8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 8.1.3向量数量积的坐标运算 效果评价 A.V2 B.2 C.0 D.1 1.设向量a=(2,0),b=(1,1),则下 7.已知向量a=(1,2),=2V5,a∥b 列结论中正确的是() 且a与b方向相同，那么b=一，a-b= A.lal=Ibl B.a.b=0 C.a∥b D.(a-b)⊥b 8.已知A(-3,0),B(0,V3),0为 2.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若 坐标原点，C在第二象限，且∠AOC=30°， b⊥(b-4a),则x等于() OC=AOA+OB,则实数入的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 9.如图，已知0为坐标原点，向量OA =(3cosx,3sinx),OB=(3cosx,sinx),OC= 3已知向量所-分，. BC= (V3,0),xel0, ,,则∠A6c等于() (1)求证：(0A-0B)10C: A.30° B.450 (2)若△ABC是等腰三角形，求x的值， C.60° D.120° 4.已知向量a,b的夹角为受，且a= (2,-1),b=2,则1a+2b1等于() A.2V3 B.3 第9题图 C.V21 D.V41 5.已知P(0,5),P(2,-1),P(-1,4), 则向量PP在向量PP上的投影的数量是 ( A.4 B.2V10 C.22 D.V10 5 6.如图所示，在矩形ABCD 中，AB=V2,，BC=2,E为BC的 中点，点F在CD上.若AB·AF= V2,则AE·BF的值为() 第6题图 48)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换 -O 10.已知平面向量a=(3,4),b=(9, 14.已知AB1AC,4B=1,AC= x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c. (1)求b与c: 若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP= (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与n AB 4AC ,则PB·PC的最大值为 的夹角的大小 ABI ACI 15.已知向量OA与0B的夹角为0,10A1= 2,10B1=1,0p=t0A,00=(1-t)0B, P网在=时取得最小值，则当0<<时， 角0的取值范围为( A.0,罗 B. c， D.0,2 提升练习 16.平面内有向量0A=(1,7),0B= (5,1),OP=(2,1),点Q为直线OP上的 11.已知点A(1,-2),若向量AB与a= 一个动点 (2,3)同向，且4B=2V13,则点B的坐 (1)当QA·QB取最小值时，求00的 标为() 坐标； A.(5,4) B.(-3,-8) (2)当点Q满足(1)的条件和结论时， C.(-5,-4) D.(3,8) 求cos∠AOB的值. 12.已知a=(1,0),b=(0,1),若向量 ka+b与a+2b的夹角为锐角，则实数k的取 值范围为() A.(-2,+0) B.-2, c.-2,2u3,+∞ D.(-∞，2) 13.已知向量m=(入+2,1)，n=(入+ 1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n 的夹角的余弦值为 ,m+n在n上的 投影的数量为 练 493 选D. 7.-V5【解析】1V3eteV3+l=2,le+de,lE V1+,且(V3e1+e2)(e+e)=V3+入，.cos60°= 欲方每得如孚 8.子a【解折】(2a+b)(2a-3b)=a+7a-b-3b=aP+ 号45P-3bi6+V2b1-3b=I2,解得Ib=V2或 b=-2子（含去），放b在a上的投影为hco45·品 3 VxV竖x号4a 9.解：(1)lal=l,b1=2,c=a+b,且c⊥a,∴ca= (a+b)a=+ab=0,即1+l×2×cos(a,b)=0,即cos(a,b) =7a,b)e[0,m,a,b=2 (2)13a+b=V(3a+b)2=V9a2+6a·b+b2=V9+6×(-1)+22= V7. 10.证明：设AE-a,AD-b,则DC=a,且a=2b1, AC-d4C2-b+a,C-所+MD0C=-ab+a=a+ b.Aatb)(-2atb)-0. AC⊥BC,AC⊥BC 提升练习 11.CD【解析】分析知lal=l,b=2,a与b的夹角是 120°，故B错误；.(a+b)2=laP+2ab+b12=3,.a+bl=V3 故A错误；(4a+b)b=4ab+b2=4×1×2×cos120°+4=0， (4a+b)⊥b,故C正确：ab=1×2×cos120°=-1，故D正确. 故选CD. 12.B【解析】设BC的中点为M,则化简(OB-OC) (0B+0C-20A)=0,得到CB·(AB+AC)=2CB·AM=0,即 CB.AM=0,CE⊥AM,AM是△ABC的边BC上的中线 并且也是高，∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形.故 选B. 13.号【解析】E为CD的中点，B配=BC+CE=AD -2DC-A可-AB,AC=AD+ME.AC,B死=1,4C BE=(AD+AB):D-2AB)=AD产2AB产+)AB.AD1, 即1-AB+)leos60=l,-2AB+4A=0,解 参考答案。 得=)(-0舍去). 14.3-10【解析】10A=0B=0C1,.点0为 △ABC的外心.设∠OAB=0,可得∠OBA=0,..AO在AB 上的投影的数量为Ad1cos0,BG在BA上的投影的数量为 IBd1cos0.由题意可知IAd1cos0+1BO1cos0=lAB1=6.又： 1OA1=IOB1=OC1,.MO1cos0=3,即Ad在AB上的投影的数 量为3..Ad.AB=A0llABlcos0=31AB=18,同理得Ad· AC=8,.A0.BC-AO.(AC-AB)-A0.AC-AO.AB=8- 18=-10. l5.B【解析】设a+b与c的夹角为0，la+bl=V(a+b =VlaP+2a.b+IbP =V1+2+2=V5.(c-a).(c-b)=lcP- (a+b)c+ab=lcP-V5 lelcos0+1=0.当c=0时，原方程可化 为1=0，不成立，cl≠0.又由cos0=lcL≤1，有cP+ V5 lel 1≤V5lcl,lcP-V5lc+l≤0，解得V5-l≤icl≤ 2 V+山，故c的最大值为V1.故选B. 16.解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=61,4laP-4lalb1 cos0-3bP=61,解得co-30e[0,m],2 (2).b⊥c,.bc=0..c=a+(1-t)b,.b.[a+(1-t)b]= 0,即a-b+(1-i)1b=0化简得15=9，解得=子，c |房a+号-V房*号-V器r*会r号ab-V =6V3 5 8.1.3向量数量积的坐标运算 效果评价 1.D2.D3.A4.C 5.C【解析】PP=(2,-6),PP=(-1,-1),PP PP=4.PPE-V2,:PPlcos0-PP:-PR=4-2V2 PPI V2 (0为PP与PB的夹角).故选C. 6.A【解析】建立如图所示的平面直 角坐标系，可得A(0,0),B(V2,0), E(V2,1).设F(x,2),则AB=(V2, 0),AE=(V2,1),AF=(x,2).AB ·AF=V2x=V2,解得x=1,∴F(1, A B x 2).BF-=(1-V2,2),AE·BF=V2 第6题答图 ×(1-V2)+1x2=V2.故选A. 7.(2,4)V5【解析】向量a=(1,2),且a与 81 N 高中数学必修第三册人教B版 b方向相同，.可设b=(a,2a)(a>0).又b1=2V5, V+4=2V5,解得a=2(负值舍去)，b=(2,4).a- b=(-1,-2),la-bl=V5. 8.1【解析】由题意知0A=(-3,0),OB=(0,V3), 则0C=(-3x,V3),.0M.0C=(-3,0)(-3x,V3)= 9A,cos∠40C=04·0℃=91=V3,A2=L.■ 10AI0C13×V9+3 又.C在第二象限，=1. 9.(1)证明：0A-0B=(0,2six),.(0A-0B)-0C =0xV3+2 sinxx(0=0,∴.(0A-0B)10C. (2)解：BA=0A-0B=(0,2sinx),BC=0C-0B= (V3-3cosx,-sinr）,cos∠ABC=am-BC=-2sing< IBA'IBCI IBA IBCI 0,LABGE(受，m,若△ABC是等腰三角形，则 AB=BC..AB=2sinx,BC=V(3cosx-V3)+sin'x ,.'(2sinx)= (3cosx-V3)2+sinx,整理得2cos2x-V3cosx=0,解得 cos0或coa=Y.xe0.受，cos=Y,解得 2. 10.解：(1)a/b,a=(34),b=(9,x),心4= 号，x2,即b=(9.12）a1c,ac=3x44y-0 ∴y=-3,即c=(4,-3). (2)m=2a-b=(-3,-4),n=+c=(7,1),.ll=Vm2 =V(-3)}+(-4=5,ml=Vm=V7+下=5V2,mn=-3× 7-4x1=-25.0m,n==Y7.又m,me 2 [0,a,m,n=3平，即m与n的夹角为平 提升练习 11.A【解析】设AB=(2入，3入)（入>0），则AB= V42492=2V13,132=13×2,A=2(负值舍去)， AB=(4,6),:.0B=0A+MB=(1,-2)+(4,6)=(5,4)(0 为坐标原点)，∴.点B的坐标为(5,4).故选A. 12.C【解析】a=(1,0),b=(0,1),∴ka+b=(k,1), a+2b=(1,2)..向量ka+b与a+2b的夹角为锐角，∴.(ka+ b)(a+2b)=(k,1)(1,2)=k+2>0,且2k≠1，解得k>-2 且k≠号，六实数k的取值范图为-2，宁U(分+ 故选C. 13.专95【解析】由题意知向量m+n=2以+ 5 82 3,3),m-n=(1,-1),(m+)1(m-n),∴.2A+3-3=0,即 A-0n=(2.1,n=1,2,csm,m0-语号mn (3,3),m+n在n上的投影的数量为+nlcos(m+n,n)= (m+n)n_-9V5 l 5 14.13【解析】如图，以点A为原点，AB,AC所在直 线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0), ,ow-品w 4-A+4=(1,0)+4(0,1)=(1,4),点P的坐 4B14C 标为(1,4)，Pm=}-山，4，P风(-l,t4),Pm P元=1-4+16-(}+4+17≤-4+17=3当且仅当}=4， 即=)时取等号，P呕P心的最大值为13. 第14题答图 15.C【解析】·.0A.0B=2cos0,PQ-=00-0p=(1-4)0B -t0A,.lPQP=P02=(5+4cos0)2-(2+4cos0)t+1,do= 5紧则市0<兮，得号o0.号 2 牙故选C 16.解：(1)设00=(x,y),点Q在直线0P上， 向量00与0F共线.又0P=(2,1),x-2y=-0,x=2y, 00=(2y,y).又QA=0M-00=(1-2y,7-y),QB=0B- 00=(5-2y,1y),0A.QB=(1-2)(5-2y)+(7-y)(1y)= 5y2-20y+12=5(-2)2-8.当y=2时，0.QB有最小值-8，此 时00=(4,2). (2)由(1)知QM=(-3,5),QB=(1,-1),QA.QB =-8,☑1=V34,1QEi=V2,cos∠A0B=0E= IQA'HOBI 8。=47 V34×V2 17 “阶段性练习卷（六） 1.C【解析】由向量数量积的定义知，ab=al-Iblcos135°，