专题2.5 有理数的乘法与除法（专题训练）-2026-2027学年苏科版 七年级数学上册《知识解读·题型专练》

**基本信息** 聚焦有理数乘除运算，按基础运算-运算律-混合运算-实际应用递进，覆盖9类核心题型，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-2（约10题）|两个/多个有理数乘法，含符号法则|从数的乘法定义到多因数运算，构建运算基础| |概念应用|题型3（4题）|倒数概念辨析与代数表示|链接相反数概念，深化数的关系理解| |运算律|题型4（6题）|交换律/结合律/分配律应用判断与计算|体现算理优化，培养推理意识| |除法与混合运算|题型5-7（约15题）|除法法则、乘除混合及简便运算|除法转化为乘法，实现知识迁移| |综合应用|题型8-9（约15题）|四则混合运算及实际问题（水费、行程等）|从数学运算到现实建模，发展应用意识|

专题2.5 有理数的乘法与除法（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1…两个有理数的乘法运算 1 题型·2·多个有理数的乘法运算 2 题型·3·倒数 3 题型·4·有理数乘法运算律 3 题型·5·有理数的除法运算 4 题型·6·有理数乘除混合运算 4 题型·7·有理数乘除中的简便运算 5 题型·8·有理数四则混合运算 6 题型·9·有理数四则混合运算的实际应用 7 题型·1…两个有理数的乘法运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型·2·多个有理数的乘法运算 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)； (2) 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 题型·3·倒数 8．的倒数是___________． 9．倒数：与互为倒数等价于___________________． 10．的倒数是_____________． 11．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则_________． 题型·4·有理数乘法运算律 12．要使计算简便，可运用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 13．在中，运用了（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 14．式子运用了乘法________律． 15．计算：_____． 16．计算： (1)； (2)． 17．计算： (1)； (2)． 题型·5·有理数的除法运算 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．计算． (1)； (2)； (3)． 21．计算． (1)； (2)； (3)． 题型·6·有理数乘除混合运算 22．计算： (1)； (2)； (3)． 23．计算：． 24．计算：． 25．计算： (1)； (2)． 题型·7·有理数乘除中的简便运算 26．计算： (1)； (2)． 27．脱式计算下列各题，怎样简便就怎样运算， (1) (2) (3) 28．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为 所以原式． (1)上述两种解法的结果不一样，解法__________是正确的． (2)请你根据对上述材料的理解，选择一种简便的方法计算． 29．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 题型·8·有理数四则混合运算 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 32．计算： (1) (2) (3) 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型·9·有理数四则混合运算的实际应用 34．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 35．如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 36．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程 （单位： ）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)出租车在行驶过程中，离九洲体育馆门口最远的距离是多少？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2 元，问小李这天上午共得车费多少元？ 37．幸福中学的小卖部最近进了一批计算器，每个16元，今天共卖出20个，实际卖出时以每个18元为标准，超过的记为正，不足的记为负，记录如下： 5个 4个 6个 5个 (1)这个小卖部的计算器今天卖出的平均价格是多少？ (2)这个小卖部今天的计算器赚了多少元？ 38．某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 39．2025年5月，一场平台巨额补贴掀起的外卖大战，席卷了整个茶饮市场．在内坑街某奶茶店负责送外卖的张阿姨，接受了平均每天计划完成60单的外卖任务．然而，在实际工作中，受天气、交通情况等因素影响，每日送出的外卖量常与计划送出的量相比有出入，下表是张阿姨某周（按5天工作日计算）的送外卖单数情况记录（超出部分记为“+”、不足部分记为“-”，单位：单）． 星期 一 二 三 四 五 实际每天的送出量与计划量的差值/单 (1)张阿姨本周实际送出的外卖量最多的一天是星期___________，最少的一天是星期___________； (2)求张阿姨本周实际送出的外卖量； (3)该奶茶店实行每日计件工资制，每单的配送费为4元，以每天送60单为标准．若超额完成任务，则超过部分每单另奖0.5元；每少1单则倒扣1元．求张阿姨本周的总工资． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 有理数的乘法与除法（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1…两个有理数的乘法运算 1 题型·2·多个有理数的乘法运算 3 题型·3·倒数 6 题型·4·有理数乘法运算律 7 题型·5·有理数的除法运算 9 题型·6·有理数乘除混合运算 12 题型·7·有理数乘除中的简便运算 14 题型·8·有理数四则混合运算 17 题型·9·有理数四则混合运算的实际应用 21 题型·1…两个有理数的乘法运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘法法则逐个计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型·2·多个有理数的乘法运算 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 5．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数乘法法则先确定乘积符号，再计算绝对值，混合运算按照先算乘法再算减法的顺序计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据有理数的乘法规则，多个有理数相乘，先确定乘积符号，再利用乘法交换律、结合律简化计算，最后计算绝对值得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型·3·倒数 8．的倒数是___________． 【答案】 【详解】解：将化为分数，得， ∵互为倒数的两个数乘积为， ∴的倒数为． 9．倒数：与互为倒数等价于___________________． 【答案】 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 因此与互为倒数等价于． 10．的倒数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 11．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，有理数的混合运算． 根据相反数的定义，倒数的定义得到，，再代入计算即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数，m与n互为倒数， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 题型·4·有理数乘法运算律 12．要使计算简便，可运用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查的是运算定律应用，解答这道题的关键是明确各种运算律的特点，以及能正确分析算式的特点． 根据分数分母特点，以及乘法交换律和结合律的特点，即可解题． 【详解】解：， 则要使计算简便，可运用乘法交换律和结合律； 故选：C． 13．在中，运用了（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】A 【分析】本题考查的是乘法运算律，乘法交换律，两数相乘，交换因数的位置，积不变．据此解答即可． 【详解】解：， 运用了乘法交换律． 故选：A． 14．式子运用了乘法________律． 【答案】交换 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法交换律即可求解． 【详解】解：式子应用了乘法交换律． 故答案为：交换． 15．计算：_____． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将带分数化为假分数，利用乘法交换律和分配律进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：4． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用乘法分配律展开后简化计算； （2）将带分数拆分为整数加分数的形式，再利用乘法分配律简化计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型·5·有理数的除法运算 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）（2）（3）根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 20．计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)48 (3) 【分析】本题考查了有理数的除法，按照从左到右的顺序依次进行计算． （1）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解； （2）根据除以一个不为零的数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （3）按照从左到右的顺序把除法转化为乘法运算，任何进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 21．计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，除以一个数等于乘以这个数的倒数，一定掌握好运算顺序． （1）按照“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的法则直接计算即可； （2）把除法转化成乘法，再进行约分即可； （3）先把小数转化成分数，再把除法转化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型·6·有理数乘除混合运算 22．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，确定符号后约分计算即可； （2）将小数转化为分数，把除法转化为乘法，约分计算即可； （3）将除法转化为乘法，确定符号后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，准确的计算是解决本题的关键，根据有理数的乘除混合运算法则进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再进行计算即可﹒ 【详解】解：﹒ 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握分数的乘除法法则、符号规则以及带分数与假分数的相互转换是解题的关键．解题时需先将带分数转换为假分数，并将除法转换为乘法．注意符号规则：负负得正，最后通过约分简化得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型·7·有理数乘除中的简便运算 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 27．脱式计算下列各题，怎样简便就怎样运算， (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算；关键掌握运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算． ()先算小括号里面的减法，再算中括号里面的加法，最后算中括号外面的乘法； ()根据除法的性质 进行简算； ()根据乘法分配律进行简算； 【详解】（1）解： （2） （3） 28．阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为 所以原式． (1)上述两种解法的结果不一样，解法__________是正确的． (2)请你根据对上述材料的理解，选择一种简便的方法计算． 【答案】(1)二 (2)， 原式的倒数为 所以原式 【分析】在除法运算中，除以一个数等于乘以它的倒数，对于复杂的除法式子，先求其倒数进行计算可能会更简便. 【详解】（1）解：解法一在将除法转化为乘法时出现了错误，除法没有分配律，不能像乘法一那样进行拆分计算； 解法二先求原式的倒数，然后进行乘法运算，方法正确. （2）略 29．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 题型·8·有理数四则混合运算 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 32．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)． (3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 题型·9·有理数四则混合运算的实际应用 34．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 35．如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 【答案】42000元 【分析】先算出草坪的面积，然后再利用“铺草坪平均每平方米需要花费100元”列式计算即可． 【详解】解：草坪的面积为：（平方米）， ∴铺设该草坪一共需要花费（元）． 36．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程 （单位： ）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)出租车在行驶过程中，离九洲体育馆门口最远的距离是多少？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2 元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西侧处； (2)离出发点最远的距离是； (3)小李这天上午共得车费58元． 【分析】（1）将小李上午所接送8位乘客的行车里程相加即可求解； （2）逐次计算每次接送乘客后的位置即可求解； （3）8位乘客均有起步价，再求出超出部分的加价即可． 【详解】（1）解：， 即小李在九洲体育馆门口西侧处； （2）解：第1位乘客后： (距离出发点) 第2位乘客后： (距离出发点) 第3位乘客后： (距离出发点) 第4位乘客后： (距离出发点) 第5位乘客后： (距离出发点) 第6位乘客后： (距离出发点) 第7位乘客后： (距离出发点) 第8位乘客后： (距离出发点) 对比知最大的是，所以离出发点最远的距离是； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费58元． 37．幸福中学的小卖部最近进了一批计算器，每个16元，今天共卖出20个，实际卖出时以每个18元为标准，超过的记为正，不足的记为负，记录如下： 5个 4个 6个 5个 (1)这个小卖部的计算器今天卖出的平均价格是多少？ (2)这个小卖部今天的计算器赚了多少元？ 【答案】(1)元 (2)赚了68元 【分析】（1）根据表格中的数据求出这20个计算器的平均价格，再加上18即可得到答案； （2）求出总售价，用总售价减去总进价即可得到答案． 【详解】（1）解： （元）， 答：这个小卖部的计算器今天卖出的平均价格是元； （2）解：（元）， 答：这个小卖部今天的计算器赚了68元． 38．某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【答案】(1)最重的瓜比最轻的瓜重斤 (2)该班采购的个哈密瓜的总重量为斤 (3)按原价购买这个瓜需付元，此次购买省了元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）用最重的减去最轻的即可； （2）实际总重量等于10个瓜的标准质量加上10个瓜与标准质量的差的总和； （3）用总重量乘以单价可得原总价，再计算活动时的总价，两者相比较即可求出省了多少元． 【详解】（1）解：（1） 答：最重的瓜比最轻的瓜重0.85斤； （2）解： 答：该班采购的10个哈密瓜的总重量为斤； （3）活动前总价： 活动时总价： 此次购买省了： 答：按原价购买这10个瓜需付元，此次购买省了元． 39．2025年5月，一场平台巨额补贴掀起的外卖大战，席卷了整个茶饮市场．在内坑街某奶茶店负责送外卖的张阿姨，接受了平均每天计划完成60单的外卖任务．然而，在实际工作中，受天气、交通情况等因素影响，每日送出的外卖量常与计划送出的量相比有出入，下表是张阿姨某周（按5天工作日计算）的送外卖单数情况记录（超出部分记为“+”、不足部分记为“-”，单位：单）． 星期 一 二 三 四 五 实际每天的送出量与计划量的差值/单 (1)张阿姨本周实际送出的外卖量最多的一天是星期___________，最少的一天是星期___________； (2)求张阿姨本周实际送出的外卖量； (3)该奶茶店实行每日计件工资制，每单的配送费为4元，以每天送60单为标准．若超额完成任务，则超过部分每单另奖0.5元；每少1单则倒扣1元．求张阿姨本周的总工资． 【答案】(1)五，一 (2)张阿姨本周实际送出外卖329单 (3)张阿姨本周的总工资为1327元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，解题关键是正确列式计算． （1）根据表中数据求解； （2）60乘以5加上表中数据的和即可； （3）分别求出各天的工资，再加即可． 【详解】（1）解：根据表中数据可得， 张阿姨本周实际工作量最多的一天是星期五，最少的一天是星期一， 故答案为：五，一； （2）解：张阿姨本周实际工作量为（单）， 答：张阿姨本周实际送出外卖329单； （3）解：周一：元 周二：元 周三：元 周四：元 周五：元 本周工资：元 答：张阿姨本周的总工资为1327元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $