8.1.1 向量数量积的概念-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 N第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 :b的夹角为( 效果评价 A.30° B.45° 1.已知al=3,bl=4,且a与b的夹角为 C.60° D.1209 150°，则ab等于() 6.在四边形ABCD中，AB·BC=0,BC A.-6 B.6 =AD,则四边形ABCD是() C.-6V3 D.6V3 A.直角梯形 B.菱形 2.已知lal=4,，bl=3,a与b的夹角为 C.矩形 D.正方形 30°，则a在b上的投影的数量为() 7.已知ab=16,若a在b上的投影的 A.2 B.2V3 数量为4，则b1= D.4V3 8.在边长为3的等边三角形ABC中， C.3 3.下列说法不正确的是() 点D在BC上，且CD=2DB,则AB.CD= A.lal=Va AB·BD= B.向量b在向量a上的投影的数量为 9.在△ABC中，已知IABI=5,1BC=4, blcos(a,b) 4C=3,求： C.数量积ab的几何意义为向量a在向 (1)AB·BC; 量b上的投影的数量与b的模的乘积 (2)AC在AB上的投影的数量： D.在△ABC中，AB·BC<0,则△ABC (3)AB在BC上的投影的数量. 的形状是钝角三角形 4.(多选题)已知向量a,b和实数入， 则下列选项中正确的有() A.若a与b是两个单位向量，则a2=b B.la·b=lallbl C.入(a+b)=入a+入b D.labl≤lallbl 5.已知lal=2,b1=V3,ab=3,则a与 44)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换 10.已知lal=2. D.(e+e2)⊥(e1-e2) (1)若b2=3,a∥b,求ab: 13.已知la=2,b1=12,ab=-12,则b (2)若ab=4,b1=2V2,求a与b的夹 在a上的投影为( 角0； A.-3 B.3 (3)若ab=-6,a与b的夹角为150°， C.-3a D.3a 求Ib1. 14.已知非零向量a,b,c满足a+b+c= 0,向量a,b的夹角为120°，且bl=2lal,则 向量a与c的夹角为 15.已知lal=2b1≠0，且关于x的方程 x2+lalx+ab=0有实根，则a与b的夹角的取 值范围为 16.如图，四边形ABCD为直角梯形， AB∥CD,AB⊥AD,且AB=2DC=4,E为腰 BC上的动点.求AE.AB的取值范围 第16题图 提升练习 11.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC= 60°，则BD.CD等于() A.- B.-3a 4 c. D. 12.(多选题)已知两个单位向量e1,e2 的夹角为0，则下列结论中正确的有（ A.e1在e2上的投影为cos0 B.e1e2=1 C.ei-e 练 45参考答案。 p)+9500,3=9000.故选C. 故第四次距离地面60.5m时，用时为12+8=20(min). 3.A【解析】方法一：由已知条件，用排除可知.令x= 7.解：()令10，得h=3sinT=3Y2,开始振 3可排除D,令=7可排除B,由A=95=2可排除C.故 4 2 选A. 动的位置为平衡位置上方距离平衡位置3Y2cm处 2 方法二：由题意，可得A=95=2,b=7.周期T=2m 2 (2)由题意知，当h=3时，：的最小值为贺，即小球 2x(7-3)=8,则a=4,x)=2sin开+p)+7.当=3时， 第一次上升到最高点的时间为g、 y=9,2sin平+9+7=9，即sn平e=1.plk号 当=3时，1的最小值为贺，即小球第一次下降到 p=-平，“fe)=2sin平-年)+7(1≤x≤12，x∈N,) 最低点的时间为5πs. 8 故选A (3)牙=m,即经过约πs小球往返振动一次。 4C【解析】由2km-受≤乞≤2km+受，keZ,知函 (4)户行行即每秒内小球往返最动号次 数F(t)的单调递增区间为[4hT-T,4kT+T],k∈Z.当k= 8.解：(1)由已知数据， ty/m 1时，te[3m,5π].[10,15]C[3m,5m],故选C. 13 描出曲线如图. 5石【解析】根据图象，知（石，0，出0）两点的 101 易知函数y=f()的周期T= 7 电离刚好是号个阿到。贵古子，则 12,振幅A=3,b=10. 则a=2开=及，)=3sin石+ T6 03 9 15 t/h 6 2牙-2m:~当6时，函数取得最大值，2m×石0受 :10(0≤t≤24)· 第8题答图 2m,keZ,又0<号9=看 (2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5= 11.5(m)· 提升练习 6.解：(1)由已知可设y=40.5-40 oswt(ω>0，t≥ 由y≥15，得3sn石+10≥1.5，即mg4≥分① 0,由已知周期为12mn,可知0=沿.即0 6， 0≤≤24,0≤π1≤4m.② 6 40.5-40c0s石4≥0) 由0②，得君≤君1≤g或≤石1≤名化简得 61 6 6 (2)令y=40.5-40c0sT1=60.5,得c0sπ仁 1≤1≤5或13≤≤17. 6 6 6 .该船最早能在凌晨1时进港5时出港，或在13时进 π，解得=4或t=8 港17时出港，故在港内最多可停留4h. 6 3 第八章向量的数量积与三角恒等变换 "8.1向量的数量积 AD且BC=AD,四边形ABCD为平行四边形.又AB, BC=O,AB⊥BC,四边形ABCD为矩形.故选C. 8.1.1向量数量积的概念 7.4【解析】.ab=16,.lallblcos(a,b)=16.又.a在b 效果评价 上的投影的数量为4，.lalcos(a,b)=4,.b=4. 1.C 2.B 3.D 4.ACD 83-弓【解析】CD-2D丽， 5.A【解析】al=2,b1=V3,ab=3,ab=lalb 点D为BC上靠近点B的三等分点， cos(a,b)=2xV3 xcos(a,b)=3..'cos(a,b)=V 2 如图所示，.1CD=2CB=2,BDE D ≤(a,b)≤180°，.(a,b)=30°.故选A. 号BCi-1.又：E,cD=E.c) 第8题答图 6.C【解析】：在四边形ABCD中，BC=AD,BC∥ 79 N 高中数学必修第三册人教B版 =60°，(AB,BD)=(AB,BC)=120°，.AB.CD=ABICD1 e=e=1,故C正确.如图所示，设AB-e1,AD=e2,作平行 cos60=3x2x分3,4-d-os120=3x1×- 四边形ABCD,则平行四边形ABCD为菱形，则AC-e1+e2, DBe-e.AC⊥DB,∴(e+e2)1(e-e2),故D正确.故选 CD. 9.解：MB1=5,BC1=4,AC=3,.△ABC为直角三 1BC【解】cosa,b)-8的 B 角形，且∠G-90,os1=治-号，co=%号 品=7，又a,e0,, b 2T 3 (1)AB.BC=IABI-IBC lcos(m-B)=5x4x(-cosB)=20x a,b=2红.如图，0i=a,0Bb,过B 0 a A （←号)=-16. 3 点B作BB⊥OA,垂足为B',则b在 第13题答图 (2)AC在AB上的投影的数量为AClos(AC,AB)=3x c0s1=3×3=9 a上的投影为0那.b=12,0那=l2xc0s牙-6.又a= 5-5 2,0B=-3a. (3)由向量数量积的几何意义及(1)知，AB在BC上 14.90°【解析】由题意可画出图形， 的投影的数量为4瓜BC=-6=-4 如图所示，在△OAB中，.·∠OAB=60° BC 4 b1=2lal,.∠AB0=30°，OA⊥OB,即向量 10.解：(1)b2=3,.b=V3.当ab时，有两种 a与c的夹角为90°. 情况： 15.[号，π【解析】4=aP-4a-b=ar O604 a ①当a与b的夹角为0°时，ab=lallblcos0°=2×V3×1= -4 allbcos6(6为向量a与b的夹角)，若 第14题答图 2V3: 方程有实根，则△≥0，即laP-4 allblcos0≥0.又.lal=2b1, ②当a与b的夹角为180°时，ab=alb1cos180°=2× 4=4bP-8bc0s0≥0，co0≤又0≤≤，≤ V3×(-1)=-2V3..ab=2V3或a·b=-2V3. 2 0≤ (2)ab=lallblcos0=2x2V2xcos0=4,..cos0=V2. 16.解：如图，过点E作EE⊥ 0e[0,m,买 AB,垂足为E',过点C作CC'⊥ AB,垂足为C',则AE在AB上的投 (3)当a与b的夹角为150°时，ab=lallblcos1.50°=2×bl× 影为AE,AE在AB上的投影的数 Y号}上6，b=2V3 量为4E1.由向量数量积的几何意义 C E 提升练习 知AE.AB=4E,MB1=4AE.:点E 第16题答图 1L.D【解析】如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 在腰BC上运动，点E在线段C'B上运动，.AC1 60°，∠BDC=30°，(BD,CD)=30°.又菱形的边长为a, ≤AE1≤AB1,即2≤1AE≤4，.8≤41AE1≤16，AE ..BD=V3 a...BD'.CD=IBD'IICD lcos(BD',CD)=V3 axax AB的取值范围是[8,16]· c0s30P=2.故选D. 81.2向量数量积的运算律 效果评价 1.B2.A3.B4.B 5.C【解析】由题意知(3a+5b)·(ma-b)-0,即3ma2+ (5m-3)a·b-5b2=0,3mx32+(5m-3)×3×2×cos60°-5×22-0，解 得m=29.故选C 42 0 6.D【解析】设AB=a,AC=b,则lal=b1=3,cosa,b)= 第11题答图 第12题答图 ab=3x3x}号b-a,m-+丽- 1 12.CD【解析】e1在e2上的投影是一个向量，故A不： 号BC=B+号dC-AE)=号a+b,A0-BC号a+}b 正确.e1·e2=e llelcos(e1,e2)=cos0,故B不正确.e=le,P-1, 80