∵平分，交于点， ∴点是的内心． 变式10-2如图，四边形的顶点B、C、D在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹） (1)如图①，若顶点A在上，且，画出的平分线； (2)如图②，若顶点A在外，且和是的切线，画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据圆的性质即可判定； （2）连接，交于点T，连接，求解即可． 【详解】（1）解：连接，则即为所求； 理由：， ， ， 故平分， （2）解：连接，交于点T，连接，则即为所求． 理由：连接，则， 继而得到， ， ． 变式10-3如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．用无刻度的直尺作图． (1)在图1中画出一条恰好平分周长的直线； (2)在图2中画出的外接圆的一条切线． 【答案】(1) 如图1，直线l即为所求； (2) 为圆的切线． 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）根据网格即可画出的外接圆的一条切线； 【详解】（1）略 （2）解：如图2，切线即为所求，理由如下： 由题意，则是直径， ，，， 即， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴为圆的切线． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，连接，根据切线的性质和平行线的性质可知，由垂径定理可知，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， ， ． 2．下列命题中原命题和逆命题都正确的个数是（    ） ①圆内接四边形对角互补； ②三角形的内心到三边的距离相等； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； ④线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等； ⑤角平分线上的点到角两边的距离相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：①原命题：圆内接四边形对角互补，正确．逆命题：对角互补的四边形是圆内接四边形，正确； ②原命题：三角形的内心到三边的距离相等，正确．逆命题：到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，当该点在三角形内部时是三角形的内心，当该点在三角形的外部时不是三角形的内心，故逆命题错误； ③原命题：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确．逆命题：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，正确； ④原命题：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，正确．逆命题：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确； ⑤原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，正确．逆命题：到角两边距离相等的点在角的平分线上，当该点在角内部时在角的平分线上，当该点在角外部时不在角的平分线上，故逆命题错误； 综上，原命题和逆命题都正确的有①③④，共3个． 3．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 4．如图，点P，C在弦的两侧，，是的切线，C在上，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和为得到，然后利用圆周角定理得到，进而可得答案． 【详解】解：连接，． ∵、是的切线，切点分别为A，B， ∴（切线的性质）． ∴，     ∴， ∵， ∴，故选项C符合题意． 5．如图，点是边长为的等边的内心，将绕点逆时针旋转得到，交于点，交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于点，则，由旋转性质可得，又点是边长为的等边的内心，则，，然后通过勾股定理得，再证明四边形是菱形，所以，则，再由直角三角形性质可得，则有． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点是边长为的等边的内心， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 7．是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 9．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，中，，，，点P在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为________． 【答案】5 【分析】可证明得到，再证明，得到；过点作于点，过点作于点，则，据此可求出；过点作，交直线于点，则四边形是矩形，可得，根据，可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点作，交直线于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴当点于点重合时，有最小值，最小值为5． 11．作图题（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹） 如图，已知在中，， (1)按要求完成作图： ①用尺规作的角平分线，交于O， ②以O为圆心，为半径作； (2)判断（1）中与的位置关系，直接写出结果． 【答案】(1)①如图，射线、点O即为所求；②如图，即为所求： (2)与相切 【分析】（1）①②根据题干要求以及角平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）过O作于点D，先利用角平分线的性质得到，再根据切线的判定可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：与相切．理由如下： 过O作于点D， ∵平分，，（即）， ∴， ∴为的半径， ∴与相切． 12．如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 13．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线． (3) 【分析】（1）根据题意作的垂直平分线交于点； （2）根据得出，根据对顶角相等可得，则，根据，得出，由可得即，即可得证； （3）设，则，由（2）可知，且，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（2）可知，且， ∴在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的长为． 14．如图，中，，，动点P从A点出发，以每秒个单位的速度沿向B点匀速运动，同时Q点从B点出发，以每秒1个单位的速度沿向C点匀速运动，设运动时间为t秒，． (1)将线段绕P点逆时针旋转至，作交于G． ①如图1，当时，求证：； ②如图2，当时，则线段：、、之间有怎样的数量关系，证明你的结论； (2)若以为直径的圆与相切，直接写出t的值为______． 【答案】(1)①证明：如图1，连接，过点P作交于点H， ，， ，， ， ， ， ∴， 当时，，， 则，， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， 又， 四边形也是平行四边形， ，， ， ， ， 又由旋转可知，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ； ②当时，，证明如下： 如图2，连接，过点P作交于点H， 同①可证明四边形和四边形都是平行四边形， 同理可证， ， ； (2) 【分析】（1）①连接，过点作交于．当时，由边长关系得，四边形和均为平行四边形．证明，得，故． ②同理构造辅助线，证得四边形均为平行四边形，全等后得，再由． （2）设圆心为，与相切于，交于另一点．由切线长与半径关系得，，，由勾股定理，解得或，结合取． 【详解】（1）略 （2）如图3，设圆心为M，与相切于点I，交于另一点为J， 连接， 由（1）可得，四边形为平行四边形， 为等腰直角三角形， 为直径， ， ， 又， 四边形为矩形， ，， 为圆切线， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 同理可得四边形也是矩形， ， ∴， 为中点， 又为中点， ， ， 由（1）可得，， 在中，，， 则， 即， 解得或， 又， ． 15．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线l：和线段，给出如下定义：若将线段沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段是以直线l为轴的的“关联线段”． (1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，不是以直线l为轴的的“关联线段”是________； (2)是边长为的等边三角形，点，若是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值； (3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，求这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）以直线为对称轴，作线段，，的对称线段，，，再根据“关联线段”的定义即可判断； （2）过点作弦，，连接，，当是以直线l为轴的的“关联线段”时，点与的两点组成的三角形也是等边三角形，当，都是等边三角形时，过点作于点，连接，得出轴是，的对称轴，求出等边三角形的边长即可； （3）作点关于直线的对称点，由“关联线段”的定义可得：经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，就是要使关于直线l的对称直线与由两个交点，我们来寻找对称直线的临界位置，即为对称直线与相切的位置，从而来确定过点的直线，过点作的两条切线、,切点分别为点，点，设交直线于点，连接，延长作交直线于点，连接，交轴于点，求出临界位置的值即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：以直线为对称轴，作线段，，的对称线段，，，如图所示： ∵线段，在上，线段在外， ∴由“关联线段”的定义可得：线段不是以直线l为轴的的“关联线段”． （2）解：过点作弦，，连接，， ∵， ∴点在上， ∵是等边三角形， ∴当是以直线l为轴的的“关联线段”时，点与的两点组成的三角形也是等边三角形， ∴当，都是等边三角形时，过点作于点，连接， ∵，， ∴轴是，的对称轴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴当是以直线l为轴的的“关联线段”，等边三角形的边长为或， ∴或， ∴或． （3）解：如图所示，作点关于直线的对称点， 由“关联线段”的定义可得：经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，就是要使关于直线l的对称直线与有两个交点， 我们来寻找对称直线的临界位置，即为对称直线与相切的位置，从而来确定过点的直线， 过点作的两条切线、,切点分别为点，点，设交直线于点，连接，延长交直线于点，连接，交轴于点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，即点到轴的距离为， ∴点在轴上，即点， ∴轴， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴ ∴， 设，则， ∴在中，， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 将与联立得：，解得：， ∴点， 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵令，得， ∴此时直线与y轴交点的纵坐标， ∵，， ∴点的纵坐标为， 在中，令，得，解得：， ∴， ∴轴， ∴当对称直线为时，过点的直线为，而此时与轴没有交点，即当过点的直线与轴有交点时，其对称直线不会出现的临界位置， ∴只需，经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”． 2 / 69 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $