专题13 反比例函数与几何图形的综合问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以五类几何图形为载体，构建“通法+题型模版”方法体系，实现反比例函数与几何性质的深度融合，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|联立解析式求交点、k的几何意义转化面积、设点坐标列方程|从代数表达（xy=k）到几何应用（面积、线段）的转化| |题型归纳|5类（三角形至正方形），每类含1典例+3变式|三角形用坐标表面积、平行四边形用中点公式、矩形用对称性等|按图形复杂度递进，强化函数与几何性质的综合应用| |压轴挑战|14题（选择/填空/解答）|综合运用设而不求、分类讨论|对接中考高难考点，提升模型意识与运算能力|

专题13 反比例函数与几何图形的综合问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数与三角形的综合问题 题型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 题型三、反比例函数与矩形的综合问题 题型四、反比例函数与菱形的综合问题 题型五、反比例函数与正方形的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：反比例函数与三角形、四边形或圆相结合，通过交点坐标求面积、线段长或存在性，常涉及“设而不求”整体代换。 - 解题方法：联立解析式求交点坐标；利用k的几何意义转化面积；设点坐标（如P(m,)）表示线段长，列方程求解。 - 易错提醒：忽略k≠0及图象所在象限；坐标代入时符号错误；几何条件转化为代数条件时遗漏隐含关系（如垂直、平行）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数与三角形的综合问题 典例1 （2026·宁夏银川·三模）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 题型模版 1.特征：反比例函数图象上点与坐标轴构成三角形，求面积或满足特定条件的点坐标。 2.方法：设图象上点坐标，用坐标表示三角形面积（常用水平底×铅锤高÷2），列方程求解。注意点在双曲线上。 变式1-1（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点D、C的坐标代入中得，然后解方程分别求得m、k值即可解答； （2）过点D分别作于点E，于点F，由（1）可得，点，根据D为的中点，求出点A坐标，结合坐标与图形性质求得，．，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点和点都是反比例函数图象上的点， ∴， 解得，（舍去）． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：过点D分别作于点E，于点F，如图． 由（1）知， ∴点，点， ∴，，，， ∴． ∵D为的中点， ∴， ∴，． ∴． ∴． 变式1-2（2026·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 变式1-3（2026·江西上饶·二模）如图，将等腰直角三角板放在平面直角坐标系上，点A的坐标为，，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上． (1)求直线的函数解析式． (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴于点，证明，求出点坐标，进而求出函数解析式即可. 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴； （2）解：作轴于点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 题型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 典例2 （2026·河南平顶山·三模）如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用平行四边形的性质得到，轴，求出，平移后点B的坐标为，代入解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 题型模版 1.特征：反比例函数图象上四点构成平行四边形，求参数或点坐标，利用中点公式。 2.方法：设图象上点坐标，利用平行四边形对角线互相平分，列中点坐标相等方程，结合双曲线关系求解。 变式2-1（2026·江西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作轴于点．证明，根据全等三角形的性质可得，进而求得的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据已知可得为的中点，则坐标为．待定系数法求得直线的表达式为，可得直线经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ∵四边形为平行四边形， ，， ， 又∵， ． ， ． ， ∴反比例函数的表达式为． （2）的面积等于的面积的， 为的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得 ∴直线的表达式为，即直线经过坐标原点， 又∵， ∴由中心对称可得． 变式2-2（2026·河南商丘·二模）如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上．反比例函数的图象经过点和的中心点． (1)求反比例函数的表达式； (2)设为的中点，连接，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的运用、平行四边形的性质以及三角形中位线性质． （1）将点代入反比例函数中，即可求得反比例函数的解析式； （2）利用平行四边形的性质，点为其中心，为的中点，则为的中位线． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接，过点作轴的垂线，垂足为， ，， 在中，， 点是的中心， 经过点，点是的中点． 又点是的中点， 是的中位线． ． 变式2-3（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 题型三、反比例函数与矩形的综合问题 典例3 （2026·河南平顶山·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为，对角线，交于点，反比例函数的图象经过的中点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将反比例函数的图象向下平移个单位长度后，恰好经过点，且平移后的图象与线段交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求点的坐标，再将其坐标代入反比例函数的表达式，解方程得到的值，回代即可求反比例函数的表达式； （2）先求点的坐标，再结合点的坐标，即可得到的值，求点在反比例函数的图象上的对应点的纵坐标，即可求得点的横坐标，求的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴轴， ∵，为的中点， ， 将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：是矩形对角线，的交点，， 点的坐标为， 又， 点，是平移前后的一组对应点， ， 如图，设点是由反比例函数的图象上的点平移得到的，连接， 则， 又， ， 将代入，得， ， ， ． 题型模版 1.特征：反比例函数图象过矩形顶点或与矩形边相交，求解析式或面积，常结合对称性。 2.方法：设顶点坐标，利用矩形对边平行、四角直角，结合双曲线上点满足 \(xy=k\)，列方程求解。 变式3-1（2026·河南平顶山·三模）如图1，四边形是矩形，D，E分别是边和上的中点，反比例函数的图象经过点D和点E，点B的坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线上方的反比例函数的图象沿着直线向下翻折，请直接写出翻折后图象与x轴的交点F的坐标． (3)连接，和，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）根据翻折的性质可求出上方与点F对称的点的纵坐标为4，然后代入（1）中函数解析式求解即可； （3）根据求解即可. 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，且D是的中点． ∴点D的坐标为． 又∵该反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由翻折的性质可知，对称轴为直线，则点F到的距离为翻折前反比例函数图象上上方某点到的距离． ∵， ∴上方与点F对称的点的纵坐标为4， ∴时反比例函数图象上的点翻折后恰好与点F重合， ∴， 故翻折后图象与x轴的交点F的坐标为； （3）解：∵，E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 变式3-2（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 变式3-3（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 题型四、反比例函数与菱形的综合问题 典例4 （2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，菱形的顶点，落在轴上，点落在轴上，反比例函数的图像经过点的中点，交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求的值； (2)求点的横坐标． 【答案】(1)40 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理以及菱形的性质可得，，易得点的坐标为，点的坐标为，即点的坐标为，然后代入反比例函数解析式求k即可； （2）由（1）可得反比例函数解析式为，再利用待定系数法求得线段的解析式为，然后联立求得符合题意的x的值即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图像经过点， ∴． （2）解：由（1）解答过程可知：，点的坐标为，点的坐标为， ∴反比例函数解析式为， 设线段的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为， 联立可得，解得：（不合题意舍去）， ∴点的横坐标为． 题型模版 1.特征：反比例函数图象过菱形顶点或与菱形边相交，求解析式或参数，利用菱形对角线性质。 2.方法：设菱形顶点坐标，利用对角线垂直平分及四边相等，结合双曲线 \(xy=k\)，列方程求解。 变式4-1（2026·山东临沂·二模）如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点D，已知点，反比例函数的图象经过点D． (1)求反比例函数的解析式； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点 ，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据中点坐标公式先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点的坐标为，从而得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：点D是菱形的对角线的交点， ∴点D是的中点， ∵点，点， 点D的坐标为：，即， 将点代入反比例函数中得， 解得：； ； （2）解：四边形是菱形， ，， ． 点的纵坐标为4， 当时，， ， 点的坐标为， ， ． 变式4-2（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形的对角线交于点M，且M是的中点；轴于点C，轴于点B．反比例函数：的图象经过点M，反比例函数：的图象经过点A． (1)求k的值； (2)若点D也在反比例函数的图象上，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)证明：设点的坐标为． 轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同． ∵点在反比例函数的图象上， ，即，点． 由（1）知，，即， ，， ， 点是的中点， 又是的中点， 四边形是平行四边形． 轴，轴， 轴，轴， 即， 平行四边形是菱形． 【分析】（1）设点的坐标为，由点在反比例函数上可得；由轴且是的中点，得点的坐标为；将点代入即可求出． （2）先利用反比例函数解析式求出点、的坐标，证明也是的中点，从而判定四边形是平行四边形；再证明对角线，即可判定平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：设点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ． 轴，是的中点， ∴点． 把代入得， 即． 又， ． （2）略 变式4-3（2026·福建福州·三模）如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：平移后点E不在反比例函数的图像上，理由如下： ∵，，，菱形沿轴的正方向平移，点恰好在反比例函数的图像上， ∴菱形沿轴的正方向平移，此时点D和点C重合， 即菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上， ∵菱形中， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，即， ∴平移后点的坐标为，即， 当时，反比例函数值为，而． ∴平移后点E不在反比例函数的图像上． 【分析】（1）如图：过点C作轴于点Q，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点C代入即可解答； （2）先说明菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上，然后求出平移后点的坐标为，再判断其是否在反比例函数图像即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作轴于点Q， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ， ， ，， ∴， ∵点C在反比例函数的图像上． ， ∴反比例函数的表达式为； （2）略 题型五、反比例函数与正方形的综合问题 典例5 （2026·河南南阳·三模）如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，不等式的解集； (3)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由点、的坐标求得，再根据正方形的性质及图形位置确定点的坐标为，将点代入反比例函数解析式即可求得的值． （2）利用待定系数法求出经过点、的一次函数解析式，联立一次函数与反比例函数解析式求得交点坐标，结合函数图象观察可得，当时一次函数图象在反比例函数图象上方的区间即为所求解集． （3）由正方形边长求得面积为25，以为底边、点横坐标的绝对值为高，根据三角形面积公式列方程求解，得到点的横坐标后代入反比例函数解析式求出纵坐标，注意点可能在第二象限或第四象限，需分类讨论． 【详解】（1）解：正方形，，， ， 把代入得：， 反比例函数解析式为； （2）解：当时，函数图象可得，的解集是：； （3）解：设P点的坐标为， 解得：， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 题型模版 1.特征：反比例函数图象过正方形顶点或与正方形边相交，求解析式或参数，利用正方形对称性。 2.方法：设顶点坐标，利用四边相等、邻边垂直及对角线相等，结合双曲线关系列方程求解。 变式5-1（2026·河南周口·二模）如图，正方形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，其中，，轴． (1)正方形的边长为________； (2)求这个反比例函数的表达式； (3)连接，，四边形的面积为________． 【答案】(1)3 (2) (3)18 【分析】（1）由轴、，得横坐标为3，再由，正方形水平方向横坐标差即为正方形边长； （2）由正方形边长，得，、在上，得到关系，联立方程求出，，； （3）用割补法：或大图形减空余面积计算． 【详解】（1）解：轴，， 点横坐标为， 正方形中， 平行轴，， 正方形边长． （2）解：由正方形边长为，、，纵坐标满足：， 、在图象上， ，， 即，， 联立方程组： ， 解得：，， ， 反比例函数表达式：． （3）解：连接， 由，， 得、， 正方形：， ，边上高为，； ，边上水平距离为，， ． 变式5-2（2026·江西抚州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，且点的横坐标满足，以为边在的下方作正方形，直线与交于点，将沿折叠，点的对应点为．连接，并延长交于点，连接． (1)求的度数． (2)若的面积是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用折叠性质得、垂直平分，结合正方形得,推出,通过角度等量代换，结合等腰三角形内角关系推导； （2）设，构造全等，利用正方形坐标变换得坐标，根据垂直平分线段求坐标，结合已知条件求解． 【详解】（1）解：折叠性质：沿折叠得到， ，垂直平分线段，即， 四边形是正方形， ，， 由、，得， 为等腰三角形，， 设，则， 在等腰中：， 由折叠，平分， ， ， ，， 代入：． （2）解：设点坐标：设， 过点作轴，过点作轴， ， ， 又， ， ， ， 设， 又垂直平分线段，直线与交于点， 则中点在上， 有，解得满足要求的为， 则，， 即轴， ， 又的面积是， ． 变式5-3（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 【分析】（1）过点D作轴于点G，则，证明，可得，即可得到点D的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，交双曲线于点P，则，证明，可得，从而得到点C、P的坐标，即可求解； （3）设，即，其中， 根据直线将的周长和面积同时平分，可得，，从而得到，可求出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别落在反比例函数与的图象上，点在轴上．若的面积为10，则的值为（     ）． A．7 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于，过点作轴于，平行四边形的底、高等于、两点纵坐标的绝对值，利用反比例函数的几何意义，结合平行四边形面积列等式求． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， 设，， 四边形是平行四边形， ，，平行四边形的高， 点在上：； 点在上：； 平行四边形面积 ， 代入，，得： ， 已知， ， ． 2．（2026·宁夏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 3．（2026·北京·三模）如图，在平面直角坐标系 中， 是函数图像上的动点，点 在 轴上，，以，为边的平行四边形的边 交该函数的图像于点 ，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形；②的面积始终等于 ； ③点 可能是 的中点；④可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】设点坐标，结合、平行四边形性质求出、坐标，再逐个推导验证四个结论的正误，最后选出正确结论对应的选项． 【详解】解：设．∵，且 在 轴上， ∴点在的垂直平分线上， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ 点可以由 点向右平移得到，即． 对于①，先取得到点 ，再取得到点 ，再作 与平行且相等，得到点 ，此时为菱形，故①正确； 对于②，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； 对于③，∵，， ∴ 的中点横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴ 的中点不在上，即点 不可能是 的中点，故③错误； 对于④，设直线的解析式为，代入、， ∵ ， ∴ 解得， ∴ 直线的解析式为． 联立直线与反比例函数， ∵ ， ∴ 整理得， 解得，（不符合，舍去）， ∴ 点的坐标为． 当时，为直角三角形，由勾股定理得． ∵ ， ， ， 代入勾股定理等式并整理： ， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴ 点的纵坐标为， ∴ 此时点的坐标为． ∴一定存在，即可能是直角三角形，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题 4．（2026·江苏扬州·二模）如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 【答案】5 【分析】设点的坐标为，根据矩形的性质得到和的长度，利用线段中点的性质求出的长，最后根据矩形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 四边形为矩形， ， ，， 点是边的中点， ， 矩形的面积为． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，点，点，与交于点，反比例函数的图象经过点，则的值为________． 【答案】 【分析】过点B作于点E，利用菱形性质、坐标与图形、勾股定理求出点B坐标，再根据点D为中点，求出点D坐标，最后利用待定系数法求出k值即可． 【详解】解：过点B作于点E，如图， 点，点， ，，， ， 四边形为菱形， ， ， ， 解得， ， ∵与交于点，， ∴点D为中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 三、解答题 7．（2026·河南周口·一模）如图，等边的边在x轴上，反比例函数（）的图象经过边的中点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将反比例函数图象向上平移，当图象经过点A时，求函数图象平移的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数（）的图象经过，求出值，进而求反比例函数的表达式； （2）分别过点，作的垂线，垂足分别为，，确定，，继而得到，，得点，设平移后的函数表达式为，由平移后的函数图象经过点求出，进而得函数图象平移的距离． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， ∵点， ∴，， ∵C为边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴点， 设平移后的函数表达式为， ∵平移后的函数图象经过点， ∴，解得， ∴函数图象平移的距离为． 8．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求k的值． (2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）由（1）可知，根据点D坐标及的长可得菱形的面积，设点M的坐标为，根据的面积与菱形面积相等列方程求出a值即可得答案． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图所示． 点的坐标为， ，， ． 四边形为菱形， ，， ，，三点共线， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由（1）知，点A的坐标为， ∴ ∴． 设点M的坐标为，且， ∴， ∵的面积与菱形的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为． 9．（2026·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．反比例函数的图象过点，交于点．    (1)求点的坐标和反比例函数的表达式； (2)延长交轴于点，求的面积． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合中点坐标公式可得，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，从而得出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ∴点； 为的中点， ； ∵反比例函数的图象过点， ， ， ； （2）解：∵反比例函数的图象交于点， ， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ， ， ， ． 10．（2026·河南信阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边的正方形的顶点在反比例函数的图象上． (1)求出反比例函数的表达式． (2)将正方形沿着轴的正方向平移，设边与反比例函数的图象在第一象限内交于点．当点的纵坐标为1时，求正方形平移的距离． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）求出，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）求出，即可求出平移的距离． 【详解】（1）解：， ． 在正方形中，． ． 将代入中， 得． ∴反比例函数的表达式为． （2）在中， 令，得． 即． ∴平移的距离． 11．（2026·江苏连云港·二模）小红将一块含角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的直角顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点坐标为，三角板的另一个顶点与原点重合，线段所在直线的表达式为． (1)则________，________，________； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)把沿着轴向右平移个单位，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1)16；；8 (2) (3)6或2 【分析】（1）过点A作于点C，根据等腰直角三角形的性质可得点，再利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得直线与反比例函数交于点，再观察图象即可求解； （3）根据平移的性质可得点，从而得到的中点坐标为，的中点坐标为，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点C， ∵点坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴点， 把点代入得：， 把点，代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：，， 联立得：， 解得：， 即直线与反比例函数交于点， 观察图象得：当，即时，的取值范围为； （3）解：∵把沿着轴向右平移个单位，对应得到，点， ∴点， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， 当反比例函数的图象经过点时，， 此时； 当反比例函数的图象经过点时，， 此时； 综上所述，a的值为6或2． 12．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）如图，菱形的顶点A在y轴正半轴上，边在x轴上，且，，反比例函数的图象分别与交于点M、点N，点N的坐标是，连接． (1)求直线的解析式； (2)求反比例函数的解析式； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)反比例函数的解析式为 (3)是等腰三角形， 理由如下： 由（2）知，反比例函数的解析式为， ∵点M在上， ∴M点的纵坐标为4， 当时，， ∴点M的横坐标为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）先根据菱形的性质求出，再根据三角函数求出，进而利用勾股定理求出，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出直线解析式， （2）求出点N坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （3）先求出点M坐标，再用两点间的距离公式求出和，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把，代入， ， 解得：， ∴直线的解析式为， （2）解：∵点N在上，且点N的坐标是， ∴， ∴， ∵点N在反比例函数图形上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）略 13．（2026·河南平顶山·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，边经过原点O，点A，B关于y轴对称，交y轴于点E，交x轴于点G，连接，交x轴于点F，反比例函数的图象经过点B，C．已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积； (3)将向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_______． 【答案】(1) (2)6 (3)2 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）证明，推出，根据阴影部分的面积，据此计算即可求解； （3）设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点，B关于y轴对称， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵反比例函数的图象经过点B，C， ∴点C，B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点A，C关于x轴对称， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积； （3）解：由（2）得点D的坐标为， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 即将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上． 14．（2026·广东江门·一模）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B的坐标分别为、，顶点C在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上． (1)当点C的坐标为时，求a、b的值； (2)当时，求a、b应满足什么关系，请说明理由； (3)如图2，当时，在BC的延长线上取一点E，过点E作交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 解：当时，，理由如下： ∵顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴当时，， ∴，即， ∴， 由图可得，， ∴； (3)点E的坐标为或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，再根据正方形的性质结合一线三垂直模型证明，得到，，同理可得，当点C的坐标为时，，解得； （2）由顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，可得，， 根据解不等式即可； （3）当时，，解得，则，此时，过作轴于，过作轴于，则，，设，则，，得到，根据当G为的三等分点时，得到，或，分情况讨论分别求出点坐标，代入，求出，再求即可． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于， ∵正方形的顶点A、B的坐标分别为、， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 当点C的坐标为时，， 解得； （2）略 （3）解：当时，， 由图可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作轴于，过作轴于， ∴，，则 设，则，， ∴， ∵当G为的三等分点时， ∴，或， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过点G， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴； 同理当时，，； 综上所述，当G为的三等分点时，点E的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13反比例函数与几何图形的综合问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数与三角形的综合问题 题型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 题型三、反比例函数与矩形的综合问题 题型四、反比例函数与菱形的综合问题 题型五、反比例函数与正方形的综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：反比例函数与三角形、四边形或圆相结合，通过交点坐标求面积、线段长或存在性，常涉及 “设而不求”整体代换。 解题方法：联立解析式求交点坐标利用k的几何意义转化面积：设点坐标（如P血，女》表示线段长， 列方程求解。 -易错提醒：忽略k0及图象所在象限：坐标代入时符号错误，几何条件转化为代数条件时遗漏隐含关系 (如垂直、平行)。 刁题型归纳精讲典型题法，寿实解题根基 题型一、反比例函数与三角形的综合问题 典例1(2026：宁夏银川三模)如图，△ABC是直角三角形，∠AB0=90°，∠AOB=30°，OA=4,已知 点A在反比例函数的图象上. 1/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求反比例函数的解析式： (2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D,当AC=CD时，求点C的坐标. 题型模版 1.特征：反比例函数图象上点与坐标轴构成三角形，求面积或满足特定条件的点坐标。 2方法：设图象上点坐标，用坐标表示三角形面积（常用水平底×铅锤高÷2），列方程求解。注意点在双曲 线上。 变式1-1(2026河南平顶山·三模)如图，在△AOB中，∠AB0=90°，点B在x轴的正半轴上，反比例函 数-(x>0的图象经过斜边O1的中点D2m-12m,与直角边AB相交于点C4,m),连接CD (1)求反比例函数的表达式 (2)求△ACD的面积. 变式1-2(2026贵州中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△A0B为直角三角形，直角边OB在x轴上， AB的中点c的坐标为(4,2)，反比例函数y=x(x>0)的图象经过点C· 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求k的值及点A的坐标： (2)将线段AO沿x轴向左平移一定的距离，使得点O的对应点E落在x轴上，点A的对应点D恰好落在反 比例函数y=的图象上，求平移的距离. ABC(∠BAC=90) 变式1-3(2026江西上饶二模)如图，将等腰直角三角板 放在平面直角坐标系上，点 A的坐标为(，0)，=AC-5,点B在y轴的正半精上，点C在反比例函数=兰x<0)的图象上. (1)求直线AB的函数解析式. k (2)求反比例函数y=(x<0)的解析式. 题型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 典例2 (2026河南平顶山三模)如图，a1BCD的顶点13,4刊，C(7,,D(8,4) 反比例函数 y=二(x>0)的图象经过点A. ()求反比例函数的表达式. (2)将口ABCD向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值. 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：反比例函数图象上四点构成平行四边形，求参数或点坐标，利用中点公式。 2方法：设图象上点坐标，利用平行四边形对角线互相平分，列中点坐标相等方程，结合双曲线关系求解。 变式21(2026江西中考真题)如图，四边形4BCD是平行四边形， 4-2,m).B2,0）,C0.),点D 在x镇上反比例函数（化<0)的图象经过点4 (1)求反比例函数的表达式： (②)P为边BC上的一点，直线AP交双曲线另一支于点Q,当。ABP的面积等于。ABCD的面积的4时，求 点Q的坐标 变式22(2026河南商丘二模)如图，已知001BC的顶点O0,0),12）,点C在‘轴正半轴上.反比 例函数yk>0)的图象经过点4和口OABC的中心点D M B D (1)求反比例函数的表达式： (2)设M为AB的中点，连接DM,求DM的长， 变式2-3(25-26九年级下山东济南开学考试)如图1，口0ABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5,反 比西数y一受(0)的图象经过点4) 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标： (②)如图2，过BC的中点D作DP‖x轴交反比例函数图象于点P,连接AP、OP, ①求△AOP的面积： ②M是口OABC边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M,N,使得四边形OPMN是矩形，若存在， 请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 题型三、反比例函数与矩形的综合问题 典例3 (2026河南平顶山二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的项点A,C分别在x轴的正 半、y箱的正羊轴上，顶点B的坐标为43，对角线AC,O8交于点D,反比创国致y:>0的图 象经过BC的中点P. (1)求反比例函数的表达式. (2)将反比例函数y=(c>0)的图象向下平移n>0)个单位长度后，恰好经过点D,且平移后的图象与线 X 段BC交于点E,求CE的长. 题型模版 1.特征：反比例函数图象过矩形顶点或与矩形边相交，求解析式或面积，常结合对称性。 2方法：设顶点坐标，利用矩形对边平行、四角直角，结合双曲线上点满足(yk),列方程求解。 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-1(2026河南平顶山三模)如图1，四边形OABC是矩形，D,E分别是边AB和BC上的中点，反 比例函数y=（x>0)的图象经过点D和点E,点B的坐标为(4,2)： 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式. (2)如图2，将直线BC上方的反比例函数的图象沿着直线BC向下翻折，请直接写出翻折后图象与x轴的交 点F的坐标 (3)连接EF,DF和ED,求△EFD的面积， 变式3-2(25-26八年级下山东烟台~期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴上， 顶点C在x销上.已如反比例周数y-营的图象经过点a:且m:n足关于的方程？-12x+2=0的两个 根(m<”),点A的坐标为 0,m) ,点的坐标为 ，0），D是OC的中点，连接1D 、 (1)求k的值： (②)若为'轴上一点，P为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以P,,A,D为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由： (3)若反比例函数的图象恰好与四边形ABCD的边有两个交点，直接写出k的取值范围. 变式3-3(25-26八年级下·福建漳州期末)【问题背景】 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在平面直角坐标系中，矩形A'B'CD'的顶点A与坐标原点O重合，B在x轴的正半轴上，A'D'=16, B=12,对角线AC、B'D相交于点E D 图1 图2 图3 【构建联系】 ()如图1，将矩形AB'CD向右平移3个单位长度，得到矩形ABCD,点E的对应点为E,若双曲线 y=人(x>0)经过点E:求该双曲线的解析式. 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形AB'CD'向右平移m(m>0)个单位长度，得到矩形ABCD,点E的对应点为E,双曲 线yC>0叭经过点E,且与D交于点F,若A=10:求点r的坐标， 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形A'BCD'向右平移(t>O)个单位长度，得到矩形ABCD,点E的对应点为E,双曲线 x>0经过点E,与边D交于点K,连接K,若。K是等腰三角形，求，的 题型四、反比例函数与菱形的综合问题 典例4(2026辽宁抚顺模拟预测)如图，菱形ABCD的顶点A,B落在x轴上，点D落在'轴上，反比 k 例函数y=(x>0)的图像经过点CD的中点E,交BC于点F,点A的坐标为(6,0)，点D的坐标为0,8). 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求k的值： (2)求点F的横坐标. 题型模版 1.特征：反比例函数图象过菱形顶点或与菱形边相交，求解析式或参数，利用菱形对角线性质。 2方法：设菱形顶点坐标，利用对角线垂直平分及四边相等，结合双曲线(y=k),列方程求解。 变式4-1(2026山东临沂二模)如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，对角线OB,AC相交于点 D,已知点8g,反比例函数yx>0)的图象经过点D B A (1)求反比例函数的解析式： (2)延长BC交反比例函数的图象于点E,交y轴于点F,连接DE,求△ODE的面积。 变式42(2026安徽合肥模拟预测)如图，四边形ABCD的对角线交于点M,且M是AC的中点： AC上x轴于点C,BD⊥y轴于点B.反比例函数C:y=元的图象经过点M,反比例函数C,: y=(k≠0)的图象经过点4 C A M 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求k的值： (2)若点D也在反比例函数C2的图象上，求证：四边形ABCD是菱形 变式43(2026福建福州三模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，A(9,0)B(-1,0) 反比例函 数yk≠0)的图像经过点C, (1)求反比例函数的解析式： (2)菱形的对角线AC与BD相交于点E,将菱形ABCD沿x轴的正方向平移，当点D恰好在反比例函数的 图像上时，试判断此时点E是否也在反比例函数的图像上？请说明理由. 题型五、反比例函数与正方形的综合问题 ,-3) 典例5 (2026河南南阳三模)如图，四边形4BCD为正方形.点4的坐标为 ,2）,点8的坐标为 反比例函数'=x的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过点C和点A: M (1)求反比例函数的解析式： (②)直接写出当x>0时，不等式ar+b> x的解集； 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)点P是反比例函数图象上的一点，若△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点坐标. 题型模版 1.特征：反比例函数图象过正方形顶点或与正方形边相交，求解析式或参数，利用正方形对称性。 2方法：设顶点坐标，利用四边相等、邻边垂直及对角线相等，结合双曲线关系列方程求解。 变式51(2026河南周口二模)如图，正方形A8CD的两个顾点AC都在反比例西数y冬c>0的图 象上，其中13m),C(6,4BV轴 VA D B (I)正方形ABCD的边长为. (2)求这个反比例函数的表达式： (3)连接OA,OC,四边形OCDA的面积为 变式52(2026江医抚州一模)如图。点4在反比例面数y>0)的图象上，且点4的候坐标满足 0<X< ,以OA为边在O1的下方作正方形OABC,直线'=与MB交于点D,将△0AD沿OD折叠， 点A的对应点为A'.连接AA,并延长交BC于点E,连接A'C. B (1)求∠EA'C的度数. (2)若△A'OC的面积是3，求k的值. 变式5-3(25-26八年级下·江苏扬州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点 10/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A在x轴上，点B在y轴上，且O4=3,O8=4,反比例函数y（化≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶 点D (1)求反比例函数的关系式： (2)求将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上： (3)若点E是线段OA上一动点，点F是线段OB上一动点，是否存在直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时 平分？若存在这样的直线EF,则求出线段AE的长；若不存在这样的直线EF,请说明理由. ◆◆ ◆◆ 同压轴挑战一攻克离难压轴，变政思维上很 一、单选题 1.(2026山西阳泉·三模)如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点A,D分别落在反比例函数 y-k￥0x<0)与y-（x>0)的图象上，点B.C在x转上.若。1BCD的面积为10，则A的值为(） A.7 B.4 C.-7 D.-4 2.(2026宁夏·中考真题)如图，在平面直角坐标系x0O少中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴的负半 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转与y轴的正半轴上，对角线4C与B0相交于点D反比例函数y-:0)的图象经过D,并交B于 X B(-4,2) 点E.已知 则ABDE的面积是(） B A.2 B.2 C.2 D.3 3.(2026北京三模)如图，在平面直角坐标系x0中，A是函数y=(D0)图像上的动点，点B在 x轴上，OA=AB,以OA,OB为边的平行四边形AOBC的边BC交该函数的图像于点D,连接AD, OD 给出下面四个结论： ①四边形AOBC可能是菱形；②△AOD的面积始终等于4； ③点D可能是BC的中点；④△AOD可能是直角三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①②③ B.①②④ C.①② D.①③ 二、填空题 5 4.(2026江苏扬州二模)如图，反比例函数y=2x经过矩形0CAB的边4B中点D,则矩形0CAB的面 积为 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026陕西西安模拟预测)如图，在菱形BC0中，点 -10,0)点B(a,8).AC与B0交于点D, ,点 反比例函数y=(x<0)的图象经过点D,则k的值为 B 4 6.(26-27九年级上全国单元复习)如图，边长为8的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x 8 8 轴，BC∥y轴，反比例函数y=与y= x的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之 和为 三、解答题 k 7.(2026河南周口·一模)如图，等边。4OB的边OB在x轴上，反比例函数y=x(x>0)的图象经过 边OA的中点 ,5) 13/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA (1)求反比例函数的表达式. (2)将反比例函数图象向上平移，当图象经过点A时，求函数图象平移的距离。 8.(2026广东二模)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正 半轴上，点A在反比例西数yk>0x>0)的图象上，点D的坐标为4,3). B oc (1)求k的值. (2)设点M在反比例函数图象上，连接AM,DM,若△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，请直接写出 点M的坐标. 9。（2026河南南阳一模)如图。在平面直角华标系0中，四边形01BC为矩形，点4的坐标为40)， 点C的坐标为0,2列，D为BC的中点。反比例函数y=（>0)的图象过点D:交1B于点E D (I)求点D的坐标和反比例函数的表达式： (2)延长DE交x轴于点F,求△AFE的面积. 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 ·(2026河南信阳·二模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 0),以O1为边的正方形 OABC的顶点B在反比例函数y= x>0的图象上 0 (I)求出反比例函数的表达式. (2)将正方形OABC沿着x轴的正方向平移，设边AB与反比例函数的图象在第一象限内交于点E.当点E 的纵坐标为1时，求正方形OABC平移的距离. 11.(2026江苏连云港·二模)小红将一块含45°角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系 0巾，已知三角板们直角质点4恰好在反比例西数一女>0)的图象上，三角板的顶点角在箱上， 且B点坐标为 80) ,三角板的另一个顶点与原点O重合，线段B所在直线的表达式为为=mx+” V B (1)则k= m= k (②)当mx+n-≤0时，直接写出x的取值范围： (3把aOAB、 沿着”轴向右平移个单位，对应得 △OAB 当反比例函数的图象经过一边的中点时，请 直接写出a的值. 12.(25-26九年级下·广东广州阶段检测)如图，菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上， 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且BC=5, m∠ABC-,反比例国致数y-x>0的图象分别与4DCD交于点u.点水点N的坐标是 (3,n) 连接OM,MC y M B (1)求直线DC的解析式： (2)求反比例函数的解析式： (3)判断△OMC的形状，并说明理由. 13.(2026:河南平顶山一模)口ABCD在平面直角坐标系O少中的位置如图所示，边BC经过原点O,点 A,B关于y轴对称，AB交y轴于点E,AD交x轴于点G,连接AC,交x轴于点F,反比例函数 y-(k≠0)的图象经过点B,C,已知点A的坐标为1,3). (1)求反比例函数的表达式： (2)求图中阴影部分的面积； (3)将口ABCD向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离为 14.(2026广东江门·一模)如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(a,0)、 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q6):顶点C在反比例西数y=产x>0的图象上，项点D在反比例酒数y-兰（c>0的图象上 VA H 0 A A 图1 图2 ()当点C的坐标为(2,8)时，求a、b的值； k2>k (2)当 时，求4、b应满足什么关系，请说明理由： 1=k2 (3)如图2，当 =时，在BC的延长线上取一点丑，过点B作EF1EB交y轴于点R,交反比例函数图象 于点G,当G为EF的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）， 17/17