专题01 反比例函数中K值的几何意义有关的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数K值几何意义，通过五种图形面积题型系统构建从基础到复杂的解题逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形面积|4题|单一点或两点作垂线形成的直角/普通三角形|以|k|与矩形面积关系为基础，推导三角形面积=|k|/2| |等腰三角形面积|3题|等边/等腰三角形底边在坐标轴，顶点在双曲线上|结合等腰三角形性质，将边长关系转化为坐标关系求k| |平行四边形面积|3题|含菱形的平行四边形顶点或边与双曲线交点|利用平行四边形对边平行性质，转化底高与k值关系| |矩形面积|6题|单矩形、多矩形组合及与坐标轴围成矩形|直接应用|k|=矩形面积，拓展至多函数矩形面积差| |阴影部分面积|6题|连续点垂线形成的重叠/间隔阴影|通过坐标规律推导面积叠加或差量，体现从具体到抽象的推理|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题01反比例函数中K值的几何意义有 题型归纳 题型一反比例函数中利用k值求三角形的面积 题型二反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 题型三反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 题型四反比例函数中利用k值求矩形的面积 题型五反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 题型专练 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 6 1.y= 2.-20 3.-4 4.-3 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5. 4051 6.6 7.(90,0) 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 8.-9 9.6 10.95 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 1/6 上好每一堂课 关的五种模型 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.6 12.6 13.2 14.6 15. 2 -4 【详解】(1)解：：点A,B分别在反比例函数y=和y=X的图象上，四边形ABOC和EFOB都是矩 形， .SE形H800=2,S矩形BE0=4, .S矩形HBrc=2+4=6: (2)解：如图，过A,B,C,D四点分别作AE、BF、CG、DH⊥x轴于点E,F,G,H,设AB,CD 分别与y轴交于N,M, G B ∴.四边形ANOE，BNOF,CMOG,DMOH均为矩形，且S矩形OE+S矩形BOF=S矩形cMOG+S矩形DMOH=a-b, AB·BF=CDCG, 设CG为h,:AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，AB∥CD∥x轴， .BF=5-h, .2h=3(5-h), 解得：h=3, .S矩形CMoG+S矩形DMoH=a-b=2×3=6 16. 【详解】L解：“点A,E分别在反比函数y和y三的图象上，四边形4B0C和F0B都是短 形， .SE形ABOC=2,S矩形BEP0=4, 216 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S矩形ABFc=2+4=6； (2)解：如图4，过A,B,C,D四点分别作AE、BF、CG、DH⊥x轴于点E,F,G,H,设AB, CD分别与y轴交于N,M, y M EH G 图4 ∴.四边形ANOE,BNOF,CMOG,DMOH均为矩形，且S矩形ANoE+S矩形BNOr=S矩形cMoG+S矩形DMOH=a-b, AB·BF=CD.CG. 设CG为h,而AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5， .BF=5-h, .2h=3(5-h), 解得：h=3, .S矩形CMoG+S矩形DMoH=a-b=2×3=6, (3)解：分别延长BA,CD交y轴于M,N,过点A,B,C,D作AE,BF,CG,DH⊥x轴于点E,F,G,H,则 四边形AMOE,BMOF，DNOH,CNOG都为矩形，且S矩形AMOE=n,S矩形BMOF=m,SE形DOH=n, S矩形COG=m 设AE=h, 如图， M HEG F 当CD在AB的上方时，而AB∥CD∥x轴，AB和CD间的距离为12， .DH=h+12, CD-5 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 m-= 5 m-n=2(h+12) 6 m-n=20 解得：h=12, 如图，当CD在AB的下方时，而AB∥CD∥x轴，AB和CD间的距离为12， 个 B M HG EF DiC..N .CG=12-h. 5 m-n= 20 同理可得： m-n=5（02-h ,解得： m-n三 3, 6 h=4 20 综上：m-n=20或3· 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 17.20 2025 18. 1013 1 19.2023 20.15 1013 21. 2027 22. 【详解】(1)解：乃，B,,…,B26的横坐标依次为1,2,3，…，2026， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记DLy轴于点D,C⊥x轴于点C,B6A⊥y轴于点A,且交PC于点B,如图所示： 416 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P P P. P B P2026 1C2345 2026x 将面积为S2,S,…, S,02s的矩形向左平移到面积为S,的矩形的下方，则S+S,+S,+…+S=S形D, 当k=1时，把x=2026代入-得y=206 2026,即0A=1 2026,0形0Bc=0A0C= 1 2026 根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形ocD=1, 12025 ∴.S1+S2+S3+…+S2024+S2025=1- 20262026' 2025 故答案为： 2026； C2解：同理当k=2时，把=2026代入y2。 ,得y=、2 2026,即0A=、2 2026 SE形04c=0A-0C=、2 2026 根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形ocD=2 8+8,+S++S4+S35=2-2 2025×240502025 2026202620261013' 2025 故答案为： 1013； （3)解：当k=3时，把x=2026代入y 3 3 =,得y=2026,即01= 2026， S矩形04Bc=0A.0C=,3 2026,根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形ocD=3, 8+5+8++S+Ss=3-,3=2025×3_6075 202620262026' 6075 故答案为：2026： ④解：当k=0时，把=206代入y=经有y=6即0406，Sm-010C= 2026, 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形oCD=n, S+S2+S,+…+S204+S2025=n- n2025·n 20262026· 2025-n 故答案为：2026· 616 上好每一堂课可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01反比例函数中K值的几何意义有关的五种模型 题型归纳 题型一反比例函数中利用k值求三角形的面积 题型二反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 题型三反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 题型四反比例函数中利用k值求矩形的面积 题型五反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 题型专练 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 1.(25-26八年级下上海普陀期末)如图，点P在反比例函数y=x(k≠0)的图像上，过点P作PH1x 轴，垂足为H,连接PO,如果△PHO的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为 2.(2526人年级下福建福州期未)如图，点P在反比例国数y（<0)的图象上，P41r热于点4 △PAO的面积为10，则k的值为 ○ 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026四川攀枝花中考真题)如图，点A在函数y=二x>0)的图象上，点B在函数y=《x<0)的图 2 象上，AB‖x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为3，则k的值为 B 4,〈255八年级下河南洛阳期未)知氢，点在反比例函数y〔<0的刻象上，点。是O4上一点， 过点作4C1抽于点C:连当BC·石08-号01，AO8C的直视为则E的值为 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5.(25-26八年级下四川遂宁·期末)如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的非负半轴上，两腰的交点 在反比例函数y=的图象上，且它们的底边都相等.若△OAB，△A4,B2,△A4,B,…△A02s46B26的 面积分别为S,S2,S,,S26,则S226的值 6 B2 B3 B4 A1 A2 A3 A4主 6.(2022云南昆明模拟预测)如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线 y=6(x>0)上，则图中S=一 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 7.(2025九年级全国专题练习)如图，△OB4,△4B,4,△4，B,4,…△4BA都是一边在x轴上的等 边三角形，点B,品，A,B都在反比例西数y=3 (x>0)的图象上，点4,4，4，，4都在x轴上，则 A2025的坐标为 B A4A, 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 &.(2026福建箭日模拟预测如图，反比侧西数)(x<0)的图象经过平行四边形4BC0的顾点A 己知OC在x轴上，若点B的坐标是(-山，5)，平行四边形ABC0的面积是4，则实数k的值为一 g.(25-26八年级下河南周口：期中)如图，ABCD的边CD交反比例函数y=F(k≠0)的图象于点P, 且PC=3PD,点A,B,D在坐标轴上，已知口ABCD的面积为24，则k的值为， 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 10.(2026陕西商洛一模)如图，已知菱形OMBC的顶点4在反比例函数y= 8(x>0)的图象上，点C 在x轴上，边BC与该反比例函数的图象交于点D,连接AD,OD.若点B的纵坐标为6，则aOCD与 △ABD的面积之和为 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 1,(2526九车级上内蒙古乌兰察布期末)如图。反比例函数y（x>0)的图象经过K方形O4BC的 顶点B,OC，OA分别在x轴上与'轴上，则长方形OABC的面积为 B 12.(25-26九年级上全国期末)如图，反比例函数”=和y=4 元，点B八C在x轴上，点AD在反 比例函数图象上，则矩形ABCD的面积为」 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 1B.(2025九年级全国专题练习)A:B是反比例函数y=(x>0)图象上的两个点，分别过4'B两点 作x轴、y轴的垂线，构成如图所示的三个相邻且不重叠的小矩形，其面积分别为S,S2,S.若S +S,=8,则S2= B 14.(25-26九年级上广东东莞期末)如图，点4在y-(x>0)的图象上，过点4作B1x轴，垂是为 B,过点A作4C1y轴，垂足为C,交y-（(x>0)的图象于点E,连接OE,者AE=3CE,四边形OB4E 的面积为7，则m-n= YA 15.(24-25八年级上：上海期中)知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是 反比例函数y=上任意一点，则矩形A8OC的面积为K: 图1 (1)初步尝试 2 4 如图2，点A”E分别在反比例函数，y=元和y=t的图象上，四边形ABOC和EFOB都是矩形，易知四 边形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积. 5/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 (2)类比探究 如图3。点4C在反比例函数y-（口>0)的图象上，点gD在反比例数y=<0)的图象上， AB∥CD∥x轴，AB与CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，求a-b的值. 7B 图3 16.(25-26九年级上全国单元复习)知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点 A是反比例函数y=上任意一点，则矩形ABOC的面积为： M EH G C 图1 图2 图3 图4 图5 (1)初步尝试 四图2.点A,E分别在反比函数和y的图象上，四边形BOC和EF09都是矩形，易知四 形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积. (2)类比探究 如图3。点A,C在反比例脑数y-a>0)的图家上，点五，D在反比创西数y6<0)的图象上， AB∥CD∥x轴，AB与CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，求a-b的值. 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)拓展延伸 n 如图5，已知反比例函数y和y《 K,m>n>O若点B,C在y三图象上，点A,D在y图家E 且B∥CDIx镇，4B-CD-名 =6,AB和CD间的距离为12，求m-n的值. 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 25-26九年级下云南玉溪开学考试)如图，1八、3两点在双曲线少=(x>0)上，分别经过 两点向坐标轴作垂线段，己知S影=2，则S+S2=一 S B S 18. (2526九年级上山东东若阶段检测如网。在反比例西数y2(x>0)的图象上，有点A,月，B, …,P26,它们的横坐标依次为1,2,3，，2026.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴 影部分的面积从左到右依次为S,S2,S,…,S25,则S+S,+S,++Ss= P S S2 P3 P4 1234 19.(25-26九年级上·山西运城阶段检测)如图，在x轴的正半轴上依次截取 0A=44=44=…=A,4:分别过点4：名：4：…，4作x轴的垂线与反比例少-子x>0的图家 相交于点，B,乃，，P,连接OB,AB,4,,…,AP,得直角三角形OP4,直角三角形 AB4,直角三角形4，P4,,直角三角形An-PnA,并设其面积分别为S，,S2,S,…,Sn,则S 的值为 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P P P OA A2 As An4n 20.(24-25九年级上浙江温州开学考试)如图，点P,Q,R为反比例函数y=k>0,x>0)图象上从左到 右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C,B,A,图中所构成的阴影部 分的面积从左到右依次记为S,S2,S,其中OA:AB:BC=1:2:3,若S2=6,则S+S的值为 C 0 S2 A 21.(25-26八年级下浙江宁波期中)如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A,4,A, A,,A,分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点B,,B,P,P,再分别过 B,B,P,P作BB1AR,B214,B,PB1A,,PBn1AP1,垂足分别为B,B,B,B4,B1, 连结PB,P,PP,PnPn,得到一组Rt△RBB, RtPB,.P,RtaPB,,P…,RtaP-BP,设它们的面积分别为S,S,S,S4,Sn,则S= S1+S2+S3+..+S2026= P B P2 B OA A As As As 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(2025山东青岛模拟预测)如图，在反比例函数y=元的图象上有P,B,,,P等点，它们 的横坐标依次为1,2,3，…，2026.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积 从左到右依次为S1,S2,S3,…,S2024,S2025. P D P P2026 12345 2026元 (1)当k=1时，S1+S2+S3++S2024+S2025= (2)当k=2时，S1+S2+S3+…+S2024+S2025= (3)当k=3时，S+S3+S3++S224+S2s=一： (④当k=n时，S+S2+S+…+S24+S2s=。 9/9 专题01 反比例函数中K值的几何意义有关的五种模型 题型一 反比例函数中利用k值求三角形的面积 题型二 反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 题型三 反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 题型四 反比例函数中利用k值求矩形的面积 题型五 反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为10，则k的值为________． 【答案】 【分析】设，则，，再根据“的面积为10”列方程求解即可． 【详解】解：设， 则，， 的面积为10， ， ， 解得． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 【答案】 【分析】设点的坐标是，可得：，根据，可得：，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， ， ， , ， ． 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5．（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 6．（2022·云南昆明·模拟预测）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，则图中______． 【答案】 【分析】由、均为正三角形，可得同位角，推出；两条平行线间距离处处相等，因此点、点到直线的距离相等，与同底、等高，故面积相等，即，再设，结合等边三角形三线合一得到底、高，由点在双曲线上得，代入三角形面积公式即可求出，进而得到的数值． 【详解】解：和均为正三角形， ， ， 点和点到的距离相等， 又和有相同的底边， ， 过点作， 设点， 是等边三角形， ， ， 点在双曲线上， ， ． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，都是一边在x轴上的等边三角形，点都在反比例函数的图象上，点都在x轴上，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与等边三角形的综合知识点，解题关键是通过等边三角形的性质求出前几个点的坐标，进而归纳出一般规律． 利用等边三角形的性质求出点的坐标，结合反比例函数解析式，求出前几个点的坐标，找出规律，确定的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ，是等边三角形， 是的中点，是的中点，． 设，则， ．将点的坐标代入反比例函数表达式，得，解得（负值已舍去）， ．同理可得， 的坐标为． 故答案为：． 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 8．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先求出，即可得出，代入函数表达式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点D，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵平行四边形的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，的边交反比例函数（）的图象于点P，且，点A，B，D在坐标轴上，已知的面积为24，则k的值为________． 【答案】6 【分析】设，则，结合可得，再根据“的面积为24”列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ，， ， 的面积为24， ， 解得.． 10．（2026·陕西商洛·一模）如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 【答案】 【分析】由菱形得，利用 “同底等高的三角形面积相等”将与的面积之和转化为菱形面积的一半，再通过反比例函数解析式求出点 A 坐标，进而计算菱形的面积即可求解． 【详解】解：如图，过点作交轴于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，轴，， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为6， ∴点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入解析式得， 解得， ∴点，即，， 在中， ， ∴， ∴． 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 11．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 12．（25-26九年级上·全国·期末）如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，熟练将k的几何意义与图形的面积有机结合是解题的关键． 如图：设与y轴相交于点E，利用反比例函数k的几何意义可得，再根据面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：设与y轴相交于点E， ∵反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上， ∴， ∴矩形的面积为：． 故答案为：6． 13．（2025九年级·全国·专题练习），是反比例函数图象上的两个点，分别过，两点作轴、轴的垂线，构成如图所示的三个相邻且不重叠的小矩形，其面积分别为，，．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 根据是反比例函数图象上的两点，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， ． 又， ， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 15．（24-25八年级上·上海·期中）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，∵，，与的距离为5，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 16．（25-26九年级上·全国·单元复习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 17．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数，求出与阴影面积的和，与阴影面积的和，再结合阴影面积求出、，最后计算的值． 【详解】解：，且， ，， ，， ． 18．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出每个阴影的面积表达式是解题的关键．求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 当时，的纵坐标为， 则； ； ； ； … ； ， 故答案为：． 19．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在x轴的正半轴上依次截取，分别过点，，，，作x轴的垂线与反比例的图象相交于点，，，，，连接，，，…，，得直角三角形，直角三角形，直角三角形，…，直角三角形，并设其面积分别为，，，，，则的值为____________________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．根据反比例函数中的几何意义再结合图象即可解答． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，． ，， ， ， 同理可得，，，． 以此类推，． ， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合运用，根据，设，结合图形，分别用含的式子表示的值，由此可得，根据几何图形面积的计算可得，分别算出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，， 如图所示， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵点在反比函数的图象上， ∴在点的位置，，即， 同理，在点的位置，，即， 在点的位置，，即， ∵分别过点三个点作轴，轴的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 21．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．再分别过作，垂足分别为，连结，得到一组， ，设它们的面积分别为，，则__________，__________． 【答案】 【分析】本题是结合反比例函数的一道规律题，根据所给条件找到规律是解题的关键.设，根据反比例函数图像上点的特征和三角形的面积公式求出​的面积为，​的面积为，​的面积为，，的面积为，把代入可得， 再将，，，分别代入得，相加后即得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 同理可求的坐标分别为，，，，， ∴的面积为，​的面积为，​的面积为，，的面积为， 当时， ， ． 22．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $