专题21 勾股定理的应用（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以12类实际问题为载体，系统提炼勾股定理应用的建模方法与解题步骤，形成“问题情境—直角三角形构造—方程求解”的完整逻辑链，培养几何直观与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理应用|12题型（含12典例+36变式）|构造Rt△、方程思想、平移转化、立体展开；通用步骤：画图标量→设未知量→勾股列方程→求解验证|从实际问题抽象直角三角形模型，通过已知边（斜边/直角边）求未知边，体现“实际问题→数学抽象→定理应用→解决问题”的逻辑，强化空间观念与推理意识。|

专题21 勾股定理的应用 ▌题型01 求梯子滑落高度 【典例1】D． 【变式1-1】 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2.5m，BC＝0.7m， 由勾股定理得：AC2.4（m）． 答：梯子的顶端A距地面的高度AC为2.4m． （2）∵梯子的顶端A沿墙下滑0.4m， ∴AA'＝0.4m， ∴A'C＝AC﹣AA'＝2.4﹣0.4＝2（m）， 在Rt△A'B'C中，A'B'＝2.5m，A'C＝2m， 由勾股定理得：B'C1.5（m）， ∴BB'＝B'C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）， 答：梯子底端B外移0.8m，不是0.4m． 【变式1-2】 【解答】解：∵AE＝0.7米，DE＝2.4米， ∴AD2＝0.72+2.42＝6.25． ∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2， ∴AB2+1.52＝6.25， ∴AB2＝4． ∵AB＞0， ∴AB＝2米． ∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7（米）． 故答案为：2.7． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由题意可得，AB＝CD＝2.5m，BO＝0.7m， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得： ∵梯子底端沿OB向外移动0.8m， ∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m）， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：， ∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）． 答：梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度为0.4m； （2）叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点．理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E， 由题意可得，CD′＝AD＝25m，AB＝17m，AC＝5m， ∵叉车高2m， ∴BE＝2m， ∴AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m）， ∴ED20（m）， ∵CE＝AE+AC＝15+5＝20（m）， ∴ED′15（m）， ∴DD′＝ED﹣ED′＝20﹣15＝5（m）， ∴叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点． ▌题型02 求旗杆高度 【典例1】D． 【变式1-1】 【解答】解：如图，BC＝8m，CD＝2m，作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形， ∴DE＝BC＝8m，BE＝CD＝2m， 设AD＝AB＝xm，则AE＝（x﹣2）m， 在Rt△AED中，由勾股定理，得：x2＝82+（x﹣2）2， 解得：x＝17； 答：旗杆的高度AB为17m． 【变式1-2】 【解答】解：（1）根据题意知绳子AB的长为（BC+3）米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2， ∴BC2+92＝（BC+3）2， 解得：BC＝12， ∴旗杆的高度BC＝12米； （2）由（1）知，AB＝BC+3＝15米，则BD＝15+5＝20（米）， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD16（米）， ∴AD＝CD﹣AC＝7米， ∴珍珍应从A处向东走7米． 【变式1-3】 【解答】解：由图①可知：绳子的长度比旗杆的高度多3m， 设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度为（x+3）m， 由图②可得，PF＝（x+3）m， 在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ2+QF2＝PF2， 即x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， 答：学校旗杆的高度为12m． ▌题型03 求小鸟飞行距离 【典例1】 【解答】解：（1）两棵树的高度差为18﹣2＝16（米），两树相距12米（BD＝12米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离20（米）． 答：至少飞了20米； （2）由勾股定理得，BM2+AB2＝AM2， ∴BM2+122＝（18﹣BM）2， 解得BM＝5， 答：树AB折断处M距离地面5米 【变式1-1】A． 【变式1-2】 【解答】解：设树高为xm，则BD＝（x﹣10）m， 则题意可知：BC+AC＝10+20＝30（m）， ∴AD＝30﹣BD＝30﹣（x﹣10）＝（40﹣x）m， ∵△ACD为直角三角形， ∴AD2＝AC2+DC2， 即（40﹣x）2＝202+x2， 解得：x＝15， 答：树高为15m． 【变式1-3】 【解答】解：由题意可知，∠B＝90°， ∵AB＝20，AC＝25， ∴BC（米）， ∵AD＝12， ∴DB＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（米）， ∴DC（米）， 即小鸟到地面C点的距离为17米． ▌题型04 求大树折断前的高度 【典例1】16． 【变式1-1】 【解答】树枝落地时会砸着小轿车； 理由：由题意可知，∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 在 Rt△ABC中，AC＝4m，AB＝12﹣4＝8（m）， 由勾股定理得：， ∵CD＝6.5m， CD＜BC， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 【变式1-2】 【解答】解：（1）两棵树的高度差为18﹣2＝16（米），两树相距12米（BD＝12米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离20（米）． 答：至少飞了20米； （2）由勾股定理得，BM2+AB2＝AM2， ∴BM2+122＝（18﹣BM）2， 解得BM＝5， 答：树AB折断处M距离地面5米． 【变式1-3】 【解答】解：设AB的长为x米，则AC＝（32﹣x）， 根据题意得：x2+162＝（32﹣x）2， 解得：x＝12， 所以AB的长为12， 因为BD＝5米， 所以AD＝13米， 所以梯子的长为13米． ▌题型05 解决水杯中的筷子问题 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】 【解答】解：设筷子长度GE＝DE＝xcm，则GD＝xcm，EF＝（x﹣2）cm，DF6cm， 在Rt△DFE中，由勾股定理得， EF2+DF2＝DE2， 即（x﹣2）2+62＝x2， 解得x＝8， ∴GE＝8cm， ∴筷子长度为8cm． 【变式1-3】 【解答】解：（1）杯子内木筷的最大长度是：17cm， 则木筷露在杯子外面的最短长度是：20﹣17＝3（cm）， 故木筷露在杯子外面的部分至少有3cm； （2）长方体容器内木筷的最大长度是：17.97cm， 则木筷露在长方体容器外面的最短长度是：20﹣17.97≈2.0（cm）， 故木筷露在杯子外面的部分至少约为2.0cm． ▌题型06 解决航海问题 【典例1】C． 【变式1-1】D． 【变式1-2】 【解答】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于点D， ∵BC＝800m，AB＝1000m，AC＝600m， ∴AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002+8002＝360000+640000＝1000000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， ∴CD＝480m， 答：飞机距离着火点C的最短距离为480m； （2）如图，在线段AD和线段BD上分别取一点E和点F，连接CE，CF，使得CE＝CF＝500m， 在Rt△CDE中，由勾股定理得， 同理可得DF＝140m， ∴EF＝DE+DF＝280m， 280÷20＝14（s），且14＜15， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 【变式1-3】 【解答】解：由题意AD＝6km， Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得62+BD2＝102． ∴BD＝8（km）． ∴CD＝BC﹣BD＝13﹣8＝5（km）． Rt△ACD中， ∴AC（km）． 答：C岛和A港之间的距离为km． ▌题型07 求河宽（芦苇长度） 【典例1】 【解答】解：设芦苇的长度是x尺， ∴OE＝x尺，AE＝（x﹣1）尺， AB＝1丈＝10尺， ∵O是AB的中点， ∴AOAB10＝5（尺）， 由勾股定理得到：OE2＝AE2+AO2， ∴x2＝（x﹣1）2+52， ∴x＝13， 答：芦苇的长度是13尺． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设芦苇的长度x尺， 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12． 答：芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺； （2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴a2+b2＝（b+n）2， 解得． ▌题型08 求台阶上地毯的长度 【典例1】D． 【变式1-1】1020． 【变式1-2】 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5m，AB＝13m， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为AC+BC＝12+5＝17（m）， ∵楼梯宽为2m， ∴需要铺地毯的面积为17×2＝34（m2）， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为34×150＝5100（元）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 答：BC的长为4m； （2）地毯长为：3+4＝7（m）， 已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元， ∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2）， ∴需要花费25×19.6＝490（元）， 答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶． ▌题型09 判断汽车是否超速 【典例1】 【解答】解：（1）由题意可得：∠ACB＝90°，AC＝60，AB＝100， ∴BC80（m）， （2）没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为v20×3.6（km/h）＝72（km/h）， ∵72km/h＜80km/h； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【变式1-1】 【解答】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC（m）， ∴小汽车的速度v20（m/s）＝72km/h， ∵72km/h＞70km/h， ∴这辆小汽车超速行驶． 【变式1-2】 【解答】解：可疑汽车超速；理由如下： ∵AC⊥BC，AB＝500m，AC＝400m， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵27m/s＜30m/s， ∴可疑汽车超速了． 【变式1-3】 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： （m） ∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． ▌题型10 判断是否受台风影响 【典例1】 【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由如下： ∵AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km， ∴根据勾股定理得，AC2+BC2＝6002+8002＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， 过点C作CD⊥AB于D， ∴， ∴，即500CD＝240000， 解得CD＝480， ∵以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）如图，当CE＝520km，CF＝520km时，正好影响港口C， ∵， ∴EF＝2ED＝400km， ∵台风的速度为50千米/小时， ∴400÷50＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式1-1】 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响． 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D． ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD240（km）， ∵260＞240， ∴海港C受到台风影响； （3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口． 在Rt△CED中，由勾股定理得 ED10（km）， ∴EF＝20km， ∵台风的速度为80km/h， ∴20÷80（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为h． 【变式1-3】 【解答】解：（1）如图1，AC＝150km，BC＝200km，AB＝250km，过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵1502+2002＝2502＝62500， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴海港C会受影响； （2）货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设此时台风中心在AB上的位置为E， ∴CE＝125km， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：， ∵点D在AB上，AD＝90km，DE＝35km， ∴AE＝AD﹣DE＝90﹣35＝55（km）， 由台风中心移动速度是15km/h可得，从A到E的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货． ▌题型11 选址使到两地距离相等 【典例1】D． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝13km，BC＝12km， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为5km； （2）设AD＝BD＝x（km）， ∵在东西走向的和平街上有两个相距12km的快递投放点B、C， ∴CD＝（12﹣x）km， ∵AD2＝AC2+CD2， ∴x2＝52+（12﹣x）2， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 【变式1-2】 【解答】解：∵AE＝xkm， ∴BE＝（100﹣x）km， 由勾股定理得：CE2＝AC2+AE2，DE2＝BD2+BE2， 根据题意得，CE＝DE， ∴AC2+AE2＝BD2+BE2， ∴202+x2＝（100﹣x）2+602， 解得：x＝66， ∴100﹣x＝34， ∴AE＝66km，BE＝34km． 【变式1-3】 【解答】解：如图，连接AG，BG， 设CG＝xm，则DG＝（80﹣x）m， 根据勾股定理可得BG2＝DG2+BD2＝（80﹣x）2+102， ∵AG＝BG， ∴702+x2＝（80﹣x）2+102， 解得x＝10， 答：该自动售货点G应该修建在离点C10m处． ▌题型12 求最短路径 【典例1】8． 【变式1-1】 【解答】解：如图， 根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，BC，CA剪开，得图1，AB′2＝AB2+BB′2＝（4+2）2+82＝100； （2）沿AC，CC′，C′B′，B′D，D′A′，A′A剪开，得图2，AB′2＝AC2+B′C＝42+（8+2）2＝16+100＝116； （3）沿AD，DD′，D′B′，B′C′，C′A′，A′A剪开，得图3，AB′2＝AD2+B′D2＝22+（4+8）2＝4+144＝148． 综上所述，最短路径应为图1所示，所以AB′2＝100，即AB′＝10dm，因此最短路程是10dm． 【变式1-2】 【解答】解：（1）如图，设CF＝12，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于CF任意一点B，过点D作DG⊥AC，交AC延长线于点G，连接AD， 则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12， ∴代数式表示AB+DB， ∵AB+DB的最小值为AD的长， 即代数式的最小值为AD的长， 在Rt△ADG中，由勾股定理得AD13， 即的最小值为13； 故答案为：13． （2）设CF＝5，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝2，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝1，对于CF任意一点B，过点D作DH⊥AC，交AC延长线于点H，连接AD， 则AH＝2+1＝3，DH＝CF＝5， ∴代数式表示AB+BD， ∵AB+DB的最小值为AD的长， ∴代数式的最小值为AD的长， ∵AD， 即代数式的最小值为． 【变式1-3】 【解答】解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小， 当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD， 过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， ∴AH＝3， 在Rt△ADH中，AD， ∴的最小值为， 故答案为：； 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′， 过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′13（km）， 则从A到B的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q到B的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y， ∴x（负值舍去）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 勾股定理的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 求梯子滑落高度 题型02 求旗杆高度 题型03 求小鸟飞行距离 题型04 求大树折断前的高度 题型05 解决水杯中筷子问题 题型06 解决航海问题 题型07 求河宽（芦苇长度） 题型08 求台阶上地毯长度 题型09 判断汽车是否超速 题型10 判断是否受台风影响 题型11 选址使到两地距离相等 题型12 求最短路径 ▌题型01 求梯子滑落高度 已知：梯子长（斜边不变），初始底端距墙，顶端高 底端向外滑动一段距离，求顶端下滑距离；或顶端下滑，求底端移动距离。 通用步骤： 1. 初始状态：Rt△，已知斜边、一条直角边，勾股求出另一条直角边 2. 滑动后：底边长度改变，斜边依旧不变，再次勾股求出新高度 3. 前后高度做差 = 下滑距离 【典例1】（2026春•西青区期末）如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO下滑（　　） A．0.8m B．0.7m C．0.5m D．0.4m 【分析】梯子顶端沿墙AO下滑的距离为AC＝OA﹣OC．利用勾股定理求出OA＝2.4，OC＝2．即可得到答案． 【解答】解：在Rt△AOB中，根据勾股定理得， 在Rt△COD中，根据勾股定理得， 所以，AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）． 因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端下滑0.4m， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•大连期末）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，∠C＝90°，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为0.7m． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC． （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B外移0.4m吗？通过计算说明你的结论． 【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝2.4m，据此可得出答案； （2）依题意得AA'＝0.4m，则A'C＝2m，在Rt△A'B'C中，由勾股定理得B'C＝1.5m，进而得BB'＝0.8m，据此可得出梯子底端B外移0.8m，不是0.4m． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2.5m，BC＝0.7m， 由勾股定理得：AC2.4（m）． 答：梯子的顶端A距地面的高度AC为2.4m． （2）∵梯子的顶端A沿墙下滑0.4m， ∴AA'＝0.4m， ∴A'C＝AC﹣AA'＝2.4﹣0.4＝2（m）， 在Rt△A'B'C中，A'B'＝2.5m，A'C＝2m， 由勾股定理得：B'C1.5（m）， ∴BB'＝B'C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）， 答：梯子底端B外移0.8m，不是0.4m． 【变式1-2】（2025秋•铜川期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE的长度．（单位：m） 【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵AE＝0.7米，DE＝2.4米， ∴AD2＝0.72+2.42＝6.25． ∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2， ∴AB2+1.52＝6.25， ∴AB2＝4． ∵AB＞0， ∴AB＝2米． ∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7（米）． 故答案为：2.7． 【变式1-3】（2026春•红谷滩区校级期末）教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m． （1）如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端会沿墙AO下滑多少米？求出梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB，货架顶部安装一个高5m的装卸平台AC，现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？请通过计算说明． 【分析】（1）根据题意，可得，AB＝2.5m，BO＝0.7m，根据勾股定理求出AO，根据梯子底端沿OB向外移动0.8m，则OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5，根据勾股定理求出CO，即可求出AC； （2）过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得，CD′＝AD＝25m，AB＝17m，AC＝5m，根据勾股定理求出ED；ED′，根据DD′＝ED﹣ED′，即可解答． 【解答】解：（1）由题意可得，AB＝CD＝2.5m，BO＝0.7m， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得： ∵梯子底端沿OB向外移动0.8m， ∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m）， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：， ∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）． 答：梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度为0.4m； （2）叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点．理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E， 由题意可得，CD′＝AD＝25m，AB＝17m，AC＝5m， ∵叉车高2m， ∴BE＝2m， ∴AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m）， ∴ED20（m）， ∵CE＝AE+AC＝15+5＝20（m）， ∴ED′15（m）， ∴DD′＝ED﹣ED′＝20﹣15＝5（m）， ∴叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点． ▌题型02 求旗杆高度 旗杆顶端系一根绳子，绳子垂到地面还多出一段；把绳子末端水平拉开一段距离，绳子刚好拉直。 1. 画图：竖直旗杆、水平地面、拉直绳索；标出所有已知长度 2. 设旗杆高为 ，表达出绳子总长 3. 根据勾股定理列出方程 4. 展开化简求解，相互抵消，得到一元一次方程 【典例1】（2026春•新华区校级期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（CF＝3.5米）的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（FH＝1.5米）到达G点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米． 则旗杆AB的高度为（　　） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【分析】由题意可得BC＝EF＝HG＝1.6米，CF＝3.5米，FH＝1.5米，则CH＝5米，设绳子的长度为x米，则AF＝（x﹣0.5）米，AH＝x米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：由题意可得：BC＝EF＝HG＝1.6米，CF＝3.5米，FH＝1.5米， ∴CH＝CF+FH＝5米， 设绳子的长度为x米，则AF＝（x﹣0.5）米，AH＝x米， 由勾股定理得AC2＝AF2﹣CF2，AC2＝AH2﹣CH2， ∴AF2﹣CF2＝AH2﹣CH2， ∴（x﹣0.5）2﹣3.52＝x2﹣52， 解得x＝13， ∴米， ∴旗杆AB的高度为AC+CB＝12+1.6＝13.6米， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•肃南县校级期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段AB为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点D处时（即AB＝AD），点D到地面的距离CD＝2m，地面上B、C两点之间的距离BC＝8m，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度AB． 【分析】作DE⊥AB，勾股定理求出AD的长即可． 【解答】解：如图，BC＝8m，CD＝2m，作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形， ∴DE＝BC＝8m，BE＝CD＝2m， 设AD＝AB＝xm，则AE＝（x﹣2）m， 在Rt△AED中，由勾股定理，得：x2＝82+（x﹣2）2， 解得：x＝17； 答：旗杆的高度AB为17m． 【变式1-2】（2025秋•高新区期末）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的细子重到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度BC； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【分析】（1）根据题意知绳子AB的长为（BC+3）米，根据勾股定理BC2+AC2＝AB2列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出CD，即可得解． 【解答】解：（1）根据题意知绳子AB的长为（BC+3）米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2， ∴BC2+92＝（BC+3）2， 解得：BC＝12， ∴旗杆的高度BC＝12米； （2）由（1）知，AB＝BC+3＝15米，则BD＝15+5＝20（米）， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD16（米）， ∴AD＝CD﹣AC＝7米， ∴珍珍应从A处向东走7米． 【变式1-3】（2026春•惠州期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段PQ表示旗杆，PQ垂直地面于点Q． 测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度. 数据信息 图①中QE的长度为3m；图②中QF的长度为9m． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【分析】设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度为（x+3）m，由勾股定理进行计算即可得出答案． 【解答】解：由图①可知：绳子的长度比旗杆的高度多3m， 设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度为（x+3）m， 由图②可得，PF＝（x+3）m， 在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ2+QF2＝PF2， 即x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， 答：学校旗杆的高度为12m． ▌题型03 求小鸟飞行距离 1. 两棵高低不同的竖直大树，地面水平，树干垂直地面。 2. 小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树顶端。 （1）竖直方向：两棵树高度差（一条直角边） （2）水平方向：两棵树底部之间的距离（另一条直角边） （3）小鸟飞行的直线路径 = 斜边 3. 通用解题步骤 （1）画图：画出两棵竖直线代表大树，连接树梢； （2）过矮树顶端作高树的水平线，构造标准直角三角形； （3）计算两条直角边：水平距离 = 两树间距，竖直距离 = 大树高度 − 小树高度； （4）勾股定理求斜边，就是小鸟最短飞行距离。 【典例1】（2026春•安远县校级期末）如图1，有两棵树，一棵高18米（AB＝18米），另一棵高2米（CD＝2米），两树相距12米（BD＝12米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断处M距离地面多少米？ 【分析】（1）根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出AM的长，即可求解． 【解答】解：（1）两棵树的高度差为18﹣2＝16（米），两树相距12米（BD＝12米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离20（米）． 答：至少飞了20米； （2）由勾股定理得，BM2+AB2＝AM2， ∴BM2+122＝（18﹣BM）2， 解得BM＝5， 答：树AB折断处M距离地面5米 【变式1-1】（2026春•林州市月考）如图，有两棵树，一棵高9m，一棵高4m，两树相距12m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（　　）m A．13m B．12m C．16m D．21m 【分析】将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【解答】解：如图，设较高的树为AB＝9m，较矮的树为CD＝4m，两树相距BD＝12m，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形CDBE为矩形， ∴CE＝BD＝12m，BE＝CD＝4m， ∴AE＝AB﹣BE＝9﹣4＝5（m）， 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AC13（m）， ∴小鸟至少要飞行13m． 故选：A． 【变式1-2】如图，在一棵树CD上距离地面10m高的B处，有一只猴子和一只小鸟，猴子爬下树后沿CA走到离树20m处的池塘A处，小鸟先沿BD飞到树顶D处再沿直线飞到A处，如果猴子和小鸟所经过的距离相等，这棵树有多高？ 【分析】设树高为xm，则可用x分别表示出AD，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得x的值． 【解答】解：设树高为xm，则BD＝（x﹣10）m， 则题意可知：BC+AC＝10+20＝30（m）， ∴AD＝30﹣BD＝30﹣（x﹣10）＝（40﹣x）m， ∵△ACD为直角三角形， ∴AD2＝AC2+DC2， 即（40﹣x）2＝202+x2， 解得：x＝15， 答：树高为15m． 【变式1-3】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【分析】根据勾股定理得出BC，进而利用勾股定理得出DC即可． 【解答】解：由题意可知，∠B＝90°， ∵AB＝20，AC＝25， ∴BC（米）， ∵AD＝12， ∴DB＝AB﹣AD＝20﹣12＝8（米）， ∴DC（米）， 即小鸟到地面C点的距离为17米． ▌题型04 求大树折断前的高度 1. 大树竖直折断，上半部分倾倒，树梢接触地面。 - 剩余直立树干：直角边①（设为） - 树根到树梢落地点水平距离：直角边②（已知） - 折断倾倒的树枝：斜边（长度=总长） 总高度 = 直立部分长度 + 斜着的折断树枝长度 2. 解题步骤 （1）设折断处离地面高度为； （2）大树原总高度未知，斜段长度 = 待求总长； （3）地面水平距离为已知线段； （4） 利用勾股定理列方程： + = （5）解出，求出斜段长度；两者相加得到大树折断前总高度。 【典例1】（2026春•呼和浩特校级期末）4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有　16　 米． 【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出结果． 【解答】解：由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形， 其中一条直角边长为6米，另一条直角边长为8米，设树折断部分的长度为x米， 由勾股定理，得：x10， ∴树折断之前的高度为6+10＝16（米）， 故答案为：16． 【变式1-1】（2026春•绥德县期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时，大风把一棵垂直于地面且高度为12m的大树拦腰折断，折断处A与地面的距离AC＝4m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD＝6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车？请作出判断并说明理由． 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为比较BC和CD的大小，可知大树会砸到小车． 【解答】树枝落地时会砸着小轿车； 理由：由题意可知，∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 在 Rt△ABC中，AC＝4m，AB＝12﹣4＝8（m）， 由勾股定理得：， ∵CD＝6.5m， CD＜BC， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 【变式1-2】（2026春•土默特左旗期末）如图1，有两棵树，一棵高18米（AB＝18米），另一棵高2米（CD＝2米），两树相距12米（BD＝12米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断处M距离地面多少米？ 【分析】（1）根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出AM的长，即可求解． 【解答】解：（1）两棵树的高度差为18﹣2＝16（米），两树相距12米（BD＝12米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离20（米）． 答：至少飞了20米； （2）由勾股定理得，BM2+AB2＝AM2， ∴BM2+122＝（18﹣BM）2， 解得BM＝5， 答：树AB折断处M距离地面5米． 【变式1-3】如图所示，一棵32米高的巨大杉树在海棠号台风中被刮断，树顶C落在离树根B点16米处，科研人员要看查看断痕A处的情况，在离树根B有5米的D处竖起一个梯子AD，请问这个梯子有多长？ 【分析】首先利用勾股定理求得AB的长，然后利用勾股定理求得斜边AD的长即可． 【解答】解：设AB的长为x米，则AC＝（32﹣x）， 根据题意得：x2+162＝（32﹣x）2， 解得：x＝12， 所以AB的长为12， 因为BD＝5米， 所以AD＝13米， 所以梯子的长为13米． ▌题型05 解决水杯中的筷子问题 1. 圆柱形水杯：底面圆形，杯壁竖直。 2. 筷子放在杯中存在两种临界位置： ①竖直放置：筷子浸入最短； ②斜靠杯壁（一端底面圆心对角，一端杯口边缘）：杯内筷子最长，这条线段是圆柱底面直径、杯子高作为直角边构成直角三角形的斜边。 已知：水杯高度，底面直径 杯内筷子最长长度： 常见问法：筷子露出杯口多长；已知露出长度求水杯尺寸；求筷子总长范围。 3. 解题步骤 （1）找到直角三角形：竖直高度、底面直径为两条直角边； （2）勾股计算杯子内部筷子最长长度； （3）结合筷子总长，算出最少露出长度； （4）若筷子竖直摆放，得到最多露出长度。 【典例1】（2026春•东城区校级期中）如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　　） A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出h的取值范围． 【解答】解：将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h最大＝24﹣8＝16（cm）， 如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm， 由勾股定理得：AB17（cm）， ∴此时h最小＝24﹣17＝7（cm）， ∴h的取值范围是7cm≤h≤16cm． 故选：D． 【变式1-1】（2025秋•山西期末）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为（　　） A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．5≤h≤6 【分析】根据图形得到筷子露在盒外的部分h（cm）最长的取值，再结合勾股定理得到筷子露在盒外的部分h（cm）最短的取值，即可解题． 【解答】解：如图， 当筷子垂直于底面时，筷子露在盒外的部分h（cm）最长，最长为：16﹣12＝4（cm）， ∵（cm）， 当筷子斜插于盒内时，筷子露在盒外的部分h（cm）最短，最短为： （cm）， ∴筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为3≤h≤4， 故选：B． 【变式1-2】如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度． 【分析】设筷子长度GE＝DE＝xcm，则GD＝xcm，EF＝（x﹣2）cm，DF6cm，在Rt△DFE中，由勾股定理得出方程求解即可． 【解答】解：设筷子长度GE＝DE＝xcm，则GD＝xcm，EF＝（x﹣2）cm，DF6cm， 在Rt△DFE中，由勾股定理得， EF2+DF2＝DE2， 即（x﹣2）2+62＝x2， 解得x＝8， ∴GE＝8cm， ∴筷子长度为8cm． 【变式1-3】（1）如图①，将一根长为20cm的细木筷斜放在一个高15cm，底边半径为4cm的无盖圆柱形杯子内．木筷露在杯子外面的部分至少有多长？ （2）如果将（1）中的筷子斜放在一个高15cm、底面边长为7cm的正方形的无盖的长方体的容器内（图②）．木筷露在容器外面的部分至少有多长（精确到0.1cm）？ 【分析】（1）首先利用勾股定理计算出杯子内木筷的最大长度，然后用木筷的总长度减去杯子内木筷的最大长度就是木筷露在杯子外面的最短长度； （2）根据勾股定理求得长方体容器内木筷的最大长度，然后用木筷的总长度减去长方体容器内木筷的最大长度就是木筷露在长方体容器外面的最短长度． 【解答】解：（1）杯子内木筷的最大长度是：17cm， 则木筷露在杯子外面的最短长度是：20﹣17＝3（cm）， 故木筷露在杯子外面的部分至少有3cm； （2）长方体容器内木筷的最大长度是：17.97cm， 则木筷露在长方体容器外面的最短长度是：20﹣17.97≈2.0（cm）， 故木筷露在杯子外面的部分至少约为2.0cm． ▌题型06 解决航海问题 1. 两艘轮船从港口出发，航向互相垂直（正北、正东；西北、东北等），行驶路线构成直角三角形， - 港口位置 = 直角顶点 - 两艘船行驶路程 = 两条直角边 - 两船当前直线距离 = 斜边 2. 解题步骤 （1）审题：确认航行方向，判断航线是否垂直； （2）分别求出两艘船行驶距离：路程=速度×时间； （3）两条路程作为直角边； （4）勾股定理计算两船直线距离； （5）作答。 【典例1】（2026春•惠州期中）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了48，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC＝90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×3＝48，12×3＝36海里， 根据勾股定理得：60（海里）． 故选：C． 【变式1-1】（2026春•晋安区期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东50°方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（　　） A．16海里/小时 B．20海里/小时 C．32海里/小时 D．34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得∠ABG＝50°，并推得∠ABC＝90°，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，由题意知，∠DAB＝50°，∠CBE＝40°，AB＝15（海里），BC＝16×0.5＝8（海里）， ∵DF∥GE， ∴∠ABG＝∠DAB＝50°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠CBE＝180°﹣50°﹣40°＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：（海里）， ∴我军巡逻舰队的航行速度为：17÷0.5＝34（海里/小时）． 故选：D． 【变式1-2】（2026春•博罗县期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； （2）若该飞机的速度为20m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，可证明AC2+BC2＝AB2得到∠ACB＝90°，再利用等面积法求出CD的长即可得到答案； （2）在线段AD和线段BD上分别取一点E和点F，连接CE，CF，使得CE＝CF＝500m，利用勾股定理求出DE，DF的长，进而求出EF的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于点D， ∵BC＝800m，AB＝1000m，AC＝600m， ∴AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002+8002＝360000+640000＝1000000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， ∴CD＝480m， 答：飞机距离着火点C的最短距离为480m； （2）如图，在线段AD和线段BD上分别取一点E和点F，连接CE，CF，使得CE＝CF＝500m， 在Rt△CDE中，由勾股定理得， 同理可得DF＝140m， ∴EF＝DE+DF＝280m， 280÷20＝14（s），且14＜15， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 【变式1-3】（2026春•新市区校级期中）一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行10km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行13km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是6km．求C岛和A港之间的距离． 【分析】Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度． 【解答】解：由题意AD＝6km， Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得62+BD2＝102． ∴BD＝8（km）． ∴CD＝BC﹣BD＝13﹣8＝5（km）． Rt△ACD中， ∴AC（km）． 答：C岛和A港之间的距离为km． ▌题型07 求河宽（芦苇长度） 1.画图：标出垂直河宽、沿河偏移距离、斜向航线； 2.确认直角：河宽垂直河岸，天然直角； 3.设河宽为（未知时）； 4.列出Rt△三边，勾股列式； 5.求解作答。 【典例1】（2026春•安宁区校级期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求芦苇的长度（1丈＝10尺）． 【分析】设芦苇的长度是x尺，由勾股定理得到x2＝（x﹣1）2+52，求出x＝13，即可得到芦苇的长度． 【解答】解：设芦苇的长度是x尺， ∴OE＝x尺，AE＝（x﹣1）尺， AB＝1丈＝10尺， ∵O是AB的中点， ∴AOAB10＝5（尺）， 由勾股定理得到：OE2＝AE2+AO2， ∴x2＝（x﹣1）2+52， ∴x＝13， 答：芦苇的长度是13尺． 【变式1-1】（2025春•封开县期末）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200m，结果他在水中实际游的路线AC为520m，则该河流的宽度AB为（　　） A．480 m B．380 m C．580 m D．500 m 【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：根据勾股定理可得AB480m， 答：该河流的宽度为480m， 故选：A． 【变式1-2】为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF比河的宽度EH多2米，则河的宽度EH是（　　） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【分析】根据题意可知△EFH为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边EH的长度． 【解答】解：根据题意可知EF＝10米， 设EH＝x米，则HF＝（x+2）米， Rt△EFH中，由勾股定理得FH2＝EF2+EH2， 即（x+2）2＝102+x2， 解得x＝24． ∴该河的宽度EH为24米． 故选：D． 【变式1-3】（2026春•牧野区校级期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【分析】（1）设芦苇的长度x尺，则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5，利用勾股定理得出x的长进而得出答案． （2）利用勾股定理得出AG的长进而得出答案． 【解答】解：（1）设芦苇的长度x尺， 则图中OC＝OE＝x，则OD＝x﹣1，DE＝5， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴52+（x﹣1）2＝x2， 解得 x＝13， ∴OD＝13﹣1＝12． 答：芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺； （2）图中OD＝b，CD＝n，AB＝2a，则OC＝OE＝b+n，DE＝a， 在Rt△ODE中，∠ODE＝90°， 由勾股定理得 DE2+OD2＝OE2． ∴a2+b2＝（b+n）2， 解得． ▌题型08 求台阶上地毯的长度 1. 台阶铺地毯，地毯需要铺满所有水平台阶面 + 竖直台阶立面。 👉平移思想： 所有水平小段相加 = 台阶总水平宽度 所有竖直小段相加 = 台阶总竖直高度 2. 已知台阶斜边长度（台阶坡面总长）不能直接用；通常给出总高、总水平长。 3. 解题步骤 （1）找到台阶整体总高度、水平总长度； （2）地毯长度 = 水平总长 + 竖直总高度； （3）如果题目只给斜边和其中一边，先用勾股定理求出另一边； （4）相加得到地毯长度；如需面积，再乘地毯宽度。 【典例1】（2026春•徐闻县期中）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．30m B．25m C．18m D．17m 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【解答】解：如图， 由题意得，AB＝13m，BC＝5m，BC⊥AC， ∴， ∴地毯的长度至少需要AC+BC＝12+5＝17（m）． 故选：D． 【变式1-1】（2026春•静海区校级月考）如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 　1020　 元． 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【解答】解：由勾股定理得AB12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×30＝1020（元）． 故答案为：1020． 【变式1-2】（2025秋•高唐县期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形ABC．已知直角边BC长5m，斜边AB的长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2m．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【分析】理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为2m，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5m，AB＝13m， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为AC+BC＝12+5＝17（m）， ∵楼梯宽为2m， ∴需要铺地毯的面积为17×2＝34（m2）， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为34×150＝5100（元）． 【变式1-3】（2025春•上饶期中）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【分析】（1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 答：BC的长为4m； （2）地毯长为：3+4＝7（m）， 已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元， ∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2）， ∴需要花费25×19.6＝490（元）， 答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶． ▌题型09 判断汽车是否超速 1. 题型场景：道路旁测速仪（观测点），路面水平，观测点距离地面高度固定。 构成直角三角形： ①竖直直角边：测速仪器距离地面高度（固定不变） ②水平直角边：汽车与测速仪正下方点的水平距离 ③斜边：测速仪到汽车的直线距离 2. 解题流程：两个时刻（第一次观测、第二次观测），两次利用勾股算出水平距离，算出汽车行驶路程，再求速度，和限速对比判断是否超速。 3. 解题步骤 （1）标出观测高度（竖直直角边，恒定）； （2）根据第一次斜距，勾股求出初始水平距离； （3）根据一段时间后的斜距，再次勾股求出新水平距离； （4）两次水平距离相减，得到汽车行驶路程； （5）根据 速度=路程×时间 算出车速； （6）统一单位，和限速数值比较，得出是否超速。 4. 单位换算：。 【典例1】（2026春•思明区校级期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h，小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方60m的C处（即AC＝60m），过了4s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100m． （1）求BC的长； （2）这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由． （参考数据：1m/s＝3.6km/h） 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用4s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【解答】解：（1）由题意可得：∠ACB＝90°，AC＝60，AB＝100， ∴BC80（m）， （2）没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为v20×3.6（km/h）＝72（km/h）， ∵72km/h＜80km/h； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【变式1-1】（2026春•马尾区期末）“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后到达B处，这时小汽车与车速检测仪A处间的距离为50m，那么这辆小汽车超速了吗？并通过计算说明理由．（其中1m/s＝3.6km/h） 【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【解答】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC（m）， ∴小汽车的速度v20（m/s）＝72km/h， ∵72km/h＞70km/h， ∴这辆小汽车超速行驶． 【变式1-2】（2025秋•张家川县期末）某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【分析】先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【解答】解：可疑汽车超速；理由如下： ∵AC⊥BC，AB＝500m，AC＝400m， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵27m/s＜30m/s， ∴可疑汽车超速了． 【变式1-3】（2026春•杭锦后旗月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： （m） ∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． ▌题型10 判断是否受台风影响 1.直线代表台风移动路线，定点代表城市。 ①过城市向台风移动路径作垂线，垂线段长度是城市到台风路线最短距离； ②比较：垂线段距离 ≤ 台风影响半径 → 会受影响；反之不受影响。 2.解题流程 （1）根据方位角画图，构造直角三角形； （2）作垂线段，利用勾股定理/直角三角形性质求出垂线段长度； （3）垂线段与台风影响半径对比，初步判断是否受影响； （4）若判定会受影响： 以城市为圆心，影响半径为半径画圆，与台风路线交于两点， 利用勾股算出交点与垂足之间的一段长度； 两段相加得到台风影响路段总长。 【典例1】（2026春•双城区校级月考）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，经测量，距离台风中心520km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为50千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是△ABC直角三角形，进而得出∠ACB＝90°；利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出DE以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由如下： ∵AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km， ∴根据勾股定理得，AC2+BC2＝6002+8002＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， 过点C作CD⊥AB于D， ∴， ∴，即500CD＝240000， 解得CD＝480， ∵以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）如图，当CE＝520km，CF＝520km时，正好影响港口C， ∵， ∴EF＝2ED＝400km， ∵台风的速度为50千米/小时， ∴400÷50＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式1-1】（2026春•宁乡市期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出CD以及CF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式1-2】（2026春•长寿区校级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为80km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响． 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D． ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD240（km）， ∵260＞240， ∴海港C受到台风影响； （3）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口． 在Rt△CED中，由勾股定理得 ED10（km）， ∴EF＝20km， ∵台风的速度为80km/h， ∴20÷80（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为h． 【变式1-3】（2025秋•北碚区期末）如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，AC＝150km，BC＝200km，AB＝250km，经测量，以台风中心为圆心周围125km及以内的地区会受到影响． （1）请通过计算说明海港C会受台风影响； （2）台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动15km，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据已知条件利用勾股定理的逆定理证得∠ACB＝90°，再利用三角形面积公式求得CD的值，即可判断海港C的影响情况； （2）设此时台风中心在AB上的位置为E，得出CE＝125km，利用勾股定理求得AD和DE的值，进而求得AE的值，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【解答】解：（1）如图1，AC＝150km，BC＝200km，AB＝250km，过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵1502+2002＝2502＝62500， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴海港C会受影响； （2）货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设此时台风中心在AB上的位置为E， ∴CE＝125km， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：， ∵点D在AB上，AD＝90km，DE＝35km， ∴AE＝AD﹣DE＝90﹣35＝55（km）， 由台风中心移动速度是15km/h可得，从A到E的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货． ▌题型11 选址使到两地距离相等 1. 直线上找一点 ，使得点 到两个定点 、 的距离相等，即 。 常见场景：公路旁建驿站、河边修水泵站、街道选址。 2. 几何本质：线段垂直平分线；计算题常用勾股定理列方程求解。 3. 解题步骤 （1）画图：定点、直线、向直线作垂线，标出所有已知长度； （2）在直线上设未知数 （设动点到一侧垂足距离）； （3）用已知线段表示出两条直角边； （4）根据 列方程； （5）解方程，检验，写出答案。 【典例1】（2025秋•长清区期末）如图，公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝11km，CB＝16km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（　　）km． A．9.8 B．16 C．11 D．15.2 【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝112+x2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝162+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：112+x2＝162+（25﹣x）2， 解得：x＝15.2km． 所以AE的长为15.2km． 故选：D． 【变式1-1】（2026春•密云区期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km的快递投放点B、C，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为13km． （1）求小区A到快递投放点C的距离． （2）因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D，新的投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B、D之间的距离． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设AD＝BD＝x（km），则CD＝（12﹣x）km，根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝13km，BC＝12km， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为5km； （2）设AD＝BD＝x（km）， ∵在东西走向的和平街上有两个相距12km的快递投放点B、C， ∴CD＝（12﹣x）km， ∵AD2＝AC2+CD2， ∴x2＝52+（12﹣x）2， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 【变式1-2】（2026春•西和县校级期末）某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，设AE＝xkm，求AE，BE的长． 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵AE＝xkm， ∴BE＝（100﹣x）km， 由勾股定理得：CE2＝AC2+AE2，DE2＝BD2+BE2， 根据题意得，CE＝DE， ∴AC2+AE2＝BD2+BE2， ∴202+x2＝（100﹣x）2+602， 解得：x＝66， ∴100﹣x＝34， ∴AE＝66km，BE＝34km． 【变式1-3】（2026春•梅河口市校级期末）如图，某公园内有一条笔直的马路EF，马路EF同侧有观景台A、凉亭B，观景台A到马路的距离（AC的长）为70m，凉亭B到马路的距离（BD的长）为10m，CD的长为80m．现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G，使得G到A、B两处的距离相等，该自动售货点G应该修建在离点C多远处？ 【分析】连接AG，BG，设CG＝xm，则DG＝（80﹣x）m，利用勾股定理列方程即可解答． 【解答】解：如图，连接AG，BG， 设CG＝xm，则DG＝（80﹣x）m， 根据勾股定理可得BG2＝DG2+BD2＝（80﹣x）2+102， ∵AG＝BG， ∴702+x2＝（80﹣x）2+102， 解得x＝10， 答：该自动售货点G应该修建在离点C10m处． ▌题型12 求最短路径 1.立体表面爬行最短路径：立体图形展开为平面图形，两点之间线段最短。 展开后两点连线为最短路线，构造直角三角形，使用勾股定理计算长度。 2. 解题步骤 （1）将立体侧面展开为平面； （2）确定两条直角边的长度； （3）构造直角三角形，勾股定理求出两点线段长； （4）长方体务必对比三种展开结果，选取最小值。 【典例1】（2025秋•海州区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 　8　 cm．（杯壁厚度不计） 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知BA′的长度即为所求． 【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接BA′，则BA′即为最短距离， 由题意得：DEAA′＝2cm，BE＝10﹣4＝6（cm）， ∴BD＝BE+DE＝6+2＝8（cm）， ∵底面周长为16cm， ∴A′D16＝8（cm）， BA′8（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为8cm， 故答案为：8． 【变式1-1】（2026春•牧野区校级月考）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图， 根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，BC，CA剪开，得图1，AB′2＝AB2+BB′2＝（4+2）2+82＝100； （2）沿AC，CC′，C′B′，B′D，D′A′，A′A剪开，得图2，AB′2＝AC2+B′C＝42+（8+2）2＝16+100＝116； （3）沿AD，DD′，D′B′，B′C′，C′A′，A′A剪开，得图3，AB′2＝AD2+B′D2＝22+（4+8）2＝4+144＝148． 综上所述，最短路径应为图1所示，所以AB′2＝100，即AB′＝10dm，因此最短路程是10dm． 【变式1-2】（2026春•朝阳区校级期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c，AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【解答】解：（1）如图，设CF＝12，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于CF任意一点B，过点D作DG⊥AC，交AC延长线于点G，连接AD， 则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12， ∴代数式表示AB+DB， ∵AB+DB的最小值为AD的长， 即代数式的最小值为AD的长， 在Rt△ADG中，由勾股定理得AD13， 即的最小值为13； 故答案为：13． （2）设CF＝5，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝2，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝1，对于CF任意一点B，过点D作DH⊥AC，交AC延长线于点H，连接AD， 则AH＝2+1＝3，DH＝CF＝5， ∴代数式表示AB+BD， ∵AB+DB的最小值为AD的长， ∴代数式的最小值为AD的长， ∵AD， 即代数式的最小值为． 【变式1-3】（2026春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　18　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【分析】任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF，则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小，当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD，过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形，求得BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ，当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′，过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E．根据勾股定理即可得到结论； 任务三．根据题意弧长图形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小， 当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD， 过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， ∴AH＝3， 在Rt△ADH中，AD， ∴的最小值为， 故答案为：； 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′， 过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′13（km）， 则从A到B的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q到B的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y， ∴x（负值舍去）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 勾股定理的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 求梯子滑落高度 题型02 求旗杆高度 题型03 求小鸟飞行距离 题型04 求大树折断前的高度 题型05 解决水杯中筷子问题 题型06 解决航海问题 题型07 求河宽（芦苇长度） 题型08 求台阶上地毯长度 题型09 判断汽车是否超速 题型10 判断是否受台风影响 题型11 选址使到两地距离相等 题型12 求最短路径 ▌题型01 求梯子滑落高度 已知：梯子长（斜边不变），初始底端距墙，顶端高 底端向外滑动一段距离，求顶端下滑距离；或顶端下滑，求底端移动距离。 通用步骤： 1. 初始状态：Rt△，已知斜边、一条直角边，勾股求出另一条直角边 2. 滑动后：底边长度改变，斜边依旧不变，再次勾股求出新高度 3. 前后高度做差 = 下滑距离 【典例1】（2026春•西青区期末）如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO下滑（　　） A．0.8m B．0.7m C．0.5m D．0.4m 【变式1-1】（2026春•大连期末）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，∠C＝90°，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为0.7m． （1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC． （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B外移0.4m吗？通过计算说明你的结论． 【变式1-2】（2025秋•铜川期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE的长度．（单位：m） 【变式1-3】（2026春•红谷滩区校级期末）教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m． （1）如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端会沿墙AO下滑多少米？求出梯子会沿墙AO下滑的距离AC的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB，货架顶部安装一个高5m的装卸平台AC，现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？请通过计算说明． ▌题型02 求旗杆高度 旗杆顶端系一根绳子，绳子垂到地面还多出一段；把绳子末端水平拉开一段距离，绳子刚好拉直。 1. 画图：竖直旗杆、水平地面、拉直绳索；标出所有已知长度 2. 设旗杆高为 ，表达出绳子总长 3. 根据勾股定理列出方程 4. 展开化简求解，相互抵消，得到一元一次方程 【典例1】（2026春•新华区校级期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆AB的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（CF＝3.5米）的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（FH＝1.5米）到达G点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米． 则旗杆AB的高度为（　　） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【变式1-1】（2026春•肃南县校级期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段AB为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点D处时（即AB＝AD），点D到地面的距离CD＝2m，地面上B、C两点之间的距离BC＝8m，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度AB． 【变式1-2】（2025秋•高新区期末）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的细子重到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度BC； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【变式1-3】（2026春•惠州期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段PQ表示旗杆，PQ垂直地面于点Q． 测绘过程 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度. 数据信息 图①中QE的长度为3m；图②中QF的长度为9m． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． ▌题型03 求小鸟飞行距离 1. 两棵高低不同的竖直大树，地面水平，树干垂直地面。 2. 小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树顶端。 （1）竖直方向：两棵树高度差（一条直角边） （2）水平方向：两棵树底部之间的距离（另一条直角边） （3）小鸟飞行的直线路径 = 斜边 3. 通用解题步骤 （1）画图：画出两棵竖直线代表大树，连接树梢； （2）过矮树顶端作高树的水平线，构造标准直角三角形； （3）计算两条直角边：水平距离 = 两树间距，竖直距离 = 大树高度 − 小树高度； （4）勾股定理求斜边，就是小鸟最短飞行距离。 【典例1】（2026春•安远县校级期末）如图1，有两棵树，一棵高18米（AB＝18米），另一棵高2米（CD＝2米），两树相距12米（BD＝12米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断处M距离地面多少米？ 【变式1-1】（2026春•林州市月考）如图，有两棵树，一棵高9m，一棵高4m，两树相距12m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（　　）m A．13m B．12m C．16m D．21m 【变式1-2】如图，在一棵树CD上距离地面10m高的B处，有一只猴子和一只小鸟，猴子爬下树后沿CA走到离树20m处的池塘A处，小鸟先沿BD飞到树顶D处再沿直线飞到A处，如果猴子和小鸟所经过的距离相等，这棵树有多高？ 【变式1-3】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． ▌题型04 求大树折断前的高度 1. 大树竖直折断，上半部分倾倒，树梢接触地面。 - 剩余直立树干：直角边①（设为） - 树根到树梢落地点水平距离：直角边②（已知） - 折断倾倒的树枝：斜边（长度=总长） 总高度 = 直立部分长度 + 斜着的折断树枝长度 2. 解题步骤 （1）设折断处离地面高度为； （2）大树原总高度未知，斜段长度 = 待求总长； （3）地面水平距离为已知线段； （4） 利用勾股定理列方程： + = （5）解出，求出斜段长度；两者相加得到大树折断前总高度。 【典例1】（2026春•呼和浩特校级期末）4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有　　 米． 【变式1-1】（2026春•绥德县期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时，大风把一棵垂直于地面且高度为12m的大树拦腰折断，折断处A与地面的距离AC＝4m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD＝6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车？请作出判断并说明理由． 【变式1-2】（2026春•土默特左旗期末）如图1，有两棵树，一棵高18米（AB＝18米），另一棵高2米（CD＝2米），两树相距12米（BD＝12米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断处M距离地面多少米？ 【变式1-3】如图所示，一棵32米高的巨大杉树在海棠号台风中被刮断，树顶C落在离树根B点16米处，科研人员要看查看断痕A处的情况，在离树根B有5米的D处竖起一个梯子AD，请问这个梯子有多长？ ▌题型05 解决水杯中的筷子问题 1. 圆柱形水杯：底面圆形，杯壁竖直。 2. 筷子放在杯中存在两种临界位置： ①竖直放置：筷子浸入最短； ②斜靠杯壁（一端底面圆心对角，一端杯口边缘）：杯内筷子最长，这条线段是圆柱底面直径、杯子高作为直角边构成直角三角形的斜边。 已知：水杯高度，底面直径 杯内筷子最长长度： 常见问法：筷子露出杯口多长；已知露出长度求水杯尺寸；求筷子总长范围。 3. 解题步骤 （1）找到直角三角形：竖直高度、底面直径为两条直角边； （2）勾股计算杯子内部筷子最长长度； （3）结合筷子总长，算出最少露出长度； （4）若筷子竖直摆放，得到最多露出长度。 【典例1】（2026春•东城区校级期中）如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　　） A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【变式1-1】（2025秋•山西期末）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h（cm）的取值范围为（　　） A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．5≤h≤6 【变式1-2】如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度． 【变式1-3】（1）如图①，将一根长为20cm的细木筷斜放在一个高15cm，底边半径为4cm的无盖圆柱形杯子内．木筷露在杯子外面的部分至少有多长？ （2）如果将（1）中的筷子斜放在一个高15cm、底面边长为7cm的正方形的无盖的长方体的容器内（图②）．木筷露在容器外面的部分至少有多长（精确到0.1cm）？ ▌题型06 解决航海问题 1. 两艘轮船从港口出发，航向互相垂直（正北、正东；西北、东北等），行驶路线构成直角三角形， - 港口位置 = 直角顶点 - 两艘船行驶路程 = 两条直角边 - 两船当前直线距离 = 斜边 2. 解题步骤 （1）审题：确认航行方向，判断航线是否垂直； （2）分别求出两艘船行驶距离：路程=速度×时间； （3）两条路程作为直角边； （4）勾股定理计算两船直线距离； （5）作答。 【典例1】（2026春•惠州期中）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【变式1-1】（2026春•晋安区期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东50°方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西40°方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（　　） A．16海里/小时 B．20海里/小时 C．32海里/小时 D．34海里/小时 【变式1-2】（2026春•博罗县期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； （2）若该飞机的速度为20m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【变式1-3】（2026春•新市区校级期中）一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行10km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行13km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是6km．求C岛和A港之间的距离． ▌题型07 求河宽（芦苇长度） 1.画图：标出垂直河宽、沿河偏移距离、斜向航线； 2.确认直角：河宽垂直河岸，天然直角； 3.设河宽为（未知时）； 4.列出Rt△三边，勾股列式； 5.求解作答。 【典例1】（2026春•安宁区校级期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求芦苇的长度（1丈＝10尺）． 【变式1-1】（2025春•封开县期末）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达B点200m，结果他在水中实际游的路线AC为520m，则该河流的宽度AB为（　　） A．480 m B．380 m C．580 m D．500 m 【变式1-2】为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF比河的宽度EH多2米，则河的宽度EH是（　　） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【变式1-3】（2026春•牧野区校级期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，现有一个正方形底面的水池，其底面的边长AB＝1丈（1丈等于10尺），芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇往岸边引，恰好与岸边相接，即OC＝OE． （1）求水池的深度OD； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池底面边长AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n＜a），则水池的深度OD（OD＝b）可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． ▌题型08 求台阶上地毯的长度 1. 台阶铺地毯，地毯需要铺满所有水平台阶面 + 竖直台阶立面。 👉平移思想： 所有水平小段相加 = 台阶总水平宽度 所有竖直小段相加 = 台阶总竖直高度 2. 已知台阶斜边长度（台阶坡面总长）不能直接用；通常给出总高、总水平长。 3. 解题步骤 （1）找到台阶整体总高度、水平总长度； （2）地毯长度 = 水平总长 + 竖直总高度； （3）如果题目只给斜边和其中一边，先用勾股定理求出另一边； （4）相加得到地毯长度；如需面积，再乘地毯宽度。 【典例1】（2026春•徐闻县期中）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．30m B．25m C．18m D．17m 【变式1-1】（2026春•静海区校级月考）如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 　 　 元． 【变式1-2】（2025秋•高唐县期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形ABC．已知直角边BC长5m，斜边AB的长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2m．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【变式1-3】（2025春•上饶期中）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） ▌题型09 判断汽车是否超速 1. 题型场景：道路旁测速仪（观测点），路面水平，观测点距离地面高度固定。 构成直角三角形： ①竖直直角边：测速仪器距离地面高度（固定不变） ②水平直角边：汽车与测速仪正下方点的水平距离 ③斜边：测速仪到汽车的直线距离 2. 解题流程：两个时刻（第一次观测、第二次观测），两次利用勾股算出水平距离，算出汽车行驶路程，再求速度，和限速对比判断是否超速。 3. 解题步骤 （1）标出观测高度（竖直直角边，恒定）； （2）根据第一次斜距，勾股求出初始水平距离； （3）根据一段时间后的斜距，再次勾股求出新水平距离； （4）两次水平距离相减，得到汽车行驶路程； （5）根据 速度=路程×时间 算出车速； （6）统一单位，和限速数值比较，得出是否超速。 4. 单位换算：。 【典例1】（2026春•思明区校级期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h，小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方60m的C处（即AC＝60m），过了4s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100m． （1）求BC的长； （2）这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由． （参考数据：1m/s＝3.6km/h） 【变式1-1】（2026春•马尾区期末）“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后到达B处，这时小汽车与车速检测仪A处间的距离为50m，那么这辆小汽车超速了吗？并通过计算说明理由．（其中1m/s＝3.6km/h） 【变式1-2】（2025秋•张家川县期末）某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【变式1-3】（2026春•杭锦后旗月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） ▌题型10 判断是否受台风影响 1.直线代表台风移动路线，定点代表城市。 ①过城市向台风移动路径作垂线，垂线段长度是城市到台风路线最短距离； ②比较：垂线段距离 ≤ 台风影响半径 → 会受影响；反之不受影响。 2.解题流程 （1）根据方位角画图，构造直角三角形； （2）作垂线段，利用勾股定理/直角三角形性质求出垂线段长度； （3）垂线段与台风影响半径对比，初步判断是否受影响； （4）若判定会受影响： 以城市为圆心，影响半径为半径画圆，与台风路线交于两点， 利用勾股算出交点与垂足之间的一段长度； 两段相加得到台风影响路段总长。 【典例1】（2026春•双城区校级月考）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，经测量，距离台风中心520km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为50千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式1-1】（2026春•宁乡市期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【变式1-2】（2026春•长寿区校级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为80km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式1-3】（2025秋•北碚区期末）如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，AC＝150km，BC＝200km，AB＝250km，经测量，以台风中心为圆心周围125km及以内的地区会受到影响． （1）请通过计算说明海港C会受台风影响； （2）台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动15km，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． ▌题型11 选址使到两地距离相等 1. 直线上找一点 ，使得点 到两个定点 、 的距离相等，即 。 常见场景：公路旁建驿站、河边修水泵站、街道选址。 2. 几何本质：线段垂直平分线；计算题常用勾股定理列方程求解。 3. 解题步骤 （1）画图：定点、直线、向直线作垂线，标出所有已知长度； （2）在直线上设未知数 （设动点到一侧垂足距离）； （3）用已知线段表示出两条直角边； （4）根据 列方程； （5）解方程，检验，写出答案。 【典例1】（2025秋•长清区期末）如图，公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝11km，CB＝16km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（　　）km． A．9.8 B．16 C．11 D．15.2 【变式1-1】（2026春•密云区期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km的快递投放点B、C，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为13km． （1）求小区A到快递投放点C的距离． （2）因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D，新的投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B、D之间的距离． 【变式1-2】（2026春•西和县校级期末）某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，设AE＝xkm，求AE，BE的长． 【变式1-3】（2026春•梅河口市校级期末）如图，某公园内有一条笔直的马路EF，马路EF同侧有观景台A、凉亭B，观景台A到马路的距离（AC的长）为70m，凉亭B到马路的距离（BD的长）为10m，CD的长为80m．现计划在路段CD之间放置一个自动售货点G，使得G到A、B两处的距离相等，该自动售货点G应该修建在离点C多远处？ ▌题型12 求最短路径 1.立体表面爬行最短路径：立体图形展开为平面图形，两点之间线段最短。 展开后两点连线为最短路线，构造直角三角形，使用勾股定理计算长度。 2. 解题步骤 （1）将立体侧面展开为平面； （2）确定两条直角边的长度； （3）构造直角三角形，勾股定理求出两点线段长； （4）长方体务必对比三种展开结果，选取最小值。 【典例1】（2025秋•海州区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为 　 cm．（杯壁厚度不计） 【变式1-1】（2026春•牧野区校级月考）如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？ 【变式1-2】（2026春•朝阳区校级期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c，AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【变式1-3】（2026春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　 　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　 　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $