8.1.2 向量数量积的概念运算律限时作业三-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦向量数量积运算律，通过分层题型系统覆盖投影、夹角、模长等核心概念，强化运算能力与几何直观的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选4题/多选2题|考查投影数量、单位向量夹角、充要条件判断|从数量积定义出发，关联投影与夹角的几何意义，构建概念间逻辑链条| |运算应用|填空2题/解答2题|涉及模长计算、垂直条件、向量夹角求解|以运算律为核心，通过代数运算（模长公式）与几何情境（圆上三点）实现知识迁移，培养推理意识|

内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.2向量数量积的运算律限时作业三 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知=3,6=4，且向量在6上的投影的数量为-2，则+2=() A.49 B.41 C.7 D.√4I 2.非零单位向量，满足-=+，则-与夹角是() A买 B. C. D.g 3.已知A,B,C为半径为1、圆心为0的圆上的三个点，且OA+2oB+30C=0,则ōA· OB=() A.2 B.1 C.-2 D.-1 4.已知向量ā，是平面内的一组基底，则“，的夹角为锐角”是“a.6>0”成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5若平面向量冠，满足==+=2，则() A.a.6=-2 B.向量与-b的夹角为 C.-=V3 D.-b在a上的投影向量为a 6.下列说法正确的是() A.若心，/心，则/尼 B.若a=b,则= C.己知=（区1，y1),币=(2，y2),若1币，则x1y2+xy1=0 D.若G是△ABC的重心，则GA+GB+GC=可 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.己知向量a,为单位向量，其夹角为5则2+6=一 8.已知=3，=4，与6夹角大小为120，则.6=一 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知向量a,b满足=1,6=V2,a·后+b=2. (1)求a.6, (2)求a与b的夹角0， (3)求-261. 第2页，共3页 10.(本小题14分) 已知=3，=5，+b=7. (1)求向量a与6的夹角0： (2)当向量ka+下与-26垂直时，求实数k的值. 第3页，共3页内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.2向量数量积的运算律限时作业三 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知=3，⑥=4，且向量在6上的投影的数量为-2，则+2=() A.49 B.41 C.7 D.V41 【答案】D 【解析】解：因为向量a在b上的投影的数量为-2， 所以5-2，则a.6=-8, lbl 故+20=、(a+2D2-√2+42+4a.i=V9+64-32=V红. 故选：D 2.非零单位向量a,b满足-b=+b,则6-与夹角是() A B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由-b=a+b,可知6=0， 设6-和的夹角为0， 则cos0= ☆-9 √6-) 第1页，共6页 :0<0<m,0= 故选：A. 3.已知A,B,C为半径为1、圆心为O的圆上的三个点，且OA+2OB+3OC=0,则OA. OB=() A.2 B.1 C.-2 D.-1 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积运算，属中档题 将已知式子移项再平方即可得解. 【解答】解：：OA+2OB+30C=0, .-30C=OA+20B, 平方可得90C=0A2+40B2+40A.0B, JOA=OB=OC=1, .9=1+4+4OA.OB, OA.OE=1,故选B. 4.已知向量，6是平面内的一组基底，则“a,的夹角为锐角”是“a.>0”成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解：因为向量a,b是平面内的一组基底，所以，b均不是零向量，且不共线， ①当非零向量与式的夹角0为锐角时， 则a.6=·bcos0>0一定成立，故充分性成立， ②当非零向量.币=同·bcos0>0,且，币不共线时， 日为锐角，故必要性成立 故选：C 第2页，共6页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5若平面向量冠，满足=6=+=2，则() A.a.b=-2 B.向量冠与-币的夹角为 C.-=V3 D.a-在上的投影向量为a 【答案】AD 【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的概念及其运算，利用向量的数量积求向量的夹角，利用向量的 数量积求向量的模，投影向量，属于基础题， 由向量的模长运算判断AC:由夹角公式判断B:由数量积公式判断D. 【解答】 解：对于A:+2=+2.+=4+4+2.6=4,则.6-一2，故A正确： 对于C:宜-可=√信-2=√a2-2.6+6=V4+4+4=2W5,故C错误： 对于：-司的离行当则响与-的夹角好故骨错识： 厨于D：一6在上的投影向量为-co佤i-D)x兰a=,放故D正确 故选：AD. 6.下列说法正确的是() A.若心，b/心，则/心 B.若=币，则=6 C.已知=(x1,y1),币=(x2,y),若1币，则x1y2+xy1=0 D.若G是△ABC的重心，则GA+GB+GC=可 【答案】BD 第3页，共6页 【解析】解：若=0，则与c不一定平行，故A错误， 若两向量相等，则模一定相等，故B正确； 由向量垂直可知x1X2+yy2=0,故C错误； 若G是△ABC的重心，则点G满足GA+GB=CG,即GA+GE+GC=O,故D正确. 故选BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量冠，为单位向量，其夹角为经，则2+币= 【答案】√7 【解析】【分析】 本题考查利用向量的数量积求向量的模，是较易题： 利用模长公式直接求解. 【解答】 解：2+= (2+62 =√4°+46+ =4+4×1×1×co8号+1=V7. 故答案为：√7. 8.已知=3，=4，与6夹角大小为120°，则.币= 【答案】-6 【解析】【分析】 本题考查向量数量积，属于基础题. 【解答】 解：因为cos< ,所以a6=6os<,6=12×(-)=-6 第4页，共6页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知向量a,b满足=1,6=√2，a·(+b=2. (1)求a. (2)求a与b的夹角0， (3)求-26. 【答案】解：(1)a.(信+b=+a.6=2, 且=1， .a.6=1: (2)根据题意， a0品号 又0∈[0，， 6-器 (3):-26P=-4a.6+4 =1-4+8=5, a-26=√5. 【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于基础题.(1)根据 数量积的运算律可直接构造方程求得结果： (2)由向量夹角公式直接计算可得结果： (3)由向量数量积运算律可求得-2，进而可得结果. 第5页，共6页 10.(本小题14分) 已知=3,6=5，+b=7. (1)求向量a与6的夹角0： (2)当向量ka+与-26垂直时，求实数k的值. 【答案】解：(1)=3，b=5,+b=7, a+62=(®2+（⑥2+2a.6 =2+b2+2b1cos0 =9+25+30c0s0=49, c00= 0°≤0≤180°， 0=60: (2)“向量ka+6与-26垂直， ka+b-a-26=0, ·ka2-2b2+(1-2k)bcos0=0, 即9k-50+(1-2k)×3×5×=0, 解得k一总 【解析】本题考查向量的数量积的定义，向量数量积的运算，向量垂直的条件，属于基 础题. (1)对模两边平方，利用向量的数量积的定义解得cos0=号，即可求出0的度数： (②)根据向量垂直其数量积为0即可求出k的值. 第6页，共6页 内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.2 向量数量积的运算律限时作业三 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，且向量在上的投影的数量为，则(    ) A. B. C. D. 2.非零单位向量，满足，则与夹角是(    ) A. B. C. D. 3.已知为半径为、圆心为的圆上的三个点，且，则(    ) A. B. C. D. 4.已知向量，是平面内的一组基底，则“，的夹角为锐角”是“”成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若平面向量，满足，则(    ) A. B. 向量与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 6.下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 已知，，若，则 D. 若是的重心，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量为单位向量，其夹角为，则           ． 8.已知，，与夹角大小为，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知向量，满足，，． 求 求与的夹角 求 10.本小题分 已知，，． 求向量与的夹角； 当向量与垂直时，求实数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.2 向量数量积的运算律限时作业三 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，且向量在上的投影的数量为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为向量在上的投影的数量为， 所以，则， 故． 故选：． 2.非零单位向量，满足，则与夹角是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由，可知， 设和的夹角为， 则， ，． 故选：． 3.已知为半径为、圆心为的圆上的三个点，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积运算，属中档题． 将已知式子移项再平方即可得解． 【解答】解：， ， 平方可得， ， ， ，故选B． 4.已知向量，是平面内的一组基底，则“，的夹角为锐角”是“”成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】解：因为向量，是平面内的一组基底，所以，均不是零向量，且不共线， 当非零向量与的夹角为锐角时， 则一定成立，故充分性成立， 当非零向量，且，不共线时， 为锐角，故必要性成立．  故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若平面向量，满足，则(    ) A. B. 向量与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的概念及其运算，利用向量的数量积求向量的夹角，利用向量的数量积求向量的模，投影向量，属于基础题． 由向量的模长运算判断；由夹角公式判断；由数量积公式判断． 【解答】 解：对于：，则，故 A正确； 对于：，故 C错误； 对于：，则向量与的夹角为，故 B错误； 对于：在上的投影向量为，故 D正确． 故选：． 6.下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 已知，，若，则 D. 若是的重心，则 【答案】BD  【解析】解：若，则与不一定平行，故A错误 若两向量相等，则模一定相等，故B正确 由向量垂直可知，故C错误 若是的重心，则点满足，即，故D正确． 故选BD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量为单位向量，其夹角为，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用向量的数量积求向量的模，是较易题． 利用模长公式直接求解． 【解答】 解：  ． 故答案为：． 8.已知，，与夹角大小为，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量数量积，属于基础题． 【解答】 解：因为，所以 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知向量，满足，，． 求 求与的夹角 求 【答案】解：， 且， ； 根据题意， ， 又， ； ， ．  【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于基础题．根据数量积的运算律可直接构造方程求得结果； 由向量夹角公式直接计算可得结果； 由向量数量积运算律可求得，进而可得结果． 10.本小题分 已知，，． 求向量与的夹角； 当向量与垂直时，求实数的值． 【答案】解：，，， ， ， ， ； 向量与垂直， ， ， 即， 解得．  【解析】本题考查向量的数量积的定义，向量数量积的运算，向量垂直的条件，属于基础题． 对模两边平方，利用向量的数量积的定义解得，即可求出的度数； 根据向量垂直其数量积为即可求出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $