专题16 利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过“立体展开—平面转化—直角构造”三阶方法体系，系统覆盖圆柱、长方体、阶梯及构造直角三角形四类最短路径问题，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法总结|立体图形展开为平面，构造直角三角形用勾股定理计算|明确最短路径问题核心解法，奠定转化思想基础| |题型归纳|4题型（各含1典例+3变式）|圆柱侧面展开矩形/长方体三面展开比较/阶梯展开总高总宽矩形/对称点构造直角三角形|从具体几何体表面展开到代数问题几何化，逐步深化空间与平面转化应用| |压轴挑战|15题（单选5+填空5+解答5）|综合运用展开策略与勾股定理解决复杂情境问题|衔接中考高频考点，提升综合解题与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆柱中的最短路径模型 题型二、长方体中的最短路径模型 题型三、阶梯中的最短路径模型 题型四、构造直角三角形中的最短路径模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及几何体（如圆柱、长方体、台阶）表面或内部两点间最短距离，需将立体图形展开为平 面图形。 -解题方法：确定起点和终点，沿棱或母线展开曲面，构造直角三角形，利用勾股定理计算展开图中两点 间的线段长度（即最短路径）。 -易错提醒：展开方式不唯一，需比较不同展开方式下的路径长度；忽略路径是否经过侧面或底面：计算 时混淆立体图中的线段与展开图中的对应边。 习题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆柱中的最短路径模型 2 典例1.(25-26八年级下云南昭通期末)如图，一个圆柱的高是5om,底面圆的直径是 cm,在圆柱 下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 短路程是 cm B 题型模版 1特征：圆柱表面从一点到另一点的最短路径，需将侧面展开成矩形，走直线。 2方法：沿母线剪开圆柱侧面，展开为矩形，利用勾股定理求两点间直线距离（水平弧长，垂直高度）。 变式1-1.(2026四川成都三模)一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm,高为3cm,一只蚂蚁从底面圆周上 的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处.则蚂蚁爬行的最短路径长度为c. B-= 变式1-2.(25-26八年级下·重庆渝北：期中)如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm, 底面周长为l6cm,在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点B正对面的 容器外壁，且离容器上沿5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为」 cm 蚂蚁A 变式1-3.(2026八年级上山东青岛·专题练习)课本再现： B B 12 9C 图1 图2 图3 图4 图5 方法探究：(1)对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A,B两点的位 置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2，在圆柱的侧面展开图中，点 A,B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 cm 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法应用：(2)如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm,高为l0m.在其侧面从点A 开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止.彩条的最短长度为 (3)如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知 此六棱柱的高AB为7cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少为. (4)如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm,底面半圆直径AC为4cm,点A处有一只蚂蚁沿 如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是 (π取3) 题型二、长方体中的最短路径模型 典例2.(25-26八年级下·广西桂林阶段检测)如图为一个长4cm,宽2cm,高lcm的实心长方体，一只 蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点G处，最短路线长为 题型模版 1特征：长方体表面从一点到另一点的最短路径，需展开不同侧面成平面，比较各路径。 2方法：分情况展开相邻两个面（共3种），化为平面矩形，用勾股定理求各直线距离，取最小值。 变式2-1.(25-26八年级上·湖南岳阳阶段检测)如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点 B离点C的距离是5Cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是 cm 5cm B C 20cm A 10cm 15cm 变式2-2.(2026八年级下全国专题练习)如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点B与点C的距 离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.求蚂蚁需要爬行的最短距离. 3/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 6 10 P 变式23.(25-26八年级上·安徽宿州阶段检测)如图，长方体的长、宽、高分别为2,4,3，A,D为 长方体的两个顶点。 D 2 (I)求点A到点D之间的距离： (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点A爬到点D,求爬行的最短路程。 题型三、阶梯中的最短路径模型 典例3.(25-26八年级上·广东深圳阶段检测)如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 B 题型模版 1.特征：阶梯表面从一端到另一端的最短路径，将阶梯侧面展开成平面矩形。 2方法：把阶梯的竖直面与水平面依次展开，拼成一个矩形（总高为阶梯总高，总宽为各台阶宽度之和）， 用勾股定理求对角线。 变式3-1.(25-26八年级上贵州贵阳期中)如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中 AE=2,DE=4,BC=5 ,若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2.(25-26八年级上贵州期末)【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四 级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm,如图1所示.A和B是这个四级台阶两个相对的端点， 若点A处有一只蚂蚁，它想到点B处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ (1)数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB，经 过计算得到AB长度即为最短路程，则AB= dm 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm,高是l5cm,一只蚂蚁从点A出发沿着 玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 (3)如图4，在(2)的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子 外壁，离杯子上沿3Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程是多少厘米？（杯 壁厚度不计) 15 15 B 20 15 B 单位：dm 图1 图2 图3 图4 变式3-3.(25-26八年级上河南郑州期中)综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm,3dm,2dm,A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？ 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB,经过计算得到 AB长度即为最短路程，则AB= dm 【变式探究】 (2)如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发 沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 (3)如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程 是多少厘米？（杯壁厚度不计） 20 20 蚂蚁 蜂蜜 B B 单位：dm 图1 图2 图3 图4 题型四、构造直角三角形中的最短路径模型 典例4.(25-26八年级下·安徽蚌埠·期中)综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式+3+2-)+2的最小值，+3可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， V2-+2是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边.因此，构造两个直角三角形，使它们的一 个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时BC=x+12-x=12,AB=3,CD=2. 原问题就变成“点E在线段BC的何处时，AE+DE的值最小？” 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E'12-x ======== D 图1 图2 图3 解决方法：如图2，连接AD,交BC于点E',此时当点E与点E'重合时，AE+DE的值最小，依据为 ① 将AB延长至点F,使得BF=②（填线段），连接DF,则 AF=AB+BF=3+2=5,BC=DF=12,易求得AD=③一，即AE+DE的最小值为AD的长 (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ① ② :③ 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km,A村庄到河岸的垂直距离为2km,B村庄到河岸的垂直距离为 3水m,且A,B之间的水平距离为12m,现计划在河上建一座垂直于河岸的桥P9,使得从A到B的路程 最短，求出这个最短路程的长 题型模版 1.特征：通过作垂线或平移，将军饮马问题转化为勾股定理求两点间最短距离。 2方法：作对称点化折线为直线，构造直角三角形，利用勾股定理求最短路径长（两点间线段最短）。 变式41.(25-26八年级上·陕西西安·阶段检测)如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=L,BD=8,设CD=x. D B ()用含x的代数式表示AC2+CE的长： (2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，最小值是多少？ (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式V?+4+2-x+9的最小值. 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式42.(25-26八年级上河南新乡期末)某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问 题探索与分析. 【提出问题】已知0<x<1,求V1+x+V1+(0-x} 的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为V1+2和V1+(1-x的 线段，将代数求和转化为线段求和问题。 【解决问题】(1)如图，我们可以构造出边长为1的正方形ABCD,P为BC边上的动点，设BP=x,则 CP=1-x,则1+x2+V1+(1-x2= D (2)在1)的条件下，已知0<x<1,请结合图形求1++V+(1-的最小值： 【应用拓展】(3)直接写出V9+2+9+(N3-的最小值为 变式4-3.(25-26八年级下·浙江绍兴期中)著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是 画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题， 比如Va2+的几何意义是以a,b为直角边的直角三角形斜边长，故当0<x<3求V+9+3-+1的 最小值时，可数形结合构造两个分别以x,3和3-x,1为直角边的直角三角形（如图），∠B=∠D=90°， AB=3,BP=x,CD=l,DP=3-x,由勾股定理知AP=VP+9,CP=V3-+1,细心观察发现 BP与DP的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得， 当A、P、C三点共线（点P位于AC之间）时，V?+9+V3-+1的最小值为线段AC的长. 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BX P P'3-xD B X P ()根据上述方法，求V?+9+3-+1的最小值（线段4C的长）. (②根据上述规律和结论，请构图求代数式V+9+⑧-)+9的最小值（其中0<x<8): (③)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中x>0): ①解方程： V36-x2+V64-x2=10 ②求代数式Vc+4+16-V+1的最大值. ◆ 同压轴挑战一攻克高难压轴，突康思维上很 一、单选题 1.(25-26八年级下·青海西宁·期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20m、 3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则 蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是() 20 A.20 B.24 C.25 D.35 2.(25-26八年级下·安徽阜阳期中)如图，在一个长为24m,宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木 块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 到达点C处需要走的最短路程是()m 8v13 A B.2V233 C4v65 D34 3.(25-26八年级下·安徽合肥期中)如图，东西方向上有A,C两地相距5千米，甲以8千米时的速度 从A地出发向正东方向前进，同时乙以6千米时的速度从C地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3 千米时，最短用时是() 北 甲 A.0.4小时 B.0.5小时 C.0.6小时 D.0.8小时 4.(25-26八年级下·重庆潼南·期末)如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中 AB=BC=2cm,BF=4cm,点P是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P,则爬行的 最短路程为() H G D C A. 5cm B.29 cm 25+1cm D 7cm 5.(25-26八年级下河北雄安·期中)如图，圆柱形水桶的桶高为16cm,底面周长为12cm,在桶内壁离 桶底4cm的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿3cm,且与污渍A在同一 轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）() 10/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.13cm B.510em C.15cm D.329em 二、填空题 6.(25-26八年级下'广东广州期末)如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为2cm,2cm,3cm, 沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何 体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm 2 2 图1 图2 7.(25-26七年级下·陕西西安期末)如图，AC=3,BC=4,AB=5,点D是直线BC右侧一动点，且满足 △BCD的面积是3，则BD+CD的最小值为 B D 5 8.(25-26八年级下福建龙岩期中)如图，圆柱底面半径为元cm,高为24cm,点A:B分别是圆柱两 底面圆周上的点，且A,B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根 棉线的长度最短为 11/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26八年级下山东青岛期中)如图，某公园内有一条“L型”景观水道，∠C=90°，水道的宽度 为2米，水道分为东西方向和南北方向两段.两个凉亭分别位于A,B两点，其中A位于南北方向水道的 西侧，B位于东西方向水道的南侧，已知A,B两点在东西方向上的水平距离为17米，在南北方向上的竖 直距离为10米.现要建造两座与水道垂直的景观桥DD'和EE'(桥长均为2米)，使得从A处到B处的游 (AD+DD'+D'E'+E'E+EB) 览路径 最短，则最短路径的长为米 D B 10.(25-26八年级下安徽毫州期中)如图，在Rt△MBC中，∠C=90,则VAC+BC 表示线段AB的 长度，受此启发，学生在求y=8-x+4+V+16的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点P 为BD上一动点.∠B=∠D=90°，AB=4,CD=2,BD=8,设BP=x. 图1 图2 1)PD= (2)y的最小值是 三、解答题 11.(2025八年级上陕西专题练习)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？ B5 20 10 15 12.(25-26八年级上·全国期中)【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为l2cm,圆柱的高为8cm, 在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点 B在点A的正下方. 图① 图② 图③ ()【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是_·（填字母） D (②)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A,求所需金属丝的最短长度. (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为5dm,4dm,3dm(即AB=5dm,BC=4dm, AE=3dm)的无盖长方体木箱.现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜.请你为蚂蚁 设计一条路线，使其能以最短的路程吃到峰蜜，并求出此最短路程.（木板的厚度忽略不计） 13.(25-26八年级上山东枣庄·阶段检测)【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题： 一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是一个三级台阶上两个相对的端点. 【探究实践】老师让同学们探究：如图(1)，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬 13/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 到B点的最短路程是多少？ A 20 20 B 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图(2)为三级台阶的平面展开图，可得到长为20dm,宽为 15dm的长方形，连接AB,经过计算得到AB的长度为 一，就是最短路程， 【变式探究】(2)如图(3)，已知圆柱底面的周长为6dm,圆柱高为4dm,在圆柱的侧面有一只蚂蚁， 从点A爬到点C,再从点C爬回点A,恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 【拓展应用】(3)如图(4)，圆柱形玻璃杯的高为9cm,底面周长为l6cm,在杯内壁离杯底4cm的点 A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口lCm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到 内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 14.(24-25八年级上山西太原·阶段检测)综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.例如，如图 1,一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点A出发，沿着正方体的表面爬行到点G.沿怎样的路线爬行路 程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点A,G 之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题.根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿 线段1C爬行的路程最知，利用勾股定理易证景短路程为5. 14/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D B 图1 图2 图3 图4 H G D 问题解决： E B C 12cm 20cm D C 8cm 15cm 8cm B 10cm 图5 图6 (I)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的 表面爬到盒顶的点G,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B在棱CD上，CB=5cm.一只蚂蚁要沿长方 体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少？ 15.(2026湖北裹阳·模拟预测)日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活. 主题探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线1上方两点，点A到直线I的距离为lm,点B到直线I的距离为3m,在直 线I上找一点P,使PA+PB最短. B A 图1 (I)如图2，作点A与点A关于直线1对称，连接AA交直线I于点O,连接AB交直线1于点P,连接AP, 则点P即为所求，则OA'=一m,PA PA(选填>、<或=)： (②)如图3，过A作ACML,过B作BC⊥AC于C,若AC=3m,则BC=_m,PA+PB=一： 15/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图2 图3 活动二：某小区有一个矩形ABCD停车场，长AD=34m,宽AB=30m,大门EF设在CD处，如图4，小 区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边 长为2m的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与 停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于1m,Q、0 是两个充电桩的中心， 002 叫做充电桩的中心距」 D 充电桩1 E 1Q. 充电桩2F 图4 (3)如图5，若沿AD方向修建一排充电桩，最多可以修建个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距 为 m D B 图5 (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为m,需 在1D边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到 、03 的距离的和最短，则这个最短距离为 m 16/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q. 图6 16.(25-26八年级上江苏南通阶段检测)【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题. 例：求代数式VR+3+2-x+2的最小值。 分析：+3和2-+2是勾股定理的形式，VP+3是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， V12-+2是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角aMBC和aDEF, 并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时 CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两 点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值. 12-x B(E)12-x B 2 图1 图2 图3 【模型应用】 ①)代数式V+3+2-+2的最小值为 ②变式训练：利用图3，代数式+4+V5-x+1的最小值为 ⑨若+y+2=9,则NF+1+F+4+V2+9的最小值为一 ④已知正数m满足V49-m+V576-m=25 求m的值。 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18/18 专题16 利用勾股定理求最短路径问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆柱中的最短路径模型 题型二、长方体中的最短路径模型 题型三、阶梯中的最短路径模型 题型四、构造直角三角形中的最短路径模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及几何体（如圆柱、长方体、台阶）表面或内部两点间最短距离，需将立体图形展开为平面图形。 - 解题方法：确定起点和终点，沿棱或母线展开曲面，构造直角三角形，利用勾股定理计算展开图中两点间的线段长度（即最短路径）。 - 易错提醒：展开方式不唯一，需比较不同展开方式下的路径长度；忽略路径是否经过侧面或底面；计算时混淆立体图中的线段与展开图中的对应边。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆柱中的最短路径模型 典例1．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的直径是．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是______． 【答案】 【分析】如图把圆柱体展开，连接，根据题意可得，进而可由两点之间，线段最短可知的长． 【详解】解：把圆柱体展开，连接，如图所示，    ∵圆柱的高等于，底面上圆的周长等于， ∴， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是． 题型模版 1.特征：圆柱表面从一点到另一点的最短路径，需将侧面展开成矩形，走直线。 2.方法：沿母线剪开圆柱侧面，展开为矩形，利用勾股定理求两点间直线距离（水平弧长，垂直高度）。 变式1-1．（2026·四川成都·三模）一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 变式1-2．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 【答案】17 【分析】将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与蜂蜜相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是． 变式1-3．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 题型二、长方体中的最短路径模型 典例2．（25-26八年级下·广西桂林·阶段检测）如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，最短路线长为___________． 【答案】 【分析】长方体展开是长方形，根据题意可知，蚂蚁爬的路径有三种可能，根据两点之间线段最短，利用勾股定理计算解答． 【详解】解：蚂蚁由点沿长方体的表面爬行到点，有三种方式，分别展开成平面图形如下： 如图1，， 如图2，， 如图3，， ， 沿图2的方式爬行路线最短，最短路线长为 ． 题型模版 1.特征：长方体表面从一点到另一点的最短路径，需展开不同侧面成平面，比较各路径。 2.方法：分情况展开相邻两个面（共3种），化为平面矩形，用勾股定理求各直线距离，取最小值。 变式2-1．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 变式2-2．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 变式2-3．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 题型三、阶梯中的最短路径模型 典例3．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 _________ ． 【答案】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 则沿台阶面由A到B的最短路程是． 题型模版 1.特征：阶梯表面从一端到另一端的最短路径，将阶梯侧面展开成平面矩形。 2.方法：把阶梯的竖直面与水平面依次展开，拼成一个矩形（总高为阶梯总高，总宽为各台阶宽度之和），用勾股定理求对角线。 变式3-1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离是__________________． 【答案】13 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，画出展开图，然后利用勾股定理求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为13． 故答案为： 变式3-2．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 变式3-3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 题型四、构造直角三角形中的最短路径模型 典例4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 题型模版 1.特征：通过作垂线或平移，将军饮马问题转化为勾股定理求两点间最短距离。 2.方法：作对称点化折线为直线，构造直角三角形，利用勾股定理求最短路径长（两点间线段最短）。 变式4-1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)、、三点共线 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）连接，根据，得到当、、三点共线时，的值最小； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ； （2）连接， ， 当、、三点共线时，的值最小． 故点满足的条件为、、三点共线； （3）如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 变式4-2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 变式4-3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当A、P、C三点共线（点P位于A、C之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述方法，求的最小值（线段的长）． (2)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (3)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)5 (2)10 (3)①；②5 【分析】（1）构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长； （2）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （3）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值 【详解】（1）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为5； （2）解：如图，作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10； （3）解：①如图，作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图， 当、、三点共线时，有最大值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，如图所示， ∴， ∴最短路程是：． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（    ） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 【答案】A 【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距3千米，根据题意可得： 千米，千米， ∵， 则， 解得：． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距3千米． 4．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意，分三种情况展开蚂蚁爬过的面成平面图形，再由勾股定理求解长度，比较各个情况大小即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分三种情况： 将右面向前面展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； 将上面向前面展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； 将右面向下展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； ， ， 则爬行的最短路程为． 5．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，圆柱形水桶的桶高为，底面周长为，在桶内壁离桶底的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿，且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将水桶侧面展开，作B关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 将水桶侧面展开，作B关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 由题意得：，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴， 所以，小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，且 ；然后根据三角形面积公式求出点 到直线 的距离，确定点 的轨迹是一条平行于 的直线；最后利用轴对称性质（将军饮马模型），作点 关于该直线的对称点，发现对称点即为点 ，从而将 的最小值转化为线段 的长度 ． 【详解】解： 是直角三角形，且 ， ， 设点 到直线 的距离为 解得 点 在平行于 且到 距离为 的直线 上 ， 如图所示， 作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ， 直线 ， 直线 点 在直线 上 点 与点 关于直线 对称，且直线 到 的距离为 ， ， ，且点 在直线 右侧， 点 与点 重合， 的最小值 ． 8．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则， 由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米， 米，米， 米， 的最短距离为米． 10．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 【答案】 10 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解代数问题是解题的关键．（1）由，，即可得到；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，当点与重合时，值最小，根据勾股定理求出． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点， 当与重合时，式子取等号，值最小． ， ． 三、解答题 11．（2025八年级上·陕西·专题练习）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在Rt△中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25． 12．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 13．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 14．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 15．（2026·湖北襄阳·模拟预测）日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【答案】(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 16．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为______； (2)变式训练：利用图3，代数式的最小值为______； (3)若，则的最小值为______； (4)已知正数m满足，求m的值． 【答案】(1)13 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． （4）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴的最小值是13， 故答案为：13； （2）解：如图， ， ， ， ∴的最小值是； 故答案为：； （3）解：如图， ，，，，，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $