第3章 圆章节复习（18题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学圆章节复习讲义通过知识框架图系统梳理圆的核心概念、位置关系及定理，用表格呈现教学目标与重难点，整合垂径定理、圆周角定理等构建完整知识体系，突出切线判定与性质等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，“即学即练”巩固基础，18类题型（如切线证明、动态几何最值）培养推理能力与空间观念，辅助线技巧（如“过圆心作垂线”）指导方法，助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

函学科网·上好课 圆 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆章节复习 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01圆的有关性质 知识点02点和圆、直线和圆的位置关系 2.知识清单 知识点03正多边形和圆 知识点04弧长和扇形面积 题型01利用孤、弦、圆心角的关系求解 题型02利用垂径定理求值 题型03利用圆周角定理求角 题型04半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型0590°的圆周角所对的弦是直径 题型06已知圆内接四边形求角度 题型07点与圆的位置关系 题型08正多边形和圆 题型09求弧长 3.题型精讲 题型0求扇形的面积 题型1求某点的弧形运动路径长度 题型12求图形旋转后扫过的面积 题型]3求其他不规则图形的面积 题型14与圆锥有关的计算问题 题型15与垂径定理有关的解答题 题型16与圆周角有关的解答题 题型17与切线的证明有关的解答题 题型18与圆有关的新定义型问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 1/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 教学目标 教学重难点 1.系统梳理圆的相关概念、点与圆、直线与圆的位置关系，以及圆的对称性等核心知 识。 教学目标 2.整合圆周角定理、垂径定理及正多边形与圆的关系，构建完整的圆的知识体系。 3.运用圆的性质解决综合性的几何证明、计算及实际问题，发展空间观念与推理能 力。 重点： 1.垂径定理与圆周角定理及其推论的综合应用。 2.圆的切线的判定与性质，以及与圆有关的位置关系的判断。 教学重难点 难点： 1.在复杂图形中，综合运用圆的对称性、圆周角定理及切线性质进行多步推理与计 算。 2.灵活运用数形结合与分类讨论思想，解决与圆相关的动态几何或最值问题。 知识清单 知识点01 圆的有关性质 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形 成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O,读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：（1)圆心；(2)半径。 圆的对称性：(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴： (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD)。 2/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备注：(1)直径是同一圆中最长的弦。(2)直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB,读作圆弧AB或弧 AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 3.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧： (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧： (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：(1)过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度： (2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 4.圆心角、圆周角的概念 (1)圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等。 3/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 上圆心角) 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【即学即练】 1.(25-26九年级上江苏扬州阶段练习)如图，已知⊙0的半径为5，圆心角∠AOD与∠BOC互补，若 弦CD=6,则弦AB的长为一· 2.(25-26九年级上·全国单元测试)如图，⊙0的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP, 若OP=4,∠P=30°，则弦AB的长是 BP 3.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD=AC DB的延长线交OO于点E. 4/36 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：CD=CE； (2)连接AE,若∠D=26°，求∠BAE的度数. 知识点02点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径是，点P到圆心O的距离为d,则有： dkr一点P在⊙O内：d=r一点P在⊙O上：dr一点P在⊙O外。 2.过三点的圆 (1)过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 (2)三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 (3)三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的 外心。 3.三角形的内切圆和内心 (1)三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 (2)三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 a+b-c (2)△ABC中，∠C=90°，AC=b,BC=a,AB=C,则内切圆的半径=2 (3)S△ABC=21 (a+b+c) 其中a,b,c是边长，r是内切圆的半径。 (4)弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B,AB 为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B 5/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相离→d>r→无交点： (2)直线与圆相切→=r→有一个交点； (3)直线与圆相交→(<”→有两个交点： d=r 5.切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二 者缺一不可。即：：MN⊥OA且MN过半径OA外端：MN是⊙O的切线 (2)性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 6.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。即：：PA、PB是的两条切线；PA=PB;PO平分∠BPA 【即学即练】 1.(25-26九年级上江苏无锡期中)已知⊙0的半径是6，点P到圆心0的距离是5，则点P与⊙0的位 置关系是() A.点P在⊙0内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙0外 D.无法确定 2.(2026广东肇庆·三模)如图，PA,PB是⊙0的两条切线，A,B是切点，C是AB上一点，过点C画 6/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙O的切线，分别交PA,PB于点D,E,PA=12cm,则△PDE的周长是 cm D 3.(25-26九年级上·陕西安康·阶段检测)如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠ACB=90°，以 CD为直径作⊙O,分别交AC,BC于点M,N,过点M作ME⊥AB于点E. (①)求证：ME是⊙0的切线： (2)若CD=5,AC=8,求ME的长. 知识点03正多边形和圆 1.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，：四边ABCD是内接四边形.∠C+∠BAD=180°∠B+∠D=180° ∠DAE=∠C 2.圆内正多边形的计算 (1)正三角形：在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RiABOD中进行：OD:BD:OB=1:V5:2 (2)正四边形：同理，四边形的有关计算在RIAOAE中进行，OE:AE:OA=1:1:V2: (3)正六边形：同理，六边形的有关计算在RiAOAB中进行，AB:OB:OA=1:V5:2 7/36 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.与正多边形有关的概念、对称性 正多边形有关的概念 ()正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 (2)正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 (3)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 (4)中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 正多边形的对称性 (1)正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 (2)正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中 心。 (3)正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【即学即练】 1.(25-26七年级下江苏苏州期末)拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井一一天泉井而得名，天泉 亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点O按 逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为° G B 2.(2026河北石家庄·一模)在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形 螺母中间圆形螺纹孔的直径.琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A,并与圆相切，交BC 于点M.测得AB=4,BM=2,螺纹孔的直径为 8/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026河北石家庄·一模)如图，正方形ABCD和等边三角形EFG内接于⊙O,顶点E在CD上， AB=6v2cm. (E)D D B G (1)当点E和点D重合时，∠CDF的度数为一； (2)当点F在BC的中点时，设EF,FG分别交BC于点M,N,DE的长为cm. 知识点04弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 1-nR 扇形：(1)弧长公式：180 (2)扇形面积公式： 3602 n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径I:扇形弧长S:扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 1）圆柱：①圆住侧面展开图：S发=8。+2S=2h+2r,②圆柱的体积：V=对r产h (2)圆锥侧面展开图：OS表=S侧+S底=πRr+πr2 。②圆锥的体积：， 21r=nR 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长( 180) D1 母线长 底面圆周长 C1 9/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练】 1.(2025江苏镇江·一模)若扇形的圆心角为120°，半径为5，则该扇形的弧长为 2.(25-26八年级下四川成都期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=2,现将△ABC绕 着点B顺时针旋转90°得到△A'BC,其中A,C的对应点分别为A',C,则边AC扫过的区域（图中阴 影部分)的面积为 B 3.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，△ABC中，∠C=90,以AC上一点0为圆心过点A作⊙0， OO交AB于点D,DB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F. (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若∠B=40°，OA=6,求AD的长 4.(2026江苏淮安二模)如图，AB为⊙0的直径，在△ABC中，AB=AC=10,BC交⊙0于点D,过点 D作DE⊥AC,垂足为点E. D B (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若∠B=30°，求阴影部分的面积 题型精讲 10136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型01利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例1】如图，AB是⊙0的直径，∠BOC=42°，BC=CD=DE,则∠AOE=. D E B 【变式1】如图，已知AB、CD是O0的直径，AE=AC,∠AOE=32°，则∠COE=一 B 【变式2】如图，在⊙0中，圆心角∠AOB=120°，C是AB的中点，作CD1OB,与⊙0交于D,则图中与 BD相等的线段有一条， D 0 【变式3】如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径 是2，则PA+PB的最小值为 题型02利用垂径定理求值 11/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26九年级上湖北武汉期中)如图，在O0中，直径EC1弦AB于D点，已知CD=2, AB=8,则AC= D B 【变式1】(25-26九年级上湖北孝感期中)如图(1)，是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分 是圆的一段弧.随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意.图(2)是月亮门的示意 5 图，弦AB长2m,拱门的半径为3m,则该拱门的高cD为一· 图(1) 图(2) 【变式2】(25-26九年级上·天津西青阶段检测)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O 作OE⊥AC于点E,延长OE至点D,连接CD,且CD是⊙O的切线.若AB=CD=2,则AC的长为 【变式3】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，在⊙0中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后 刚好经过AB的三等分点D,AD>DB,若O0的半径为25，AB=6W2,则BC的长是一 D B 12136 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 利用圆周角定理求角 【典例3】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，A、B、C是⊙0上的三个点，若∠A0C=68°，则 ∠B= B 【变式1】(25-26九年级上浙江杭州·期中)如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC,∠COD=50°，则∠D 的度数为 C B 【变式2】(2026安徽芜湖二模)如图，⊙0的两条直径AB,CD互相垂直，点E在半径OD上，连接 BE并延长交OO于点F,若FD=FE,则∠CBF=° 【变式3】(25-26九年级上江苏宿迁·开学考试)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心0上，斜边 和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= 13/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04半圆（直径）所对的圆周角是直角 【典例4】如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D,若 ∠ADC=15°，∠BAD= B ○ A 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB,若∠ACD=25°，则∠ABC=° B 【变式2】如图，点A,B,C,D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠D=50°，则∠BAC的度数是 D 【变式3】如图，将一个半圆形量角器放置在矩形ABCD上，O°刻度线的两端点M,N分别在边AD, AB上滑动，AD>AB>MN,点P在半圆MN上，且在20°（或160°）刻度处. N E (I)若点P在靠近点M处，连接PA,则∠PAM= (2)当点P与点A的距离最大时，∠MWA= 14/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型0590°的圆周角所对的弦是直径 【典例5】如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90°，连接CE,若AB=2,则CE长的最小值为 E 【变式I】如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是对角形BD上的一个动点，且不与端点BD重合， 连接AE,过点B作BF⊥AE,垂足为F,连接DF.则DF的最小值是一· D F E B 【变式2】如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC=6,过点D作DE⊥AC于点E, DF⊥BC交边AB于点F,当过D,E,F三点的圆面积最小时，则CE=一 题型06己知圆内接四边形求角度 【典例6】如图，四边形ABCD内接于⊙O,点E在CD的延长线上.若∠ADE=80°，则∠AOC的度数是 B 15/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】如图，⊙O的内接四边形ABCD,E为CD延长线上一点.若∠B=119°，则∠ADE的度数为一 0 E D 【变式2】如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，AE是OO的直径，连接BE,若AE⊥BC, ∠ADC=2∠AEB,则∠ABC=. E 【变式3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC,连接OC,OC⊥BD,∠A=66°， ∠ADB= B 题型07点与圆的位置关系 【典例7】已知⊙O的半径为4cm,点P到圆心的距离为5cm,那么点P在一（选填“圆内”，“圆 上”，“圆外”)· 【变式1】若⊙0的面积为25π，在同一平面内有一点P,若P0=4.9,则点P在⊙0 (填内或上 或外). 【变式2】在△ABC中，AB=3cm,BC=4cm,CA=5cm.以点A为圆心，以3cm长为半径画圆，点B 与⊙A的位置关系是 【变式3】已知⊙0的半径为5，线段OA的长为d,若点A在⊙0外，则d的取值范围为 16/36 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型08 正多边形和圆 【典例8】如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、BE相交于点O,则OE:OB的值为 F B 【变式1】如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为m2 R ri P B 图1 图2 【变式2】如图，已知正五边形ABCDE，,经过C,D两点的⊙O与AB,AE分别相切于点M,N,连接 CM,CN,则∠MCN= M 【变式3】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多 边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体， 而无所失矣”.如图，⊙0的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙0的面积，可 得π的估计值为 (结果保留根号) 17136 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型09 求弧长 【典例9】已知圆的半径为2，则60°的圆心角所对的弧长为一.（结果保留π） 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠B=58°，∠ACD=40°.若⊙0的半径为5，则 DC的长为 0 【变式2】扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙 结合.如图所示，已知OA=10cm,AC=15cm,AB的长为20cm,则CD的长为一cm. B 【变式3】已知点A、B、C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧BC沿着直线CB折叠交弦AB于点D.BD=9, AD=6,则AC的长为一 O. D 题型10 求扇形的面积 【典例10】已知扇形的圆心角为60°，半径为V3,则该扇形的面积为 (结果保留π) 【变式1】已知一个扇形的圆心角为60，其弧长为3cm,则该扇形的面积为 -cm2. 【变式2】中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值.如图， 一件扇形艺术品完全打开后，测得∠BAC=120°，AB=45cm,BD=30cm,则由线段BD,弧DE,线段EC, 18136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弧CB围成扇面的面积是 cm2(结果保留兀)· 【变式3】如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B,∠P=60°.若⊙0的半径为3，则图中 阴影部分的面积为 (结果保留π)· B 题型11求某点的弧形运动路径长度 【典例11】(2026宁夏银川二模)如图，边长为2√3cm的正六边形螺帽，中心为点0，OA垂直平分边 CD,垂足为B,AB=15cm,用扳手拧动螺帽旋转l20°，则点A在该过程中所经过的路径长为cm 0 【变式1】(2026浙江杭州二模)如图，一个长为8，宽为6的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方 块上，其长边与水平桌面成0°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落 在水平桌面'上，则木板上点A滚动所经过的路径长为 (结果保留π) 130 【变式2】(2026河南周口·模拟预测)摩天轮示意图如图所示.该摩天轮高160m(即最高点离水面平台 MN的距离)，圆心O到MN的距离约为84m,摩天轮匀速旋转一圈大约用时24min.某轿厢从点A出发， 8min后到达点B,此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB)长度为m.(结果保留π） 19136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 【变式3】(2026广东茂名·一模)将两块全等的三角板ABC和DEC按如图所示的位置放置.∠B=60°， AC=2,若三角板ABC绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边AB上，则点A运动路径的长度为 B 题型12求图形旋转后扫过的面积 【典例12】(25-26七年级上：湖北武汉·阶段检测)如图，C为半圆内一点，0为圆心，直径AB长为2Cm, ∠BOC=60°，∠BC0=90°，将△B0C绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',点C在OA上，则边BC扫过区域 (图中阴影部分)的面积为 cm2 B B 【变式1】(25-26九年级上·山东济南期末)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=3 将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过的面积为」 【变式2】(25-26九年级上陕西榆林·期末)如图，将直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转角度 a(0°<a<90)得到△4B,C,点A恰好落在斜边AB上.已知∠A=60°，AC=5,则旋转过程中边AC扫 过的面积为一（结果保留π). 20136 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 【变式3】(25-26九年级上广东期中)在△ABC中，∠ACB=90,∠BAC=30°，BC=2,将△ABC绕点 C逆时针旋转(O°<a<90)得到△ABC,当A'B'‖AC时，线段BC扫过的面积为 题型13求其他不规则图形的面积 【典例13】(25-26九年级上·陕西安康阶段检测)如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片， 点O恰好落在弧AB上的点C处，则图中阴影部分的面积为一 B← 【变式1】(26-27九年级·全国暑假作业)设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形ABCD中，AB=2BC, 且AB=8Cm,以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F,则商标图案的面积等于 cm2. D C B 【变式2】(2026·河南平顶山三模)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿BC翻 折，点O的对应点O恰好落在BC上，点A的对应点为D,过点C的切线与BD交于点E.若AB=4,则 图中阴影部分的面积为 21136 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B 【变式3】(2026河南平顶山三模)如图，在△ABC中，∠B=90°，以点B为圆心，BA长为半径画弧， 分别交AC,BC于点D,E.若CD=AB=4,则阴影部分的面积为 D 题型14与圆锥有关的计算问题 【典例14】圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是 【变式1】用一个圆心角为120°，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为一 【变式2】某圆锥形生日帽子的母线长为6cm,底面半径为2cm,将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇 形的圆心角为一 【变式3】如图，张敏同学用纸板制作一个高为8cm、底面半径为6cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和 损耗，则她所需纸板的面积是 cm2(用π表示). 题型15与垂径定理有关的解答题 【典例15】如图，AB是OO的直径，弦CD⊥AB于点E,连接OC,若OE=3,CD=8. 22136 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D (I)求CE的长度； (2)求0C的长度. 【变式1】如图，OA=OB,AB交⊙O于点C,D,OE是半径，且OE⊥AB于点F. 0 D B E (I)求证：AC=BD」 (2)若CD=8,EF=2,求⊙O的半径 【变式2】如图，己知AB是O的直径，AC是弦，过点O作OD1AC于D,连接BC. A ○ B 0求证，0D=方BC: 2 (2)若∠BAC=40°，求∠AOC的度数. 【变式3】(25-26八年级下江苏南京期末)己知，如图：⊙0的半径R=52,弦AB=14.点C在AB 上CD⊥AB交OO于点D. D 0. C B 23136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若BC=4,求线段CD的长， (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 题型16与圆周角有关的解答题 【典例16】如图，C,D是圆上的两点，∠ADB=90°，且C为弧BD的中点，AC,BD交于点E D B (1)若∠CBD=28°，求∠ABD的度数： (2)若DE=3,BE=5,求圆的半径， 【变式1】(25-26九年级上陕西安康阶段检测)如图，在⊙0中，弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D 是优弧BC上一点，连接BD,AD,OC,∠AOC=58°. (I)求∠ADB的度数. (2)若OE=3,OA=5,求BC的长. 【变式2】（九下第三章圆圆的有关性质确定圆的条件）如图，△ABC内接于O0,AD、BE是△ABC的 高，H是AD、BE的交点，AD的延长线交OO于G. (1)试说明：HD=DG, (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙0的面积， 【变式3】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)已知四边形ABCD内接于⊙0，连接AC、BD, 24136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD+∠ADB+∠CAD=90°： B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BC是⊙O的直径： (②)如图2，点E在BD上，连接AE、CE,且AE=CE,∠ABD=2LCAE,求证：CE平分∠ACD: (3)如图3，在(2)的条件下，点F在BD上，连接CF,若∠CFD=2∠ACE,BF=4,AC=16,求⊙O 的半径长， 题型17 与切线的证明有关的解答题 【典例17】如图，AB是⊙O的直径，半径为2，⊙O交BC于点D,且D是BC的中点，DE⊥AC于点 E,连接AD. D (I)求证：DE是⊙0的切线. (2)若∠C=30°，求BC的长. 【变式1】如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，点F在AB上，以AF为直径的⊙0与边BC相切于点D, 与边AC相交于点E,且AE=DE,连接EO并延长交⊙O于点G,连接BG. G (1)求证：BG是⊙O的切线. 25136 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若BF=6,求图形中阴影部分的面积. 【变式2】(25-26九年级下·湖北武汉阶段检测)如图，在⊙0中，CA=CB,以AB、BC为边作平行四 边形ABCD,AD与OO交于点E. (I)求证：CD是⊙0的切线： (2)若⊙0的半径为1，且∠ACB=45°，求图中阴影部分面积. 【变式3】如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙0过D、B、C三点，∠D0C=2∠ACD=90°. (I)求证：直线AC是⊙O的切线： (2)如果∠ACB=75°， ①若⊙O的半径为2，求BD的长； ②试问CD:BC的值是否为定值？若是，直接写出这个比值，若不是，请说明理由. 题型18与圆有关的新定义型问题 【典例18】(23-24九年级上·陕西渭南期末)【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角. B 图1 图2 26136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【初步应用】 (1)如图1，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角. ①∠A的度数为 ②连接BD,若⊙O的半径为5，求线段BD的长： 【拓展提升】 (2)如图2，己知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA,若CA平分∠BCD,判断BC、 CD与AC之间的数量关系，并说明理由、 【变式1】(25-26八年级下·吉林长春·期末)【定义】如图1，AB是⊙0的直径，平移直径AB得到平行 四边形ABCD,当对边CD的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是⊙O的“环中点平四”. D 图1 图2 (1)【探究1】求证：AB=2AD (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在⊙0上时，且AB=2,求平行四边形ABCD的面积. (3)【探究2】如图2，在正方形ABCD中，AB=6,以CD为直径作⊙0，平移直径CD得到线段PO,当 平行四边形PODC是OO的“环中点平四”时，直接写出BO的最大值， 【变式2】(25-26九年级上河南洛阳·期末)我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”. D B 0 C 图1 图2 图3 (①)如图1，“等对角四边形”ABCD内接于⊙0，∠A=60°，则∠B=_°，∠C=_°； (2)如图2，“等对角四边形”ABCD内接于⊙O,且CB=CD,∠ABC<90°，点E在AD的延长线上，连 接AC,BD,CE,∠ACE=90°，请证明：四边形BCED是“等对角四边形”： (3)如图3，“等对角四边形”ABCD内接于O0,且其一个内角为60°，CB=CD,BC=2,若 ∠A+∠B=150°，求AB的长. 27136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26九年级上江苏泰州期中)定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂 弦”的交点叫做“垂弦点”. 0 C 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，AC、AB是⊙O的一组“垂弦”，点A为“垂弦点”，BC(填“是”或“不是”)直径 (2)如图2，AB、CD是⊙O的两条弦，CF为直径，AD=BF,请判断AB与CD是否是一组“垂弦”，并 说明理由： (3)如图3，点D是⊙O上一个动点，AB、CD是⊙O的一组“垂弦”，点E为“垂弦点”，若AD的度数 为m°，BC的度数为n°，试探究m+n是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由： (4如图4，AB、CD是⊙0的一组“垂弦”，点E为“垂弦点”，若AD=6,BC=6N5,求阴影部分的 面积. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)已知⊙0的半径为3cm,线段OA=5cm,则点A与⊙0的位置 关系是() A.点A在⊙0外 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙0内 D.不能确定 2.(25-26九年级上陕西安康阶段检测)如图，在⊙0中，半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8, OC=5,则CD的长是() 28136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.3 B.2.5 C.2 D.1 3.(2026山东东营中考真题)如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，BC=DC,∠A=25°，则∠D的 度数是() A.25 B.40° C.60° D.65 4.(2026山东东营·中考真题)若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为120°，母线长为40cm，则该圆锥 的底面半径为() 20 40 A.10cm B.13cm C.3 cm D.3 cm 5,(2026浙江中考真题)我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边 形.如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为() 图1 图2 A6 2 c.-5 二、填空题 6.(25-26九年级上北京东城期中)已知⊙0中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半 径为 cm 7.(2026安徽芜湖·三模)AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心O在PA上，若∠P=40°，则 29/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PAB= 夕 8.(25-26九年级上·陕西安康阶段检测)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，BE是⊙O的直径， 连接AE.若∠BCD=120°，则∠DAE的度数是一· B 9.(25-26九年级上陕西安康·阶段检测)日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以 看作如图2所示的几何图形.己知AC=BD=5cm,AC⊥CD,垂足为C,BD⊥CD,垂足为D, CD=16cm,⊙O的半径r=10cm,则圆盘离桌面CD最近的距离是一. 0 A B D 图1 图2 10.(2026四川宜宾中考真题)如图，已知△ABC中，AB=3,AC=5,BC=7,点P在BC边上运动， 连接AP.当△ABP和△APC的内切圆半径相等时，设BP=t,则AP= (用含t的代数式表示)· 三、解答题 11. (2026辽宁中考真题)如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，AC为⊙0的直径，且AB=BC, 连接AB,BC,BD,CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E. 30136 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求LBDC的度数： (2)若BE=V2,求CD的长. 12.(25-26九年级上陕西安康·阶段检测)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD 的平分线交AB于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE. M B D (I)求证：CD⊥AB (2)作FM⊥AB,垂足为M若OM=OE=1,求AC的长. 13.(2026:宁夏中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙0上一点且与 点C位于AB两侧，AD=CD,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E,连接CD D E B (I)求∠DCB的度数： (2)求证：DE是OO的切线. 14.(2026甘肃兰州中考真题)如图，AB是⊙0的直径，BD是⊙0的切线，E为AB延长线上一点，延 长ED交⊙O于点C,∠BDE=2∠BAC,连接OD. D C 31/36 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若CD=2,DE=5,求⊙0的半径 15.(25-26九年级上云南昆明期末)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB为⊙0的直径，∠ACB的平分线 CD交AB于点F,交OO于点D,连接AD,过点D作DEI‖AB,交CB的延长线于点E. D D 备用图 (1)若∠BAC=20°，求∠ADC的度数： (2)求证：直线DE是⊙O的切线： (3)是否存在常数，，使得等式ACBC=mCD2-nAD成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n 的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 能力提升 一、单选题 1.(2026山东济南模拟预测)如图，在半径为6的⊙0中，∠AOC=135°，点B在AC上，BD垂直平分 OA于点D,则BC的长度为() B A.4 B c.号 D.下 2.(2026山东临沂二模)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为圆心，半径分别为2和1 画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是() 32136 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B A.6 B.7 C.8 D.10 二、填空题 3.(2026河南平顶山三模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=35,点E,F分别是边AD,BC 上的动点（不与端点重合），且DE=BF,过点A作直线EF的垂线，垂足为G,连接BG,则BG的最大 值为 E D 4.(2026山西长治三模)如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形MNP的顶点恰 好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC与BD相交于点O,正八边 形的另外四个顶点H,I,J,K分别是正方形ABCD各边的中点，连接KI分别交PM和QN于点E,F,则 AB EF的值为 D M H 三、解答题 5.(2026广东清远三模)如图，已知O0的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，延长AB到点P,使 PB=OB,连接PC C 0 33136 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：PC是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为2，求图中阴影部分的面积」 6.(2026江苏盐城模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴 交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交 于另一点G y 可 G A (①)求证：BC是⊙F的切线： (2)若点A、D的坐标分别为A(0,-),D(2,0). ①求⊙F的半径： ②直接写出CD的长. 7.(25-26九年级下·江苏宿迁阶段检测)新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦。 B B 图1 图2 (I)如图1，AB,AC是⊙O的等垂弦，ODL AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E.求证：四边形ADOE 是正方形： (2)如图2，弦AB与弦CD交于点E,OD⊥OA,OC⊥OB ①求证：AB,CD是⊙O的等垂弦： ②连接BD,若CE=3,OC=V65,求BD的长度. 8.(2026山东潍坊模拟预测)【材料阅读】 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=4,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点P是BD上的 一个动点，连接CP,求CP的最小值， 34/36 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O D B 图1 解题思路：连接OC与⊙O交于点E,如图2.当点P运动到交点E时，CP取得最小值，此时最小值为 5-3=2 B 图2 (L)如图3，在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=I0,BC=6,P是△ABC内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC,求CP的最小值. B 图3 【迁移拓展】 (②)如图4，在正方形ABCD中，AD=12,动点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足DE=CF,连接 AE和DF,交于点P.点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长. 35136 函学科网·上好课 E 图4 (3)如图5，在△ABC中，∠BAC=45° B D 图5 www zxxk.com AD是BC边上的高，且BD=3, 36136 上好每一堂课 CD=1,请直接写出AD的长为_- 第3章 圆章节复习 教学目标 1. 系统梳理圆的相关概念、点与圆、直线与圆的位置关系，以及圆的对称性等核心知识。 2. 整合圆周角定理、垂径定理及正多边形与圆的关系，构建完整的圆的知识体系。 3. 运用圆的性质解决综合性的几何证明、计算及实际问题，发展空间观念与推理能力。 教学重难点 重点： 1. 垂径定理与圆周角定理及其推论的综合应用。 2. 圆的切线的判定与性质，以及与圆有关的位置关系的判断。 难点： 1. 在复杂图形中，综合运用圆的对称性、圆周角定理及切线性质进行多步推理与计算。 2. 灵活运用数形结合与分类讨论思想，解决与圆相关的动态几何或最值问题。 知识点01 圆的有关性质 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 3.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：（1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 4.圆心角、圆周角的概念 （1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 （2）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知的半径为5，圆心角与互补，若弦，则弦的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 过A点作直径，连接，如图，互补推出，再根据同角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：过A点作直径，连接，如图，则：， 由题意：， ， ， ， ， 为直径， ， 在中，，， ， 故答案为： 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，的半径为3，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【详解】解：过点O作于H，连接， 则，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，首先证明，推出，即可解决问题； （2）连接，根据，所以只要求出的度数即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， 垂直平分． ． ． ， ． ； （2）解：如图，连接， ， ． ． 是的直径， ． ． 知识点02 点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。 2.过三点的圆 （1）过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 （3）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 3.三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 4.直线与圆的位置关系 （1）直线与圆相离 无交点； （2）直线与圆相切 有一个交点； （3）直线与圆相交 有两个交点； 5.切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 6.切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线；∴；平分 【即学即练】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径是6，点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是（　　） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点P到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系逐项判断即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在内． 故选：A． 2．（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角性质可以推出，判定，即可得到，从而由切线的判定即可得证； （2）连接，由（1）可知，，结合直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一性质求出，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ， 由（1）可知，， 为的直径， ， ， 在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 知识点03 正多边形和圆 1.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形∴ ∴ 2.圆内正多边形的计算 （1）正三角形：在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形：同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形：同理，六边形的有关计算在中进行，. 3.与正多边形有关的概念、对称性 正多边形有关的概念 （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （4）中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 正多边形的对称性 （1）正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 （2）正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 （3）正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 2．（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【分析】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，正方形和等边三角形内接于，顶点在上，． （1）当点和点重合时，的度数为______； （2）当点在的中点时，设，分别交于点，，的长为______． 【答案】 【分析】（1）根据题意得出，即可得出，即可求解； （2）连接，，根据已知得出，求得，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形和等边三角形内接于，点和点重合 ∴， ∴ ∴ ∴ （2）连接，， ∵正方形中， ∴，，则 ∵是的中点， ∴ ∵等边三角形内接于， ∴， ∴ ∴ ∴的长为 知识点04 弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【即学即练】 1．（2025·江苏镇江·一模）若扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式．根据弧长的计算公式（是扇形圆心角的度数，是扇形的半径），由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，该扇形的弧长， 故答案为：． 2．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D，的垂直平分线分别交、于点E、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解答 (2) 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，根据弧长公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的中垂线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）， ， ， ， ， ， 的长． 4．（2026·江苏淮安·二模）如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）如图：连接，利用垂直的定义、圆周角定理可证明、等腰三角形三线合一的性质可证明，易得，再利用切线的判定定理即可证明结论； （2）如图：连接，过作与F，则，利用含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到；再说明，最后根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的直径，， ∴， 如图：连接，过作与F，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型01 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例1】如图，是的直径，，，则 ．    【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条． 【答案】3 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接，，根据圆心角、弧的关系求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 图中与相等的线段有条， 故答案为：． 【变式3】如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，    根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型02 利用垂径定理求值 【典例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，直径弦于点，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，推导出是解题的关键． 如图：由于D点，，得，，而，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，是直径，是弦，且于D点，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用及勾股定理．利用垂径定理和勾股定理求出的长度，再用求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，且是的切线．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，根据切线的性质得出，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是______． 【答案】8 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，得到，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 题型03 利用圆周角定理求角 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，A、B、C是上的三个点，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】由，根据圆周角定理得，于是得到问题的答案． 此题重点考查圆周角定理，推导出是解题的关键． 【详解】解：、B、C是上的三个点， ， ， ， 故答案为 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是⊙O的直径，，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆周角定理，由题意得：，然后根据平行线的性质得到； 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴． 故答案为： 【变式2】（2026·安徽芜湖·二模）如图，的两条直径互相垂直，点E在半径上，连接并延长交于点F，若，则________°． 【答案】67.5 【分析】根据题意可得，再证即可求解． 【详解】解：连接， 的两条直径互相垂直， ，， ， ， ， 又， ， 又， ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 【答案】/30度 【详解】解：由题意得，， ． 题型04 半圆（直径）所对的圆周角是直角 【典例4】如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若， ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先根据圆的性质得到，，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵的角平分线与交于点， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，是的直径，弦，若，则 ． 【答案】65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利用平行线的性质得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ， 故答案为：65． 【变式2】如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理．熟练运用圆周角定理的推论是解题的关键．连接，根据圆周角定理的推论可得，进而，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，将一个半圆形量角器放置在矩形上，刻度线的两端点，分别在边，上滑动，，点在半圆上，且在（或）刻度处． （1）若点在靠近点处，连接，则 ； （2）当点与点的距离最大时， ． 【答案】 /10度 或 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等边对等角 【分析】（1）由直径所对圆周角是直角，和，确定点在半圆量角器的半圆所在的圆上，由点在靠近点处，确定的度数，根据同弧所对圆周角，是其圆心角的一半，即可求解， （2）根据两边之和大于第三边，得到为的直径，分两种情况进行讨论，即可求解， 本题主要考查了，直径所对圆周角是直角，圆周角定理以及推论，等边对等角的性质，解题的关键是：得出点在半圆形量角器所在的圆上． 【详解】（1）解：在矩形中，， 点在半圆量角器的半圆所在的圆（记为）上， 若点在靠近点处，即点在刻度处，连接，， ， ， （2）当点与点的距离最大时，为的直径， ， 若点在刻度处， ， ， , 若点在刻度处，， ， ， 故答案为：；或． 题型05 90°的圆周角所对的弦是直径 【典例5】如图，是正方形内一点，满足，连接，若，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点的运动轨迹，结合圆的性质得到最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理和圆周角定理的应用． 【详解】如图， ∵， ∴点在以中点为圆心，为直径的圆上， 则长的最小时，点三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在为直径的上运动，进而勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式2】如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知圆内接四边形求角度、等边三角形的判定和性质、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接，设， 则，进而得出，勾股定理求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设为经过三点的圆的圆心，设与交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设， 则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是的直径， ∵是圆内接四边形， ∴， ∴，则是等边三角形 ∴，则 ∴ 在中， 在中， ∵是的直径， ∴当取得最小值时，的面积最小， ∴当时，的面积最小， 故答案为：． 题型06 已知圆内接四边形求角度 【典例6】如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是 ．    【答案】/160度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】如图，的内接四边形，E为延长线上一点．若，则的度数为 ． 【答案】/119度 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答． 【详解】解：四边形是的内接四边形，是四边形的一个外角， ， 故答案为：． 【变式2】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，，则 °.    【答案】60 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理．先根据是的直径得出，故可得出，由可知，故可得出，故，根据可知，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ，即， ． 故答案为：60． 【变式3】如图，四边形是的内接四边形，平分，连接， ． 【答案】 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，根据圆内接四边形的对角互补求出，根据垂径定理得到，进而求出，根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 题型07 点与圆的位置关系 【典例7】已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点在 （选填“圆内”，“圆上”，“圆外”）． 【答案】圆外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题的关键． 【详解】解：点到圆心的距离， 点在外． 故答案为：圆外． 【变式1】若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 （填内或上或外）． 【答案】内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内是解题的关键． 根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为， ∵， ∴点在内， 故答案为：内． 【变式2】在中，，，．以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是 ． 【答案】点B在上 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点到圆心的距离等于半径，则点在圆上，进行判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴以点A为圆心，以长为半径画圆，点B与的位置关系是：点B在上， 故答案为∶点B在上．    【变式3】已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，，即可得到答案． 【详解】解：若点A在外， ． 故答案为：． 题型08 正多边形和圆 【典例8】如图，在正六边形中，连接、相交于点，则的值为 ．    【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由正六边形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，证出，根据正六边形的边长等于半径可得，进而可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ， ， 根据正六边形的边长等于半径，得 ， ， ． 故答案为：． 【变式1】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为 m2． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为，高为， ∴正六边形的面积为， 故答案为：. 【变式2】如图，已知正五边形，经过C，D两点的与分别相切于点M，N，连接，则 °. 【答案】36 【知识点】多边形内角和问题、切线的性质定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了切线的性质，正多边形，圆周角定理，连接，根据切线的性质和正多边形内角，可求得的度数，再利用圆周角定理，可得的度数，熟练求出正多边形的内角，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与分别相切于点M，N， ， 五边形是正五边形， ， ， ． 故答案为：36． 【变式3】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为 （结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，点是正六边形的中心，过作于，    在正六边形中， ，则， ，， ， ∴正六边形的面积为， ， ， 的近似值为， 题型09 求弧长 【典例9】已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为 ．    【答案】 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长 【分析】本题考查了圆的基本性质，弧长公式；连接，，，由同弧所对的圆周角相等得，由圆周角定理得，再由弧长公式即可求解；掌握性质及弧长公式，添加辅助线，求出所对的圆心角是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，   ， ， ， ， ， 的长为， 故答案：． 【变式2】扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为 ． 【答案】50 【知识点】求弧长 【分析】本题考查求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．先求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，的长为， ∴，， ∴的长为； 故答案为：50． 【变式3】已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 题型10 求扇形的面积 【典例10】已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积公式，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为 故答案为：． 【变式1】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 【变式2】中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得，则由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是 （结果保留）． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 扇面的面积为： ． 故答案为：． 【变式3】如图，，是的两条切线，切点分别为，，．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．    【答案】 【知识点】切线的性质定理、求扇形面积 【分析】题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和得到，再根据扇形面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型11 求某点的弧形运动路径长度 【典例11】（2026·宁夏银川·二模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 【答案】 【分析】利用正六边形的性质得出是等边三角形，得出，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 【变式1】（2026·浙江杭州·二模）如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 【变式2】（2026·河南周口·模拟预测）摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 【变式3】（2026·广东茂名·一模）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【答案】 【分析】利用三角板全等的性质，可得，结合，可判定的形状，进而得到的度数，该角度即为三角板的旋转角，进而求出点A运动路径对应的圆心角．最后使用弧长公式，代入旋转角度数和半径的长度，即可计算出路径长度． 【详解】由题意可知：是直角三角形，，， 两块三角板全等，因此旋转后可得 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 点的运动路径是以为圆心、为半径的圆弧， ∴点A运动路径的长度为 ． 题型12 求图形旋转后扫过的面积 【典例12】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算．根据含度角的直角三角形的性质求出，根据计算即可． 【详解】解：，， ， ， 则边扫过区域的面积为： 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则扫过的面积为_____． 【答案】 【分析】根据题意可以求得和的长，再根据旋转的性质即可求得扫过的面积． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴扫过的面积为：， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点恰好落在斜边上．已知，，则旋转过程中边扫过的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得，结合得出，根据扇形面积公式及边扫过的面积即可． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：由条件得， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴边扫过的面积为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·广东·期中）在中，，将绕点 C 逆时针旋转得到，当时，线段扫过的面积为 _____________． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转以及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键． 根据题意可解得，扫过的区域为扇形，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 将绕点 C 逆时针旋转得到，， ， ， ，则， 又线段扫过的区域为扇形， 所以． 故答案为：． 题型13 求其他不规则图形的面积 【典例13】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 【答案】 【分析】根据解答即可； 【详解】 解：在矩形中， 则， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，将半圆O沿翻折，点O的对应点恰好落在上，点A的对应点为D，过点C的切线与交于点E．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，，，由翻折的性质进一步证明四边形为菱形．由切线的性质得，证明为等边三角形．由等边三角形的性质得出，由菱形的性质进一步得出，由直角三角形两个锐角互余得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，根据，可得出阴影部分为，据此求解即可. 【详解】解：连接，，，如下图所示． 由翻折，可知，． 又∵， ∴． ∴四边形为菱形． ∴． ∵是半圆O的切线， ∴． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． ∵四边形为菱形， ∴． ∴ ∴, ∴在中，， ∴，. ∵， ∴． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可． 【详解】解：连接，作交于， 由题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，‘ 则 ． 题型14 与圆锥有关的计算问题 【典例14】圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面展开图的面积； 故填：． 【变式1】用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与圆锥的底面半径之间的关系，设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题． 【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意： ， 解得． 故答案为：． 【变式2】某圆锥形生日帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解． 【详解】设侧面展开扇形的圆心角为，则， ． 故答案为：． 【变式3】如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 （用表示）． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求弧长、求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查勾股定理，扇形面积的计算，根据勾股定理可得母线长，弧长，再根据扇形面积的计算方法即可求解，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的母线长，， ∴． 故答案为：． 题型15 与垂径定理有关的解答题 【典例15】如图，AB是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． （）根据垂径定理即可求解； （）根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 【变式1】如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、根据三线合一证明 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 是半径， ， ， ， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 【变式2】如图，已知是的直径，是弦，过点作于，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、三角形内角和定理的应用、等边对等角、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）及三角形内角和定理，根据题意得出是的中位线是解答此题的关键． （1）先得出为的中点，再由得出是的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论； （2）连接，先根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）是的直径， 为的中点， 又，即为的中点， ∴是的中位线， ； （2）如图所示，连接， ，且， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 题型16 与圆周角有关的解答题 【典例16】如图，C，D是圆上的两点，，且C为弧的中点，，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2)5 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用． （1）由已知条件可得出，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得出， 根据角的和差关系可得出， 最后根据三角形内角和即可得出答案． （2）由，可得出为直径，过点E作，证明，由全等三角形的性质可得出，，设，则，由勾股定理可得出，即可得出圆的半径． 【详解】（1）解：∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴为圆的直径． 过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴， 即半径为5． 【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式2】（九下第三章圆圆的有关性质确定圆的条件）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴， 又∵已知， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 题型17 与切线的证明有关的解答题 【典例17】如图，是的直径，半径为2，交于点D，且D是的中点，于点E，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）连接，根据中位线性质得出，根据，得出，即可证明是的切线； （2）根据直径所对的圆周角为直角得出，证明为的垂直平分线，得出，根据勾股定了求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图，    ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的直径，半径为2， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求图形中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、勾股定理全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． ()连接，根据切线的性质得到得到，根据平行线的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明；再利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； ()阴影部分面积梯形 的面积扇形 的面积(通过“整体减部分”计算不规则图形面积)连接，设的半径为，根据含的直角三角形的性质求出圆的半径，根据梯形的面积公式、扇形面积公式计算得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵与边相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，, ∴， ∴， 设的半径为， ∵，即， 解得，， ∴，， ∴， ∴， 由()知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，以、为边作平行四边形，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为1，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明：连接并延长，交于点，连接， ， 垂直平分 为平行四边形 是圆的半径， 为圆的切线 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点，根据，得出垂直平分，根据平行四边形的形状可得，即可得证； （2）连接，根据圆周角定理可得，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接， 为平行四边形 【变式3】如图，在中，是边上一点，过、、三点，． (1)求证：直线是的切线； (2)如果， ①若的半径为，求的长； ②试问的值是否为定值？若是，直接写出这个比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的值是定值， 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】（1）由，得，为等腰直角三角形，进而得，根据垂线定义及切线判定即可得证； （2）①由，，得，又根据直角三角形得，，，从而即可得解；②设的半径，则，在和中，利用解直角三角形得，，，进而代入即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：①由（）得，为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 作于，如图， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴； ②的值是定值． 设的半径，则， 在中， ∵， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 题型18 与圆有关的新定义型问题 【典例18】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①60；②（2） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可． 【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径,连接, 则 ∵圆的半径为5， ∴, ∵， ∴. ∴． （2）关系为：，理由如下： 如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， ∴, ∵平分， ∴, ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）【定义】如图1，是的直径，平移直径得到平行四边形，当对边的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是的“环中点平四”． (1)【探究1】求证： (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在上时，且，求平行四边形的面积． (3)【探究2】如图2，在正方形中，，以为直径作，平移直径得到线段，当平行四边形是的“环中点平四”时，直接写出的最大值． 【答案】(1)证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， M 是中点，O是中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 落在圆上， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得 ，进而可证得结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，结合勾股定理和（1）中的结论，求得，即可求解； （3）利用探究（1）的结论可知点在以点为圆心，半径为3的圆上，然后根据正方形的性质和勾股定理求得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解： 如图，连接， 点C落在圆上，是直径， ， 由（1）可知， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形的面积； （3）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵平行四边形是的“环中点平四”， ∴由（1）可知，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为3的圆上（不包括点），如图所示， ∴当点在同一直线上，且在线段上时，取得最大值， 最大值为． 【变式2】（25-26九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． (1)如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； (2)如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； (3)如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (4)如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)与是一组“垂弦”，理由见详解 (3)m+n是定值， (4) 【分析】本题考查圆的垂弦定义、弧与圆心角的关系及扇形面积计算，运用转化与方程思想，关键是利用垂弦性质推导弧的度数关系，结合勾股定理和扇形面积公式求解，易错点为垂弦性质理解不清及扇形面积计算时的角度或半径错误； （1）根据垂弦定义判断直径；（2）利用弧相等推导角的关系证明垂弦；（3）结合垂弦性质和弧的度数和推导定值；（4）通过垂弦性质求半径和圆心角，进而计算阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”， ∴，即， ∵直径所对的圆周角是直角， ∴是的直径； 故答案为：是． （2）与是一组“垂弦” 连接、 为直径， ， ， ， ， ， 与是一组“垂弦” ． （3） 连接， 若的度数为，的度数为 ，， 、是的一组“垂弦”， ， ， 即， （4）连接并延长交于点，连，作，为垂足， 的度数为，的度数为，的度数为， 为直径 、是的一组“垂弦”， 由（3）知 即 即 ， 为等边三角形 ，， 为中点， ， 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】比较点A到圆心的距离与半径的大小，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 3．（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 5．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 二、填空题 6．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 7．（2026·安徽芜湖·三模）是的弦，与相切于点B，圆心O在上，若，则_______． 【答案】25 【分析】连接，根据切线的定义得到，进而可求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 9．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 【答案】 【分析】如详解图：连结、，过点作于、交于、交于，由已知条件可得四边形是矩形，再根据垂径定理求出的值，进而求得的值，最后求得的值，就是圆盘离桌面最近的距离． 【详解】 解：连结、，过点作于、交于、交于， 、 ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ． 10．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 三、解答题 11．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 13．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 14．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 15．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点F，交于点D，连接，过点D作，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)是否存在常数m，n，使得等式成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：连接，， ∵是的平分线， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． (3)存在，． 证明：连接，过点A作于点H，过点B作于点G，设， 则， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， ∴成立． 【分析】（1）因为是直径，所以，可先求出的度数，因为同弧所对圆周角相等，所以和的度数相等． （2）连接，，因为是的平分线，所以，可得．由，得．由，即可判定是的切线． （3）连接，过点A作于点H，过点    B作于点G，设，证明，得，证明和都是等腰直角三角形，得，，由勾股定理得，，得．由勾股定理得，，得，即得，即得的值． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． （2）略． （3）略． 一、单选题 1．（2026·山东济南·模拟预测）如图，在半径为的中，，点在上，垂直平分于点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据垂直平分，结合是半径，求出的度数．用减去，得到弧BC对应的圆心角的度数．最后根据弧长公式，代入圆心角的度数和圆的半径，计算得到弧的长度． 【详解】解：∵ 垂直平分， ∴ ； 又， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 2．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 二、填空题 3．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点A作直线的垂线，垂足为G，连接，则的最大值为________． 【答案】 【分析】连接，交于点O，易证，得到．设的中点为P，连接，则，因此点G在以点P为圆心，为直径的圆弧上运动，当B，P，G三点共线时，的值最大，连接，则点O在上，，易得为等边三角形，根据“三线合一”结合勾股定理求出，根据解答即可． 【详解】解：连接，交于点O，如图1， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵在矩形中，， ∴， ∴． 设的中点为P，连接． ∵，即， ∴． ∴点G在以点P为圆心，为直径的圆弧上运动． 当B，P，G三点共线时，的值最大，如图2． 连接，则与的交点为的中点，已证点O是的中点， ∴点O在上，， ∵， ∴为等边三角形， ∵P为的中点， ∴，． ∴在中，． ∴． 即的最大值为． 4．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【分析】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【详解】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； 三、解答题 5．（2026·广东清远·三模）如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 则， ，， 又， ，则为等边三角形， ，又， ， ， ， ， ，则，即， 又是半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）先证为等边三角形，进而得到即可证明； （2）分别求出、扇形的面积，再由求解． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为2，，， ，， ， ， ． 6．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G． (1)求证：是的切线； (2)若点A、D的坐标分别为，． ①求的半径； ②直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． (2)①；② 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）①连接，设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； ②过点F作于点R，连接，根据垂径定理求出，证明四边形为矩形，求出，根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴， 设的半径为r，即，则 ∵在中，， ∴， 解得，即的半径为． ②过点F作于点R，连接， ∵，， ∴在中，， ∵过圆心F，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 7．（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形； (2)如图2，弦与弦交于点，，． ①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵，是的等垂弦，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，是的等垂弦， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴矩形是正方形； (2) ①证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、是的等垂弦． ②． 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）①连接，由圆心角、弦的关系及全等三角形的判定和性质可得，由圆周角定理可得，，可得结论； ②连接并双向延长交于点F，交于点G，根据题意得出为等腰直角三角形，再由垂直平分线的判定和性质得出，利用平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示： 由①得，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 8．（2026·山东潍坊·模拟预测）【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再进一步求解即可； （2）如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，证明，可得， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧，再进一步求解即可； （3）如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，证明四边形是矩形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ． ， ． ， 点P在以为直径的上． ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ， 的最小值为； （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为． （3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $