第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末测试卷(二)-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

第八章章末测试卷曰)。 第八章章末测试卷（二) 时间：120分钟满分：150分 -、选择题：本题共8小题，每小题5分，5.已知sin(c49)=,tana5a,则cos(2a 共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求 23)=( 1.已知非零向量a,b满足(a-b)·(a-3b)= A B高 0,且al=3b,则a与b的关系是( D.41 A.垂直 B.共线 c 0 C.夹角为写 D.夹角为石 、 6.已知两个非零向量a和b,若b1(a-2b), lal=3b1,则cos(a,b)=（) 2.已知平面向量a,b满足la=1,la+b1=3, a⊥(a-b),则b1=() A B.0 A.1 B.2 c D号 C.V6 D.V7 3.已知纯角满足：sm牙--V7c02, 7.已知sina-石+eoa=号，则cos2a+号 =() 则sin2x=(） A.-2 B. A B C.-3 D C.-4V2 D.4V2 9 9 4.已知平面向量a,b满足：a+2b=(5,2), 8.若非零向量a,b满足lal=la+bl,则a+2b 2a-3b=(-4,-3),则a在b上的投影为 在b上的投影为() ( A.b B.b C. D.2b A号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多 B5,号 项符合题目要求.全部选对的得6分， c3, 部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知几何体ABCD-AB,CD1为长方体，则 D}- () A.A1C在AB上的投影为AB 13 N 高中数学必修第三册人教B版 B.AB在AC上的投影为AC 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 C.BD1在BC上的投影为BC 应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知向量a,b满足la=lb1=2, D.BC在BD上的投影为BD (a+2b)(a-b)=-2,求a与b的夹角， 10.已知a,B,ye0,7,sina+simy-sins, cos3+cosy=cosa,则下列说法正确的是 ( A.co-a）号 B.cos(B-a)=-1 CB-a=胃 D.B-a=胃 11.已知向量a,b满足a-b=1,b=1,且la+ =V7,则() A.lal=2 B.a⊥(a-b) C.a与b的夹角为T D.a与b的夹角为 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分. 12.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2AO= AB+AC,IOA=AB1,则向量BA在向量 BC上的投影为 13.若非零向量a与单位向量e共线，且la+ el=lel,则lal= 14若。子，则m 14 第八章章末测试卷（曰）。 16.(15分)已知向量a,b均为单位向量，17.(15分)已知函数f(x)=2cosx(V3sinx+ 且它们的夹角为60°，求la+3b1. cosx)-1. (当xe耳，平时，求函数f)的 单调递增区间； (2)若∈石，引，且)g,求 sin2xo的值. (15 N 高中数学必修第三册人教B版 18.(17分)已知A(7,5),B(2,3),C(6,:19.(17分)人脸识别技术在各行各业的应 -7),求证：△ABC是直角三角形 用改变着人类的生活，所谓人脸识别， 就是利用计算机分析人脸视频或者图像， 并从中提取出有效的识别信息，最终判 别对象的身份.人脸识别中检测样本之间 的相似度主要应用距离的测试，常用测 量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离， 若二维空间有两个点A(x1,y),B(x,y2), 则曼哈顿距离为d(A,B)=lx1-l+y1-y2l, 余弦相似度为cos(4,B)= V好+y 2 Y2 余弦距离 Vx+yVx+yV场+y 为1-cos(A,B). (①若A(1,2》.B号专，求AB之 间的曼哈顿距离d(A，B)和余弦 距离， (2)已知0<a<B<7,E(5cooa,5sina), F(13cosB,13sinB),P(5cos(a+B), 5simn())cs(P) cosE,月-88 ①求d(E,F): ②若动点G满足d(E,G)=d(E,F), 求G围成的封闭图形的面积. (16如图2，取线段CD的中点E, 连接AE,PE, AP.AB=AB.(AE+EP)=AB (AC+CE+EP)=AB.AC+AB.CE+ AB.EP. 在等边三角形ABC中，易知CE =号cd.xx060= 图2 第10题答图 AB,C匠=1x号×c0s60=石，则AdA店=+石+M正· EP=2+AB·EP 设AB与示的夹角为0，易知0e[0,2],则A正， ㎡ixgo0e石，号， AB.A户e},,故C错误，D正确，故选BD, 1L.BC【解析】当sinaco=-分时，in(a-B) sinaco--方号<-1，-分不可能成 立，故A错误； 由cn=号，得号≤cols1,则coas2a=2cosa- 1e【号，1小，则cos2m=号可能成立，故B正确； 取sina=号coa号，sm=名.此时子 sinsin-分，则-号可能成立，故C正确； 由oi=-号，得号≤ir≤1，则cos2g=l-2sin8e [1,)],则cos29-=号不可能成立，故D错误.故选BC 12.-2【解析】.a=(1,m),b=(-2,1),a⊥b,∴.1× (-2)+1xm=0,∴m=2.c=(n,2),b=(-2,1),c∥b,1× n=2×(-2),.∴.n=-4,∴m+n=2-4--2. 13.名【解折】co201-2sn=1-2xY} 4 4.之【解析】依题意，以点 B为坐标原点，直线BC为x轴 直线BA为y轴，建立平面直角坐 标系，则C(2,0),D(1,2).设点 E(0,),则0≤t≤2，于是CD. CE=(-1,2)·(-2,t)=2+2=3,解 B(0) 得子即E=分 第14题答图 15.证明：(1)左边=1+si29 sin+coso -sin'+2singcosp+cos(sin+cos)2 sin+cosp sin+cos =sinp+cosp=右边，得证. 参考答案。 (2)=sin(1+cos20)=sin(1+2cos20-1)=2sin0cos20= sin2cos0=右边，得证. (3)左边=4sin0cos2?=4sin0x1+cos0=2sin0+sin20=右 边，得证。 16.解：(1)左边=tan(45°+9)=sin(45+6) c0s(45+0) =sin45cos0+cos45sin6=cos0+sin6=右边，得证。 cos45°cos0-sin45°sin0cos0-sin0 (2)左边=tan(x+y)tan(x-y）=tanx+tany.tanr-tany= 1-tanxtany 1+tanxtany tanx-tan=右边，得证. 1-tanxtany 17.证明：(1)左边=sin30=sin(20+0) =sin20cos0+cos20sin0=2sinecos0+(1-2sin20)sine =2sin0(1-sin29)+(1-2sin20)sin0 =2sin0-2sin0+sin0-2sin30=3sin0-4sin0=右边，得证. (2)=cos30=cos(20+0)=cos20cos0-sin20sin0 =(2cos0-1)cos0-2sin0cos=(2cos20-1)cos0-2(1-cos0)cos0 =2cos0-cos0-2cos0+2cos30=4cos30-3cos0=右边，得证. 18.解：在△ABC中，AB?=AB.AC+BA.BC+C. CB,.AB=AB.AC-AB.BC'+CA'.CB'=AB.(AC-BC)+ CA.CB=AB.AB+CA.CB,即AB2=AB2+CA.CB,得CA. CB0,.CA⊥CB,即CA⊥CB,可得△ABC是直角三角形. 19.证明：1=tan45°=tan(20°+25°)=tan20°+tan250 1-tan20°tan25o 则tan20°+tan25°=1-tan20tan25°，即tan20°+tan25°+tan20°. tan25=1. >"第八章章末测试卷（二） 1.B【解析】设已知两个向量的夹角为0，由题(a-b)· (a-3b)=a2-4a.b+3b2=laP-4lallblcos0+31bP2=91bP2-12Iblcos0+ 3b=0,∴.cos0=1,.a,b共线.故选B. 2.C【解析】由a⊥(a-b)可得a2-ab=0,故a·b=1. 又.la+b1=Va+b2+2ab=3,故V1+b+2=3,故Ibl=V6 故选C 3.C【解析】由sin平-x=V2cos2,得2cosx 2simx=VZ(cosx+sinx)(cosr-sinx)·x为钝角，则 2 cosx<0,sine20 cosx-sin 0.cos+sin cos- simx=0(含去)，(osx+snP=1+2 2sinscos=子，得 2 sinco=-子，即sin2=-子.故选C. 4.A【解析】.a+2b=(5,2),.2a+4b=(10,4).又 2a-3b=(-4,-3),两式相减可得b=(2,1),a=(1,0), a在b上的投影为号2.1)-专，号故选A 5 5.C【解折1~-5·8器，则in-, cosa 97 N 高中数学必修第三册人教B版 又由sin(a+B)=9g+o=7,.cosasinB=- Γ12 cos (2a-2B)=1-2sin2 (a -B),sin (a-B)=sinacosB- coinp=4=号，cos(2a-29=1-2x)-号.故 选C. 6.D【解析】由已知得b·(a-2b)=0,即a·b=2b2 30c0sa,b)=2h,得c0s(a,b)=子.故选D 7B【解折】由na石)+eosa=了，得sina- 之,即V 2ou了，因tsma4君】 =号cos2a+号-cos2a4若）=1-2sim2a+g=g.故 选B. 8.C【解析】由lal=a+bl,可得laP=la+bP,laP=lal+2a b+bP,整理得ab=-1bP,则a+2b在b上的投影为 2 a+2b)-h.b-a:b+2b.b=.故选C 1b1 9.AC【解析】如图，在长方体ABCD-ABCD1中， BC⊥平面ABBM1,.BC⊥AB,A1C在AB上的投影为 AB,即A正确； 第9题答图 .在Rt△ABC中，∠ABC=90°，.BC与AC不垂直， AB在A,C上的投影不是AC,即B错误； BB⊥BC,D,C⊥BC,BD在BC上的投影为BC,即 C正确； 虽然BB⊥BD,但CD1与B,D不垂直，BC在BD 上的投影不是BD,即D错误.故选AC 10.AC【解析】由sina+siny=sinB,cosB+cosy=cosa得 siny=sinB-sina,cosy=cosa-cosB,两式分别平方相加得 (sinB-sina)2+(cosa-cosB)2=1,.'.-2cos(B-a)=-1,E cos(B- a)=7,故A正确，B错误.y∈(0，受)，siny=sin- sina0.又a,Be0,罗)，>a,B-ae(0,罗），且 cos(B-a)=,B-a=号，故C正确，D错误.故选AC. 1l.AC【解析】·ab=l,b1=1,且la+bl=V7,.a2+ 2ab+b2=7,则a2+2+1=7,则lal=2,故A正确；a…(ab)= a2-ab=4-1=3,.a与a-b不垂直，故B错误；cos(a,b) -8路2分又：向最失角a,6)e0,m,a与6 98 的夹角为号，故C正确，D错误.故选AC. 12.4B配【解析】如图，由2Ad-=ABMC,可得0为 BC的中点.设△ABC的外接圆的半径为r,可得MB= 1OAI=IOB1=0CI=,IBC1=2,则∠ABC=60°，.向量BA在向 量BC上的投影的数量为Bcos60=乞，则向量B所在向量 配上备批方行亮风 0 第12题答图 13.2【解析】：非零向量a与单位向量e共线，则a= Ae(入≠0)，且lel=l.la+el=lel,则(a+e)2=e2,即(e+e)P= e2,整理得2+2λ=0，解得A=0(舍)或入=-2，lal=-2el= 2lel=2. 2 4.2画罗 得出m号=2.a吹径=告 15.解：将(a+2b)·(a-b)=-2化简得1aP+ab-2lb1=-2, ab2,ab2、sa,b8h-分a,b》e0, 1,a,b=号 16.解：a+3bf=af+6ab+9bf=1+6x1x1×2+9=l3, ..la+3bl=V13 17.:(1)f(x)=2V3 sinxcosx+2cosx-1=V3 sin2x+ cos2r=2sn2+）.由xe牙，晋]，则2x+石e [号，2牙]结合正弦函数的性质，2x+石∈号，] 时，九)在xe-开，石]上单调递增，2x+君e受，] 时，)在xe[石，牙]上单调递减，)的单调递增区 间为xe[平，石 (2)由题意2+若e受受且w-2sin2+）= g,即m2+若)=}，2+君e[受m,则 cos2+石）=-号，而2w=2+石）-石，∴sin2o= sn2a+看cos2+若)sin-专x号 =3V3+4 10 18.证明：AB=AB=V(2-7)2+(3-5=V29, BC=BC=V(6-2)4(-7-3)=V16,AC=ACE V(6-7)2+(-7-5)2=V145,AC2=AB2+BC,∴△ABC是直 角三角形 19.解：DaA,B)1-+p-号号：cos(4, B)=Lx2+2×4=5,故余弦距离为1-e0s(1 V55V555 B)=5-V5 5 (2)①.V(5sina)2+(5cosa)2=-5. [5sin(a+B)]2+[5cos(a+p)J]2=5, ..cos(E,P)=5cosa.5cos(aB)+5sina.5sin(B) 5 5 5 co= 08c号.sins=号.R5,12.cosE,-5 5 l5g2+5.1g-cos(af)-器 13 5 13 0<a<k牙，则a-Be-7,0,sin(a-B=-治 651 .cosa=cos(a-B+B)=cos(@-B)cosB-sin(a-B)sinB=3 sina=号，即E(3,4),d(E,=B-5t 14-12=10. ②G(x,y),则d(E,G)=x-31+y4= 10,动点G围成的封闭图形是正方形， 如图所示，其边长为10V2,故围成的 第19题答图 面积为200. ◆"综合测试卷（一) 1.B【解折】当m>0时，2=2x号+-号)归 号：当m0时，2ia4coa-2x-号片号=号放选B 2.B【解析】如图，将向量a,b y 的起点都移到原点，即a=OA,b= 0B,则1a-b1曰B1,且∠x0A=75°. ∠xOB=15°，于是∠A0B=60°.又al= b1=1,则△AOB为正三角形，从而O BA=a-b1=l.故选B. 第2题答图 3.A【解析】f(x)=sin(2x+p)(0<p<π)的函数图象过 点(7侣一，=n(7石+e).4号，因此两数 sin2x+号)的图象向右平移石个单位得到函数gx)=sin2x 的图象.故选A. 4.D【解析】fx)=(1+60s2x)1-e92x=2（1-cos2x)= 2 参考答案。 合分1-4，经-号w ∴x)是最小正周期为牙的偶函数.故选D. 5.D【解析】依题意可知拼图中的每个直角三角形的长 直角边为cos0,短直角边为sin0,小正方形的边长为cos0- sin,n.(sico 25 1+2sno=絮.(in6-cos0l-2 o9=方0为锐.角 Γ25 且cos0-sin60,'sin04cow0=子，sin0-ecoc0=5,sint0- 1 cos=乃故选D. 6.A【解析】A=号(A花+A店)=号(p-9), .ADI-VIADF V(6p-q-V36p-12p 2V36x2V2)片12x2V2x3xc0s牙+32=5.故选A 7.C【解析】T2石=，u-2,于是f)=sn2+号， f(8)=m2x晋+号=10，故A错误；∫（君）= sm2x石+号)0，故B错误：次)在对称轴上取到最值，且 17)=sin2x8+号)l,故c正确：/号)=sim2x号+号】 ≠±l,故D错误.故选C. 8.D【解析】由平行四边形法则得p+P屈=2Pd,故(P +P)-P-2PiP元.又PC=2-P,且Pd,P元反向，设1P0 =t(0≤1≤2)，则(P+P)·P元-=2P0.P元=-21(2-)=2(f-21)= 2[(-1)2-1].0≤≤2，当=1时，(p+P)P元有最小 值，最小值为-2.故选D. 9.BD【解析】由a=入b,可知a∥b,即a与b夹角为 0 T,la-bl2=a2+b2-2lallblcos0=lal2+b2-2lallbl=1+4-4=1 la-bP2-a2+b2-2lalbIcosT=lal2+bP2+2lallbl=1+4+4=9,..la-bl=1 或la-b=3.故选BD. 10.AB【解析】cos36°cos72°=2sin36c0s36cos72°= 2sin36 2n需2-若-·放A正确：如号n语 4sin36° sm5ms晋分2sin号o骨=}如君=分.故B正确：原 式=co504V3sin50_ 2Y5sins0+号coc0w】 sin50cos50° 2n10w 如80=2n804,放C错误：号-号cos15°= sin80° 2 -号(2ams15=-号co30Pe-Y专，故D错误放选AB 1山.CD【解析】由诱导公式可得/x)=2cos2x-受)尸 99