第二章 平面解析几何（复习讲义）（知识梳理+16核心题型+4大难点突破+验收过关）数学人教B版高二选择性必修第一册

该高中数学平面解析几何复习讲义通过表格对比与知识框架系统梳理知识体系，将直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、性质按“基础概念-几何性质-综合应用”递进呈现，用思维导图串联数形结合等思想方法，突出直线与圆锥曲线综合问题等重难点。 讲义亮点在于“题型+解题技巧+分层练习”设计，如直线与椭圆位置关系题型通过联立方程、韦达定理整体代换培养逻辑推理与数学运算素养。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生提升直观想象与问题解决能力。

第二章 平面解析几何 复习要点 1.熟练掌握直线与圆的方程，理解圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程及几何性质。 2.能够运用数形结合、分类讨论及函数与方程等数学思想，解决直线与圆锥曲线的位置关系、最值及轨迹等综合问题。 3.提升直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养。 复习重难点 重点：(1)直线方程的五种形式及其适用条件，两直线平行与垂直的判定。 (2)圆的标准方程与一般方程，以及利用几何法判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 (3)圆锥曲线的定义与标准方程的求解，以及利用几何性质解决焦点三角形等问题。 难点：(1)直线与圆锥曲线的综合应用，如定值、最值、参数范围及探索性问题。这类问题计算量大，对代数变形能力和图形直观认识能力要求极高。 (2)解题时的分类讨论与思维严密性。例如在设直线方程时，必须严谨讨论斜率是否存在；在分析曲线方程时，需考虑参数取值范围对曲线形状的影响，以防漏解。 知识点 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按 旋转到和直线重合时所转的 记为叫做直线的 . 倾斜角,斜率不存在. （2）直线的斜率：．两点坐标为、. 要点速测 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点 直线的五种形式 （1）点斜式： (直线过点，且斜率为)． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为． （2）斜截式： (b为直线在y轴上的截距). （3）两点式： (，). 注：① 不能表示与轴和轴垂直的直线； ② 方程形式为：时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： （分别为轴轴上的截距，且）． 注：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： (其中A、B不同时为0)． 一般式化为斜截式：，即，直线的斜率：． 注：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或． 已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或． 已知直线过点，常设其方程为或． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 要点速测 2．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 知识点两条直线的位置关系 （1）两直线的相交、平行与重合 对于两条的直线，有① ； ②与相交；③与 且； （2）对于两条直线，有 ①；②与相交 ③与重合 （2）两直线的垂直关系 ①对于两条的直线，有； ②对于两条直线，有. （3）点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. （4）两条平行直线间的距离 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 要点速测 3．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 知识点圆的方程 （1）圆的标准方程 ①圆的定义：圆是平面上到 的距离等于定长的点的集合． ②圆的标准方程：我们把方程称为圆心为 ,半径为r的圆的标准方程． （2）圆的一般方程 ①圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． ②对方程 的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 （3）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： ①点在 ； ②点在圆上； ③点在 . （4）圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: ①若点在圆外,则; ②若点在圆上,则; ③若点在圆内,则. 综上, 要点速测 4．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 知识点直线与圆的位置关系 （1）位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程，判别式为 图形 （2） 圆的弦长问题 ①几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为， 则：“半弦长+弦心距=半径”——； ②代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则 （其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解） （3）直线与圆相切 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 要点速测 5．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 知识点圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法一般是几何法，如下表： 位置关系 几何法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 （2）圆与圆的公切线 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条 （3）公共弦所在直线方程 设圆，圆 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得 方程表示圆与的公共弦所在直线的方程． （1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． （2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． （4）过两圆交点的圆系方程 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆）， 特别地，当时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 要点速测 6．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 知识点椭圆 （1）椭圆的定义 平面上到两定点的距离的 为常数（ 两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. （2）椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. （3）椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴， 轴， 对称中心： 原点 ， 范围为： 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程 要点速测 7．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 知识点双曲线 （1）双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的 等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条 ； 当时，动点轨迹不存在． （2）双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． （3）双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 ，范围： 要点速测 8．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 知识点抛物线线 （1）抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离 的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． （2）抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为. （3）抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 （4）抛物线的焦半径及焦点弦 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为 要点速测 9．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 题型1 直线的倾斜角与斜率 ▌例1 （25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 解题技巧 解答直线的倾斜角与斜率问题，需掌握以下核心技巧： （1）明确概念与范围：牢记倾斜角 的取值范围是 。当 时，直线垂直于x轴，此时斜率 不存在。 （2）熟练运用公式：已知两点 、 时，若 ，斜率 ；若 ，则斜率不存在。 （3）把握对应关系：当 时，；当 时，。 （4）注意分类讨论：在求参数或判断位置关系时，务必考虑斜率是否存在，避免漏解。 ▌迁移练1-1（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 ▌迁移练1-4（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 题型2 两条直线的位置关系 ▌例2 （25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 解题技巧 判断两直线位置关系，核心看斜率。若两直线斜率均存在，平行需斜率相等且截距不等；垂直则斜率之积为-1。 解题时务必先检验斜率是否存在，若一条直线斜率不存在（垂直于x轴），另一条斜率为0时二者垂直，斜率均不存在时平行。 常见易错点：忽略斜率不存在的特殊情况；将平行条件误记为仅斜率相等，未排除重合情形；计算斜率时符号出错。建议先设一般式，再分类讨论，确保逻辑严密、结果准确。 ▌迁移练2-1（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 ▌迁移练2-3（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． ▌迁移练2-4（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 题型3 直线的方程 ▌例3 （25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 解题技巧 求直线方程的核心技巧是“看条件，选形式”。已知一点和倾斜程度用点斜式；已知倾斜程度和纵截距用斜截式；已知两点用两点式；已知横纵截距用截距式。若条件不直接，可先设出方程，再代入条件求解未知数。 ▌迁移练3-1（25-26高二下·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练3-3（25-26高三·全国·一轮复习）经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为_____；经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为___． ▌迁移练3-4 （25-26高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 题型4 点到直线的距离公式 ▌例4 （25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练4-1（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 ▌迁移练4-2（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 ▌迁移练4-3（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 ▌迁移练4-4（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 ▌迁移练4-5（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 题型5 圆的方程 ▌例5 （25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 解题技巧 求圆的方程主要有两种思路。第一种是几何特征法，通过挖掘题目中的几何条件（如相切、对称、弦的垂直平分线等）直接找出圆心位置和半径长度，这种方法直观高效。第二种是待定系数法，先根据题意选择标准方程或一般方程，将已知条件代入，建立关于未知数的方程组，解出未知数后写出方程。解题时需灵活选择，若已知圆上三点，优先选用一般方程，避免繁琐的几何运算。 ▌迁移练5-1（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练5-3（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 题型6 直线与圆的位置关系 ▌例6 （多选）（25-26高二下·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 ▌迁移练6-1（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 ▌迁移练6-3（多选）（25-26高二下·广西桂林·期末）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， ▌迁移练6-4（多选）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 ▌迁移练6-5（多选）（25-26高二下·广西河池·期末）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 题型7 圆与圆的位置关系 ▌例7 （多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 解题技巧 求解此类问题，首选几何法。先化简方程找出两圆的圆心坐标与半径，接着计算两圆心之间的距离。将该距离与两圆半径之和、半径之差进行比较，从而精准判断是外离、外切、相交、内切还是内含。此外，若两圆相交，将两圆方程相减，即可直接得到公共弦所在直线的方程，再结合弦长公式求解。代数法需联立方程组，运算繁琐，一般不作首选。 ▌迁移练7-1（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-3（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-4（多选）（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 ▌迁移练7-5（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 题型8 椭圆的定义及应用 ▌例8 （25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 解题技巧 求解椭圆定义问题，需紧扣“到两定点距离之和为定值”这一核心特征。解题时首先要关注两个焦点，将复杂的几何问题转化为研究动点到两焦点距离之和的问题。同时，必须严格验证该常数是否大于两焦点间的距离，若等于则为线段，若小于则轨迹不存在。此外，定义具有双向作用，既可用来判断轨迹，也可在已知轨迹时，将动点到两焦点的距离之和作为整体条件，巧妙结合余弦定理等知识求解焦点三角形问题。 ▌迁移练8-1（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 ▌迁移练8-2（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练8-3（26-27高三·全国·一轮复习）已知集合，其中为定点且＝8，若且到的距离为2，是的中点，则点到中点的距离是（    ） A．8 B．4 C．2 D． ▌迁移练8-4（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 题型9 椭圆的方程与性质 ▌例9 （多选）（2026·四川广安·二模）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 ▌迁移练9-1（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练9-2（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练9-3（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 ▌迁移练9-4（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 ▌迁移练9-5（25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型10 直线与椭圆的位置关系 ▌例10 （多选）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 解题技巧 处理此类问题，最核心的技巧是代数法。首先，将直线方程代入椭圆方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程。接着，通过计算判别式的大小来判断位置关系：大于零为相交，等于零为相切，小于零为相离。若题目涉及弦长或中点问题，还需熟练运用韦达定理，通过根与系数的关系进行整体代换，从而避免繁琐的求根运算，提高解题效率。 ▌迁移练10-1（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 ▌迁移练10-2（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练10-3（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． ▌迁移练10-4（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 题型11 双曲线的定义 ▌例11 （25-26高三上·四川自贡·期末）设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 解题技巧 求解双曲线定义问题，需紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值”这一核心特征。解题时首先要明确动点到两焦点的距离差是一个常数。同时，必须严格验证该常数是否小于两焦点间的距离，若等于则轨迹为两条射线，若大于则轨迹不存在。此外，定义具有双向作用，既可用于判断轨迹，也可在已知轨迹时，将距离差的绝对值作为整体条件，结合余弦定理等知识求解焦点三角形问题。 ▌迁移练1-1（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 ▌迁移练1-2（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 ▌迁移练1-3（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 ▌迁移练1-4（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 题型12 双曲线的方程与性质 ▌例12 （多选）（25-26高二下·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 ▌迁移练12-1已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 ▌迁移练12-2（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练12-3（2026·江苏南京·一模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 ▌迁移练12-4（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 题型13 直线与双曲线的位置关系 ▌例13 （多选）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 解题技巧 处理此类问题，核心仍是代数法，但需特别注意双曲线的渐近线。将直线方程代入双曲线方程消元后，首先要检验二次项系数是否为零。若为零，说明直线与渐近线平行，此时直线与双曲线仅有一个交点，但并非相切。若二次项系数不为零，再根据判别式的大小判断是相交、相切还是相离。涉及弦长或中点问题时，同样可借助韦达定理进行整体代换，以简化运算。 ▌迁移练13-1（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练13-2（26-27高三·全国·一轮复习）过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 ▌迁移练13-3（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为______. ▌迁移练13-4（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 题型14 抛物线的定义 ▌例14 （25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 解题技巧 求解抛物线定义问题，核心在于把握“到定点与定直线距离相等”这一特征。解题时，最关键的技巧是灵活转化：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，或者反之。这种转化能将复杂的折线段问题转化为简单的垂线段问题，巧妙利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等平面几何知识，轻松求解最值问题。此外，还需注意定义成立的前提，即定点不能在定直线上. ▌迁移练14-1（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ▌迁移练14-2（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． ▌迁移练14-3（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 ▌迁移练14-4（2026高三·全国·专题练习）已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 题型15 抛物线的方程与性质 ▌例15 （25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 ▌迁移练15-1抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练15-2（25-26高二下·广东广州·期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（    ） A．1 B． C．2 D．4 ▌迁移练15-3（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练15-4（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 题型16 直线与抛物线的位置关系 ▌例16 （25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 解题技巧 处理此类问题，核心技巧是联立方程消元。将直线方程代入抛物线方程后，首要步骤是检验二次项系数是否为零。若为零，说明直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线仅有一个交点，但并非相切。若二次项系数不为零，则根据判别式的大小判断是相交、相切还是相离。在求解弦长或中点问题时，可结合韦达定理进行整体代换，从而有效简化运算过程。 ▌迁移练16-1（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练16-2（25-26高三下·重庆·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ） A． B．2 C． D．1 ▌迁移练16-3（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为．若，则直线的斜率为（   ） A． B．-2 C． D． ▌迁移练16-4（2026高二上·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 难点一 直线与圆中的最值问题 在直线与圆的最值问题中，核心策略是“数形结合”，即将代数问题转化为直观的几何特征来求解。 第一类是距离最值问题。当求圆上动点到直线的距离极值时，应先利用圆心到直线的距离，再结合半径进行加减运算得出最值；若涉及两动点间的距离（如圆上动点到直线上动点），通常转化为求圆心到直线的距离，再减去半径。 第二类是代数式最值问题。对于形如 y−x 或 的代数式，应赋予其几何意义，将其转化为直线截距或斜率问题，进而利用直线与圆相切时的几何条件求解。 第三类是线段长度最值问题。遇到求切线长或割线长极值时，常借助勾股定理构建直角三角形，将线段长度转化为圆心到定点距离的函数来求解。整体思路重在将代数运算与图形性质紧密结合。 难点精练 1．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 3．（多选）（25-26高二下·广西南宁·期末）已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 4．（多选）（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知点P是圆O：（）上的动点，点，点，则（    ） A．当时，点P到直线的距离的最大值为 B．当时，直线被圆O截得的弦长为 C．当时，满足的点有2个 D．当时，的最大值为8 5．（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 6．（多选）（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 7．（2026高三下·广西·竞赛）已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 8．（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 难点二 轨迹方程问题 求解圆锥曲线中的轨迹问题，核心策略是“建系、设点、列式、化简、检验”。 第一类是定义法。若动点满足的几何条件恰好符合圆、椭圆、双曲线或抛物线的定义，可直接写出其轨迹方程，这是最快捷的方法。 第二类是直接法。当动点满足的条件易于用坐标表达时，直接设出动点坐标，根据题设条件列出等式，代入坐标化简整理即可。 第三类是相关点法（代入法）。当所求动点随另一已知轨迹的动点运动时，先设出两动点坐标，建立它们之间的坐标关系，再将已知轨迹方程代入化简。 第四类是参数法。若动点坐标受某一变量（如斜率、角度）控制，可引入参数表示动点坐标，最后消去参数得到普通方程。 无论采用何种方法，最后一步都必须“检验”，即结合题意剔除不满足条件的多余点或补上遗漏点，确保轨迹的纯粹性与完备性。 难点精练 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面内，两定点A，B之间的距离为4，动点M满足，则点M的轨迹是（   ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．三角形 2．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽合肥·期末）在平面内，，是两个定点，是动点，若（是常数且大于），则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 难点三 圆锥曲线中的最值与范围问题 求解圆锥曲线中的最值与范围问题，核心策略是“几何直观”与“代数函数”的结合。 第一类是几何法。充分利用圆锥曲线的定义及平面几何性质。例如求焦半径的最值，可直接利用曲线上点到焦点距离的范围（如椭圆中 a−c≤r≤a+c ）；求线段或面积最值，常借助数形结合，转化为求圆心到直线距离或切线问题。 第二类是代数函数法。这是最通用的方法。通过联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理，将目标最值或范围转化为关于某一变量（如斜率 k 、横坐标 x ）的函数，再利用导数、基本不等式或二次函数性质求极值与值域。 第三类是参数方程法。对于椭圆或圆上的动点，引入三角参数（如 x=acosθ ），将几何问题转化为三角函数的最值问题，可有效简化运算。 最后，求解此类问题必须高度关注隐含条件，如直线与曲线相交时 Δ>0 的限制，以及变量本身的取值范围，防止出现增根或漏解。 难点精练 1．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 2．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026高二上·广东·专题练习）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 5．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 7．（25-26高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 难点四 定点定值与定直线问题 求解圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题，核心策略是“设而不求，整体代换”，将几何特征转化为代数恒等式。 第一类是直线过定点问题。通常先设出直线方程（注意讨论斜率是否存在），再与圆锥曲线联立。通过韦达定理得出两根之和与两根之积，将其代入目标直线的点斜式方程中。若能将含参变量的项合并并提取公因式，使方程呈现的形式，即可证明直线恒过定点 (x0,y0) 。 第二类是定值问题。关键在于选取合适的参数（如斜率 k或截距 m ），将目标代数式（如斜率之和、线段乘积等）用该参数表示。在化简过程中，巧妙利用韦达定理进行整体代换，最终消去参数，得出与参数无关的常数。 第三类是定直线问题。多出现于极点极线或对称结构中，可通过求出两个特殊位置下的交点，猜测定直线方程，再结合代数推导进行一般性证明。 此类问题计算量大，务必保持耐心，确保代数变形的准确性。 难点精练 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 2．（25-26高二下·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 4．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 5．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 基础达标 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知点，，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D．不存在 2．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（   ） A．1 B． C． D．3 8．（25-26高二下·上海·期中）已知点，，点在曲线上，则的面积（ ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 二、多选题 9．（25-26高二上·江西赣州·期末）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 10．（2026·山东威海·一模）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 11．（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 三、填空题 12．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 13．（25-26高二下·青海海东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 14．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 四、解答题 15．（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．已知． （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围． 16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 17．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 能力进阶 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知动圆方程（为参数），那么圆心的轨迹是（    ） A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分 2．（2026高三·全国·专题练习）设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 3．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 4．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 8．（25-26高二下·湖南·期末）设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． 9．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，其离心率为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则的最大值为9 C．若的重心为，内心为，其中，不重合，则 D．若的角平分线交于点，且，则 三、填空题 10．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线的左、右顶点分别为，点在上且在第一象限内，设直线与的斜率分别为，，则的最小值为______. 四、解答题 12．已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，最小值为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于，两点，求面积的最大值； (3)若是椭圆上不同于顶点的动点，且和的斜率都存在，椭圆的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．若直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 复习要点 1.熟练掌握直线与圆的方程，理解圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程及几何性质。 2.能够运用数形结合、分类讨论及函数与方程等数学思想，解决直线与圆锥曲线的位置关系、最值及轨迹等综合问题。 3.提升直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养。 复习重难点 重点：(1)直线方程的五种形式及其适用条件，两直线平行与垂直的判定。 (2)圆的标准方程与一般方程，以及利用几何法判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 (3)圆锥曲线的定义与标准方程的求解，以及利用几何性质解决焦点三角形等问题。 难点：(1)直线与圆锥曲线的综合应用，如定值、最值、参数范围及探索性问题。这类问题计算量大，对代数变形能力和图形直观认识能力要求极高。 (2)解题时的分类讨论与思维严密性。例如在设直线方程时，必须严谨讨论斜率是否存在；在分析曲线方程时，需考虑参数取值范围对曲线形状的影响，以防漏解。 知识点 直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角. 倾斜角,斜率不存在. （2）直线的斜率：．两点坐标为、. 要点速测 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 知识点 直线的五种形式 （1）点斜式： (直线过点，且斜率为)． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为． （2）斜截式： (b为直线在y轴上的截距). （3）两点式： (，). 注：① 不能表示与轴和轴垂直的直线； ② 方程形式为：时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： （分别为轴轴上的截距，且）． 注：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： (其中A、B不同时为0)． 一般式化为斜截式：，即，直线的斜率：． 注：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或． 已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或． 已知直线过点，常设其方程为或． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 要点速测 2．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，则，可得. 故选：A 知识点两条直线的位置关系 （1）两直线的相交、平行与重合 对于两条的直线，有①且； ②与相交；③与重合且； （2）对于两条直线，有 ①；②与相交 ③与重合 （2）两直线的垂直关系 ①对于两条的直线，有； ②对于两条直线，有. （3）点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. （4）两条平行直线间的距离 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 要点速测 3．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 知识点圆的方程 （1）圆的标准方程 ①圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． ②圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． （2）圆的一般方程 ①圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． ②对方程 的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 （3）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： ①点在圆外； ②点在圆上； ③点在圆内. （4）圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: ①若点在圆外,则; ②若点在圆上,则; ③若点在圆内,则. 综上, 要点速测 4．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 知识点直线与圆的位置关系 （1）位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程，判别式为 图形 （2） 圆的弦长问题 ①几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为， 则：“半弦长+弦心距=半径”——； ②代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则 （其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解） （3）直线与圆相切 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 要点速测 5．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 知识点圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法一般是几何法，如下表： 位置关系 几何法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 （2）圆与圆的公切线 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条 （3）公共弦所在直线方程 设圆，圆 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得 方程表示圆与的公共弦所在直线的方程． （1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程． （2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心． （4）过两圆交点的圆系方程 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆）， 特别地，当时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 要点速测 6．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 知识点椭圆 （1）椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. （2）椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. （3）椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴， 轴， 对称中心： 原点 ， 范围为： 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程 要点速测 7．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 知识点双曲线 （1）双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． （2）双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． （3）双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 ，范围： 要点速测 8．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 知识点抛物线线 （1）抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线． （2）抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为； （3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为； （4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为. （3）抛物线的几何性质 标准方程 图 形 几 何 性 质 范围 对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 焦点 准线方程 顶点 坐标原点 离心率 （4）抛物线的焦半径及焦点弦 抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 焦半径公式 抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则 抛物线方程 焦点弦公式 其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为 要点速测 9．（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 题型1 直线的倾斜角与斜率 ▌例1 （25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 解题技巧 解答直线的倾斜角与斜率问题，需掌握以下核心技巧： （1）明确概念与范围：牢记倾斜角 的取值范围是 。当 时，直线垂直于x轴，此时斜率 不存在。 （2）熟练运用公式：已知两点 、 时，若 ，斜率 ；若 ，则斜率不存在。 （3）把握对应关系：当 时，；当 时，。 （4）注意分类讨论：在求参数或判断位置关系时，务必考虑斜率是否存在，避免漏解。 ▌迁移练1-1（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. ▌迁移练1-2（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. ▌迁移练1-3（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. ▌迁移练1-4（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 题型2 两条直线的位置关系 ▌例2 （25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 解题技巧 判断两直线位置关系，核心看斜率。若两直线斜率均存在，平行需斜率相等且截距不等；垂直则斜率之积为-1。 解题时务必先检验斜率是否存在，若一条直线斜率不存在（垂直于x轴），另一条斜率为0时二者垂直，斜率均不存在时平行。 常见易错点：忽略斜率不存在的特殊情况；将平行条件误记为仅斜率相等，未排除重合情形；计算斜率时符号出错。建议先设一般式，再分类讨论，确保逻辑严密、结果准确。 ▌迁移练2-1（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． ▌迁移练2-2（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. ▌迁移练2-3（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【分析】根据两条斜率存在的直线垂直时，斜率乘积为，求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. ▌迁移练2-4（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 题型3 直线的方程 ▌例3 （25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 解题技巧 求直线方程的核心技巧是“看条件，选形式”。已知一点和倾斜程度用点斜式；已知倾斜程度和纵截距用斜截式；已知两点用两点式；已知横纵截距用截距式。若条件不直接，可先设出方程，再代入条件求解未知数。 ▌迁移练3-1（25-26高二下·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. ▌迁移练3-2（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． ▌迁移练3-3（25-26高三·全国·一轮复习）经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为_____；经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为___． 【答案】 y＝－1 x＝1 【详解】经过点C（－1,－1），与x轴平行的直线方程为y＝－1； 经过点D（1,1），与x轴垂直的直线方程为x＝1． ▌迁移练3-4 （25-26高二·全国·暑假作业）求下列直线的方程，并把它化为一般式． (1)过点，斜率为； (2)在轴、轴上的截距分别为和4． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据点斜式求得直线方程，并化为一般式. （2）根据截距式直线方程，并化为一般式. 【详解】（1）由点斜式可得直线方程为． 化为一般式为． （2）由截距式可得直线方程为． 化为一般式为． 题型4 点到直线的距离公式 ▌例4 （25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. ▌迁移练4-1（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. ▌迁移练4-2（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． ▌迁移练4-3（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． ▌迁移练4-4（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可. 【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为， 解得或6. 故选：A. ▌迁移练4-5（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 题型5 圆的方程 ▌例5 （25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 解题技巧 求圆的方程主要有两种思路。第一种是几何特征法，通过挖掘题目中的几何条件（如相切、对称、弦的垂直平分线等）直接找出圆心位置和半径长度，这种方法直观高效。第二种是待定系数法，先根据题意选择标准方程或一般方程，将已知条件代入，建立关于未知数的方程组，解出未知数后写出方程。解题时需灵活选择，若已知圆上三点，优先选用一般方程，避免繁琐的几何运算。 ▌迁移练5-1（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 ▌迁移练5-2（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 ▌迁移练5-3（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能. 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 题型6 直线与圆的位置关系 ▌例6 （多选）（25-26高二下·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 解题技巧 ▌迁移练6-1（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . ▌迁移练6-2（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. ▌迁移练6-3（多选）（25-26高二下·广西桂林·期末）已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【分析】配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D. 【详解】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. ▌迁移练6-4（多选）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件得，再求出的最小值，即可求解；对B，利用A中结果，即可求解；对C，根据条件，直接求出直线的方程，再利用的取值范围，即可求解；对D，根据C可得直线的方程为，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，又圆心到直线的距离， 则，所以的最小值为，故A正确， 对于B，因为四边形面积， 由选项A知，所以，故B正确， 对于C，设，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为，即①， 又在圆②上，由①②得到，即， 所以直线的方程为，又点在直线上运动， 当时，直线的斜率不存在，所以C错误， 对于D，由选项C知直线的方程为，且， 所以直线的方程为，即， 由，得到，所以直线恒过定点，故D正确. ▌迁移练6-5（多选）（25-26高二下·广西河池·期末）下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 题型7 圆与圆的位置关系 ▌例7 （多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 解题技巧 求解此类问题，首选几何法。先化简方程找出两圆的圆心坐标与半径，接着计算两圆心之间的距离。将该距离与两圆半径之和、半径之差进行比较，从而精准判断是外离、外切、相交、内切还是内含。此外，若两圆相交，将两圆方程相减，即可直接得到公共弦所在直线的方程，再结合弦长公式求解。代数法需联立方程组，运算繁琐，一般不作首选。 ▌迁移练7-1（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. ▌迁移练7-2（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. ▌迁移练7-3（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. ▌迁移练7-4（多选）（25-26高二下·山西·期末）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 【答案】BD 【分析】由方程可知各圆圆心和半径，对于A：求得，即可判断两圆位置关系；对于B：可得圆心到x轴的距离，可知圆与x轴相切；对于C：根据圆的性质分析判断；对于D：可得点到直线的距离最大值为，即可得面积最值． 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径， 则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； ▌迁移练7-5（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 题型8 椭圆的定义及应用 ▌例8 （25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 解题技巧 求解椭圆定义问题，需紧扣“到两定点距离之和为定值”这一核心特征。解题时首先要关注两个焦点，将复杂的几何问题转化为研究动点到两焦点距离之和的问题。同时，必须严格验证该常数是否大于两焦点间的距离，若等于则为线段，若小于则轨迹不存在。此外，定义具有双向作用，既可用来判断轨迹，也可在已知轨迹时，将动点到两焦点的距离之和作为整体条件，巧妙结合余弦定理等知识求解焦点三角形问题。 ▌迁移练8-1（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【详解】因为点是椭圆上的一点，所以，所以9. 当且仅当时等号成立，所以的最大值为9. ▌迁移练8-2（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B ▌迁移练8-3（26-27高三·全国·一轮复习）已知集合，其中为定点且＝8，若且到的距离为2，是的中点，则点到中点的距离是（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】由，知点M的轨迹为椭圆． 又，∴， 又为三角形的中位线，∴. ▌迁移练8-4（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 题型9 椭圆的方程与性质 ▌例9 （多选）（2026·四川广安·二模）椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 【答案】BC 【分析】由题意推得，结合椭圆方程求出，即可逐一判断各选项. 【详解】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. ▌迁移练9-1（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. ▌迁移练9-2（2026高二·全国·专题练习）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. ▌迁移练9-3（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. ▌迁移练9-4（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【详解】由题意知，椭圆的标准方程为，可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线方程可化为，且， 所以，解得. ▌迁移练9-5（25-26高二下·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标，得到直线的方程，利用与圆相切得到关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. 题型10 直线与椭圆的位置关系 ▌例10 （多选）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 解题技巧 处理此类问题，最核心的技巧是代数法。首先，将直线方程代入椭圆方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程。接着，通过计算判别式的大小来判断位置关系：大于零为相交，等于零为相切，小于零为相离。若题目涉及弦长或中点问题，还需熟练运用韦达定理，通过根与系数的关系进行整体代换，从而避免繁琐的求根运算，提高解题效率。 ▌迁移练10-1（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【详解】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. ▌迁移练10-2（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求出斜率，进而求出所求直线方程. 【详解】显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为， 由消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得，解得， 所以过A点且与直线l垂直的直线方程为，即． ▌迁移练10-3（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左顶点为，过点的直线交于另一点．若，则直线的斜率为__________________． 【答案】 【分析】根据题意，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的纵坐标，结合弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的斜率. 【详解】由题意可得，若直线与轴重合，则，不符合题意， 设直线的方程为，设点，其中， 联立可得，解得， 由弦长公式可得， 整理可得，即，解得， 故直线的斜率为. ▌迁移练10-4（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【答案】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为： 题型11 双曲线的定义 ▌例11 （25-26高三上·四川自贡·期末）设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义和三角形中位线定理进行求解即可. 【详解】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C    解题技巧 求解双曲线定义问题，需紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值”这一核心特征。解题时首先要明确动点到两焦点的距离差是一个常数。同时，必须严格验证该常数是否小于两焦点间的距离，若等于则轨迹为两条射线，若大于则轨迹不存在。此外，定义具有双向作用，既可用于判断轨迹，也可在已知轨迹时，将距离差的绝对值作为整体条件，结合余弦定理等知识求解焦点三角形问题。 ▌迁移练1-1（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. ▌迁移练1-2（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. ▌迁移练1-3（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． ▌迁移练1-4（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 题型12 双曲线的方程与性质 ▌例12 （多选）（25-26高二下·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BCD 【详解】由双曲线，即，则. 对于A，虚轴长为，故A错误； 对于B，焦距为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确； 对于D，渐近线方程为，即，故D正确. ▌迁移练12-1已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. ▌迁移练12-2（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. ▌迁移练12-3（2026·江苏南京·一模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由题意可知，得， 因双曲线的渐近线方程为， 即 ​，代入得， 所以（为半焦距），即， 故焦距为. ▌迁移练12-4（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 题型13 直线与双曲线的位置关系 ▌例13 （多选）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【答案】ABD 【分析】由题意得直线过双曲线左焦点，比较直线斜率和渐近线斜率即可得解. 【详解】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点. 当时，与的渐近线平行，与只有一个交点， 当时，与的左支和右支各有一个交点， 当时，与的左支有两个交点. 故选：ABD. 解题技巧 处理此类问题，核心仍是代数法，但需特别注意双曲线的渐近线。将直线方程代入双曲线方程消元后，首先要检验二次项系数是否为零。若为零，说明直线与渐近线平行，此时直线与双曲线仅有一个交点，但并非相切。若二次项系数不为零，再根据判别式的大小判断是相交、相切还是相离。涉及弦长或中点问题时，同样可借助韦达定理进行整体代换，以简化运算。 ▌迁移练13-1（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. ▌迁移练13-2（26-27高三·全国·一轮复习）过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，双曲线的通径长度为4，恰好符合，斜率存在时，因，由对称性知有2条符合，综合考虑即得. 【详解】由，可得1 当直线l的斜率不存在时，，此时有1条直线符合要求； 当直线l的斜率存在时，若两点都在右支上，因，不符合要求； 若在左、右两支上时，因，根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求. 故这样的直线共有3条． 故选：D. ▌迁移练13-3（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为______. 【答案】 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，再利用点斜式可得答案. 【详解】设 ， 在双曲线 上， 且 为 的中点, 则. 由， 两式相减并整理得 ， 代入 ，， 得： 化简得：， 即， 又因为直线过点， 故直线方程为 故答案为：. ▌迁移练13-4（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 题型14 抛物线的定义 ▌例14 （25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 解题技巧 求解抛物线定义问题，核心在于把握“到定点与定直线距离相等”这一特征。解题时，最关键的技巧是灵活转化：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，或者反之。这种转化能将复杂的折线段问题转化为简单的垂线段问题，巧妙利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等平面几何知识，轻松求解最值问题。此外，还需注意定义成立的前提，即定点不能在定直线上. ▌迁移练14-1（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. ▌迁移练14-2（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. ▌迁移练14-3（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. ▌迁移练14-4（2026高三·全国·专题练习）已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 题型15 抛物线的方程与性质 ▌例15 （25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知点P在抛物线上，过点P作圆的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．4 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】易知是抛物线的焦点，根据切线长求得 ，结合抛物线的定义可得点P到M的准线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，即为圆心. 设切点为Q，则， 则. 由抛物线的定义知，点P到M的准线的距离为4. ▌迁移练15-1抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的标准方程为，则其焦点在轴上，且，所以焦点坐标为. ▌迁移练15-2（25-26高二下·广东广州·期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】不妨设点为第一象限内一点，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，然后利用抛物线的定义可求得. 【详解】不妨设点为第一象限内一点，因为，所以直线的斜率为， 又抛物线的方程为，所以，所以直线的方程为， 联立，解得或（舍去），即点， 所以，. ▌迁移练15-3（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. ▌迁移练15-4（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    题型16 直线与抛物线的位置关系 ▌例16 （25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD. 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 解题技巧 处理此类问题，核心技巧是联立方程消元。将直线方程代入抛物线方程后，首要步骤是检验二次项系数是否为零。若为零，说明直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线仅有一个交点，但并非相切。若二次项系数不为零，则根据判别式的大小判断是相交、相切还是相离。在求解弦长或中点问题时，可结合韦达定理进行整体代换，从而有效简化运算过程。 ▌迁移练16-1（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． ▌迁移练16-2（25-26高三下·重庆·阶段检测）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，若中点的纵坐标为2，，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设过点的直线方程,并且联立抛物线，利用韦达定理和中点坐标公式可得的关系式，再结合弦长即可求出的值. 【详解】设过焦点 的直线为 ，联立抛物线 得 ， 设，由韦达定理得： ， 所以中点纵坐标为 ，即 ； 、两点代入直线可得，， 则两式相加可得， 所以弦长， 所以； 又因为，即，代入可得， 化简为 ，解得 . ▌迁移练16-3（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为．若，则直线的斜率为（   ） A． B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】易知，设，根据中点坐标公式，表示出三点的坐标，由结合图象知，，根据向量的坐标运算，可得.设直线的方程为，联立抛物线的方程，解得，将直线的方程转化为斜截式方程，可得斜率. 【详解】由题可知，. 设直线的方程为，， 则. 若，则，即， 所以，所以，即. 由，得. 所以，所以，解得. 所以直线的方程为，即，所以其斜率为. 故选：D. ▌迁移练16-4（2026高二上·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于两点，点在第一象限，点在轴上的射影为. 若的面积为8，则（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【详解】设点，则，解得，所以， 因此，所以直线， 与抛物线方程联立可得，即， 所以，， 所以， 因此，， 所以. 难点一 直线与圆中的最值问题 在直线与圆的最值问题中，核心策略是“数形结合”，即将代数问题转化为直观的几何特征来求解。 第一类是距离最值问题。当求圆上动点到直线的距离极值时，应先利用圆心到直线的距离，再结合半径进行加减运算得出最值；若涉及两动点间的距离（如圆上动点到直线上动点），通常转化为求圆心到直线的距离，再减去半径。 第二类是代数式最值问题。对于形如 y−x 或 的代数式，应赋予其几何意义，将其转化为直线截距或斜率问题，进而利用直线与圆相切时的几何条件求解。 第三类是线段长度最值问题。遇到求切线长或割线长极值时，常借助勾股定理构建直角三角形，将线段长度转化为圆心到定点距离的函数来求解。整体思路重在将代数运算与图形性质紧密结合。 难点精练 1．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 2．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得. 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 3．（多选）（25-26高二下·广西南宁·期末）已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 【答案】BC 【分析】先将圆方程化为标准式确定圆心和半径，再结合几何意义、直线与圆的位置关系、点到直线距离公式逐一分析选项． 【详解】由圆：，得圆心，半径， 对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为， 所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误； 对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， 由圆心到直线距离等于半径得，解得， 所以最大值为，B正确； 对于C，直线的方程为， 相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确； 对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在， 不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误． 4．（多选）（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知点P是圆O：（）上的动点，点，点，则（    ） A．当时，点P到直线的距离的最大值为 B．当时，直线被圆O截得的弦长为 C．当时，满足的点有2个 D．当时，的最大值为8 【答案】ABD 【分析】根据圆的几何性质可以判断A选项与B选项；根据向量的坐标运算结合三角换元，可以判断C选项与D选项. 【详解】A选项，由，点可得满足直线方程， 当时，为圆心为，半径为的圆. P到直线的距离的最大值，故A正确； B选项，当时，为圆心为，半径为的圆， 故直线被圆O截得的弦长，故B正确； C选项，当时，为圆心为，半径为的圆. 设,，则由，可知，化简得 ，其中，因为在只有一个解，故满足的点有1个，C错误； D选项，当时,为圆心为，半径为的圆，设,， ，，其中，D正确. 5．（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 6．（多选）（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 【答案】ABD 【详解】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 7．（2026高三下·广西·竞赛）已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】先求圆关于直线对称圆：，则对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得，进而只需求的最大值，结合图形判断可得. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心关于直线对称点为，半径， 故圆：与圆：关于直线的对称. 对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得. 因此只需求的最大值. 因为，则圆和圆外切， ， 当且仅当三点共线时等号成立. 因为当，，时等号成立， 所以所求最大值为.    8．（2026·陕西·一模）已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 难点二 轨迹方程问题 求解圆锥曲线中的轨迹问题，核心策略是“建系、设点、列式、化简、检验”。 第一类是定义法。若动点满足的几何条件恰好符合圆、椭圆、双曲线或抛物线的定义，可直接写出其轨迹方程，这是最快捷的方法。 第二类是直接法。当动点满足的条件易于用坐标表达时，直接设出动点坐标，根据题设条件列出等式，代入坐标化简整理即可。 第三类是相关点法（代入法）。当所求动点随另一已知轨迹的动点运动时，先设出两动点坐标，建立它们之间的坐标关系，再将已知轨迹方程代入化简。 第四类是参数法。若动点坐标受某一变量（如斜率、角度）控制，可引入参数表示动点坐标，最后消去参数得到普通方程。 无论采用何种方法，最后一步都必须“检验”，即结合题意剔除不满足条件的多余点或补上遗漏点，确保轨迹的纯粹性与完备性。 难点精练 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面内，两定点A，B之间的距离为4，动点M满足，则点M的轨迹是（   ） A．椭圆 B．圆 C．直线 D．三角形 【答案】B 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式将几何条件转化为代数方程，再配方得到圆的标准方程，从而确定点的轨迹. 【详解】以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设, 则由得， 整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 2．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 3．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用三角形面积公式得，设，根据条件，用表示出的坐标，进而可得与间的关系，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分    4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 5．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 6．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得 ，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 7．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 8．（25-26高二上·安徽合肥·期末）在平面内，，是两个定点，是动点，若（是常数且大于），则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【分析】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设，，，根据数量积的坐标表示求出轨迹方程，即可判断. 【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，则，， 由题意，得， 即，又是常数且大于，所以， 因此动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆. 故选：A． 难点三 圆锥曲线中的最值与范围问题 求解圆锥曲线中的最值与范围问题，核心策略是“几何直观”与“代数函数”的结合。 第一类是几何法。充分利用圆锥曲线的定义及平面几何性质。例如求焦半径的最值，可直接利用曲线上点到焦点距离的范围（如椭圆中 a−c≤r≤a+c ）；求线段或面积最值，常借助数形结合，转化为求圆心到直线距离或切线问题。 第二类是代数函数法。这是最通用的方法。通过联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理，将目标最值或范围转化为关于某一变量（如斜率 k 、横坐标 x ）的函数，再利用导数、基本不等式或二次函数性质求极值与值域。 第三类是参数方程法。对于椭圆或圆上的动点，引入三角参数（如 x=acosθ ），将几何问题转化为三角函数的最值问题，可有效简化运算。 最后，求解此类问题必须高度关注隐含条件，如直线与曲线相交时 Δ>0 的限制，以及变量本身的取值范围，防止出现增根或漏解。 难点精练 1．（25-26高二上·福建三明·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点P为上的动点，以下错误的是（   ） A． B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】C 【分析】对于A，由椭圆方程可判断选项正误；对于B，由椭圆的定义结合椭圆方程可判断选项正误；对于C，设，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】由题可得. 对于A，由椭圆方程可得：，则，故A正确； 对于B，的周长，由椭圆的定义可得， 则，故B正确； 对于C，设，因，则， 注意到， 则， 注意到，则，即最小值为1，故C错误； 对于D，的面积，注意到，则，故D正确. 故选：C 2．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】根据题意可求得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围. 【详解】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 4．（多选）（2026高二上·广东·专题练习）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 5．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据焦点、离心率求出椭圆参数值，进而写出椭圆方程； （2）由（1）知，结合椭圆的性质确定面积最大时对应的位置，即可得. 【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为； （2）    由（1）知，的坐标为，则， 由图知，当为的短轴的顶点时，的面积最大， 故面积的最大值为 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）双曲线的左焦点为． (1)过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若，求斜率k； (2)点P在双曲线上，，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出直线的方程，然后联立双曲线方程，利用韦达定理列出的表达式，使其等于3，化简即可求得斜率的值. （2）设，根据两点距离公式列出的表达式，然后根据的范围和二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）双曲线，，所以，所以左焦点为． 所以直线的方程为，联立直线与双曲线方程得： ，化简得. 设，根据韦达定理得. 所以. 因为，所以，化简得，解得. （2）设，因为点P在双曲线上，所以满足，得到. 所以. 因为或，根据二次函数的性质可知，当时，取最小值为. 7．（25-26高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，在中由勾股定理得到，即可求出； （2）设，用含、的式子表示、，从而表示出，再根据基本不等式计算可得. 【详解】（1）抛物线的焦点是，准线方程为，在抛物线上，故，解得， 如图，在中，， 则，即，解得（负值已舍去）， 所以抛物线的方程为．    （2）设，故， ， ， 所以， 当时，； 当时，，设， 当时，当且仅当，即时取等号； 当时，当且仅当，即时取等号； 所以，则或， 则或，即； 综上所述的取值范围为.    难点四 定点定值与定直线问题 求解圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题，核心策略是“设而不求，整体代换”，将几何特征转化为代数恒等式。 第一类是直线过定点问题。通常先设出直线方程（注意讨论斜率是否存在），再与圆锥曲线联立。通过韦达定理得出两根之和与两根之积，将其代入目标直线的点斜式方程中。若能将含参变量的项合并并提取公因式，使方程呈现的形式，即可证明直线恒过定点 (x0,y0) 。 第二类是定值问题。关键在于选取合适的参数（如斜率 k或截距 m ），将目标代数式（如斜率之和、线段乘积等）用该参数表示。在化简过程中，巧妙利用韦达定理进行整体代换，最终消去参数，得出与参数无关的常数。 第三类是定直线问题。多出现于极点极线或对称结构中，可通过求出两个特殊位置下的交点，猜测定直线方程，再结合代数推导进行一般性证明。 此类问题计算量大，务必保持耐心，确保代数变形的准确性。 难点精练 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 2．（25-26高二下·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由左顶点 得 ，离心率 得 ， 则 ， 故 的方程为 . （2）设 , ，联立直线与双曲线： 消去 得 ， 化简得 ， 由韦达定理 , ， 又 ， 所以 . 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程; （2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）略 4．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 5．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由离心率及过定点列方程组，解出与，得椭圆方程； （2）先讨论斜率不存在情形并排除，再设直线方程，联立椭圆由韦达定理及斜率条件化简，得直线过定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 基础达标 一、单选题 1．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知点，，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据倾斜角定义即可得到答案. 【详解】因为两点横坐标相同，所以直线AB的倾斜角为. 故选：A. 2．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 3．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 4．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 7．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角设出直线方程并与抛物线联立，由韦达定理以及中点横坐标可得. 【详解】由题意知直线的斜率， 设直线的方程为,， 联立直线和抛物线方程可得，整理得， 由韦达定理，又的中点横坐标为,即， 所以，解得. 故选：D. 8．（25-26高二下·上海·期中）已知点，，点在曲线上，则的面积（ ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】按x、y的正负符号分象限讨论，去掉绝对值后得到各象限内对应的标准圆锥曲线方程，确定曲线Γ的具体形状与范围，计算线段的长度，以及直线的方程：结合三角形面积，将问题转化为求点C到直线的距离d的最值情况，结合曲线的形状讨论d的最值情况，即可确定答案. 【详解】对于曲线， 当时，方程为，方程无实数解，曲线不存在； 当时，方程为，曲线为双曲线在第四象限内部分， 且当时，曲线无限靠近直线； 当时，方程为，曲线为双曲线在第二象限内部分， 且当时，曲线无限靠近直线； 当时，方程为，曲线为椭圆在第三象限内部分，    点，，则直线的方程为，， 设点C到直线的距离为d，则； 直线和直线平行，两直线间距离为， 而，当C点落在曲线位于第二或第四象限内的部分上时，恒有； 当C点落在曲线位于第三象限内的部分上时，设，, 则， 则，当且仅当时取等号， 此时的面积取到最大值， 综上可知的面积有最大值，但没有最小值. 2．（25-26高二下·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 3．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 4．（25-26高二下·湖北随州·期末）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 7．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角设出直线方程并与抛物线联立，由韦达定理以及中点横坐标可得. 【详解】由题意知直线的斜率， 设直线的方程为,， 联立直线和抛物线方程可得，整理得， 由韦达定理，又的中点横坐标为,即， 所以，解得. 故选：D. 8．（25-26高二下·上海·期中）已知点，，点在曲线上，则的面积（ ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】按x、y的正负符号分象限讨论，去掉绝对值后得到各象限内对应的标准圆锥曲线方程，确定曲线Γ的具体形状与范围，计算线段的长度，以及直线的方程：结合三角形面积，将问题转化为求点C到直线的距离d的最值情况，结合曲线的形状讨论d的最值情况，即可确定答案. 【详解】对于曲线， 当时，方程为，方程无实数解，曲线不存在； 当时，方程为，曲线为双曲线在第四象限内部分， 且当时，曲线无限靠近直线； 当时，方程为，曲线为双曲线在第二象限内部分， 且当时，曲线无限靠近直线； 当时，方程为，曲线为椭圆在第三象限内部分，    点，，则直线的方程为，， 设点C到直线的距离为d，则； 直线和直线平行，两直线间距离为， 而，当C点落在曲线位于第二或第四象限内的部分上时，恒有； 当C点落在曲线位于第三象限内的部分上时，设，, 则， 则，当且仅当时取等号， 此时的面积取到最大值， 综上可知的面积有最大值，但没有最小值. 二、多选题 9．（25-26高二上·江西赣州·期末）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【答案】ABC 【分析】对于A,举反例，定点在直线上判断即可；对于B，根据判断即可；对于C，根据双曲线的定义判断即可；对于D，设所求点为，再根据条件化简判断即可. 【详解】对于A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对于B，平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是线段，故B错误； 对于C，平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对于D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 10．（2026·山东威海·一模）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 【答案】ABD 【分析】先根据得到点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆方程为可验证A，，再利用圆上的点到定点、到定直线的距离的最值求法即可验证B、C，以得到点 P 满足圆方程，两圆方程联立即可验证D. 【详解】设 ，由，得到， 化简得到，因此，点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆， 所以点到点的距离为定值，选项A正确； 圆心到点的距离为 , 因为点B在圆内，所以|PB|的最小值为，选项B正确； 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为，选项C错误； ， 因为，所以，即； 化简得到， 联立方程，即， 代入，得到，解得， 得到两个解，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高二下·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 13．（25-26高二下·青海海东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】 4 【详解】由题可知，又， 所以. 14．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 【答案】 【分析】设出及直线l的倾斜角、方程，联立抛物线的方程，根据面积公式及抛物线的定义可得到的比例关系，进而根据韦达定理可求得斜率，最后可求得倾斜角. 【详解】因为抛物线，所以， 设，直线l的倾斜角为，方程为，则， 由消去得，所以. 因为A在第一象限，所以. 因为直线l的倾斜角为，，所以与互补， 所以. 由抛物线的定义得， 所以，所以，即， 所以，所以为锐角，所以，如图： 所以，所以， 所以， 又，所以，所以，所以， 又，所以. 四、解答题 15．（25-26高二下·四川广安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．已知． （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）依题意可设直线l的方程为，，，． 联立，消元得， 显然，则，， 于是直线PM的方程为， 即， 其中， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ii） 【分析】（1）先由抛物线的准线方程求出的值，再由椭圆的离心率求出的值，即得椭圆的方程； （2）（i）设直线l的方程为与椭圆方程联立，写出韦达定理，求得直线PM的方程为，利用韦达定理可化简证明，即可证明直线经过点，从而得证；（ii）利用向量数量积的坐标计算公式计算并化简，代入韦达定理，将其化成，再根据不等式的性质即可求得其范围. 【详解】（1）因抛物线的准线方程为，且，则，解得， 又因椭圆的离心率为，则，代入，解得， 故椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因， 则 ， 因为，所以，则， 所以的取值范围为．    16．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)如图，设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，消去可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）略. 17．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由右焦点得出，再根据离心率求出关系式得出，可得椭圆方程. （2）将角度相等转化为斜率之和为0，联立直线与椭圆方程，用韦达定理化简条件等式，求出关系，可得定点. 【详解】（1）由得，而， 则， 因此椭圆的方程为：. （2）设，，联立 ， 得， 则， 由韦达定理得， 由，得，即：， 代入，，整理得：， 即， 所以， 化简得：， 所以， 故直线恒过定点，且时满足，符合题意. 能力进阶 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知动圆方程（为参数），那么圆心的轨迹是（    ） A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】圆心轨迹的参数方程为，即， 消去参数得. 2．（2026高三·全国·专题练习）设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 【答案】C 【分析】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，据此可判断选项正误；对于BC，由题设可得直线系表示圆：的全体切线，据此可得答案；对于D，由BC分析结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，令，又令，故此时两直线的交点为，将其代入方程得：，而此式不是恒成立的，故所求的定点不存在，故A错误； 对于BC，注意到到直线：距离为，则该直线系表示圆的全体切线，则圆内部所有点均未在M中的任一条直线上，故B错误； 又对于任意整数，该圆存在外切正边形，满足其所有边均在M中的直线上，故C正确； 对于D，如下图，与均可构成正三角形，但显然正三角形面积不等，故D错误.    3．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出距离，再根据距离之积为，结合点在曲线上，化简求值即可. 【详解】由题可知：，渐近线方程为，即， 设在双曲线上，则，即， 根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，， 因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以， 又，所以，解得，又，所以. 4．（25-26高二下·广东·期末）已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】设直线方程联立得韦达关系式，用向量垂直列方程求参，再用抛物线焦半径性质得比值. 【详解】由题意知，设，，，其中． 由消去x，得，则，． 所以，． 因为，所以，因， 则得， 即， 将韦达定理代入，得， 整理得，即，解得， 所以，解得，，则．    6．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，明确、的关系，再结合的取值范围和“对勾函数”的单调性求的取值范围. 【详解】由题意，， 根据椭圆的定义，； 根据双曲线的定义，. 所以， 所以，且. 所以. 设，， 则. 因为函数在上单调递增，所以. 所以. 所以不可能等于. 二、多选题 7．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 8．（25-26高二下·湖南·期末）设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． 【答案】ABD 【分析】对A，由抛物线定义判断；对B，由抛物线焦点弦中通径最短可判断；对C，由判断；对D，设直线，先联立抛物线得到，求出点，再将距离平方配方因式分解，借助韦达定理整体代换化简乘积，最后由利用单调性得到最小值 . 【详解】对于A：由抛物线的定义可知，A正确； 对于B：抛物线过焦点的弦中通径最短，由抛物线方程可得焦点， 由得或，所以通径长为，所以，B正确； 对于C：当直线斜率不存在时，，由选项B分析可知，， 此时，即与垂直； 若直线斜率存在，设，则 由得， 设，则， 所以， 由，得，即， 所以 ，所以此时与垂直； 综上，C错误； 对于D：设过的直线 方程为 ，交抛物线于 ， 由 得：，由韦达定理得， 过 且垂直于 的直线斜率为 ，方程为 。 在准线 x上，代入得 ， 因此 ， 根据两点间距离公式： ， 因为 在 上，，因此 ， 所以， 同理可得：， 因此， 因为 所以 因为 ，所以 ，因此： ， 当且仅当 （即 垂直 轴）时，等号成立，故 成立，D正确.    9．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，其离心率为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则的最大值为9 C．若的重心为，内心为，其中，不重合，则 D．若的角平分线交于点，且，则 【答案】BCD 【分析】由离心率得到，，利用椭圆定义，结合三角不等式，可确定差的最大值，判断选项A；由焦点坐标确定椭圆方程，设坐标后计算，利用参数方程转化为三角函数求最值，判断选项B；重心坐标公式为，内心纵坐标等于内切圆半径，利用面积法和内切圆半径公式，证明与的纵坐标相同，判断选项C；设，，利用角平分线性质和得，再结合正弦定理及椭圆定义，转化为三角方程求解，判断选项D. 【详解】A项：由，得，. 若，则，，. 由椭圆定义，且， 故的最大值为，不是，A错误. B项：若，则，，，椭圆. 设，则.令，， 则， 当时取等，故最大值为9，B正确. C项：设，，，则重心. 设内心，内切圆半径，为的面积 由得，故内心的纵坐标满足关系， 又内心纵坐标与纵坐标同号，因此， 所以轴，即，C正确. D项：设，. 由角平分线平分，且在上， 则. 又因为，， 故，所以，即. 在中，. 由正弦定理，，， 且，得. 化简得， 解得或. 因，故，D正确. 三、填空题 10．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则坐标原点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意，圆的圆心为， 故抛物线的焦点，所以抛物线方程为， 由可得， 解得或， 因为在第一象限，所以， 所以， 所以直线的方程为：，即， 所以原点到直线的距离为：. 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线的左、右顶点分别为，点在上且在第一象限内，设直线与的斜率分别为，，则的最小值为______. 【答案】2 【详解】∵双曲线的左、右顶点分别为， ∴， 设， 则直线的斜率， 直线的斜率，∴， 又点在上，∴，即， ∴， 又，∴， ∴，当且仅当， 即时，等号成立， ∴的最小值为2. 四、解答题 12．已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，最小值为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于，两点，求面积的最大值； (3)若是椭圆上不同于顶点的动点，且和的斜率都存在，椭圆的左、右顶点分别为，，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．若直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)是，定值为， 设，满足， 已知直线的方程为，直线的方程为， 其中，， 由椭圆的标准方程为，且椭圆的左、右顶点分别为，， 则，，可得，，则， 设，， 联立，得， 由韦达定理，得，， 所以 ， 则， 同理，联立，得， ，， 所以 ， 则； 则 ， 故， 故为定值. 【分析】（1）根据椭圆上任意一点到焦点的距离范围求出、，再由求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）设出直线的方程，与椭圆方程进行联立，利用韦达定理表示弦长，再利用三角形面积公式表示面积，最后借助函数的单调性即可求得面积最大值； （3）先利用斜率公式表示出直线和直线的斜率，再联立椭圆方程，表示出直线的斜率，即可判断是否为定值. 【详解】（1）由题意可知，的最大值为，最小值为， 即，，得，， 由，可得，因为，所以， 则椭圆的标准方程为. （2） 易知直线与轴不重合，设直线的方程为，， 联立，得， 则， 由韦达定理可得，， 所以， 所以三角形的面积为， 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. （3）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $