8.2.4 三角恒等变换的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.2.4三角恒等变换的应用 课程标准 素养解读 1.了解学生推导半角公式、积化和差、和差化积的过程 通过三角恒等变换公式的学习，提升数学抽象 2.能利用公式进行三角恒等变换、求值 和数学逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P79 [情境引入] ②半角公式给出了求号的正弦、余弦、正切的另一 1.如何用cos2a表示sina,cos2a,tana? 种方式，即只需知道cosa的值及相应a的条件， 提示：根据倍角公式sna-1-0s2a 便可求出sin号eos号，ian号 cos'a- 1-cos 2a 2(1+cos 2a),tanacos 2 (3)应用：①求值；②化简；③证明. 2.如何用c0sa表示sin号，os受an受？ ?思考1.半角公式中的符号是如何确定的？ 提示：)当给出角a的具体范国时，先求号的范 tan2号= 1-cos a 围，然后根据号的范国确定符号。 1+cos a' (2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前 [知识梳理] 要保留正、负号 [知识点一]半角公式 2.半角公式对a∈R都成立吗？为什么？ (1)公式 提示：公式C号，S号对a∈R都成立，但公式T号要 cos 2a=1-2sin2a cos2a=2cos2 a-1 求a≠(2k十1)π(k∈Z). (以a代2a,以号代a) sa=1-2sinr号 cos a=2cos22- 3.in0十ng=2sin空cos92除了课本上的证 2 明方法，还有什么其它的证明方法吗？ sin 1-cosa =±+cos 提示：右边=2sin9告com9-2sin(号 +) 2 2 2 2 2 2 有理形式 无理形式 sina 1-cosa /1-cosa 0 sin a tan2=±J1+cosa =2(sin2cos号+cos号sin号)·(os号cos号 2 降幂公式 +sn号n号 sin2 a 1-cos a 00 2 -2n号os号eos号+sin号·sn号as 2 cos2号-1+cose +cos: 2 2sin乞cos 2 tan?a 1-cos a =sin0·cos2 多+simr号np+o sino 21+cos a (2)本质： +sin号sin0 ①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角 =sin0+sinp=左边. 公式变形得到的， 故等式成立 ·153· 必修第三册 数学B [知识点二] [预习自测] 1.两角和与差的正、余弦、正切公式 sin(a±3)-sin a cos3±cos asin B; 1.已知sin2a= 则co(e-)月 cos (atB)-cos acos BFsin asin B; tan(a土β) tana±tan3 A.- 1干tan atan B 2.倍角公式 c D号 sin 2a=2sin acos a; cos 2a=cos'a-sin'a=1-2sin'a=2cos2-1; 1十c0s2a- tan2a= 2tan a 解析：D 1-tan'a 3.半角公式 2 sin号- /1-cos a 2 2.求值sin c052 1+cos a 元 2 2 解折：sin音 √/2-√2 2 tan 2 1-cos a 1+cos a 答案：√22 4.降幂公式 cos'a=1+cos 2a 3.函数f(x)=sin(x+9)-2sin9cosx的最 2 大值为 sin'a=1-cos 2a 2 解析：，f(x)=sin(x十g)-2 sin cos x=sin xcos9十 5.辅助角公式 cos xsin o-2sin ccos x=sin xcos -cos xsin asin a±bcos.x=√a2+bsin(a±g) =sin(x-g)≤1，.f(x)的最大值是1. (其中tang= b (a≠0). 答案：1 课堂。互动学案 对应学生用书P80 规律方法 题型 应用半角公式求值 利用半角公式求值的思路 [例1]已知sina= 4 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函 数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式 tan号的值. 求解. [思路点拔直接利用半角公式求解， (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题， 因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角 [解] x<a<sin= 51 的范围， .'cos a=- 3 224· (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用an受 .'sin- 1-cos a25 5· sin&=1一cosg,其优点是计算时可避 1+cos a sin a 免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公 1+cos a 2 51 式的正、余弦值时，常先利用sin号 a sin 2 tan -2. 1-c0s,c032号-1+0sg计算。 2 2 2 2 cos 2 (4)下结论：结合(2)求值. ·154· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 ◇[变式训练] 题型 兰角函数武的花简 1.1)已知sin9=三，5g<0<3x,那么tan号 5’2 +co52 [例2]化简： 的值为 ) (1+sin a+cos a)(sin -(180°<a360). A -3 B.30 √2+2cosa 10 [思路点拨] 化倍角为单角，统一角，a=2X8 C.-3-四 10 n3+ 2c0s2 3 3x),则tan a +2sin号cos号 sin号-cos号 (2)已知cosa=一 ,a∈（π， 原式 解析：1)因为受<0<3x, cos号+sim号m受-os) 所以c0s0=--sim0=- 45π03π 5·4221 ∠0. 所以sn号<0.6ms号 cos 号(-csa） 所以号 1-cos0=_ cos号 又因为180°<a<360°， cos 1+cos 0_ √/10 2 2 10 所以90°<号<180所以cos号<0， Q 所以tan2 sin 2 cos2·(-cosa) =3. 所以原式 =cos a. c092 -cos号 所以tan 规律方法 10 1.化简问题中的“三变” (2)方法一：因为c0sa= a(元，， 3 (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间 则号（受子，则南半角公式，得 的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异， 合理选择联系它们的公式 (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函 5 tan 2 1一cosa A/1+cos a 2. 数的名称，如统一为弦或统一为切 1+ 5 (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当 方法二：因为c0sa= 3π ae,2 的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等 2.化简的要求 所以sina= 4 ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； 所以tan2 sin 2 2sim号 1-cos a ③尽量使项数最少； 2sin cos2 Q sin a ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数. 一2 3.化简的方法 5 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升 答案：(1)B(2)-2 幂等 ·155· 必修第三册 数学B ◇[变式训练] 规律方法 2.化简： 1+sin a 1-sin a (1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差 /1+cosa-√1-cosa√1+cosa十√/1-cosa】 异，有目的的化繁为筒、左右归一· () (2)三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等 +cos sin 2 式与条件恒等式. 2 解析：原式 ①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化 os号 2sin号 繁为简，左右归一，通过三角恒等式变换，使等 式的两边化异为同. sin 2 -cos 2 ②条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知 os号+sin号 条件与求证等式之间的联系，选择适当途径. 因为<a<受所以受<号< 常用代入法、消元法、两头凑等方法。 4 ◇[变式训练] 所以cos之 g<0,sin 0. 3.求证：an(（o+)十tan(e-)=2an2a sin 2 a )2 所以原式 证明：方法-左边=m[(a+)十（。一)] 1-m（e)m。】 sin a sin 2 -cos 2 √2 瓦 tm2a·"n· 题型三 三角恒等式的证明 =2tan2a=右边.故原等式成立. [例3]证明：tan 2sin 0 -tan 2-cos 0+cos 20 tan atan tan a-tan 方法二：左边= 4 X 1-tan atan 1十tan atan4 [思路点拨] 在要证明的题目中，既有，0和 .tan a+1tan a-1_(1+tan a)2-(1-tan a)2 20,还有 之，有切还有弦，可从消除恒等式左、右两 1-tan a 1+tan a 1-tana 4tan a 边的差异入手，将右边的角0,20配凑成9,9的 =2tan2a=右边.故原等式成立. 2’2 1-tana 形式，注意到： 题型四 角的变换问题 8二36-日，20=304日 2 2T2 [例4幻求值：1+os20 2sin 20 sin 10 (tan-tan5）月 1 [证明] 右边= 2sin0 [思路点拨]先化切为弦，再用公式统一角 cos 0++cos 20 30 [解]原式 2sin 2 2 2c0s210° 300 30 4sin 10cos 105 sin10cos5° sin 5 sin 5 cos +cos cos 5 22 2 2 cos 10 30 30 2 sin 、9 2cos10°=c0s10°-2sin20 2sin 10 -cos 2sin 2sin 10% 30 cos10°-2sin(30°-10°) 2cos 2 cos 2 2sin10° c0s10°-2sin30°cos10°+2cos30°sin10 sin 2 sin 2 30 日=左边.所以等式 2sin 10 9 一tan c052 o=tan cos2 =c0s30°= 2 成立 ·156· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 规律方法 =√5 isin xcos-cos2x-2 角的三种变换 √ (1)常见的配角变换 2sin 2-2 cos 2-1 a=2·号，a=(a+B)-B,a=月-(8-a),a =sm(-)-1 3a+m+(a-],8-[a+)-(a (1)T==元，故f()的最小正周期为元 2 ],年+a=受-(-a). (2)因为0长≤受 (2)辅助角变换 所以-≤2x-石<5 66 asin x+bcos x=√a+bsin(x+9),其中 tang= 所以当2x-若=受，即x=号时，f()有最大值0， a 当2x- =一否，即x=0时，f)有最小值 3 (3)注意常值的代换 6 用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后 规律方法 能用相关公式，如1=sina十cos2a,1= 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 sin90°，2 =sin30,8 ’2 =cos30°等. 运用和、差、倍角公式化简 ⊙[变式训练] 统一化成f(x)=asin aw十bcos ax十k的形式 1 √5 4.sn10n8o的值为 利用辅助角公式化为f(x)=Asin(aa+p)+ 的形式，研究其性质 1 解析：原式= =cos10°-√W3sin10 sin 10 cos 10% sin10°cos10 ⊙[变式训练] _2(sin30°cos10°-cos30°sin10) 5.已知函数f(x)=sinx+asin xcos x-cos2x,且 2sin 20 f(牙)=1. =4sin20=4 (1)求常数a的值及f(x)的最小值： sin20° 答案：4 (2)当x∈[0，受]时，求f(x)的单调增区间。 题型五三角恒等变换在研究三角函数性质中的应用！ 解：1)：f()=1.sim至+asin晋cos至 [例5]设函数f(x)=√5 sin xcos x cos2工-1，解得a=2. cos xsin (爱+小 4 .'f(x)=sin'x+2sin xcos x-cos'x=sin 2x- (1)求f(x)的最小正周期； cos2x=Esin(2x-平). (2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最 当2x-平=2kx-罗（∈Z, 小值. [思路点拨]先利用公式对f(x)进行化简，然后 即x=x一苓(k∈Z)时，sin(2x-平)有最小值 再求它的最小正周期和最值 一1，则f(x)的最小值为一√2. [解]f(x)=√5 sin xcos x-cos xsin 2+ (2)令2x-受<2x-平≤2kx+号(k∈Z, 签理得r一晋≤<kx十（∈Z, ·157· 必修第三册 数学B 又[o,受10≤ ⊙[变式训练] 6.如图所示，已知OPQ是半径为1， ·当x∈[0,2]时，f(x)的单调递增区间是[0， 圆心角为牙的扇形，四边形ABCD 题型亢三角恒等变换在实际问题中的应用 是扇形的内接矩形，B,C两点在圆 [例6]有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块 弧上，OE是∠POQ的平分线，E在PQ上，连接 空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其 OC,记∠COE=a,则角a为何值时矩形ABCD的 一边AD落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为 a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置，可以 面积最大？并求最大面积. 使矩形ABCD的面积最大？ 解析：如图所示，设OE交AD于 [思路点拔]题中由于点A,D关于点O对称， M,交BC于N,显然矩形ABCD 因此求出点A的位置即可.可在△ABO中，利用 ∠AOB表示出OA,AB的长，则矩形面积即为 关于OE对称，而M,N均为AD, 2OA·AB,由此找到面积与角之间的函数关系， BC的中点， 求出面积的最大值 在Rt△ONC中，CN=sina,ON=cosa,OM= [解]画出图形如图所示： DM -=√3DM=√3CN=√3sina, 所以MN=ON-OM=cosa-√3sina, 设∠A0B=0(0(0,》则AB=asin9.OA= 即AB=cosa-√3sina,而BC=2CN=2sina, acos0.设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA 故Se形ABcn=AB·BC=(cosa-3sin a)·2sina ·AB, ∴.S=2acos0·asin0=a2sin20. =2 sin acos a-2√3sin2a 又9e(0,号)29e(0,x0,当29=受即9=至 =sin2a-√3(1-cos2a)=sin2a+√3cos2a-√3 时，S=a,此时A,D距离0点都为 Sa. =2(m2a+9cs2a)-=2sn(2a+) 规律方法 √3. 三角函数应用题的特点和处理方法 (1)实际问题的意义反映在三角形的边、角关 因为0<a< 看所以0<2<营吾<a+骨< 系上 (2)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行 故当2a十 =受，即。= 是时，SED取得最 推理，解决最优化问题， 大值， (3)解决三角函数应用问题与解决一般的应用问 题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后做 此时S能#ABCD=2-√尽. 出结论并回答问题 ·158· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 随堂。步步夯实 对应学生用书P83 --● 1.已知a（-0小cosa=号则an号-( 4.函数f(x)=sinx十sin x cos x+1的最小正周期 是 ,单调递减区间是 A.3 B.-3 解析：f(）=1一c0s2L+sin22+1= 2 2 c号 解析：D[因为a∈ 0小且sa=，所以 号n2x一到)十号故最小正周期为x 单洞递减区间为[餐+标，餐+标]4乙。 4 号∈（年0am受 1-cos a 5 1+cos a 1+ 4 答案：元 [5+x,g+k]小∈Z 5.已知函数f(x)=sin(2x 若)+2c0s-1. (1)求函数f(x)的最大值及其相应的x的取值 2.已知cosa= 3,<u<2,则cos号 1 ( 集合； A.- 1 B. 3 (2)若<a<5且fa)=告，求cos2a的值. c 1 D. 解，1/)=sin2x-晋)+2aosx-1=sm2x·ms晋 解析：B[:<a<2x,受<号< cam2x·n吾+oas2g-g.sm2r+ws2x sin(2x+),故f)=sin(2x+晋)，所以当2x+ .cos 1+cos a 2 2 若=2元十受，k∈7，即x=x十否，k∈Z时， 3.若sin(元-a)= f(2)mx=1. 等于 其相应的x的取值案合为{zz=x十吾，A∈Z. A. √6 3 B.6 6 (2)由题意得fa)=sin(2a十君)=青 D. 解析：B[由题意知sna=一令E(,学。 所以c0s2a+晋)一是 所以cosa=一 因为号（受 因此cos2a=co[2a+若)若] =cos(2a+)cos+sin(2a+若)sin 所以sin(受+受)=c0s受-√ 1+cos a_6 2 1 故选B.] -(×+×3+4 10 ·159· 必修第三册 数学B 课后。素养提升 对应学生课时P49 基础过关 JI CHU GUO GUAN 4.函数f)=21十cos2a)·simx(x∈R)是 1.若c0s2a=- 且a[受小则sma A.最小正周期为π的奇函数 A.30 B.①0 10 10 B最小正周期为受的奇函数 c 3 D.-0 C.最小正周期为π的偶函数 10 D.最小正周期为2的偶函数 解析：A[因为a∈[受，x小，所以sina>0,由半角 解析：D[由题意得f(x)= 1+c0s2z)1-0s 公式可得sina入 1-cos 2a 2 2x) 2.已知sin0=- 3x<0<号，则6n号的值为 子1-cos2x)=子sim2x=g1-cos4a. ( 又f(一x)=f(x),所以函数f(x)是最小正周期为 A.3 B.-3 乏的偶函数，选D.] c 5在△ABC中，若sin Asin B=-cos号，则△ABC是 解析：B[:3x<9<受m0=一号，∴c0s0 ( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 sin 0 tan 2-1+cos0 =-3.] 解折：B[sin Asin B=-1+esC, 3.函数y=3sin4.x十√3cos4x的最大值是 ( ) 即2 sin Asin B=1+cosC, A.5 B.2√3 .2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B, C.3 故得cos(A-B)=1, D.6 又因为A一B∈(-元，元)， 解析：B[y=3sin4x+√3cos4x .A一B=0,即A=B,则△ABC是等腰三角形.] -2停ns4 6.(多选题)如果若干个函数的图像经过平移后能够 重合，则称这些函数为“同族函数”.给出下列函数， =25sin(+若) 其中与函数f(x)=√3sinx-cosx是“同族函数” ymx=2√3，故选B.] 的是 ·160· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 A.f(x)=2sinx·cosx+1 解析：函数f()=25sin受c0s受+2cos2%-1 B.(z)-2sin(r+ C.f(x)=sinx+√3cosx D.f(x)=√2sin2.x+1 由T-2证=x,可得w=2f)=2sim2x+) 解析：BC[A式化简f(z)=sin2十1， 0:]晋≤2x+音<餐-1f C式化药f)=2sim(+): ≤2. f(x)=3sin z-cos x=2sin 画出f:)的图像（图略），结合图像知出十x=子， 显然A中的周期、D中的振幅和周期与已和函数不 则f+x)=f()=2sn(得+)=2sin 符，B、C符合.] =1. 7.化简√I+sin2的结果是 解析：W/1+sin2=√sin1+cos21+2sin1cos1 答案：号1 =v(sin 1+cos 1)2=Isin 1+cos 11, 10.化简： 1-sina-cosa)sin号+cos 2 √2-2cosa 因为1∈（0，，所以sin1>0,cos1>0, <0). 1+sin 2=sin 1+cos 1. 2号-2n号cms 2 sim号十s号 答案：sin1十cos1 解：原式 8.函数f(x)=sinx+sin xcos x+1的最小正周期 2×2sn号 为 2sin 解析：f(x)=sim2x+-sin xcos十1=1-cos2x+ 2 2m号 1 2sin 2x+1 sin2 2 sin 2cos a a sin 2 sim引 = 因为一元<a<0,所以一 T=元. <g<0,所以sin2 2 2 答案：π <0, 9.(多空题)已知函数f()=?5sin受cos受+ 2 -sin 2cos a 所以原式= =cos a. 2c0s2g-1(w>0)的最小正周期为元，当x∈ -sin号 2 2sin acos x [0,]时，方程f代)=m恰有两个不同的实数解： 11.证明：(sn十cos-1)(sinx-cosx干TD -1+cos z x2,则2十x2 ,f(x1十2x2)= sin 2 ·161· 必修第三册 数学B 解：左边= 13.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心， 2sin xcos r 正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内 (2sns专+1-2n-1)(2sns专-1+ir专+) 建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑 2sin zcosx 2sin x 2sin 2 2 cos 2 +sin 与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的 四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政 2sin- 2sin xcos x c052 府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°，OB 4sin2 2 cos z 2sin sin 2 与OM之间的夹角为0. 1+2cos号-10s 右边 2sinos号 所以左边=右边，即等式成立 能力提升 NENG LI TI SHENG (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成0 12.已知函数f(x)=cos(+x·cos(-x 的函数， (2)若R=45m,求当0为何值时，矩形ABCD的 g(x)= 2m2x-子 面积S最大？最大面积是多少？（取√2=1.414） (1)求函数f(x)的最小正周期； 解：(1)由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM (2)求函数h(x)=f(x)一g(x)的最大值，并求使 ⊥AD h(x)取得最大值时x的集合. 设OM与BC的交，点为F,则BC=2Rsin0,OF= 解：(1)f(x)= Rcos 0, 所以AB=OF-2AD=Rcos9-Rsin月 sin 2= 1+cos 2x 8 所以S=AB·BC=2Rsin(Rcos0-Rsin0) 3(1-c0s2.x) =R2(2sin 0cos 0-2sin2 0)=R2 (sin 20-1+cos 8 1 20) -2cos 2 “f(x)的最小正周期为T=2=元 =Rsm(9+)R,0(0, 2 (2hx)=fu)）-ga）=3os2x-3sin2z 2)因为0e(0,所以20+牙∈（年，） 所以当20+ 4 受，即0=答时，S有最大值， S=(W2-1)R2=(W2-1)×452=0.414×2025 当2x十平=2kx(k∈Z, =838.35(m2). 即=红一吾（∈刀时，h)有最大位号 故当0=时，矩形ACD的面积S最大，最大面积为 此时x的集合为{红z=x-吾k∈Z 838.35m. ·162·