8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 (2②)由角a的终边过点P叶号，一专，得co=号 由dnaB)=高得cosa4B)=±号由B=a48)-a得cosg= cosa4 B)cow+sin(a4)sina,cos=-治度cosB号 651 10解：“受a8<m,cos(a-9)=-号，sina-B)=号 37<a+B<2m,sn(aB)=-号，cosa48)= 5..cos28= cos[(a+B)-(a-B)]=cos(a+B)cos(a-B)+sin(a+B)sin(a-B)= 专x专)+号x号-l.受<a<m,要<a82,小 马<29<，28=m,8号 提升练习 1l.A【解析】由cos(aB)-m得cosacog3--sinasin,B=m.① 由tanctanB=2得sincsinB-2.② cosacosB 由①②得/cosace08-m, .'.cos(a-B)=cosacosB+sinasinB= (sinasinB=-2m, -3m.故选A 12.A【解析】函数的定义域为R,且f(x)=sinl26: sin(x-36°)+cos54°cos(x-36°)=cos54°cos(x-36°)+sin54°. sin(x-36°)=cos[54°-(x-36°)]=cos(90°-x)=sinx,故函数 f(x)为奇函数.故选A. 13.±牙【解析】向量a=(2cosM,2in),b=(3cosB, 3sinB),..a.b=6cosAcosB +6sinAsinB=6cos(A-B),lal= V4cosA+4sinA =2,Ibl=V9cosB+9sin2B =3..a,b 的夹角是号a-b=写-2x3x3,ab=6cos(1- B)=3,cos(A-B)=之A,B为锐角△ABC的两个内角， 0<1<受，0B号，-<1-k号，M-B=号或A-B= 14.V6+V2【解析】将点(-1，V3)代入函数 4 解析式，得sin-年+9l,平w=受+2kπ，keZ0< P<m,p=3平.在RtA0C中，4C=l,0C=V3, ∠A0C=石.在R△B0D中，0D=3,BD=V3,∠BOD= 石L40B=0g,os0-p)eos(6-）cosg· 6 4 4 2 84 V6+V2 4 15.D【解析】设大正方形的边长为1，由于小正方形 与大正方形面积之比为9：25，可得小正方形的边长为号， oina=子.①sng-cog=号.2由图可得cou=sip. sin0g.①x②得号=c0+o-c0suco9g- sinasinB=sin'B+cosB-cos(a-B)=1-cos(a-B),cos(a-B) 治故选D 16.解：(1)a=(sina,V5cosa-sina),b=(cos3- V5 sinB,cosB),.a.b=sina (cosB-V5 sing)+(V5 cosa- sina)cosB=V5 cosacosB-V 5 sinasinB=V5 cos(a+B)..a. b=2..V5 cos(aB)=2.cos(a+B)=2V5 5 (2)sinao 101 10 号，0<<受，0<aB<m,0<2af<37.又c0s(a8) 2V5sin(cB)=V5..cos(2a+B)=cos[a+(B)]= 5 5 coacox)-sinoin() 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 效果评价 1.D2.B3.B4.A 5.D【解析】.A=180°-(B+C),.sinA=sin(B+C)= 2sinBcosC..sin (B+C)=sinBcosC+cosBsinC,.'.sinBcosC= cosBsinC,.'.sinBcosC-cosBsinC=sin (B-C)=0,.'.B=C, △ABC为等腰三角形.故选D. 6.C【解析】0<a<受，0<a-K牙，由coa= 5, 得a=号由cwa=7,得nap)=贤 10, inB-sin[a-(a-B)]-sinacos(a-B)-cosasin(-B)-x 语号x5号，故速C 7.1【解析】原式=sin(45°-18)+cos45sin18 cos(45o-18°)-sim45°sinl8o sin45cos18-cos45 sin1+c045sin181. cos45°cosl8°+sin45°sinl8o-sin45°sinl8o sinl5°V2 8.-1【解析】 =V2sinl5°-V2cosl5o |cos15°V2 2V2 sin15-V2 cos15 -2sin(15-45)=2sin(-301 9.:'.'sin (a-B)cosa-cos(B-a)sina=sin (a-B)cosa- cosa--B)sina=--in(a-P-a)sin(-8)=-sing-专，sing-号 又B是第三象限角，0yg-V1sinB=},snB4) =ios牙+eogn-专xV7+(号x7 4 2 _7V2 10 10.解：d))-2V3Ysax =2V3inor-石 最小正周期T=m,2红=，0=2， x)2V3sm2x-石 (2)gx)-2V3sn|2)-石]-2V3sin2-2w石 g)为奇西数，-2君=m,ke么，g=晋经，ke Zo>0,9部 提升练习 1l.B【解折】e)-cos-分cosx+Ysnr=分cos+ Ysix=sm+g),xe受Ξ]，x+君e 【号引当+君牙即号时V 故选B. 12.B【解析】ae0,受，Be←号，0，a-Be 0,m)osap)=房，ma-=8e受，0 sine=沿，ag=2Y.nen[a9e=ina Blog cos(a-)sin 故选B. 13.A【解析】“fx)=sin号+号V3cos(号x+写) =2sin(号+号-号]=2n号x,x)的周期为6.且/) +f(2)+…+f6)=0,.∴f(1)+f(2)+…+f(2024)=[f(1)+f2)+… +f6)]x337+2023)+f2024)=f2023)+f(2024)f1)+f2)= 2sinT+2sin2π=2V3.故选A. 3 14.+12》5【解折1g<a受，0石号 26 63 参考答案。 又eosa--g3na-看3 ,sin+石)=sin[a-石+] -sin-石)cosco-石jsn号 =5×1+12×V3=5+12V3 13213×2 26 15.-Y2【解析】4C=(cos-3,sina）,BC=(cosa, sina-3),AC.BC'=(cosa-3)cosa+sina(sina-3)=cos'a- 3coea4sinia-3sina=l-3(snaeoa)-l,sina+coa=号， Vna+晋）号，na+Y7,sna-要 sin+牙}m]--sin-a+牙]--sin(+牙）=-y2 16.解：（山）yx)=sin2x+石+sim2x-石+co2xta= 2sin2xc00s3 sin2x+co2+-in( )的最小正周期7=受=m,当2水m-号≤2x+石≤2m+ 2 牙（keZ,即km-号≤≤km+石keZ)）时，函数x) 单调递增，故)的单调递增区间为km-号，km+石] (kEZ). 2)当xe0,受]时，2+ge[石7石]，当2+ 石石，即x=号时.八x)取得最小值.2sn石+加=-2. 6 ∴.a=-1. 第2课时两角和与差的正切 效果评价 1.C 2.B 3.B 4.ABC 5.B【解析】sina=V5,且&为锐角，：cosa= 5 .1 3 2V5.tanc=.'.tan (+B)=tana+tans- 2 I-tanatan-) -1又aBe受，受，放a4B=要故送B 4 6.B【解析】tenc=tan平+a=tan[（(c+6)-(B-平门 1-tano am(a8)-amB)。号子-3故选B, 21 7.2【解析】2an6-m04牙)）1，∴2an0-m-7. 1-tan 85 N 高中数学必修第三册人教B版 即2tan0-2tan20-tan0-1=7-7tan0,即2tan0-8tan0+8=0,即 2(tan0-2)2-0,解得tan0=2. &3是【解折】0a<受.sma=号，coa=Vsma =1罗=号，taa=a号.又tan(-))=-号， cosa ..tanB-tan[a-(a-B)]=tana-tan(a-B) 3 1+tanatan(a-B) 3,.sin(B+n) -sinB .-tanB--3-3 V2cosB+π) cosB-sinB 1-tanB-1-32 9.解：(1)tan60°=tan(10°+50°)=tan10°+tan50° 1-tanl0°tan50° ∴.tanl0°+tan50°=tan60°-tan60tanl0tan50°. :.tanl0°+tan50°+tanl209 tanl0°tan50 =tan60°-tan60tanl0°tan50°+tanl20e tanl0°tan50° =tan60°-tan60tanl0tan50°-tan60 tanl0tan50° =-tan60°=-V/3. (2)由于21°+24°=45°，23°+22°=45°，利用两角和的 正切公式及其变形可得(1+tan21°)(1+tan24°)=2，(1+ tan22°)(1+tan23o)=2,故(1+tan21o)(1+tan22)(1+tan23o) (1+tan24°)=4. 10.解：（)an牙+a-2, an平tana =2 1-tan T tano :.1+tanc-2,解得tana= 1 1-tano (2)'.tano= 3 tan=2. .原式=sinacos3+cosasin5-2 sinacos3 2sinasinB+cosacosB-sinasinB -cosasinB-sinccos=sin(B-a)=tan(B-a)=tan-tanc cosacosB+sinasinB cos(B-a) l+tanβtana 11 23 提升练习 I1.D【解析】tan望=ana-号)+B-受)】 11 23 1.故选D. 12.A【解析】依题意tanM+tanB=V3 tanA tanB-V3, 之tanM+B)=anM+tanB=V3 anAtanB-V3=-V3,又 I-tanA tanB 1-tanA tanB 86 '.tanC=tan[T-(A+B)]=-tan(A+B)=V3,C∈(0，π)，∴.C= 号故选A 13.C【解折】aB=平，am(c8)=n2=l, 1-tanotanB .'.tanc+tanB=1-tanotanB.Ig(10a)+Ig-1=1-1g(10a).Ig1 ll-g(10a)lg2,lg(10a)-lg。-0,lg(10a)-0或g7 =0.a0或al.故选C 14.7【解析】AD⊥BC且BD:CD:AD=2:3:6, AD=3,tan∠CAD=CD。1 ∴tan∠BAD=BD=1 AD2,an∠BAC= 11 tan CAD-L BAD)=_tanL CAD-tan LBAD 23 1tan∠CMD-tan∠BAD1+×六 7 15.-2Y2【解析】方法一：由题意得an(a+B)= 3 tana+tanB_ 4 1-tanatanB 1-(V2+1) =-2V2.ae(2km,2km+5）: Be2mmm,2m+受，k,meZ.则ge(2m+2) T+T,(2m+2k)m+2m),k,m∈Z.又tan(a+B)=-2V2< ((m (2m+)k.me Z,则sin(a+B)<0.:sin(a+=-2V2,联立sinm(a+B)+ cos(a+B) cos(a+8)=l,解得sin(a+B)=-2Y2 3 方法二：α为第一象限角，B为第三象限角， 1 cosa>0,cosB<0,cosa= cosa Vsin'a+cos'a V1+tan'a -1 cosB=- cosB Vsin'B+cosB V1+tanB sin(a+B)=sinacosB+cosasinB=cosacosB(tana+tanB) -4 =4cosacosB= V/1+tana·V/1+tanB -4 -4=-22 V(tana+tanB)+(tanatanB-1)V4+2 3 16.解：as-7,tan(aB)=7,tana=tan[(a-B+ 11 L2 27 1-×-7） 11 3,tan(2a-B)=tan[(a 2 11 -B)+a]=tan(a-B)+tana_ 2+3 =1-tan()tanc1-3×2 .11 =1..'tano 120.tan B 3 =-7<0,ae0,2Be2,m,a-Be(-m,0). 又：tan(a-B)=2>0,a-Bem,-7）,2a-B-a+(aB) e(-m,0).又an(2a-B)=-l,2ag=-3T 8.2.3倍角公式 效果评价 1.D2.B3.D4.A 5.D【解析】a是第二象限角，P(x,4)为其终边上 的-点，0.0rV+I6.oa=芳V6, -3,六ana=-号，tan2a=2ana 2×-324.故选D. 4 7 6.AB【解折】e)-2osix-sin2x+2=3 cO+1=号(2cosx 1)+子+1=号c02+号，e)的最小正周期为，A正确： 当x=π(keZ)时，fx)取得最大值，最大值为4，B正 确；当=km+受(keZ)时，x)取得最小值，最小值为1， C错误：对称轴方程为经（化e乙，D错误.故选AB 7号【解析】1-2n27 c0s54° aV4-a 2cos72V4-4cos72 C0s54° C0s54° c0s549 2cos72°V4sin72°4cos72°sin72°-2sin1449 =sin36-1 2sin36°=2 8.号-号【解析】由已知，得七an9-3,解得an= 1-tan 7,sn20-2cos0=2如o200-2a42 2x7-2 sin0+cos0 -tam20+1 号 9.(1)解：原式=sina~sinB+(1-sina)-cos3-2cos2a cos29-cospf-dinia(cos8-snp)-2os2a-coc2g=cos8-sinia. cos2-]co2c-B-cossim+cos2a)-sB 2 -cina+(1-2sina) 2 sin年+a)sin牙-a (2)证明：方法一：左边 cos平+acos平-a侧 sin牙+acos年-a-sn年-a)eos(年+a cos年+acos4-a 参考答案。 sm(年+a-平+ad sin2a cos+a)sin(年+a号sm5+2a =2sin2a-2tan2a=右边..等式成立. cos2a 方法二：左边=I+tana--tana=4iana=2tan2a=右 1-tano 1+tana 1-tan'o 边.等式成立 10解：（Dx)=4m2s-子·1Hg2+=sim2 2 -4w2=2sm2-}xe0,引，2-e 年平]当2x-平=牙.即0时，x= 4 当2-平受即=受时，))的最大值 4 为Y平，最小值为-行 (2)=,ma= sina-平）=号，∴sin2a=sin2(a-4+受]=co2a-4)）归 1-2m1a1-x号}-石 提升练习 11.A【解析】设底角为a,则顶角为T-2a,则cosa= 号，ae0.8，sina=Y5.sn(m-2a)-=sna 2inac0a=2xx号-4y5.枚选A 3 9 12.A【解折】sinl10sin30in50sin70-=coc20reos40. c0s80°=2sin20°c0s20°c0s40c0s80°=2sin40cos40c0s80°= 4sin20° 8sin20° 2sin80cos80°=sin160°=↓.故选A. 16sin20° 16sin20°16 13.4【解析】coa=名且a的终边在第一象限， 5 5 7 24 sing-4,..cos2o=cos'o-sin'o=-25.sin2o=2singcosa-75 1+Vcos2acostsin2asin) 原式= _1+cos2a+sin2a= cosa cosa 5 14.2cg【解析】3m<a<4m,:<号2m,平< <m,号则cos号0,00，m号0 原式=1V2-V2+1V4co号=V2-1V2+2cos号 87第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 效果评价 6已知c0=号，cos(a-8)=70 10, 1.sin20°cos10°-cosl60°sinl0°等于 且0<B<a<T 那么B等于() ( A.-V3 B.V3 A.12 B石 2 2 C.-2 D c母 D霄 7. sin27°+cos45°sinl8° 2.化简sinx+写+sinx号引 等于 cos27°-sin45°sinl8° a b ( 8.形如 的式子叫作行列式，其运算 c d A.-sinx B.sinx a b sinl5°V2 C.-cosx D.cosx 法则为 adbc,则行列式 c d cos15°V2 3.计算V2cos石+V6sinD的值是 12 12 的值是 ( 9.已知sin(-B)(g-a)sina=号， A.V2 B.2 D.V2 B是第三象限角，求sinB+牙)的值。 C.2V2 2 4在△ABG中，A=平，osB=Y酒 10 则sinC等于() A.2V5 B.-2V5 5 5 C.v5 5 D.-V5 5 5.在△ABC中，若sinA=2 sinBcosC,则 △ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 练(55 N 高中数学必修第三册人教B版 10.已知函数f(x)=3 sinox-V3 coSwx 13.已知x-smg+-V3cosg+ (w>0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)的解析式； 3/, 则f(1)+f(2)+…+f(2024)的值为 (2)将f(x)的图象向右平移p个单位得 到g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求最小 A.2V3 B.V3 正数p. C.1 D.0 14已知sa看-是君a 2 则sina+石与 15.已知A(3,0),B(0,3),C(cosa, sina）.若AC.BC-l,则sina-3π= 16.已知函数fw)sin2+gsin2石 +cos2x+a(a∈R,a为常数）. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调 提升练习 递增区间； 2)当xe0,受时，)的最小值 11.已知函数f(x)=cosx-cosx+T 3,x∈ 为-2，求a的值. 受，受引，则)的最小值为（) A月 B.-V3 2 C.-1 D.0 12.已知ue0,7,Be-号，0， 且cos(a-8)=子，sin8=-Y7,则sia等 10 于() A.V3 B.V2 2 C.-V2 D.V3 3 3 (56)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换 第2课时两角和与差的正切 效果评价 6.如果tan(a+8)=号，tanB-年=4 54=4 1.计算： 1-tan27tan33°的值为( 那么1+ana的值为() tan27°+tan33o 1-tana A.V3 B.tan6 A18 B易 C.V3 D.1 3 tan6 C.3 2 D.3 16 2.已知ae-7,0,sina=- 了，则 7.已知2an6-iam0+平=7，则a0= tana+平等于( ,tan(a-B)= A.-7 8.已知0<a受，sima= sin(B+π) c 子，则amg= D.7 V2cosB+年 3.已知tana=),tan(a-8)=- 9.化简求值： tan(B-2a)的值为() (1)tanl0°+tan50°+tanl20 A.-3 B品 tanl0tan50° 4 (2)(1+tan21)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+ C.-9 8 D号 tan24）. 4.(多选题)下列叙述正确的有( A.tana+tanB=tan(a+B)(1-tanatanB) B.存在a,B,满足tan(a-B)=tano--tanB C.存在ax,B,满足tan(a+B)=tan+tanB D.对任意，B,tan(a+B)=tana+tanB 5.已知sina=V5,且a为锐角，tang= 5 -3,且B为钝角，则角+B的值为() A平 B.3m 4 c D.2n 3 练(57 N 高中数学必修第三册人教B版 10.已知an年+u2,lamg=号 13.已知tana=lg(10a),tans=lg。,且 (1)求tana的值； aB平 则实数a的值为（) (2)求sin(a+B)-2 sinccos9的值. 2 sinasinB+cos(a+β) A.1 B.10 C1或0 D.1或10 14.如图，在△ABC中，ADL BC,D为垂足，AD在△ABC的 外部，且BD:CD:AD=2:3:6,则 B D tan∠BAC= 第14题图 15.已知α为第一象限角，B为第三象 限角，tana+tanB=4,tanatanB=V2+l,则 sin(a+B)= 16.已知tan(a-B)=7,tan8=-7，a, B∈(0，T),求2a-B的值. 提升练习 1.已知ama-号2，amB-g= -了，则an2的值为() A.1 B-7 C.6 D 12.在△ABC中，A+B≠5，且ianM+ tanB+V3=V3 tanAtanB,则角C的值为 ( ) A哥 B.2m 3 C. D.π 4 (58)练