8.1.1向量数量积的概念限时作业一-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦向量数量积核心概念，通过选择、填空、解答题递进训练投影向量与夹角计算，强化概念理解与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|6题|单选考查投影向量模与夹角关系，多选综合数量积性质|从投影向量定义到夹角公式推导，构建概念应用逻辑链| |填空|2题|直接求解投影向量表达式|强化数量积公式与单位向量结合的运算能力| |解答|2题|结合模长、夹角条件综合计算投影向量与夹角余弦值|实现从单一概念到综合应用的拓展，培养模型意识|

内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.1 向量数量积的概念限时作业一 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，向量在向量上投影向量的模为，则与的夹角为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 2.已知平面向量，，，设在上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A.                                     B.                             C.                               D.   3.已知，，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 4.已知正三角形的边长为，为的中点，记，是与同向的单位向量，则下列结论不正确的是(    ) A.  与的夹角为 B. C. 在上的投影向量为 D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是 6.若向量，满足，，则(    ) A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量是          ． 8.已知向量在方向上的投影向量是___________． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知向量与的夹角，且，． 求，，在上的投影向量； 求向量与夹角的余弦值． 10.本小题分 已知平面向量，，，且， 求在方向上的投影向量；  求与的夹角； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.1向量数量积的概念限时作业一 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知=2，向量a在向量6上投影向量的模为1，则a与b的夹角为() A或号 B. C D. 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了投影向量的概念，基础题， 利用投影向量的概念，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小. 【解答】 解：记向量与向量的夹角为0， :.a在b上的投影向量的模为cosd|=2cosL. :a在6上的投影向量的模为1， .lcose= 6E[0,π]， 0=或 故选A. 第1页，共8页 2.已知平面向量a,下，=√3币，设6-在上的投影向量为-a,则与的夹角为() A若 B. C. 【答案】A 【解析】解：设与b的夹角为θ(0∈[O,π)， 由题意知， 台=-五翔- 则有6-·a=6·京-2=6os0-2=-P, 结合条件=√，即可=月， 可得职cos0--部， 两边同时除以（间≠0）得赠-1=一 解方程得：赠-+1-一=0s0- 21 因为9e0,所以0-船 故选：A 3.已知=V2,b=2,是与向量b方向相同的单位向量，向量在向量6上的投影向量为 -è，则与6的夹角为() A.45° B.60° C.120° D.135° 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查向量夹角的计算，属于基础题. 先求出.下，进而可得cos0的值，结合θ的范围分析可得答案. 【解答】 解：根据题意，设a与的夹角为0， 若向量在向量6上的投影向量为-， 则.=-.6=2， 第2页，共8页 则有co$0=拓=巨， 而—2 又0°≤0≤180°，所以0=135° 4.己知正三角形ABC的边长为2，D为AC的中点，记AB=a,AD=是与同向的单 位向量)，则下列结论不正确的是() A.AB与BC的夹角为60° B.a-b=v3 C.在a上的投影向量为ē D.(a-b·(a+2b=3 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了向量的减法、数量积、投影及向量夹角，属于基础题. 根据向量的减法、数量积、投影及向量夹角的定义即可求出答案. 【解答】 解：因为BA与BC的夹角为60°，所以AB与BC的夹角为180°-60°=120°，故A错误： |a-b=AB-AD=DB=ABlsin60°=√3，故B正确： 由题得，在上的投影向量为看8平8义”8式放C正： ABI 2 a-D.+2D=+.下-26=4+1-2=3，故D正确. 故选A. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量=(1,3)，b=(2,一4)，则下列结论正确的是() A.(a+b)L B.2+6=V10 C.向量与向量的夹角为” D.b在的投影向量是(1,3) 【答案】AC 【解析】【分析】 本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模、夹角与投影向量，属于中 档题. 利用向量的坐标运算，可知+6=(3，-1)，再由向量的数量积，即可判断A:由向量的 第3页，共8页 坐标运算，可知2+=(4,2)，再由向量的模，即可判断B:由向量的夹角公式，即可判 断C:由平面向量的投影向量公式，知5方向上的投影向量是下c0s(,)膏 即可判断 D. 【解答】 解：a=(1,3),b=(2,-4), 对于A,a+b=(3,-1),(+b)=3-3=0,故A正确： 对于B,2+b=(4,2),2+=V16+4=2√5，故B错误； 对于C,=√10，b=2v5,a6=2-12=-10, 小w<ai,=品-号 2 又，(a,b)=,故C正确， 对于D,在方向上的投影向量是os<瓦>·司 59元故D错误： V1+9 故选：AC 6若向量冠，b满足==1，+=V3,则() A.a.6=1 B.与的夹角为 c.a1(a-26) D.a-b在上的投影向量为-6 【答案】BCD 【解析】【分析】 本题主要考查了向量的模、向量的夹角、向量的数量积、投影向量，属于基础题。 先由已知求得冠.币=}，再结合向量的模、向量的夹角、投影向量、向量的数量积定义逐 判断可得答案. 第4页，共8页 【解答】 解：A、因为==1，+=P+2.币+2=2+2.币=3，所以a.元=号故选 项A错误； B、由旋项A得，a6-日所以o<孟6-品-日又0≤低)≤，所以<6 子故选项B正确； C、由选项A得，.6=，所以(-2)=-26=0，所以a1信-26，故选项C 正确； D、因为-在上的投影为-正=6配 1 61 所以a-下在上的投影向量为-=一D,放选项D正确。 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量a,的夹角为120°，且=1，=2，则向量a+6在向量配上的投影向量 是、 【答案】 【解析】因为向量a,b的夹角为120°，且=1，=2，所以a.币=cos120°=1× 2×()=-1,则(+可)币=京.6+6.币=-1+2=3，所以向量+在向量6上的投影 向量是司一式 8.己知向量a=(1,2),6=(2,-2),在b方向上的投影向量是 【答案】() 【解析】【分析】 本题考查求投影向量（平面向量），属于基础题. 利用投影向量（平面向量）的公式即可求解， 【解答】 解：a=(1,2),b=(2,-2), 第5页，共8页 .a.b=1×2+2×(-2)=-2, :=√12+22=V5,6=√22+(-2列=2W2,设向量a,的夹角为0， 六c0s0=6 -2 √10 10 6 则在方向上的投影向量是cos0· -V5x(-)×2.-2)-(-》 故答案为：（) 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知向量与式的夹角0=：，且=3,6=2. (1)求a.b,+b,b在a上的投影向量； (2)求向量与+b夹角的余弦值. 【答案】解：（①）因为与式的夹角0=，且=3，=2， 所以a.币=·6cos=3×2×(-)=-3, 即a.b=-3. 因为+P=a2+6+2a.6=9+4-6=7, 所以a+=√7， 所以6在上的投影向量为：而：cos号·昌=2×(-×- (2)因为.(+b=+a.b=9-3=6, 设向量与+6夹角为a,则cosa=a+b=,6 =2w7 +可x万=7 【解析】本题主要考查向量的数量积运算、向量的模、投影向量、向量夹角，属于基础 试题. (①)由已知结合向量数量积的定义直接求解6，利用+=(+，可得+，利用 第6页，共8页 投影向量定义可得b在a上的投影向量： (2)结合向量夹角公式即可直接求解. 10.(本小题14分) 己知平面向量a=(3,4,=(9,x),=(4,y),且b,a1c (1)求在c方向上的投影向量： (2)求m=2-b与i=a+的夹角： 【答案】解：(I), 3x-36=0, X=12, .=(9,12), alc, .a.=12+4y=0, y=-3, 己=(4，-3)， .6=9×4+12×(-3)=0, …61c, 所以6在c方向上的投影向量为0. (2)m=2-6=(-3,-4),五=a+c=(7,1), m五=-25，m=5,=5√2， 设m,的夹角为0， 则：cos0=时=一V2 回 :0E[0,π]， 0-经 即向量而与向量的夹角为”， 第7页，共8页 【解析】本题考查平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，投影向量（平面向量）、向 量的夹角和数量积的运算，属于基础题 (1)分别根据/瓜和1c即可得出3x-36=0,12+4y=0,从而解出x=12,y=-3,从 而得出b,c,得出b=0,则61d,可得郭在C方向上的投影向量： ②)河求出面=(-3，-4)，"(O,),并设面，的夹角为0，从而可求出c0s0-气根据向 量夹角的范围即可求出夹角。 第8页，共8页 内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.1 向量数量积的概念限时作业一 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，向量在向量上投影向量的模为，则与的夹角为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了投影向量的概念，基础题． 利用投影向量的概念，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小． 【解答】 解：记向量与向量的夹角为， 在上的投影向量的模为． 在上的投影向量的模为， ， ， 或． 故选A． 2.已知平面向量，，，设在上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A.                                     B.                             C.                               D.   【答案】A  【解析】解：设与的夹角为， 由题意知， ，得， 则有， 结合条件，即， 可得， 两边同时除以得， 解方程得：， 因为，所以． 故选：． 3.已知，，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查向量夹角的计算，属于基础题． 先求出，进而可得的值，结合的范围分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，设与的夹角为， 若向量在向量上的投影向量为， 则， 则有， 又，所以 4.已知正三角形的边长为，为的中点，记，是与同向的单位向量，则下列结论不正确的是(    ) A.  与的夹角为 B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了向量的减法、数量积、投影及向量夹角，属于基础题． 根据向量的减法、数量积、投影及向量夹角的定义即可求出答案． 【解答】 解：因为与的夹角为，所以与的夹角为，故A错误； ，故B正确； 由题得，在上的投影向量为，故C正确； ，故D正确． 故选A． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 向量与向量的夹角为 D. 在的投影向量是 【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模、夹角与投影向量，属于中档题． 利用向量的坐标运算，可知，再由向量的数量积，即可判断；由向量的坐标运算，可知，再由向量的模，即可判断；由向量的夹角公式，即可判断；由平面向量的投影向量公式，知在方向上的投影向量是，即可判断． 【解答】 解：， 对于，，，故A正确； 对于，， ，故B错误； 对于，， ， 又，，故C正确 对于，在方向上的投影向量是 ，故D错误． 故选：． 6.若向量，满足，，则(    ) A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查了向量的模、向量的夹角  、向量的数量积、投影向量，属于基础题． 先由已知求得，再结合向量的模、向量的夹角、投影向量、向量的数量积定义逐一判断可得答案． 【解答】 解：、因为，，所以，故选项A错误； B、由选项A得，，所以，，又，所以，，故选项B正确； C、由选项A得，，所以，所以，故选项 C正确； D、因为在上的投影为， 所以在上的投影向量为，故选项D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量是          ． 【答案】  【解析】因为向量，的夹角为，且，，所以，则，所以向量在向量上的投影向量是． 8.已知向量在方向上的投影向量是___________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查求投影向量平面向量 ，属于基础题． 利用投影向量平面向量的公式即可求解． 【解答】 解：， ， ，，设向量，的夹角为， ， 则在方向上的投影向量是 ， 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知向量与的夹角，且，． 求，，在上的投影向量； 求向量与夹角的余弦值． 【答案】解：因为与的夹角，且，， 所以， 即． 因为， 所以， 所以在上的投影向量为：； 因为， 设向量与夹角为，则． 【解析】本题主要考查向量的数量积运算、向量的模、投影向量、向量夹角，属于基础试题． 由已知结合向量数量积的定义直接求解，利用，可得，利用投影向量定义可得在上的投影向量； 结合向量夹角公式即可直接求解． 10.本小题分 已知平面向量，，，且， 求在方向上的投影向量； 求与的夹角； 【答案】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以在方向上的投影向量为． ，， ，，， 设，的夹角为， 则：， ， 即向量与向量的夹角为．  【解析】本题考查平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，投影向量平面向量、向量的夹角和数量积的运算，属于基础题． 分别根据和即可得出，，从而解出，，从而得出，，得出，则，可得在方向上的投影向量； 可求出，，并设，的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.1向量数量积的概念限时作业一 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知=2，向量a在向量6上投影向量的模为1，则a与6的夹角为() A.或 B或号 C.3 D号 2.已知平面向量a,下，同=√3币，设6-在上的投影向量为-a,则与的夹角为() A若 B. C. D.8 3.己知=√2,6=2，ē是与向量方向相同的单位向量，向量ā在向量上的投影向量为 -,则与6的夹角为() A.45° B.60° C.120° D.135 4.己知正三角形ABC的边长为2，D为AC的中点，记AB=a,AD=b是与同向的单 位向量)，则下列结论不正确的是() A.AB与BC的夹角为60° B.a-B=v3 C.在a上的投影向量为e D.(-·(+2=3 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量a=(1,3),6=(2,一4)，则下列结论正确的是() A.(a+bLa B.12a+6=√10 C.向量与向量的夹角为” D.b在的投影向量是(1,3) 6若向量ā，满足==1，+=V3,则() A.a.6=1 B.与6的夹角为 C.a1(-26) D.a-在6上的投影向量为- 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量冠，币的夹角为120°，且=1，=2，则向量+6在向量6上的投影向量 是、 8.已知向量=(1,2)，6=(2，-2)，在6方向上的投影向量是 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 已知向量与的夹角0=，且同=3，=2. (1)求a.b,+b,b在a上的投影向量； (2)求向量a与+b夹角的余弦值. 第2页，共3页 10.(本小题14分) 已知平面向量ā=(3,4)，6=(9，x),飞=(4，y),且元，1元 (1)求6在C方向上的投影向量： (2)求m=2a-b与i=a+c的夹角： 第3页，共3页