8.1.3 向量数量积的坐标运算期末复习限时作业八-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦向量数量积坐标运算，以基础题型到综合应用构建知识逻辑，强化运算能力与几何直观 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选4题+多选2题+填空1题|直接应用坐标公式求参数、夹角、判断垂直|以向量坐标表示为基础，推导数量积公式，延伸至垂直（数量积为0）、夹角公式的应用| |综合应用|解答题2题|结合平行、垂直条件列方程求解，计算模长与夹角余弦值|衔接向量平行（坐标成比例）与垂直的代数表达，形成“条件-公式-运算”推理链条| |几何情境|填空1题|三角形中向量关系转化为坐标运算|体现几何直观，将图形关系抽象为向量坐标问题，强化数学眼光的应用|

高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.3 向量数量积的坐标运算限时作业八 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则(      ) A. B. C. D. 2.已知向量，，则向量与的夹角为(     ) A. B. C. D. 3.已知，，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. 与垂直 D. 与的夹角为 4.设向量，，则等于(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，则(     ) A. B. C. D. 6.已知向量，满足，，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. 存在非零实数，使得 D. 向量与的夹角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知中，，，为上一点，且，，垂足为，则          ． 8.已知向量，，若，则实数的值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知向量． 若且，求； 若与互相垂直，求实数的值． 10.本小题分 已知向量，． 当时，求的值； 当时，求向量与的夹角的余弦值； 当时，求． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.3 向量数量积的坐标运算限时作业八 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查平面向量数量积的坐标运算及平行的坐标表示，属于基础题． 根据平行关系求出，再代入数量积求解即可． 【解答】 解：因为，所以，即， 所以． 故选D． 2.已知向量，，则向量与的夹角为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，属于基础题 根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可． 【解答】 解：向量，， ， ，，， 设与的夹角为， ， ， ， 故选：． 3.已知，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 与垂直 D. 与的夹角为 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了向量的平行，垂直，模长，夹角公式，属于基础题． 分别根据向量的平行，垂直，模长，夹角公式，再判断即可． 【解答】 解：对于，，故A不正确 对于，，，故B不正确 对于，，，， ，，故C正确 对于，， 与的夹角为，故D不正确． 故选：． 4.设向量，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查向量的模的求法及向量的坐标运算，是基础题． 利用平面向量坐标运算法则求出，由此能求出 【解答】 解：向量，， ， ． 故选B． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查平面向量的坐标运算，共线定理，考查向量的减法和数量积，属于基础题． 根据向量的减法求出，再根据向量的模、共线定理以及数量积计算逐项判断即可得到结论． 【解答】 解：因为， 所以，故A正确； ，， 所以，故B正确； 因为，所以，故C正确 所以，故D错误； 故选ABC． 6.已知向量，满足，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 存在非零实数，使得 D. 向量与的夹角为 【答案】ABD  【解析】解：，则，选项正确； ，，则，选项正确； ， 若存在非零实数，使得， 则，解得，选项错误； ，， 设向量与的夹角为，， ， 则向量与的夹角为，选项正确． 故选ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知中，，，为上一点，且，，垂足为，则          ． 【答案】  【解析】解：如图，因为， 所以以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，所以， 则，，， 又因为， 过作，垂足为，则， 所以， 得到，设， 则， 所以． 故答案为：． 8.已知向量，，若，则实数的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的判断与证明的应用，属于基础题． 利用向量垂直的坐标运算可构造方程求得结果． 【解答】 解：由题意得：， 由得：，解得：． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知向量． 若且，求； 若与互相垂直，求实数的值． 【答案】解：因为，， 所以， 又且， 所以，解得， 所以，所以； 因为，， 所以， ， 因为与互相垂直， 所以， 解得或．  【解析】本题考查平面向量的坐标运算、向量平行的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及模的求解，属于基础题． 首先求出的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，求出，即可求出，最后根据向量模的坐标公式计算可得； 首先求出与的坐标，再根据与垂直得到，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可． 10.本小题分 已知向量，． 当时，求的值； 当时，求向量与的夹角的余弦值； 当时，求． 【答案】解：，，即． ，，． 向量与向量的夹角的余弦值为． 依题意， ，． 即，． ，． 【解析】本题主要考查平面向量的坐标计算，涉及向量垂直、平行的坐标表示，向量的夹角公式，以及向量模的公式，属于基础题． 由平面向量平行的坐标表示即可求得答案； 由平面向量数量积的坐标运算和夹角公式即可求得答案； 由平面向量垂直的坐标运算求出参数，进而求出向量的模． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章) 8.1.3向量数量积的坐标运算限时作业八 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知向量=(9,6)，6=(3，x),若元，则6·(-6=() A.-26 B.-25 C.25 D.26 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查平面向量数量积的坐标运算及平行的坐标表示，属于基础题. 根据平行关系求出x,再代入数量积求解即可. 【解答】 解：因为/瓜，所以9x=3×6,即x=2, 所以b.(a-)=a.b-62=3×9+6×2-13=26. 故选D 2.己知向量a=(2,1),6=(1,3),则向量2a-6与的夹角为() A.45° B.105° C.40° D.35° 【答案】A 【解析】【分析】 第1页，共7页 本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，属于基础题 根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可· 【解答】 解：向量a=(2,1),b=(1,3), 2-6=(3,-1), (2-6a=6-1=5,=V5,2a-6=√10， 设2-b与a的夹角为0， ·c0s0=2a-ia 5 ② 阳-间V0xW万二 3 0°≤0≤180°， 0=45°， 故选：A. 3.已知=(2,0)，b=(1,1),则下列结论正确的是() A. B.=刷 c.a-与6垂直 D.与的夹角为 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了向量的平行，垂直，模长，夹角公式，属于基础题 分别根据向量的平行，垂直，模长，夹角公式，再判断即可. 【解答】 解：对于A,2×1一0×1≠0，故A不正确； 对于B,=2,b=V2,故B不正确： 对于C,a=(2,0),6=(1,1),a-元=(1，-1)， -66=1×1+1×(-1)=0,.(-616,故C正确： 对于D,司=品-马 第2页，共7页 与的夹角为，故D不正确。 故选：C 4.设向量BA=(3,-2),AC=(0,6,则BC等于() A.2W6 B.5 C.V26 D.6 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查向量的模的求法及向量的坐标运算，是基础题. 利用平面向量坐标运算法则求出BC,由此能求出BC 【解答】 解：向量BA=(3,-2),AC=(0,6), ·.BC=BA+AC=(3,4, .BC=V32+4=5. 故选B. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知a=(4,2),b=(6,3),则() A.4a-3b=(-2,-1) B.3=2b C.a//b D.aLb 【答案】ABC 【解析】【分析】 本题考查平面向量的坐标运算，共线定理，考查向量的减法和数量积，属于基础题 根据向量的减法求出4-36，再根据向量的模、共线定理以及数量积计算逐项判断即可 得到结论. 【解答】 解：因为a=(4,2),b=(6,3), 所以4-36=4×(4,2)-3×(6,3)=(-2，-1)，故A正确： 第3页，共7页 =V42+22=2W5,=√62+32=3V5, 所以3a=2b,故B正确： 因为3=26，所以/心，故C正确； 所以6=24+6=30≠0，故D错误： 故选ABC. 6.已知向量a,b满足=(1,2)，b=(4,-2),则下列结论正确的是() A.a16 B.6=2 C.存在非零实数入，使得（信+b)/后 D.向量2a+6与的夹角为 【答案】ABD 【解析】解：.=4+(-4)=0，则a1,A选项正确： 6=2√⑤，=√5，则6=2，B选项正确； a+λb=(4λ+1,2-2)，a=(1,2) 若存在非零实数入，使得a+)/, 则(4入+1)×2=2-2入，解得)=0，C选项错误； 2a+=(6,2),b=(4,-2), 设向量2a+6与6的夹角为0,0∈[0，]， c0s0-a46.6 20 √万 12+66 2W10x2V万=2 则向量2a+币与式的夹角为2D选项正确. 故选ABD. 第4页，共7页 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.己知△ABC中，AB=2V2,∠A=45°，D为BC上一点，且BD=2DC,BE1AC,垂 足为E,则DABE=一 【答案】 【解析】解：如图，因为BE1AC, 所以以E为坐标原点，EA,EB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系， 因为AB=2V2,∠A=45°，所以EA=EB=2, 则E(0,0),A(2,0),B(0,2), 又因为BD=2DC, 过D作DF L AC,垂足为F,则DF/EB, 所以器-品- 得到DF=BE=设DK,), 则BE=(0,-2),DA=(2-Xo,-), 所以DA·匝=0×2-x)+(-2)×(-)=手 故答案为：等 8.已知向量a=(3,1),6=2,),若a1(a-b,则实数t的值为 【答案】4 【解析】【分析】 本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量垂直的判断与证明的应用，属于基础题. 利用向量垂直的坐标运算可构造方程求得结果， 第5页，共7页 【解答】 解：由题意得：a-=(1,1-t), 由a1(-b)得：a信-=3×1+1×(1-t)=4-t=0,解得：t=4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知向量a=(1,0),6=（-1,2). (1)若=(2，m)且c/(a-b),求； (2)若2-与3+互相垂直，求实数t的值. 【答案】解：(1)因为a=(1,0),b=(-1,2), 所以a-6=(1,0)-(-1,2)=(2,-2), 又c=(2,m)且c/(a-b), 所以2×(-2)=2m,解得m=-2, 所以=(2，-2)，所以=√22+(-2)2=2√2： (2)因为=(1,0)，6=(-1,2)， 所以2a-6=2t(1,0)-(-1,2)=(2t+1,-2), 3a+t6=3(1,0)+t(-1,2)=(3-t,2t), 因为2后-b与3+6互相垂直， 所以(2-·(3+t⑩=(2t+1)×(3-)-2×2t=0, 解得t=-1或t= 【解析】本题考查平面向量的坐标运算、向量平行的坐标表示、向量垂直的坐标表示以 及模的求解，属于基础题。 (1)首先求出a-b的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，求出，即可求出己， 最后根据向量模的坐标公式计算可得： 第6页，共7页 (2)首先求出2-b与3a+6的坐标，再根据2-b与3+tb垂直得到(2-b)·(3+ ⑥=0，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 10.(本小题14分) 已知向量a=(2,4),b=(-2,x). (1)当/时，求x的值： (2)当x=-1时，求向量a与的夹角的余弦值： (3)当a1(4+6时，求6. 【答案】解：(1)瓜，2x=-8,即x=-4. (2):x=-1,a.b=2×(-2)+4×(-1)=-8,a=2V5,b=V5. 向量与向量6的夹角的余弦值为0（可部一手 (3)依题意4a+b=(6,16+x), a1(4a+b),a.(4a+b)=0. 即12+64+4x=0,.x=-19. ·b=(-2,-19),b=V4+36I=V365. 【解析】本题主要考查平面向量的坐标计算，涉及向量垂直、平行的坐标表示，向量的 夹角公式，以及向量模的公式，属于基础题. (1)由平面向量平行的坐标表示即可求得答案： (2)由平面向量数量积的坐标运算和夹角公式即可求得答案； (3)由平面向量垂直的坐标运算求出参数，进而求出向量的模. 第7页，共7页高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章) 8.1.3向量数量积的坐标运算限时作业八 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知向量=(9,6)，6=(3，x),若，则6·(-6=( A.-26 B.-25 C.25 D.26 2.已知向量=(2,1)，6=(1,3)，则向量2-6与的夹角为( A.45° B.105 C.40° D.35° 3.已知=(2,0)，b=(1,1),则下列结论正确的是( A.b B.= C.a-飞与b垂直 D.a与的夹角为。 4.设向量BA=(3,-2),AC=(0,6),则BC等于( ) A.2V6 B.5 C.V26 D.6 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知a=(4,2),b=(6,3),则( A.4a-3b=(-2,-1) B.3a 2b C.al/b D.aLB 第1页，共3页 6.已知向量a,b满足a=(1,2),b=(4,一2)，则下列结论正确的是( A.a16 B.=2 C.存在非零实数入，使得+入b)/ D.向量2a+6与的夹角为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知△ABC中，AB=2V2,∠A=45°，D为BC上一点，且BD=2DC,BE1AC, 垂足为E,则DABE=一· 8.已知向量=(3,1)，=(2，)，若a1(a-b),则实数t的值为 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知向量=(1,0)，=(-1,2) (1)若=(2，m)且c/(a-b),求： (2)若2-6与3+tb互相垂直，求实数t的值. 第2页，共3页 10.(本小题14分) 已知向量a=(2,4),6=(-2,x). (1)当/时，求x的值： (2)当x=-1时，求向量与6的夹角的余弦值： (3)当a1(4+6时，求6。 第3页，共3页