专题03 勾股定理的应用十大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理十大应用场景，以题型为单元构建“模型+步骤+易错点”方法体系，通过典例与变式实现知识迁移，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十大应用题型|每题型1典例+3变式|含模型构建、解题步骤、易错点，如旗杆问题用直角三角形模型列方程，梯子问题抓不变斜边两次勾股|从实际情境抽象直角三角形模型，运用勾股定理解决长度、距离等问题，体现数学眼光观察现实世界、数学思维解决实际问题的逻辑链|

专题03 勾股定理的应用十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 应用勾股定理解决旗杆高度问题 题型02 应用勾股定理解决梯子滑落问题 题型03 应用勾股定理解决风吹树折问题 题型04 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题 题型05 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题 题型06 应用勾股定理解决台阶地毯问题 题型07 应用勾股定理解决是否超速问题 题型08 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 题型09 应用勾股定理解决折叠问题 题型10 应用勾股定理解决最短路径问题 ▌题型01 应用勾股定理解决旗杆高度问题 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】12 米 【变式1-3】 【答案】（1）宣传标语的悬挂高度为；（2）宣传标语的悬挂高度为． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，运用方程建模思想与勾股定理变形技巧，解题关键是设未知数后利用直角三角形三边关系列方程并联立求解，易错点是混淆勾股定理中斜边与直角边的平方关系． 【详解】（1）解：设，则标语长为， ∴由勾股定理得：，解得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． （2）解：设 ，则标语长为， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：． ∴． ∴在中，由勾股定理得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． ▌题型02 应用勾股定理解决梯子滑落问题 【典例2】【答案】C 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】 【答案】(1)1.5米 (2)0.5米 【分析】（1）在中，根据勾股定理可得米； （2）由题意得米，米，在中，根据勾股定理可得米，进而可得米． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得中，，米，米， ∴（米）． （2）解：由题意得米，米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 【变式1-3】 【答案】(1)点B到地面的距离为米； (2)消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）过点A作于点H，根据勾股定理求得，，进而可得出结论； （2）连接并延长交于点H，由勾股定理求得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点A作于点H， 由题意得米，米，米， ∵在中，，即， ∴， ∴（米）， 答：点B到地面的距离为米； （2）解：连接并延长交于点H，则，又，故A、C、H三点共线， ∵，， ∴， ∵当云梯伸至最长40米时，前进的距离最小， 此时，在中，即， 解得， ∴（米）， 答：消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． ▌题型03 应用勾股定理解决风吹树折问题 【典例3】【答案】C 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． ▌题型04 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题 【典例4】【答案】D 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】 ▌题型05 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题 【典例5】【答案】B 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】5 【变式1-3】 【答案】(1)15米； (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中， ， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． ▌题型06 应用勾股定理解决台阶地毯问题 【典例6】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】2100 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： ▌题型07 应用勾股定理解决是否超速问题 【典例7】 【答案】小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）． 【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案． 【详解】解：小汽车已超速，理由如下： 根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC32（米）， ∵小汽车1.5秒行驶32米， ∴小汽车行驶速度为76.8千米/时， ∵76.8＞60， ∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出BC的长是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：略． 【变式1-2】 【分析】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断． 【详解】解：在Rt△AMN中，AM＝50米，MN＝30米， ∴AN40（米）， 在Rt△MNB中，BM＝34米，MN＝30米， ∴BN16（米）， ∴AB＝AN+NB＝40+16＝56（米）， ∴汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2（米/秒）， ∵11.2米/秒＝40.32千米/时＜60千米/时， ∴此车没有超速． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确求出AN与BN的长是解本题的关键． 【变式1-3】 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，可得AD＝50米，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，则有AE＝130米，利用勾股定理可求得DE的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度＝路程÷时间，即可判断． 【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图所示： 由题意可得：AD＝50米，AE＝130米， 在Rt△ADE中， DE ＝120（米）， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）小汽车6秒中的平均速度为：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小时）， ∵72＞70， ∴小汽车超速了． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． ▌题型08 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 【典例8】 【答案】能听到，总共能听到分钟的广播 【分析】先根据垂线段最短，判断小明家是否能听到广播，再利用勾股定理求出能听到广播的路段，用这个路段的长度除以广播车的速度即可求出对应的时间． 【详解】解：能，理由如下： ∵， ∴能听到， 如图，假设点C，D处恰好广播车与小明家的距离为，则当广播车在段时，与小明家的距离小于等于， 由题意，可知，， ∴由勾股定理，得， 同理，， ∴， （分钟）， ∴小明总共能听到分钟的广播． 【变式1-1】 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】 【答案】(1)； (2)学校会受噪声影响 理由如下：过点作于点， 根据三角形面积公式可得， ； 压路工程车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）根据三角形面积公式求得的值，即可解答； （3）在上取一点，使，连接，求得的长即可解答． 【详解】（1）解：点与直线上两点，的距离分别为和，， ，． 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：在上取一点，使，连接， ， 当压路工程车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在中， ，． ，（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 【变式1-3】 【答案】(1)见解析 (2)海港C受到台风影响，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵km，km，km， ∴． ∴是直角三角形， ∴； （2）解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． （3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． ▌题型09 应用勾股定理解决折叠问题 【典例9】【答案】B． 【变式1-1】【答案】C． 【变式1-2】【答案】B． 【变式1-3】【答案】D． ▌题型10 应用勾股定理解决最短路径问题 【典例10】【答案】A． 【变式1-1】【答案】6 【变式1-2】 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【变式1-3】 【答案】(1) 如图所示： (2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，最短路径问题等知识点熟练掌握以上知识点是做题的关键，（1）根据题意，画出圆柱的侧面展开图即可；（2）根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的应用十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 应用勾股定理解决旗杆高度问题 题型02 应用勾股定理解决梯子滑落问题 题型03 应用勾股定理解决风吹树折问题 题型04 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题 题型05 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题 题型06 应用勾股定理解决台阶地毯问题 题型07 应用勾股定理解决是否超速问题 题型08 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 题型09 应用勾股定理解决折叠问题 题型10 应用勾股定理解决最短路径问题 ▌题型01 应用勾股定理解决旗杆高度问题 1. 模型：直角三角形，旗杆为竖直直角边，地面水平距离为另一条直角边，绳子为斜边。 2. 等量关系：设旗杆高，绳长多出来的长度为已知，则斜边长差值。 3. 列式公式：。 4. 解题步骤：设未知数→勾股列方程→展开消元求解高度。 5. 易错点：分清斜边是绳子，不要把旗杆当成斜边。 【典例1】某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 【变式1-1】如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）． 【变式1-2】学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为____________． 【答案】12 米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 【答案】（1）宣传标语的悬挂高度为；（2）宣传标语的悬挂高度为． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，运用方程建模思想与勾股定理变形技巧，解题关键是设未知数后利用直角三角形三边关系列方程并联立求解，易错点是混淆勾股定理中斜边与直角边的平方关系． 【详解】（1）解：设，则标语长为， ∴由勾股定理得：，解得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． （2）解：设 ，则标语长为， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：． ∴． ∴在中，由勾股定理得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． ▌题型02 应用勾股定理解决梯子滑落问题 1. 不变量：梯子长度始终为斜边，长度不变。 2. 分两步计算： ① 初始状态：已知墙高、梯子长，求底端到墙距离； ② 下滑后：新墙高 = 原墙高 - 下滑距离，再求新底端距离； ③ 底端滑动距离 = 新距离−原距离。 3. 核心公式：。 4. 技巧：梯子长度固定，两次使用勾股定理。 【典例2】如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，米，米，米， 在中，， ， ， 在中，， ， 则梯子顶端A下滑了米． 【变式1-1】如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设米，得到米，根据勾股定理得到，结合梯子的长度不变得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，米，，， 设米，则：米， 在和中，由勾股定理，得：， ∴，即：， 解得， ∴米， ∴米； 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架长2.5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上（垂足为O），此时为2米． (1)求梯子底端到墙的距离的长； (2)如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离是多少米？ 【答案】(1)1.5米 (2)0.5米 【分析】（1）在中，根据勾股定理可得米； （2）由题意得米，米，在中，根据勾股定理可得米，进而可得米． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得中，，米，米， ∴（米）． （2）解：由题意得米，米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 【答案】(1)点B到地面的距离为米； (2)消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）过点A作于点H，根据勾股定理求得，，进而可得出结论； （2）连接并延长交于点H，由勾股定理求得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点A作于点H， 由题意得米，米，米， ∵在中，，即， ∴， ∴（米）， 答：点B到地面的距离为米； （2）解：连接并延长交于点H，则，又，故A、C、H三点共线， ∵，， ∴， ∵当云梯伸至最长40米时，前进的距离最小， 此时，在中，即， 解得， ∴（米）， 答：消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． ▌题型03 应用勾股定理解决风吹树折问题 1. 模型：折断树木分成两段，下段竖直地面，上段为斜边，树根到树梢水平距离为直角边。 2. 设元方法：设未折断树高，则折断斜段长。 3. 方程：。 4. 关键：整棵树总高度 = 竖直段 + 斜折段，不要混淆边长。 【典例3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一棵大树原高，被大风刮断后，树的顶端A与树根C的距离为，则这棵树断裂处距地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这棵树断裂处距地面的高度为x米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设这棵树断裂处距地面的高度为，则，， 由勾股定理得：，则 ， 解得， 答：这棵树断裂处距地面的高度为． 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键：根据题意，竹子原高10尺，折断后竹尖触地，离根3尺，设折断处高度为x尺，则折断部分长度为尺，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设折后竹尖离地面高度为x尺，则折断部分长度为尺， 由勾股定理得：， 即 ， 解得． 故折后竹尖离地面高度为4.55尺． 故选A． 【变式1-2】如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先求出，尺，再设尺，则尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，（尺），尺， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 【变式1-3】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． ▌题型04 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题 1. 最长浸入模型：筷子斜放时，杯底直径、水杯高度为直角边，杯内筷子长度为斜边。 2. 数量关系：筷子总长 = 杯内斜边长度 + 露出长度。 3. 已知杯高、底面直径，先算杯内最长线段：。 4. 两类考法：①求露出长度；②已知露出长度求水杯高度 / 直径。 【典例4】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 【变式1-1】如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 画轴露出筒口外的长度最少，即在筒内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：底面直径为，高为， 画轴露出筒口外的长度最少为：． 故选：A． 【变式1-2】如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，本题是立体图形，要注意找出直角三角形，根据勾股定理求解． 两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为， 这根吸管经过矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形， 吸管的总长度为． 故选：C． 【变式1-3】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，作于点，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，则， 依题意得，，， 在中，， ∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是， 故答案为：． ▌题型05 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题 1. 建模：两树高度差为一条直角边，两棵树水平间距为另一条直角边，小鸟飞行路线为斜边。 2. 步骤：先算高度差→水平距离已知→勾股求飞行路程。 拓展题型：结合速度求飞行时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 【典例5】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 【变式1-1】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 【变式1-2】有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间___才能赶回巢中． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意知，． 过A作于E．则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴它至少需要才能赶回巢中． 故答案为：． 【变式1-3】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)15米； (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中， ， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． ▌题型06 应用勾股定理解决台阶地毯问题 1. 地毯长度转化：把台阶所有横向线段平移、纵向线段平移，总地毯长 = 台阶总水平宽 + 台阶总竖直高。 2. 配套考点：若给台阶斜面总长，先用勾股求出总水平、总竖直长度，再相加得地毯长度。 3. 面积计算：地毯面积 = 地毯总长 × 台阶宽度。 【典例6】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 【变式1-1】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：C． 【变式1-2】为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 【答案】2100 【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 【变式1-3】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： ▌题型07 应用勾股定理解决是否超速问题 1. 模型：道路垂直，两点竖直、水平距离为直角边，车辆行驶路程为斜边。 2. 计算流程： ① 勾股算出车辆行驶路程； ② 路程 ÷ 行驶时间 = 实际速度； ③ 对比限速，判断超速与否。 3. 单位注意：统一单位（米 / 秒、千米 / 小时换算）。 【典例7】“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由． 【答案】小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）． 【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案． 【详解】解：小汽车已超速，理由如下： 根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC32（米）， ∵小汽车1.5秒行驶32米， ∴小汽车行驶速度为76.8千米/时， ∵76.8＞60， ∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出BC的长是解题的关键． 【变式1-1】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：略． 【变式1-2】根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速． 【分析】在Rt△AMN中根据勾股定理求出AN，在Rt△BMN中根据勾股定理求出BN，由AN+NB求出AB的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断． 【详解】解：在Rt△AMN中，AM＝50米，MN＝30米， ∴AN40（米）， 在Rt△MNB中，BM＝34米，MN＝30米， ∴BN16（米）， ∴AB＝AN+NB＝40+16＝56（米）， ∴汽车从A到B的平均速度为56÷5＝11.2（米/秒）， ∵11.2米/秒＝40.32千米/时＜60千米/时， ∴此车没有超速． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确求出AN与BN的长是解本题的关键． 【变式1-3】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． （1）求小汽车6秒走的路程； （2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 【分析】（1）过点A作AD⊥BC，可得AD＝50米，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，则有AE＝130米，利用勾股定理可求得DE的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度＝路程÷时间，即可判断． 【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图所示： 由题意可得：AD＝50米，AE＝130米， 在Rt△ADE中， DE ＝120（米）， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）小汽车6秒中的平均速度为：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小时）， ∵72＞70， ∴小汽车超速了． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． ▌题型08 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 1. 核心判定：过建筑作台风路线垂线，垂线段为最短距离。 2. 解题步骤： ① 构造直角三角形，求建筑到台风路径的垂直距离； ② 若垂距≤台风影响半径，则受影响；反之不受。 3. 拓展：求受影响时长，以建筑为圆心、影响半径画圆，用勾股算出受影响路段长度，再除以风速得时间。 【典例8】为了积极宣传防疫，区政府采用了移动车进行广播宣传，如图，小明家在笔直的道路的一侧A处，小明家到道路的距离为600米，假使广播车P周围1000米内能听到广播．广播车以250米/分的速度在道路行驶时，小明在家能否听到广播？若能，请求出他总共能听到多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】能听到，总共能听到分钟的广播 【分析】先根据垂线段最短，判断小明家是否能听到广播，再利用勾股定理求出能听到广播的路段，用这个路段的长度除以广播车的速度即可求出对应的时间． 【详解】解：能，理由如下： ∵， ∴能听到， 如图，假设点C，D处恰好广播车与小明家的距离为，则当广播车在段时，与小明家的距离小于等于， 由题意，可知，， ∴由勾股定理，得， 同理，， ∴， （分钟）， ∴小明总共能听到分钟的广播． 【变式1-1】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1)； (2)学校会受噪声影响 理由如下：过点作于点， 根据三角形面积公式可得， ； 压路工程车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）根据三角形面积公式求得的值，即可解答； （3）在上取一点，使，连接，求得的长即可解答． 【详解】（1）解：点与直线上两点，的距离分别为和，， ，． 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：在上取一点，使，连接， ， 当压路工程车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在中， ，． ，（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 【变式1-3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2)海港C受到台风影响，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵km，km，km， ∴． ∴是直角三角形， ∴； （2）解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． （3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． ▌题型09 应用勾股定理解决折叠问题 1. 折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，隐藏等量线段。 2. 通用方法：设未知边长为，用折叠等量把其他边用含式子表示。 3. 找直角三角形：在原图（矩形 / 三角形）里锁定直角，列勾股方程求解。 4. 常见图形：矩形折叠、直角三角形折叠、沿对角线折叠。 【典例9】如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 【答案】B． 【分析】根据折叠的性质可得∠BAC＝∠EAC，结合矩形的性质可推出∠EAC＝∠ACD，则AO＝CO＝5cm，根据勾股定理得OD（cm），再由AB＝CD＝CO+OD即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质可知∠BAC＝∠EAC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∠EAC＝∠ACD， ∴AO＝CO＝5cm， 在直角三角形ADO中，AD＝4cm， OD（cm）， ∴AB＝CD＝CO+OD＝3+5＝8（cm）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【变式1-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 【答案】C． 【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可． 【详解】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm， ∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE， ∴AD＝BD＝8﹣x， 在△ACD中，∠C＝90°， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x， 即CD的长为cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理． 【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（　　） A． B． C． D．3 【答案】B． 【分析】根据折叠性质可得AF，再根据勾股定理可得DF，由矩形性质可得CF，设CE为x，由折叠性质可得EF＝BE＝6﹣x，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝10，BC＝6， ∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝6，∠D＝90°， ∵沿AE翻折△ABE， ∴AF＝AB＝10，EF＝BE， 在Rt△ADF中，由勾股定理可得： DF8， ∴CF＝CD﹣DF＝10﹣8＝2， 设CE＝x，则 EF＝BE＝6﹣x， 在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2， 即22+x2＝（6﹣x）2， 解得：x， ∴CE的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是由折叠性质得出CF，再利用勾股定理求解． 【变式1-3】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则DE的值为（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】D． 【分析】连接BE，由折叠可知，DE＝BE，CD＝BG＝4，CF＝GF，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠G＝90°，由AD∥BC可得∠DEF＝∠BFE，进而得到∠BFE＝∠BEF，则BE＝BF＝DE，设CF＝GF＝x，则BF＝8﹣x，Rt△BFG中，利用勾定理建立方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝8， ∴AB＝CD＝4，∠D＝90°，AD∥BC， 由折叠可知，DE＝BE，CD＝BG＝4，CF＝GF，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠G＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠BFE＝∠BEF， ∴BE＝BF＝DE， 设CF＝GF＝x，则BF＝BC﹣CF＝8﹣x， 在Rt△BFG中，GF2+BG2＝BF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴DE＝BF＝8﹣x＝5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理．再解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件． ▌题型10 应用勾股定理解决最短路径问题 1. 核心原理：两点之间线段最短，立体图形必须侧面展开为平面长方形。 2. 长方体 / 圆柱分类： · 圆柱：侧面展开长方形，高、底面半圆弧长为直角边； · 长方体：分三种展开方式，分别算斜边，取最小值。 3. 解题步骤：展开立体→标出两点水平、竖直距离→勾股求斜线段长度。 4. 易错点：不展开直接在立体内部连线计算，结果错误。 【典例10】如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为ABCD），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若AB＝7，BC＝5，CG＝5，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．13 B．12 C．7 D． 【答案】A． 【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：①如图，这只蚂蚁爬行的最短路程为， ②如图所示， ∵一个无盖的长方体盒子， 路径为AF+FG5≈13.4， 或AB+BG＝77+514， ∴这只蚂蚁爬行的最短距离是13． 故选：A． 【点睛】此题考查平面展开﹣最短路径问题，解题关键在于掌握路径最短问题． 【变式1-1】如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 【答案】6 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了． 【详解】解：如图： ∵高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒， 此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处， ∴底部7厘米，所以AE＝11cm，BD＝11+1＝12厘米， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B6（cm）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【变式1-2】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【变式1-3】如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 【答案】(1) 如图所示： (2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，最短路径问题等知识点熟练掌握以上知识点是做题的关键，（1）根据题意，画出圆柱的侧面展开图即可；（2）根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的应用十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 应用勾股定理解决旗杆高度问题 题型02 应用勾股定理解决梯子滑落问题 题型03 应用勾股定理解决风吹树折问题 题型04 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题 题型05 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题 题型06 应用勾股定理解决台阶地毯问题 题型07 应用勾股定理解决是否超速问题 题型08 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 题型09 应用勾股定理解决折叠问题 题型10 应用勾股定理解决最短路径问题 ▌题型01 应用勾股定理解决旗杆高度问题 1. 模型：直角三角形，旗杆为竖直直角边，地面水平距离为另一条直角边，绳子为斜边。 2. 等量关系：设旗杆高，绳长多出来的长度为已知，则斜边长差值。 3. 列式公式：。 4. 解题步骤：设未知数→勾股列方程→展开消元求解高度。 5. 易错点：分清斜边是绳子，不要把旗杆当成斜边。 【典例1】某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【变式1-1】如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【变式1-2】学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为____________． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． ▌题型02 应用勾股定理解决梯子滑落问题 1. 不变量：梯子长度始终为斜边，长度不变。 2. 分两步计算： ① 初始状态：已知墙高、梯子长，求底端到墙距离； ② 下滑后：新墙高 = 原墙高 - 下滑距离，再求新底端距离； ③ 底端滑动距离 = 新距离−原距离。 3. 核心公式：。 4. 技巧：梯子长度固定，两次使用勾股定理。 【典例2】如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 【变式1-1】如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动4米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动4米，则梯子的长度为（   ） A．20米 B．16米 C．12米 D．24米 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架长2.5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上（垂足为O），此时为2米． (1)求梯子底端到墙的距离的长； (2)如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离是多少米？ 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ ▌题型03 应用勾股定理解决风吹树折问题 1. 模型：折断树木分成两段，下段竖直地面，上段为斜边，树根到树梢水平距离为直角边。 2. 设元方法：设未折断树高，则折断斜段长。 3. 方程：。 4. 关键：整棵树总高度 = 竖直段 + 斜折段，不要混淆边长。 【典例3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一棵大树原高，被大风刮断后，树的顶端A与树根C的距离为，则这棵树断裂处距地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 【变式1-2】如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【变式1-3】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ ▌题型04 应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题 1. 最长浸入模型：筷子斜放时，杯底直径、水杯高度为直角边，杯内筷子长度为斜边。 2. 数量关系：筷子总长 = 杯内斜边长度 + 露出长度。 3. 已知杯高、底面直径，先算杯内最长线段：。 4. 两类考法：①求露出长度；②已知露出长度求水杯高度 / 直径。 【典例4】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是一个圆柱形画筒，其内径（底面直径）为，内侧高度为，现有一幅总长度为的画轴，任意放入画筒中，则画轴露在筒口外的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． ▌题型05 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题 1. 建模：两树高度差为一条直角边，两棵树水平间距为另一条直角边，小鸟飞行路线为斜边。 2. 步骤：先算高度差→水平距离已知→勾股求飞行路程。 拓展题型：结合速度求飞行时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 【典例5】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【变式1-2】有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间___才能赶回巢中． 【变式1-3】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． ▌题型06 应用勾股定理解决台阶地毯问题 1. 地毯长度转化：把台阶所有横向线段平移、纵向线段平移，总地毯长 = 台阶总水平宽 + 台阶总竖直高。 2. 配套考点：若给台阶斜面总长，先用勾股求出总水平、总竖直长度，再相加得地毯长度。 3. 面积计算：地毯面积 = 地毯总长 × 台阶宽度。 【典例6】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【变式1-1】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【变式1-2】为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 【变式1-3】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． ▌题型07 应用勾股定理解决是否超速问题 1. 模型：道路垂直，两点竖直、水平距离为直角边，车辆行驶路程为斜边。 2. 计算流程： ① 勾股算出车辆行驶路程； ② 路程 ÷ 行驶时间 = 实际速度； ③ 对比限速，判断超速与否。 3. 单位注意：统一单位（米 / 秒、千米 / 小时换算）。 【典例7】“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由． 【变式1-1】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【变式1-2】根据道路管理条例规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速为60km/h，如图，一观测点M到公路l的距离MN为30m，现测得一辆汽车从点A到点B所用时间为5s，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50m，34m，请通过计算判断此车是否超速． 【变式1-3】“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． （1）求小汽车6秒走的路程； （2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ ▌题型08 应用勾股定理解决是否受台风影响问题 1. 核心判定：过建筑作台风路线垂线，垂线段为最短距离。 2. 解题步骤： ① 构造直角三角形，求建筑到台风路径的垂直距离； ② 若垂距≤台风影响半径，则受影响；反之不受。 3. 拓展：求受影响时长，以建筑为圆心、影响半径画圆，用勾股算出受影响路段长度，再除以风速得时间。 【典例8】为了积极宣传防疫，区政府采用了移动车进行广播宣传，如图，小明家在笔直的道路的一侧A处，小明家到道路的距离为600米，假使广播车P周围1000米内能听到广播．广播车以250米/分的速度在道路行驶时，小明在家能否听到广播？若能，请求出他总共能听到多长时间？若不能，请说明理由． 【变式1-1】我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【变式1-2】内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【变式1-3】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ ▌题型09 应用勾股定理解决折叠问题 1. 折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，隐藏等量线段。 2. 通用方法：设未知边长为，用折叠等量把其他边用含式子表示。 3. 找直角三角形：在原图（矩形 / 三角形）里锁定直角，列勾股方程求解。 4. 常见图形：矩形折叠、直角三角形折叠、沿对角线折叠。 【典例9】如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 【变式1-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．无法确定 【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（　　） A． B． C． D．3 【变式1-3】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则DE的值为（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．5 ▌题型10 应用勾股定理解决最短路径问题 1. 核心原理：两点之间线段最短，立体图形必须侧面展开为平面长方形。 2. 长方体 / 圆柱分类： · 圆柱：侧面展开长方形，高、底面半圆弧长为直角边； · 长方体：分三种展开方式，分别算斜边，取最小值。 3. 解题步骤：展开立体→标出两点水平、竖直距离→勾股求斜线段长度。 4. 易错点：不展开直接在立体内部连线计算，结果错误。 【典例10】如图，一个无顶盖的长方体盒子紧贴地面（接触面为ABCD），一只蚂蚁由点A出发，在盒子表面上爬到点G处觅食，若AB＝7，BC＝5，CG＝5，则这只蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．13 B．12 C．7 D． 【变式1-1】如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 【变式1-2】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【变式1-3】如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $