8.2.4 三角恒等变换的应用-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换。 8.2.4三角恒等变换的应用 第1课时 半角的正弦、余弦和正切 效果评价 c 1.已知ca=5,e,2m,则 6若coa=-号，a是第三象限角，则 sinc等于() 1+tan 2等于( 1-tan a A.V10 B.-V10 2 5 5 A B C.2V6 D.2V5 5 5 C.2 D.-2 2.设a是第二象限角，tano=-- 且 7.设5m<<6m,cos9=a,则sin4的值 2 sin号<cos号，则cos号等于() 等于 2 A.-V5 B.V5 8在△4Bc中，若cos1子，则sim6C 5 5 +cos2A= c D. ,则 9.已知au是第三象限角，sina=-24 3.若sin74°=m,则cos8°=(） tang的值是 AV罗 B 10.已知0<号<y<m,cosg-x)=各若 c.V D tanx、1 22,分别求： 4.已知c0s-5,且180°<0<270°，则 (1)sin之和cos号的值： tan号的值为() (2)cosx及coSy的值. A.2 B.-2 c D.-2 5.已知tan9=3,则cos0等于() A号 B 练(61 N 高中数学必修第三册人教B版 15.如图所示，要把半径为R的半圆形 提升练习 木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 11.已知sin0=m-3 m+5,c0s0=4-2m 的周长最大？ 0∈ m+5 ，π，则tan号等于() T 2 A分 B.5 第15题图 C5或号 D-3或5 12.若a∈(0，T),且3sina+2 cosa=2, 则an受等于（ A号 B分 C.V3 D.3 13.sin4x.cos2x.cosx 1+cos4x 1+cos2x 1+cosx 14.设0≤a≤T,不等式8x2-8 xsinc+ cos2ax≥0对任意x∈R恒成立，则的取值 范围是 (62)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换 第2课时 三角函数的积化和差与和差化积 效果评价 7.sin年+acos年B化为和差的结 果是 1.cosl5sinl05°=() 8. sin35°+sin25o A号 B.V31 C0s35°+c0s25° 42 9.求下列各式的值： c.3+1 D.V3-1 2 2 (1)sin54°-sinl8°； 2.sin20°+sin40°-sin80°的值为（ (2)c0s146°+c0s94°+2cos47°c0s73°. A.0 B.V3 2 c D.1 3.函数fx)-2sin号sina-号的最大值 等于() A.2sin2 2 B.-2sin2 a C.2cos2 2 D.-2cos2a 4.将cos2x-siny化为积的形式，结果是 ( 10.在△ABC中，若B=30°，求cosA sinC A.-sin(x+y)sin(x-y) 的取值范围. B.cos(x+y)cos(x-y) C.sin(x+y)cos(x-y) D.-cos(x+y)sin(x-y) 5.cosxcosy+sinxsiny= 2,sin2x+sin2y= 号，则siny)( A号 B c D 6.cos2a-cos3a化为积的形式为 练(63 N 高中数学必修第三册人教B版 提升练习 Sin Sx 2 15.已知fx)= 1 2 ,x∈(0，T）. 2sin 11.cos40°+cos60°+cos80°+cos160°= ( (I)将f(x)表示成cosx的多项式； A号 B (2)求f代x)的最小值. C.V3 2 D.-V3 2 I2.已知a-B=F,且=3, 则cos(ax+B)= A了 B. , 9 c号 D号 13.函数)=cosx+号cosx+牙的最大 3 值是 14. 1 ,cos80° sin40° sin800 (64)练N 高中数学必修第三册人教B版 =V2-V4cos 4 =V2+2cos4 =Vacos'g =2cos 15告【解析】原式 sin2+2y2 sin()cos平+w co年r cosT+w】 2sm小sm不jos子wj音且0er<骨六 xe(平，受)，sin平上V1-cos=将原式 2×1224 13-131 16解：（0xco2Ysin2reoe2r+V3n2r 2 V3sin2-cos2x-sin) (2)fa)=sin2a-石片7,2m是第-象限角，即2km< 2a<+2km(keZ),2km-石<2-石<号+2 kn (k eZ), cos (2a)43..sin2a-sin (2a sm2a-看cos看+os2a-君加g=7xV3+4y9 2 7 14 8.2.4三角恒等变换的应用 第1课时半角的正弦、余弦和正切 效果评价 1.A【解桥】ae(,2如，受e(,,sm受 -V严-0，故选A 5 2.A【解析】a是第二象限角，且sin受<cos号，一 号为第三象限角，cos号<0aa=-号，coa=子， cos号VI+4-Y5.故选A 2 5 3.C【解析】sin74=m=c0s16°，cos8°=V+cgs16 2 =V”.故选c 4.B【解析】方法一：180°<k270°，90<日<135°， 1- ∴tan20.tan号- /1-cos0 -2.故选B. V 1+cos6 1+ 5 方法二：.180°<0<270°，.∴sin0<0,.∴.sin0=-V1-cos0 88 4 5 -=-2.故选B. 2 1+cos0 1+ 5.B【解析】cos: coc心号sin号1-ar号 2 29sin201+ia㎡01+325 故选B 6A【解析】u是第三象限角，coa-号，sina=子， 4 n号 1+ 1+tan a 2二 2 cos a+sin 2 2=1+sina= 5- 1-tan a sn号cosg--sin 2 co号 1- 2 2 故选A. ,-√罗【解析】由m? 1-c号 2 ,.0∈(5m, 8.-g【解折】sim:+cw2A=1上-o+C+2osA- 2 2 1上14g1+2cos1-1e- 2 9.-4【解析】a是第三象限角，2m+m<a<2km+ ,km+受<受m+,am受<-l.sina 2am号 1+tan2 a 2 芳整理得12um号+25m受+12=0，m受=号或 m受=子（舍去）. 2tan 2x 10.解：(1).tanx= -an21-(2 =4且x为锐 角，.C0Sx= 1 亏c0sx=2os25-1=3, 3 V1+tan'x 2 2V5,而an2cos之2,0克Lo 25 2 (2)由题知0y<m,而co5)音得到yx为锐 角，sn0-V-合-是则m6-0-a-号 1+tanytanx 5 由()知m=号，cosr=号，m=治y为镜角， .'.C0sy=- 1=-33 V1+an子65 提升练习 1B解折】由co91,得房S 1,解得m=0或m=8.当m=0时，sin6k0,不符合7<0m, m=0舍去，故m8,此时sin0=音cox0-吕.am号 唱放法B sine 5 13 12.D【解析】ae(0,m),且3sina+2osa=6cin号 c0s号+22cos号-lj-2,6n受cos号+4co号=4，即 2 3 snc号+2cosg 3tan +2 3sin a cos a +2cos2 a=2, 2 2 2 2 sin受+cos号 tan -2,解得an号=弓或an号=0（舍去），故选D, 13.an号【解析】原式=2sin2c2x.co2·c0sx 2cos22x 1+cos2x 1+cosx sin2x cosx2sinxcosx.cosx 1+cos2x 1+cOSx sinxtan号 1+cosx 1+cOsx 14[0,石]U[g,m]【懈】析由题意知，4(8 8sing) 4x8xcos2a≤0，即2 2sina--cos2a≤0,4sina≤l,-7≤ sina≤分0≤a≤，0≤a≤石或g≤a≤m 6 15.解：设∠AOB-,△OAB的周长为l,则AB=Rsina, OB=Rcosa,..I=0A +AB+OB=R+Rsina+Rcosa=R(sina+cosa) +R=V2sna+子)+R0a<受，小牙<a+牙<平，为 的最大值为V万R+R=(V7+)R,此时，a+牙=受，即当 a=平时，△01B的周长最大. 第2课时三角函数的积化和差与和差化积 效果评价 1.A【解析】cos15°sin105°=1[sin(15°+105)-sin(150 2 -1051号[sm120-n(-0r1=x罗+1V4+ 4 子故蓬A 2.A【解析】原式=2sin30°cosl0°-sin80°=cos10°-sin80 =sin80°-sin80°-0.故选A. 3.A【解折】x)=-2sin号ina-号）=-[cosa-cos(-a)] =cos(x-a)-cosa.当cos(x-a)=l时，fx)取得最大值1-cosa 参考答案。 =2sinQ.故选A. 2 4.B【解析1 coin-1Hg2z-1上g2=号（eo2r 2 2 +cos2y)=cos(x+y)cos(x-y).故选B. 1 5.A【解析】，+sinsin=2,cos(6x-y)=2 sin2x tsin2y= 2 2sin (ty)cos()2sin(y). 2号，sin(x+y)=子.故选A 12 31 6.2sin5sing【解析】cos2a-cos3=-2sin2+3a. 2 2 2 sn2a30-2in9m号）片-2n受n号 2 7cosa8)+号sn(ag)【解析】原式-sm号 in(-))+in(-). 2sin35425°c0s35°，259 8.V3【解析】原式= 3 2x05354259c0s350-258 2 2 cos5°_=V3 V3 cos5 3 9.解：(1)sin54°-sinl8=2cos36°sinl8° =2.2sin18 cos18cos362sin36cos36sin72 2cos18° 2cos18° 2cos18 =c0s18°_1 =2c0s18°=2 (2)c0s146°+c0s94°+2cos47°c0s73°=2cos120°cos26°+2× 号ceos124c0s26）-2x-70os26+-号）hco26-60ws26+ 2)eo260-号 10解：由题意，得cos4snC-[sn1+C)-si如(1-C] =7[sm(m-B)-n4-C)1=号m(4-C).B=30. -l50<4-C<150,-1≤sin(4-C)≤1,4≤4- 分in4-C0≤子，cos4nC的取值范周是，子] 提升练习 1,A【解析】原式=cos60°c0s80°+c040°+c0s160=2+ c0s80°+2cos100°cos60°= +c0s80°-c0s80P=7.故选A 12.A【解析】cosa4c0sg-2cosa9cosa3-2c0s2πcos里 2 2 2 23，cose-1 =-cos4圯-1 2=3，cos(a8)=2cos39-1= 2 89 N 高中数学必修第三册人教B版 2x)1故送A 13.子【解析】由题意知，)=2cos2xn)Hcos号) 7co24eos号）=}-7eos2.-1≤cos2x≤1,3ym 子 14.V3【解析】.1 ,cos80 2c0s40 cos80 sin40 sin80 2sin40cos40'sin80 =c0s40°+(c0s40°+c0s80)=cos40°+2cos60cos209 sin80° sin80° =c0s40+cos20°-2c0s30 Pcos10°=2cos30°=V3. cos10° cos10 sn-sin号2ossinr 15.解：(1)fx)= 2n号 2s0号 -2coseos号0s2x+c0sr-2cos4c0sr-l 2）s-2eo+-g具-1 oo1.当o 子时，九e)取得最小值号 。"阶段性练习卷（七） 1.B【解析】角α的终边经过点P(3,-4),由任 意角的三角函数的定义得子.m好+一 =-子故选B, 2A【解标】由题可知coa=Y5,co2a=2cosa 1-2x5-1)故选A 3.C【解析】由余弦的二倍角公式得cos2a=2cos2a-1= 故透C 4.A【解析】sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)= sin30=故选A 5.D【解析】由1+cos2a=3,得1+cos2a=,2cosa sin2a sin2a 2sinacosa cosa-3,.tana=sina=L.故选D. sino cosa 3 6.B【解析】anl10+tan20 ,=tan(10°+20°)=tan30°= 1-tanl0°tan20° 了.故选B. 3 7.ABD【解析】cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=cos30°= Y,故A正确：o号=n牙=V,故B正 2 4 90 确；sin40+Y5c0s40°=cos60°sn40°+sn60rcor40e 2 sin(60°+40°)=sinl00°=sin80°，故C错误；tanl5°=tan(45°- 30°)=，tan45°-tan30° 1-V3 1+tan45°tan30° 3=2-V3,故D正确.故选 1+V③ 3 ABD. 8.ABD【解析】.sin(a+S)cosB-cos(a+B)sinB-0,∴.sina= 0,.'.sin (a+2B)+sin (a-2B)=sinacos28+cosasin28+sinacos28- cosasin.2B=0.故选ABD. 9.4【解析】sin15rcos15=号sin30r=4 -41 10.号【解析】cos24c0s36°-c0s66sin36°=sin66cos36°- c0s60sn36°=sin(6°-36)=sin30=2 11.-1【解析】由于tana,tan明是方程x2-6x+7=0的两 个根，.tana+tanB6,tanatanB:-7,.∴.tan(a+p)= tana+tanB 1-tanatanB 6=-1 -6 12.号【解折】血a+30esa+60） 2cosa =sinacos30°+cosasin30°+cosocos60°-sinasin60° 2cosa 1 3snat)c3ma力 2 2cosa 2 13.解：(1)f(x)=V2cs-,·f石)= V2cos-石-7)=V2cos←4=V2cos4=l. (2)co0=号，0e(3,2m,则sn=-号 os2a-2os0-12x号-15-3， sm20-2 inco0=2x-专×号-2若 f1245）=-V2cos2+4 V2 cos20cos-sin20sin =v2×3x-x竖号 14.解：(1)f(x)=(cos3x-sin2x)(cos2x+sin㎡x)-sin2x= cos2x-sin2x=-V2sm2x-4由-V2sin(2x-平）-y2 得sin2x-平)=7,2-平-2m+石，keZ或2-平 2m+酒，keZ,解得m+程，keZ或m+要.