8.2.4 三角恒等变换的应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.2.4三角恒等变换的应用 课程标准 素养解读 1.了解学生推导半角公式、积化和差、和差化积的过程 通过三角恒等变换公式的学习，提升数学抽象 2.能利用公式进行三角恒等变换、求值 和数学逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] (3)应用：①求值；②化简；③证明. 1.如何用cos2a表示sina,cos2a,tana? ?思考1.半角公式中的符号是如何确定的？ 2.如何用cosa表示sin号，cos号，am号？ 2.半角公式对a∈R都成立吗？为什么？ [知识梳理] [知识点一]半角公式 3.sin0十sing=2sn2生eos除了课本上的证 2 (1)公式 明方法，还有什么其它的证明方法吗？ cos 2a=1-2sin2a cos2a=2cos2 a-1 (以a代2a,以号代am) cosa1-2sin2号 01 cos a=2cos2- /1-cosa 2 2 [知识点二 有理形式 无理形式 1.两角和与差的正、余弦、正切公式 sina1-cosa 1-cosa sin(a士3)= sin a tan √1+cosa cos(a土3)= 降幂公式 tan(a士3)= in号 2.倍角公式 sin 2a- cos 2a- tan2a= ar受 3.半角公式 (2)本质： sin ①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角 公式变形得到的. ②半角公式给出了求号的正弦、余弦、正切的另一 cos 2 种方式，即只需知道cosa的值及相应a的条件， 便可求出sin受，cos受，tan受 tan 2 ·79· 必修第三册 数学B 4.降幂公式 [预习自测] cos2a=1十cos2a 2 1.已知sin2a= 则ma-) sin'a=1-cos 2a A-司 B-号 c 2 2 0. 5.辅助角公式 2.求值sin asin z±bcosz=√a2+bsin(x土g) （其中am9= 3.函数f(x)=sin(x+9)-2 sin ocos x的最 b(a≠0). 大值为 课堂。互动学案 ● 题型一 应用平角公式求值 ⊙[变式训练] [例1]已知sina=一 <a<，求m号as号 1)已知sin0=三，<f<3元，那么tan号十cos 52 的值为 ( tan号的值 A.-3 10 B.3-0 10 [思路点拨]直接利用半角公式求解 C,-3-0 10 D.3+0 10 (2)已知cosa= a∈(，受)，则tan号 3 题型二 兰角函数武的花简 [例2]化简： 1+sina+osa(sin受 一co52(180°<a<360°) √2+2cosa [思路点拨]化倍角为单角，统一角，a=2X 2· 规律方法 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函 数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式 求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题， 因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角 的范围。 (3)透公式：涉及半角公式的正切值时，常用an号 ,sina=1一cosa,其优点是计算时可避 1+cos a sin a 免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公 式的正、余弦值时，常先利用sin受 2 0sans2a=十05计 2 (4)下结论：结合(2)求值. 80· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 规律方法 题型目 三角恒等式的证明 1.化简问题中的“三变” [例3]证明：tan 30 (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间 一tan2 2sin 0 cos 0++cos 20 的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异， 合理选择联系它们的公式 [思路点拨] 在要证明的题目中，既有号0和 (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函 数的名称，如统一为弦或统一为切 20,还有翌，布切还有营，可从消除恒等式左、右两 (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当 边的差异入手，将右边的角0,20配凑成9，号的 的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等， 22 2.化简的要求 形式，注意到： ①能求出值的应求出值； 8=38一号20=3g+0 Γ2 2 ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数 3.化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升 幂等 ⊙[变式训练] 1+sin a 1-sin a √1+cosa+√/1-cosa （ 规律方法 (1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差 异，有目的的化繁为筒、左右归一 (2)三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等 式与条件恒等式 ①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化 繁为简，左右归一，通过三角恒等式变换，使等 式的两边化异为同 ②条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知 条件与求证等式之间的联系，选择适当途径， 常用代入法、消元法、两头凑等方法. ◇[变式训练] 3.求证：tan(a+)十iam(。-等) 2tan 2a ·81· 必修第三册 数学B 题型四 角的变换问题 题型五三角恒等变换在研究三角函数性质中的应用} [例4]求值：1十cos20 -sin10 (tan 55-tan 5 [例5]设函数f(x)=√5 sin xcos x 2sin 20 [思路点拔]先化切为弦，再用公式统二角. coin(受+2 (1)求f(x)的最小正周期： (2)当x∈[0，]时，求函数(x)的最大值和最 小值。 [思路点拨]先利用公式对f(x)进行化简，然后 再求它的最小正周期和最值. 规律方法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 统一化成f(x)=asin a+bcos a+k的形式 利用辅助角公式化为f(x)=Asin(x十9)十 的形式，研究其性质 规律方法 ◇[变式训练] 5.已知函数f(x)=sin2x+asin xcos x-cos2x,且 角的三种变换 (1)常见的配角变换 f(空)=1. a=2·号a=(a+B)-A,a=月-(g-a),a (1)求常数a的值及f(x)的最小值； 3[a++a-m].月=2[a+)-a (2)当x∈[0，受]时，求f()的单调增区间。 m],年十a=受-(-a). (2)辅助角变换 asin z+bcos x=√a2+bsin(x+p),其中 (3)注意常值的代换 用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后 能用相关公式，如1=sina十cos2a,1= sin90°，2 =sin30°， 2 =c0s30°等. ⊙[变式训练】 1 4·sin10sn80的值为 ·82· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 题型亢三角恒等变换在实际问题中的应用 ◇[变式训练] [例6]有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块 6.如图所示，已知OPQ是半径为1， 空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其 圆心角为于的扇形，四边形ABCD 一边AD落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为 是扇形的内接矩形，B,C两点在圆 a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置，可以 弧上，OE是∠POQ的平分线，E 使矩形ABCD的面积最大？ 在PQ上，连接OC,记∠COE=a, 汇思路点拨]题中由于点A,D关于点O对称， 则角a为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最 因此求出点A的位置即可.可在△ABO中，利用 大面积. ∠AOB表示出OA,AB的长，则矩形面积即为 2OA·AB,由此找到面积与角之间的函数关系， 求出面积的最大值。 规律方法 三角函数应用题的特点和处理方法 (1)实际问题的意义反映在三角形的边、角关 系上 (2)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行 推理，解决最优化问题. (3)解决三角函数应用问题与解决一般的应用间 题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后做 出结论并回答问题. 随堂。步步夯实 1.已知a∈ 0cosa=，则tam号（ 5.已知函数f()=sin(2x-君)+2cosx-1. A.3 B.-3 (1)求函数f(x)的最大值及其相应的x的取值 c n.号 集合； (2)若买<a<号且fa)=手，求cos2a的值. 2.已知c0sa= 1 x<a<2x,则cos号=( A一日 0. 3.若sin(x-a)= 等于 ( A- B.6 6 C.6 ©温馨提正 6 D.6 3 学习至此，请完成配套训练 4.函数f(x)=sinx十sin x cos x+1的最小正周期 是 ,单调递减区间是 ·83·必修第三册 又：s(受-x-告， ain(停-子m(任-小是 “原式=(2×号-)）×（是）=品 变式训练 2.(1)解析：由sina= ，且a是第二象限角，可得cosa 3 4 3 -5,所以tana=-， 所以tanB=tan[(a十3)-a] tan(a+3)-tan a 1-(-3) 4 =7, 1+tan(a+8tana 1+1x(-3) 所以tan2B= 2tan B 7 1-tanB 一24 答案：一员 (2)解析：0<<0<-< 又：sin(-x)= 5 4 “cos2x=sin(5-2x) 2 =2sin( 4 -cos(-） =2cs[受-（-x]cos( 、4 4 -x） =2os(+xc0s(-， .'.-cos 2.c cos(+) 答案得 [例3][解] (1)原式=+tan)--tan) (1-tan8)(1+tan8) 2tan =tan 20. 1-tan20 (2)原式= 1+2sin 2acos 2a+2cos22a-1 1+2sin 2acos 2a+2sin22a-1 2cos22a+2cos 2asin 2a 2sin22a+2sin 2acos 2a 2cos 2a(cos 2a+sin 2a) 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) = 1 tan 2a 变式训练 3.证明：法-：左边=+C0s4)+m4a (1-cos 4a)+sin 4a 2sin22a+2sin 2acos 2a 2cos22a+2sin 2acos 2a 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) 2cos 2a(sin 2a+cos 2a) =tan2a=右边. 数学B 法二：左边=1十sin4a-(1-2sin22a) 1+sin 4a+(2cos22a-1) 2sin 2acos 2a++2sin22a 2sin 2acos 2a+2cos22a 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) =tan2a=右边， 2cos 2a(sin 2a+cos 2a) 随堂步步夯实 1.B[1-2sin222.5°=cos(2×22.5) 2.D[函数f(.x)=sin xcos c= 1 2 sin 2r, f(r)min=- 3解标：原式=o音竞=os吾- 21 答案号 4.解析：：sin0=4>0,sin0cos0<0,cos0<0. .∴.c0s0= -√1-sin0=- .·sin20=2sin0cos0= 3 24 25 答案：器 5.解：tam(e+） tana十tan4 .=tan a+1 1- tan atan 1-tan a =2+1-3. 1-2 (2) sin 2a sin2 a+sin acos a-cos 2a-1 2sin acos a sin2 a+sin acos a-(2cos2 a-1)-1 2sin acos a sin2 a+sin acos a -2cos2 a 2tan a tan2 a+tan a-2 2×2 = =1 22+2-2 8.2.4 三角恒等变换的应用 课前预习学案 情境引入 1.提示：根据倍角公式，sin2a= 2(1-cos2a), cos'a-(1+cos 2a),tancos 2a 1-cos 2a 2 1 .1 2.提示：sim号=合1-msa).s号=号1+osa,iam3 a1-cos a 21+cos a 知识梳理 知识点一，(1)二cos :1十cosa 1-cos a 2 2 1+cos a 知识点二、l.sin a cos3士cos asin B cos acos B干sin asin3 tana士tan3 2.2sin acos a cos2a-sin2a 1-2sin2a l干tan atan3 2cos2-1 2tan a 3.士 /1-cos a 1-tana 2 /1+cos a 1-cos a 入V1+cosa 122 [思考] 1,提示：()当给出角α的具体范国时，先求号的范国，然后 根据受的范国确定符号. (2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留 正、负号， 2.提示：公式C号，S号对a∈R都成立，但公式T要求a≠ (2k+1)x(k∈Z. 3.提示：右边=2sn9生cos922=2in(号+号) ·os(号-) 号os号+cos号in号)·(cos号cos号十 =2(sin sin号sin号 =2(sin2cos号·cos2号+sin2号 ·sin号cos号+ cs号n号s号+in号m号os号 =si0号+2号sg十o号iy +sin2号sin0 =sin0+sinp=左边. 故等式成立 预习自测 1.D[cos(a-) 2 1+a-景 ② 2.解析：n答 1-cos4 2 √2-2 2 2 答案：√2恒 2 3.解析：，f(x)=sin(.x十p)-2 sin pcos=sin rcos9+ cos xsin -2sin ocos r=sin xcos -cos xsin sin(x-o)≤1，.f(x)的最大值是1. 答案：1 课堂互动学案 [例1[解]“<a<受na= 4 5 ,∴.cosa= 且<<3x 3 2241 '.sin 2 1-cos a 25 2 1+cos a 6 2 sim2一2. 变式训练 1.解析：(1)因为受<0<3x, 8 所以sin2<0,cos2<0. 2 ·1g 参考答案 √10 cos 2 1+cos 0 2 10 所以tan2 sin 2 =3 cos 2 所以tam2+co92=3-0 10 (2)方法一：因为cosa= 则号∈（受，），则由半角公式，得 2’4 -) tan 2 /1-cos a -2 N1+cos a W1+(号) 方法二：因为cosa= 3 a(,） 4 所以sina= 5 所以tan2 2sin2号 1-cos a 2in分ms号 sin a 一2 4 5 答案：(1)B(2)-2 [例2]解：原式 (2co3受+2sin受cos号)(sim受-cos受） 22o号 2cos受(os+sim受)(im-cos号） cos(-cos a) cos号 又因为180°<a<360°， 所以90<号<180，所以c0s号<0， cos ·(-cosa) 2 所以原式= =cos a. c0s号 变式训练 (in+cos受） 2.解析：原式= Ecos-Em 万os受+sim受 因为a<受，所以受号< 4 所以cos<0，sin号>0 3 必修第三册 所以原式 sm+cos受】 sin&2=-√2cosg √2 √瓦 [例3][证明] 2sin 0 右边=c0s0十cos20 2m(】 as(曾+（曾+ 2m2s号-om号】 30 30 2cos cos2 30 sin 39 am号=左边，所以等式成立 39 c052 cos 2 =tan 2 变式训练 3.证明：方法-：左边=m[(+)十（等）]： [1-am(e+)m(e晋)门 tan a+1,tan a-1 -tan 2a1-tan a'1+tan a =2tan2a=右边.故原等式成立. 方法二：左边= nE十im +m。-tan至 1-tan atan 4 1+tan atan 4 -tan a+1tan a-1_(1+tan a)2-(1-tana)2 1-tan a 1+tan a 1-tan2a 4an。=2tan2a=右边.故原等式成立 1-tan a 2c0s210 例利解原式ms心m0m sin 5 cos 5 2sin10-2cos10°=cos10°-2sim20 cos 10 2sin10° cos10°-2sin(30°-10) 2sin 10 =cos10°-2sin30cos10°+2cos30°sin10° 2sin 10 =c0s30°=3 21 变式训练 4.解析：原式= sin 0co co1in 10 1 sin10°cos10° -=2(sin30°cos10°-cos30°sin10°) 1 2 sin 20 =4sin20°=4 sin20° 答案：4 [例5】[解]f)=inrs-cossin(受+x） sin .rcos cos 1 2sin 2.x-2cos 2.-1 =n(（2-)1 数学B (1)T=2x =π，故f(x)的最小正周期为元. (2)国为0长≤受， 所以-吾≤2x-吾< 6 66 所以当2x一吾-登，即x=受时，f)有最大值0， 当2江一吾=一答，即=0时)有最小值-三 变式训练 5.解：f()=1,im2年+asin千cos至-cos2至 =1,解得a=2. .'f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x= 万sm(2z-子， 当2x-开=2x-受(k∈Z0, 即x=x-牙（∈Z)时，sin(2x-至）有最小值-1，则f (x)的最小值为一√2. (2)令2m-受<2x-平≤2x+受（∈Z. 整理得k缸-吾≤≤kx+晋k∈Z. 又xe[0,1.0Kx≤ ·当x[0,受]时)的单洞递增区间是[0，， [例6][解]画出图形如图所示： D 0 设∠A0B=0(∈(0，)），则AB=asin0,0A=acos: 设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB, .'S=2acos 0.asin 0=a"sin 20. 又9e(0,受）心20∈(0，x),当20=受，即0=开时， 4 S=2,此时A,D距高0点都为号. 变式训练 6.解析：如图所示，设OE交AD于M,交 BC于N,显然矩形ABCD关于OE对 称，而M,N均为AD,BC的中点， 在Rt△ONC中，CN=sina,ON=cosa, OM-_DM=3DM-3CN-J3sin a. m 所以MN=ON-OM=cosa-√3sina, 即AB=cosa-√3sina,而BC=2CN=2sina, 故S矩形ABcp=AB·BC=(cosa-√3sina)·2sina=2sin acos a-2 3sin2a =sin 2a-3(1-c0s 2a)=sin 2a+3cos 2a-3=2( sin 2a +号cos2a)-5=2sin(2a+子)-5 24 国为0Ca<音所以0C2a<答晋<2+智<号 331 故当2a十答-受，即a=时，S能n取得最大位， 此时S矩形ABCD=2-√5. 随堂步步夯实 1.D [因为a∈（0）且osa= ，所以号∈ 4 1-cos a 5 1+ 2B[a<2,受<号<元 .c0s2 /1+cosa」 2 2 3B[由超意知ma=气a长x,受. 所以asa=景因为号（受， c05e=-.故 所以sin(受+受)=o受=√十 6 选B.] 4.解析：f(x)=-c0s2+sin2r+1= 2 2 号n(2x一晋)十号故最小正月期为x 单拥造减区间为[管+x,+k小，kE乙。 答案：π [+xg+x]∈Z 5.解：(1f)=n(2-)+2cos2x-1=in2x·cos石-os 6 2x·sin吾+cws2z=9.sin2x+2ws2r=in(2z十 2 君)，故fx)=sim(2z+晋)，所以当2z+若=2kx+受，k ∈Z,即x=kx+石，k∈Z时，f(x)mx=l. 其相应的x的取值集合为{x=kx十晋，k∈Z, (②)由题意得fe)=sin2a+)=号 4 所以o(2a+）一是 因此cos2a=co[(2a+)吾] =cos(2a+吾)cos吾+sin(2a+吾)sin否 -（)×9+号×3-3+4 10 章末归纳提升 [例1][解](1)由a=mb+3c得(1,3)=(-m,3m)+ (3入，6) =-m+3 3=3m+6/=0. m=-1' ·1 参考答案 (2)2a+b=(1,9),b-c=(-1-λ，1) (2a+b)⊥(b-c),∴.-1-A+9=0,∴.A=8 令d=2b十c=(6,8),则a与2b十c夹角0的余弦值为 a·d 1×6+3×8 3√10 cos0=Ta×1d=√/T干9X√36+610 变式训练 1.B[:B元=AC-AB,AF=AD+D币 =A+多成=号丽+AC, :底.=（花-A·(侵店+） =号×1x1x号日+号-是×1x1x号 [例2][解](1)若a∥b,则a与b的夹角为0或元 所以a·b=a|bcos0=1×2×1=√2或a·b=a|b |·cosx=-2. (2)因为a+b12=a2+2a·b+b2=a2+2a|bcos 60+b12=1+2X1X2×号+2=3+瓦，所以a+b =√3十√2. (3)若(2a-b)⊥b,则(2a-b)·b=0,即2a·b-b=0, 所以2|a|bcos0-|b|2=0,即2×√2cos0-2=0, 所以e9=号又0C所以9=票 变式训练 2.解：(1)设c=(x,y),由c∥a及|c=25, 可得1·y-2·t= 1.x2+y2=20, 0所以=2或=一2 (y=4,1y=-4. 因为c与a方向相反，所以c=（一2，一4). (2)因为(a+2b)⊥(2a-b), 所以(a十2b)·(2a-b)=0, 即2a2+3a·b-2b2=0, 所以2a2+3a·b-2|b2=0, 所以2X5+3a·b-2×5=0, 4 所以a6=一音所以c00=合论=-1. 又因为0∈[0，π]，所以0=元. [例3][解]法一原式=sin2asin23+cos2acos29 号(2casa-1D·(2asg-1d -sin'asin(Acoacos-coa 2cos23+1) inasincoaoc -sinasin2B+cos"a(1-cosB)+cos2- 1 -sin asin8+cos'asin8+cosB- 1 =sim㎡3sin2a+cosa）+osg-号 =sim㎡g+cos2g7-1-7-7 11 5