8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 8.1.2向量数量积的运算律 6.如图，在△ABC中， 效果评价 若AB=AC=3,∠BAC=60°， 1.下列命题正确的是() DC=2BD,则AD.BC等于 A.若ab=ac,则b=c ) 第6题图 B.若la+bl=la-bl,则ab=0 入青 B号 C.若a,b为不共线的向量，则(ab)2= a2.b2 D. D.若a与b是单位向量，则ab=1 ! 7.已知e1,e2是互相垂直的单位向量， 2.已知a,b方向相同，且la=2,b1=4, 若V3e1+e2与e1+A2的夹角为60°，则实数 则12a+3b1等于() 入的值是 8.已知向量a,b的夹角为45°，且lal= A.16 B.256 C.8 D.64 4,分a+b-(2a-3b)-12,则6在a上的投 3.已知lal=4,b1=2,a与b的夹角为 影为 120°，则(a+b)(2a-b)等于() 9.已知向量a,b,c满足la=1,b1=2, A.32 B.24 c=a+b且c⊥a. D.8 (1)求向量a与b的夹角； C.26 (2)求13a+b1. 4.已知向量a,b满足la=1,la+2b1=2, 且(b-2a)⊥b,则b1等于() A分 B.V2 2 C.V3 D.1 2 5.已知lal=3,bl=2,且a,b的夹角为 60°，如果(3a+5b)⊥(ma-b),那么m的值 为（) A器 B. 23 42 c器 D. 42 (46)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换 10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥ 14.已知△ABC中，AB=6,AC=4,0为 CD,且AB=2AD=2DC.证明：AC⊥BC △ABC所在平面内一点，满足IOA1=|OB1= 1OC1,则AO在AB上的投影的数量为 A0'.BC= 第10题图 15.已知向量a,b,c满足la=1,b= V2,ab=l,(c-a)⊥(c-b),则向量c的 模的最大值为() A.V2 B.V5+1 2 C.V3 D.V5+2 3 16.已知lad=4,bl=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角0： (2)若c=a+(1-t)b,且b⊥c,求t及cl. 提升练习 11.(多选题)已知正三角形ABC的边 长为2，设AB=2a,BC-b,则下列结论正确 的有() A.la+bl=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a.b=-1 12.0为平面上的定点，A,B,C是平 面上不共线的三点，若(OB-OC)·(OB+ 0C-20A)=0,则△ABC是() A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形 13.在平行四边形ABCD中，AD=1, ∠BAD=60°，E为CD的中点.若AC·BE=1, 则AB的长为 练（47N 高中数学必修第三册人教B版 =60°，4B,BD)=(AB,BC)=120°，.AB.CD=MB1CD: cos60°=3x2×73,AB.Bm-EBd1cos120=3x1×←3 9.解：MB1=5,BC1=4,AC1=3,.△ABC为直角三 角形，且∠G-0,0s1=治-号，co=%-号 AB-5 (1)AB.BC=AB1.IBC1cos(T-B)=5×4×(-cosB)=20× (←号)=-16. (2)AC在AB上的投影的数量为AClos(AC,AB)=3× c0s1=3x3=9 5-5 (3)由向量数量积的几何意义及(1)知，AB在BC上 的投影的数量为4瓜BC-16=-4 IBC 4 10.解：(1)b2=3,.b=V3.当ab时，有两种 情况： ①当a与b的夹角为0°时，ab=lalbos0(°=2×V3×l= 2V3: ②当a与b的夹角为180°时，a·b=-lallb lcos180°=2× V3×(-1)=-2V3.∴.ab=2V3或a·b=-2V3. (2)a-b=lallblcos0=2x2V2xcos0=4,..cos0=V2. 2 0e[0,π]，=平 (3)当a与b的夹角为150°时，a·b=lallblcos1.50°=2×b× Y5}6,b2V3. 提升练习 11.D【解析】如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60,∠BDC=30°，(BD,CD)=30.又菱形的边长为a, ..BD=V3 a...BD'.CD=IBD'IICD lcos(BD',CD)=V3 axax cos30°=弓d2.故选D. B -609 第11题答图 第12题答图 12.CD【解析】e1在e2上的投影是一个向量，故A不 正确.e1e2=le1 llecos(e1,e2)=cos0,故B不正确.e=leP=l, 80 e=e2-1,故C正确.如图所示，设AB-e1,AD=e2,作平行 四边形ABCD,则平行四边形ABCD为菱形，则AC=e1+e2, DB-e-e.A⊥DB,∴.(ete2)L(e1-e2),故D正确.故选 CD. 13.C【解析】cos(a,b)=ab三BA 是-分又a,e0. 3 (a,b)=2π.如图，0A=,0B=b,过B'0aA 3 点B作BB'⊥OA,垂足为B',则b在 第13题答图 a上的投影为0丽.b=12,0丽=2xc0s7=6.又la= 2,.0B=-3a 14.90°【解析】由题意可画出图形， 如图所示，在△OAB中，∠OAB=60°， Ib1=2lal,..∠AB0=30°，OA⊥OB,即向量 a与c的夹角为90°. 15.[牙，T【解析】4=ar-4a-b=aP 0604 -4 allbose0(0为向量a与b的夹角)，若第14题答图 方程有实根，则△≥0，即laP-4 lallblcos0≥0.又la=2bl, 4=46P-8be0s0≥0，c0s0≤7.又：0≤0≤T,写≤ 2 0≤π. 16.解：如图，过点E作EE'⊥ AB,垂足为E',过点C作CC'⊥ AB,垂足为C',则AE在AB上的投 影为AE,AE在AB上的投影的数 量为4E1.由向量数量积的几何意义 C E' 知AE.AB=ME1.AB=4ME1.:点E 第16题答图 在腰BC上运动，.点E在线段CB上运动，AC ≤AE1≤AB1,即2≤ME1≤4，.8≤4IAE≤16，.AE, AB的取值范围是[8,16]. 8.1.2向量数量积的运算律 效果评价 1.B2.A3.B4.B 5.C【解析】由题意知(3a+5b)·(mab)=0,即3ma2+ (5m-3)a·b-5b2=0,3m×32+(5m-3)×3×2×cos60°-5×22-0，解 得m器故选C 6.D【解析】设AB=a,AC=b,则lal=b1=3,cos(a,b)= 分ab=3x3x3号Cb-a,m-+丽- }BC-AB+}C-AB)=子+}b,d-.C=(子a+}b 3 选D. 7.-V5【解析】1V3eteV3+l=2,le+de,lE V1+,且(V3e1+e2)(e+e)=V3+入，.cos60°= 欲方每得如孚 8.子a【解折】(2a+b)(2a-3b)=a+7a-b-3b=aP+ 号45P-3bi6+V2b1-3b=I2,解得Ib=V2或 b=-2子（含去），放b在a上的投影为hco45·品 3 VxV竖x号4a 9.解：(1)lal=l,b1=2,c=a+b,且c⊥a,∴ca= (a+b)a=+ab=0,即1+l×2×cos(a,b)=0,即cos(a,b) =7a,b)e[0,m,a,b=2 (2)13a+b=V(3a+b)2=V9a2+6a·b+b2=V9+6×(-1)+22= V7. 10.证明：设AE-a,AD-b,则DC=a,且a=2b1, AC-d4C2-b+a,C-所+MD0C=-ab+a=a+ b.Aatb)(-2atb)-0. AC⊥BC,AC⊥BC 提升练习 11.CD【解析】分析知lal=l,b=2,a与b的夹角是 120°，故B错误；.(a+b)2=laP+2ab+b12=3,.a+bl=V3 故A错误；(4a+b)b=4ab+b2=4×1×2×cos120°+4=0， (4a+b)⊥b,故C正确：ab=1×2×cos120°=-1，故D正确. 故选CD. 12.B【解析】设BC的中点为M,则化简(OB-OC) (0B+0C-20A)=0,得到CB·(AB+AC)=2CB·AM=0,即 CB.AM=0,CE⊥AM,AM是△ABC的边BC上的中线 并且也是高，∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形.故 选B. 13.号【解析】E为CD的中点，B配=BC+CE=AD -2DC-A可-AB,AC=AD+ME.AC,B死=1,4C BE=(AD+AB):D-2AB)=AD产2AB产+)AB.AD1, 即1-AB+)leos60=l,-2AB+4A=0,解 参考答案。 得=)(-0舍去). 14.3-10【解析】10A=0B=0C1,.点0为 △ABC的外心.设∠OAB=0,可得∠OBA=0,..AO在AB 上的投影的数量为Ad1cos0,BG在BA上的投影的数量为 IBd1cos0.由题意可知IAd1cos0+1BO1cos0=lAB1=6.又： 1OA1=IOB1=OC1,.MO1cos0=3,即Ad在AB上的投影的数 量为3..Ad.AB=A0llABlcos0=31AB=18,同理得Ad· AC=8,.A0.BC-AO.(AC-AB)-A0.AC-AO.AB=8- 18=-10. l5.B【解析】设a+b与c的夹角为0，la+bl=V(a+b =VlaP+2a.b+IbP =V1+2+2=V5.(c-a).(c-b)=lcP- (a+b)c+ab=lcP-V5 lelcos0+1=0.当c=0时，原方程可化 为1=0，不成立，cl≠0.又由cos0=lcL≤1，有cP+ V5 lel 1≤V5lcl,lcP-V5lc+l≤0，解得V5-l≤icl≤ 2 V+山，故c的最大值为V1.故选B. 16.解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=61,4laP-4lalb1 cos0-3bP=61,解得co-30e[0,m],2 (2).b⊥c,.bc=0..c=a+(1-t)b,.b.[a+(1-t)b]= 0,即a-b+(1-i)1b=0化简得15=9，解得=子，c |房a+号-V房*号-V器r*会r号ab-V =6V3 5 8.1.3向量数量积的坐标运算 效果评价 1.D2.D3.A4.C 5.C【解析】PP=(2,-6),PP=(-1,-1),PP PP=4.PPE-V2,:PPlcos0-PP:-PR=4-2V2 PPI V2 (0为PP与PB的夹角).故选C. 6.A【解析】建立如图所示的平面直 角坐标系，可得A(0,0),B(V2,0), E(V2,1).设F(x,2),则AB=(V2, 0),AE=(V2,1),AF=(x,2).AB ·AF=V2x=V2,解得x=1,∴F(1, A B x 2).BF-=(1-V2,2),AE·BF=V2 第6题答图 ×(1-V2)+1x2=V2.故选A. 7.(2,4)V5【解析】向量a=(1,2),且a与 81