8.1.2 向量数量积的运算律期末复习限时作业五-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦向量数量积运算律，通过选择、多选、填空、解答题梯度设计，结合传统文化情境，构建从概念应用到综合计算的知识逻辑链，强化数学眼光与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4|数量积求夹角、向量运算|从数量积定义到运算律应用，结合几何意义与实际情境| |多选题|2|数量积性质判断|从数量积定义到运算律应用，结合几何意义与实际情境| |填空题|2|数量积计算|从数量积定义到运算律应用，结合几何意义与实际情境| |解答题|2|夹角与模长综合计算|从数量积定义到运算律应用，结合几何意义与实际情境|

高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.2 向量数量积的运算律限时作业五 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据条件，， ， 又， 向量的夹角为． 故选：． 2.已知向量，，，满足，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：． 3.已知的内接三角形中，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：． 故选D． 4.团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理图是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图中的正八边形，其中，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，正八边形的每个内角为， 因为， 所以 ． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.对于非零向量，，下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C.  若，则 D. 若，则 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了向量的数量积与向量的垂直关系以及数量积的运算问题，是基础题目． 利用平面向量的运算性质逐一进行判断即可． 【解答】 解：选项，对于非零向量，，若，则，故A错误； 选项，     ，故B正确； 选项，因为    ，则可得 ， 所以 或 或 ，故C错误； 选项，若，即有， 故有，故D正确． 故选BD． 6.易经是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象如图所示的是八卦模型图，其平面图形如图中的正八边形，其中为正八边形的中心，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查了向量的加法、减法、数乘运算和向量的数量积，属于基础题． 根据向量的线性运算和数量积逐一判定即可． 【解答】 解：根据题意， 所以，则A正确； 因为，即，所以，即B正确； 因为， 所以以，为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为， 所以，故C错误；   在  上的投影向量为，D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，且，则          ． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 8.已知向量、满足，，，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积，属于基础题． 根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得． 【解答】 解：由，，，得， 所以． 故答案为 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，． 求与的夹角； 求． 【答案】解：设与的夹角为， ， ，即， ， ， 又， ． ， ． 【解析】本题考查了向量的夹角、向量的数量积以及向量的模，属于基础题． 由，得，利用夹角公式，即可得出结果； 由，代入计算即可得出 10.本小题分 已知向量，满足，，与的夹角为． 求 若，求的值． 【答案】解：因为，所以， 又因为，与的夹角为，所以， 所以，所以． 因为，所以， 即，，解得．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章) 8.1.2向量数量积的运算律限时作业五 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知=2，=√5，.6=√10，则a与的夹角为() A年 B￥ C.3 D. 【答案】A 【解析】解：根据条件，a.b=bcos<ab=2W5cos<a,b=V10, “o8<a6-9 又0≤<a,b>≤π， 向量冠，的夹角为好 故选：A. 2.已知向量，6，c,满足后-6=2，a.=1,则后+6=() A.2 B.V6 C.2v2 D.6 【答案】C 【解析】解：因为a-6=2,ab=1, 所以-=(a-0=2-2a6+6=4, 第1页，共6页 所以2+6=6， 所以+=(a+)=2+26+下=8， 所以a+=2√2. 故选：C 3.已知⊙O的内接三角形ABC中，AB=8,BC=6,则B6.AC() A.10 B.-10 C.14 D.-14 【答案】D 【解析】解：BO.AC=BOBC-BA=BC°-BA=(36-64=-14. 故选D. 4.团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理.图1是某团扇 模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形A1A,A3A4A5AA7Ag,其中 A1A2=1,则A1A·AA+A3A·A4A+AA6·A6A7() 6 A A A2 图1 图2 A.N B.3 C.3v2 D.6 【答案】A 【解析】解：由题意，正八边形的每个内角为135， 因为A1A2=1, 所以A1A·AA+A3A·AA+AsA6·A6A 第2页，共6页 =1×1×c0s450+1×1×cos450+1×1×c0s450=3V2 故选：A. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5对于非零向量ā，b,下列命题正确的是() A.若.=0，则/心 B.若1b,则a.6=(后.b? C若a.=6.d,则= D.若-6=+b,则a.6=0 【答案】BD 【解析】【分析】 本题考查了向量的数量积与向量的垂直关系以及数量积的运算问题，是基础题目. 利用平面向量的运算性质逐一进行判断即可. 【解答】 解：A选项，对于非零向量，b,若.b=0,则1b,故A错误： B选项，1→.=0=.62=(0)2，故B正确： C选项，因为a.=bc,则可得(-b)d=0, 所以a=或=0或（信-1，故C错误； D选项，若-币=+，即有+-2.6=++2.6， 故有.=0，故D正确. 故选BD, 6.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八 卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图 形如图2中的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心，OA=2,则下列结论 第3页，共6页 正确的是() 图1 图2 A.FO-OA-EF B.OA.OG=0 C.OA+OC=-20F D.O死在BO上的投影向量为-2O元 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查了向量的加法、减法、数乘运算和向量的数量积，属于基础题. 根据向量的线性运算和数量积逐一判定即可， 【解答】 解：根据题意EF=BA, 所以OA-EF=OA-BA=OA-(OA-OB)=OB=FO,则A正确： 因为∠A0G-x2=90,即O10C,所以0.OG=0.即B正确： 因为0A⊥0C, 所以以OA,OC为邻边的平行四边形为正方形，对角线长为V2OB, 所以OA+OC=√2OB=-√2O下，故C错误； OE在而上的投影向量为Oeae15哥号0号O丽.D正确. 故选：ABD. 第4页，共6页 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知=而=1，且a.币=0，则a+6=一· 【答案】V2 【解析】解：+=、 (a+=、+2短6+62=√2 故答案为：√2. 8.己知向量a、币满足同=2，=3，+=4，则a.6=一 【答案】 【解析】【分析】 本题考查向量的数量积，属于基础题， 根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得. 【解答】 解：由=2，=3，+=4，得信+2=2++2.元=4+9+2.元=16， 所以a6- 故答案为 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 己知=4，而=3，(2-36·(2+可=61. (1)求a与的夹角： (2)求|2a+6. 【答案】解：(1)设a与b的夹角为0， :(2a-36·(2a+6=61, ÷42-46-362=61,即64-46-27=61， a6=-6, 第5页，共6页 cos0= 又0<0≤π， 50-3 (2):12+62=42+62+4.6=64+9-24=49, 2a+6=7. 【解析】本题考查了向量的夹角、向量的数量积以及向量的模，属于基础题 (1)油(2a-36·(2+6=61,得6-一6，利用夹角公式c0s0=6 即可得出结果： (2)由2+b2=42+62+4.6,代入计算即可得出2a+ 10.(本小题14分) 已知向量a,满足团=2,6=(，马)，与的夹角为 (1)求a-6; (2)若a-61+26,求k的值. 【答案】解：（①因为5=，马），所以可=+=1， 又因为同=2，a与6的夹角为5所以a.币=2×1×cos=1, 所以a-2=a-2=-2a.币+=4-2×1+1=3，所以a-=√3. (2)因为0a-61(+26,所以ka-D-(+2=0, 即k2+(2k-1).6-26=0,4k+(2k-1)-2=0,解得k=号 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第6页，共6页高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章) 8.1.2向量数量积的运算律限时作业五 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知=2，=√5，a.6=V10,则与的夹角为() A B c D. 2.已知向量ā，b,c,满足后-6=2，a.b=1,则a+b1=() A.2 B.V6 C.2W2 D.6 3.已知⊙O的内接三角形ABC中，AB=8,BC=6,则B6.AC() A.10 B.-10 C.14 D.-14 4.团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理.图1是某团扇 模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形A1A2A3A4A5AA7A8,其中 A1A2=1,则A1A)·AA+A3A·A4A+A5A6·A6A7() A 图1 图2 A.3v3 B.3 C.3v2 D.6 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.对于非零向量，6，下列命题正确的是() A.若.b=0,则/心 B.若1币，则.=ab2 C.若a.c=b.d,则=b D.若-b=+b,则a.b=0 6.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八 卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图 形如图2中的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心，OA=2,则下列结论 正确的是() 图1 图2 A.FO-OA-EF B.OA.OG=0 C.OA+OC=-20F D.OE在B6上的投影向量为-2OB 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.己知=6=1，且厨6=0，则a+6-一· 8.已知向量、满足同=2，=3，+=4，则.币=一 第2页，共3页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知=4,6=3，(2-36.(2a+b=61. (1)求a与的夹角： (2)求2+. 10.(本小题14分) 已知向量冠，满足回=2,6=(，)，与币的夹角为 (1)求同- (2)若ka-b51a+2b,求k的值. 第3页，共3页 高一数学下学期期末复习（人教版B版必修三第八章） 8.1.2 向量数量积的运算律限时作业五 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，，满足，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知的内接三角形中，，，则(    ) A. B. C. D. 4.团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理图是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图中的正八边形，其中，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.对于非零向量，，下列命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C.  若，则 D. 若，则 6.易经是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象如图所示的是八卦模型图，其平面图形如图中的正八边形，其中为正八边形的中心，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 在上的投影向量为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，且，则          ． 8.已知向量、满足，，，则           ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，． 求与的夹角； 求． 10.本小题分 已知向量，满足，，与的夹角为． 求 若，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $