第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末测试卷(一)-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 17.解：（山）点Q在单位圆上且0B<受，r+ (1,解得25，即Q2V5,5 5 5 5 由三角西数定义知，4Y,c09g=2y5,ag= 5 2x25 2sinB+5cosB_2tanB5_ 3sinB-2cosB 3tanB-2 3x 1-2 =-12 (2②）由题意得na=nBr号-co9g=25.coa cose+受=-ine=Y,故p.2y5 5/ 18.解：设AB的长为lcm,扇形的半径为rcm,则由 1l+2r=10, 题意，得年得皮 2 当r=1时，圆周长C=2mr=2π<L,不符合题意，舍去： 经检验，r=4,=2符合题意， a=-子=号ad).AB-2sm号-2n-2x45如 8sin4(cm）, 故扇形的圆心角a为子rad,弦AB的长为8sin4cm 19.解：(1)由三角函数的诱导公式，可得 f(a)=sin2(m-a)小cos(2m-a)·tan(-m+a) sin(-T+a).tan(-a+3) =sin'a.cosa.tana=sinacosa. -sina·(-tana) (2)a)=g,即sinco=g由((/cosa- 1 2cososina+sin'a=1-1=3 44 且<a号，可得coa<sina,c0m-sina=-Y (3)由a3到，可得1-3sin-3)cos-3 =sin-10m-号小cos-10m-号)）=-sin号cos-Y× 2 4 >“第八章章末测试卷（一) 1.C【解析】由la-2b1=V3,得a24ab+4b2=3,而 a=bl,则ab=分cosa,b)=8合=分、前0≤a, b)≤m,a与b的夹角(a,b)=号.故选C 2.C【解析】向量a=(1,0),b=(x,1),则b-2a= (x-2,1),∴b·(b-2a)=x(x-2)+1×1=0,解得x=1.故选C. 3.B【解析】由a⊥b,可得3(m-5)+2m=0,解得m=3 96 故选B. 4.B【解析】计算可得a=2,由la-bl=V3,两边平方 化简，得a2-2ab+b2=3,将al=2,b1=V3代入，可得a· b=2,b在a上的投影为2哈a号分，Y放选B 5.B【解析】设a=(x,y),则b-a=(2-x,-y).(b- a)⊥b,∴.(b-a)·b=0,即2(2-x)+(-y)0=0,.∴ax=2,∴.a= (2,y),ab=4,bP=4,则a在b上的投影的坐标为ab b12 b=b=(2,0),故选B. 6.A【解析】由模长公式la+b=V(a+b)严= Va2a:b+bF=V1+2x-4=V,由夹角公式 cos(a,a+b)=a.(atb)=ata.b .故 lallatb alla+bl IxV2 选A 7.C【解析】由7+an受6)-0，可得ag=7,且 11 tanc=tan[(a-B)8]=tan(o Bttane=2 tan2o=-2tana= 2×3 =3.故选C. na-m子 8.D【解析】tana-3F1+rtanotan-牙 -2V3-V3=3V3.故选D. Γ1+(-2V3)xV35 9BcD【解折】40}4C×CC,错误： A0.(GC+GB)=A0.2GF=2A0.D0=0,B正确； B丽-B成+E丽=)m+E-)(成+i)+丽-家+ 多E所，C正确； A6.丽=A62E+丽=-2A0,EF+3Ad. E所=-？×V2xV2=-l,D正确，故选BCD, 10.BD【解析】如图1，过点P作PC∥AB交AC的延 长线于点C,过点P作PB,∥AC与AB交于点B 在平行四边形AB,PC,中，AP =AB+AC=xAB+yAC,由AC> 4C,则y>l,故A错误. AD-AB+BD-AE+BC-AB +}(AC-AB)=}AC+子AB,故 B正确。 图1 如图2，取线段CD的中点E, 连接AE,PE, AP.AB=AB.(AE+EP)=AB (AC+CE+EP)=AB.AC+AB.CE+ AB.EP. 在等边三角形ABC中，易知CE =号cd.xx060= 图2 第10题答图 AB,C匠=1x号×c0s60=石，则AdA店=+石+M正· EP=2+AB·EP 设AB与示的夹角为0，易知0e[0,2],则A正， ㎡ixgo0e石，号， AB.A户e},,故C错误，D正确，故选BD, 1L.BC【解析】当sinaco=-分时，in(a-B) sinaco--方号<-1，-分不可能成 立，故A错误； 由cn=号，得号≤cols1,则coas2a=2cosa- 1e【号，1小，则cos2m=号可能成立，故B正确； 取sina=号coa号，sm=名.此时子 sinsin-分，则-号可能成立，故C正确； 由oi=-号，得号≤ir≤1，则cos2g=l-2sin8e [1,)],则cos29-=号不可能成立，故D错误.故选BC 12.-2【解析】.a=(1,m),b=(-2,1),a⊥b,∴.1× (-2)+1xm=0,∴m=2.c=(n,2),b=(-2,1),c∥b,1× n=2×(-2),.∴.n=-4,∴m+n=2-4--2. 13.名【解折】co201-2sn=1-2xY} 4 4.之【解析】依题意，以点 B为坐标原点，直线BC为x轴 直线BA为y轴，建立平面直角坐 标系，则C(2,0),D(1,2).设点 E(0,),则0≤t≤2，于是CD. CE=(-1,2)·(-2,t)=2+2=3,解 B(0) 得子即E=分 第14题答图 15.证明：(1)左边=1+si29 sin+coso -sin'+2singcosp+cos(sin+cos)2 sin+cosp sin+cos =sinp+cosp=右边，得证. 参考答案。 (2)=sin(1+cos20)=sin(1+2cos20-1)=2sin0cos20= sin2cos0=右边，得证. (3)左边=4sin0cos2?=4sin0x1+cos0=2sin0+sin20=右 边，得证。 16.解：(1)左边=tan(45°+9)=sin(45+6) c0s(45+0) =sin45cos0+cos45sin6=cos0+sin6=右边，得证。 cos45°cos0-sin45°sin0cos0-sin0 (2)左边=tan(x+y)tan(x-y）=tanx+tany.tanr-tany= 1-tanxtany 1+tanxtany tanx-tan=右边，得证. 1-tanxtany 17.证明：(1)左边=sin30=sin(20+0) =sin20cos0+cos20sin0=2sinecos0+(1-2sin20)sine =2sin0(1-sin29)+(1-2sin20)sin0 =2sin0-2sin0+sin0-2sin30=3sin0-4sin0=右边，得证. (2)=cos30=cos(20+0)=cos20cos0-sin20sin0 =(2cos0-1)cos0-2sin0cos=(2cos20-1)cos0-2(1-cos0)cos0 =2cos0-cos0-2cos0+2cos30=4cos30-3cos0=右边，得证. 18.解：在△ABC中，AB?=AB.AC+BA.BC+C. CB,.AB=AB.AC-AB.BC'+CA'.CB'=AB.(AC-BC)+ CA.CB=AB.AB+CA.CB,即AB2=AB2+CA.CB,得CA. CB0,.CA⊥CB,即CA⊥CB,可得△ABC是直角三角形. 19.证明：1=tan45°=tan(20°+25°)=tan20°+tan250 1-tan20°tan25o 则tan20°+tan25°=1-tan20tan25°，即tan20°+tan25°+tan20°. tan25=1. >"第八章章末测试卷（二） 1.B【解析】设已知两个向量的夹角为0，由题(a-b)· (a-3b)=a2-4a.b+3b2=laP-4lallblcos0+31bP2=91bP2-12Iblcos0+ 3b=0,∴.cos0=1,.a,b共线.故选B. 2.C【解析】由a⊥(a-b)可得a2-ab=0,故a·b=1. 又.la+b1=Va+b2+2ab=3,故V1+b+2=3,故Ibl=V6 故选C 3.C【解析】由sin平-x=V2cos2,得2cosx 2simx=VZ(cosx+sinx)(cosr-sinx)·x为钝角，则 2 cosx<0,sine20 cosx-sin 0.cos+sin cos- simx=0(含去)，(osx+snP=1+2 2sinscos=子，得 2 sinco=-子，即sin2=-子.故选C. 4.A【解析】.a+2b=(5,2),.2a+4b=(10,4).又 2a-3b=(-4,-3),两式相减可得b=(2,1),a=(1,0), a在b上的投影为号2.1)-专，号故选A 5 5.C【解折1~-5·8器，则in-, cosa 97第八章章末测试卷（一月）。 第八章章末测试卷（一) 时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，6，已知向量a,b满足ll,b1=2,a-b=-了 共40分，在每小题给出的四个选项中， 2 只有一项符合题目要求 则cos(a,a+b》=() 1.已知向量a,b满足lal=b=1,且la-2b1= A.-V2 B.-V2 4 2 3,则a与b的夹角为() C.V② D.V2 A君 B 4 2 c骨 D号 7.已知7+am牙8-0,2am(a-8)-1=0,则 tan2a=() 2.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若b(b 2a)=0,则x=() A号 B号 A.-2 B.-1 D. C.1 D.2 c 3.已知向量a=(3,m),b=(m-5,2),若 8.已知tana=-2V3,则tana-号上() a⊥b,则m=( A.2 B.3 A.-3V3 B.-V3 7 7 C.6 D.15 C.-3V3 5 D.3V3 4.已知平面向量a,b满足a=(1,V3), 5 Ibl=V3,la-b1=V3,则b在a上的投 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 影为( 共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分， A2y,2 B3, 部分选对的得部分分，有选错的得0分. c号，2y 9.如图是《易·系辞上》记载的“洛书”，其 D.(1,V3) 历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文 5.已知非零向量a,b满足b=(2,0),若 明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象 (b-a)⊥b,则a在b上的投影的坐标为 为两个正方形ABCD,EFGH,其中O为 ( 这两个正方形的中心，E,F,G,H分别 A.(1,0) B.(2,0) 为AB,BC,CD,DA的中点，若正方形 C.(V2,0) D.(0,2) ABCD的边长为2，则下列结论正确的 9 N 高中数学必修第三册人教B版 是() 书洛 18已知n.经，期co2 14.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC, AB⊥BC,AB=BC=2,AD=1,点E在边 AB上，且CD.CE=3,则BE= 第9题图 A.AO=V2 HG B.AO.(GC+GB)=0 Cm歌+m 第14题图 D.A0'.BH'=-1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 10.如图，△ABC是边长为1的等边三角形， 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 BD=}BC,点P在以CD为直径的半 15.(13分)证明下列恒等式. 圆上（含端点)，设AP=xAB+yAC, (1)1+sin2inco sin+cosp 则() (2)sin0(1+cos20)=sin20cos0; A.y的值不可能大于1 (3)4sin@cos=2sin0+sin20. BAD=}AC+号AE C.AP·AB的最小值为 3 第10题图 D.AP.AB的最大值为1 .已知cossin8=子，则以下等式可能成立 的有( A.sinacosB=- B.cos2a=4 C.sinosin-- D.os2g-号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分. 12.已知平面向量a=(1,m),b=(-2,1), c=(n,2),若a⊥b,b∥c,则m+n= 10 第八章章末测试卷（一） 16.(15分)证明下列恒等式 17.(15分)证明下列恒等式. (1)tan(45+0)=cos0+sine (1)sin30=3sin0-4sin0; cose-singi (2)cos30=4cos0-3cos0. (2)tan(x+y)tan(x-y)= tan'x-tan'y 1-tan'xtan y (11 N 高中数学必修第三册人教B版 18.(17分）在△ABC中，AB?=AB.AC+19.(17分)求证：tan20°+tan25°+tan20tan25° BA.BC+CA.CB,判断△ABC的形状. =1. (12