2.8 直线与圆锥曲线的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦直线与圆锥曲线的位置关系，通过回顾直线与圆的代数判定方法，引导学生迁移至椭圆、双曲线、抛物线，搭建从已知到未知的学习支架，梳理联立方程、判别式判定及弦长公式、点差法的应用脉络。 此资料以代数运算与几何直观结合为特色，通过例1判别式分类讨论、例3点差法“设而不求”等梯度例题，培养学生数学思维（逻辑推理）与数学眼光（几何直观），特殊情形辨析强化分类意识，助力学生提升运算素养，为教师提供清晰教学路径与过程性评价方法。

选择性必修第一册 数学 教学设计-2026-2027学年 高二 人教B版 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 1. 课标要求 科 目 数学 年 级 高二 主备教师 课 型 数学 高二 选择性必修第一册 第二章 平面解析几何 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 新授课 本课时要求学生掌握通过联立直线与圆锥曲线方程判定位置关系的基本方法，能够运用弦长公式解决相交弦长问题，并理解点差法在处理中点弦问题中的应用。要求在代数运算与几何直观之间建立联系，提升逻辑推理与数学运算素养。 2. 教材分析 本节内容位于人教B版选择性必修第一册第二章，是圆锥曲线单元的核心综合应用板块。教材通过联立直线与圆锥曲线方程，消元后化为一元二次方程，利用判别式 判定公共点个数。教材同时指出直线与双曲线、抛物线联立消元后可能得到一次方程，此时直线与曲线只有一个公共点却不是相切。弦长公式 是解决相交弦长问题的核心工具。 3. 学情分析 高二学生已系统学习椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程，掌握了直线方程的各种形式，具备初步的代数变形与方程求解能力。但面对联立方程后繁杂的字母运算、分类讨论以及设而不求思想时仍存在困难，容易在消元后忽略一次方程的特殊情形，也常在计算弦长时出错。 4. 单元教学重点 重点：联立方程用判别式判定直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式。难点：消元后为一次方程的特殊情形讨论及设而不求的综合运用。 5. 课时学习评价 1. 过程评价：观察学生联立方程消元过程的准确性，能否正确计算判别式并分类讨论。2. 结果评价：通过课堂练习检验弦长公式与点差法的应用熟练度。 6. 教学过程 环节一：情境导入。教师活动：展示直线与圆相交、相切、相离的图象，提问如何用代数方法判定直线与圆的位置关系？追问若将圆替换为椭圆、双曲线、抛物线，判定方法是否类似？学生活动：回顾联立直线与圆方程消元得一元二次方程，由判别式判定。预设回答：类似，联立方程看解的个数。 环节二：新知探究。教师活动：讲解直线与圆锥曲线位置关系的判定通则。联立直线与圆锥曲线方程消元，若得关于 或 的一元二次方程，由判别式 判定公共点个数：有两解时相交，有唯一解且对应二次方程判别式为零时相切，无解时相离。追问消元后一定得到二次方程吗？学生活动：思考并讨论消元后方程退化为一次方程的可能。预设回答：不一定，若直线与渐近线平行时可能得一次方程。 环节三：特殊情形辨析。教师活动：指出直线与双曲线、抛物线联立消元后可能得到一次方程，此时直线与曲线只有一个公共点却不是相切。追问能否举出具体例子？学生活动：尝试构造直线与抛物线对称轴平行的情况。预设回答：直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点但不相切。 环节四：弦长公式推导。教师活动：设直线斜率为 ，与圆锥曲线交于 、，引导学生利用两点间距离公式与直线斜率关系推导弦长 。追问若已知 和 ，如何表达弦长？学生活动：代数变形推导公式。预设回答：当 时，。 环节五：点差法探究。教师活动：设弦端点 、，中点 ，将端点坐标代入圆锥曲线方程作差，推导中点弦斜率与中点坐标的关系。追问此法为何叫设而不求？学生活动：跟随教师推导并体会设而不求思想。预设回答：设了端点坐标但未具体求出，直接利用其关系解题。 环节六：例题精讲。例1：已知直线 ： 与椭圆 ，当 为何值时，直线与椭圆相交、相切、相离？ 解析：联立方程 ，将 代入椭圆方程得 ，展开得 。计算判别式 。当 即 ，解得 时相交；当 即 时相切；当 即 或 时相离。答案：当 时相交，当 时相切，当 或 时相离。 例2：已知抛物线 ：，过焦点 的直线 交抛物线于 、 两点，求弦长 的最小值。 解析：抛物线焦点 。若直线斜率不存在，方程为 ，代入 得 ，。若斜率存在设为 ，直线方程为 。联立 ，代入得 ，即 。设 、，由韦达定理 。弦长 ，且 。又因过焦点可利用抛物线定义 。当 即斜率不存在时取最小值。答案：弦长 的最小值为 。 例3：已知双曲线 ，直线 与双曲线相交于 、 两点，且弦中点为 ，求直线 的方程。 解析：设 、，则 ，。将 、 代入双曲线方程得 与 ，两式相减得 。因式分解得 。代入中点关系得 。若 ，则中点横坐标为 ，即 ，此时直线垂直于 轴，但代入双曲线得 ，中点纵坐标为 ，与 矛盾，故 。直线斜率 。故直线方程为 ，即 。答案：直线 的方程为 。 环节七：巩固练习。1. 判定直线 与抛物线 的位置关系。答案：联立得 即 ，，相切。2. 求直线 被椭圆 截得的弦长。答案：联立得 即 ，，，弦长 。 7. 课堂小结 本节课核心方法：联立方程消元后看方程类型，二次方程用判别式 判定相交、相切、相离，一次方程只有一个交点但不相切；弦长公式 ；中点弦问题用点差法设而不求。 8. 板书设计 一、位置关系判定：联立消元 二次方程看 / 一次方程唯一交点非相切。二、弦长公式：。三、点差法：代入作差求斜率。 9. 教学反思 本节课通过例题梯度设计引导学生逐步深入，但部分学生在处理双曲线点差法后忘记检验判别式 ，导致增解。后续教学中应强化“设而不求”后的检验意识，确保所求直线与圆锥曲线确实相交。 学科网（北京）股份有限公司 $