8.1.1向量数量积的概念限时作业二-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦向量数量积核心概念，以投影向量与夹角计算为主线，构建从概念理解到几何应用的递进训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念理解|7题（单选1-4、多选5、填空7-8）|投影向量定义辨析、夹角公式直接应用|从投影向量概念生成到夹角公式推导，强化数量积几何意义| |综合应用|3题（多选6、解答9-10）|三角形背景下向量关系分析、参数范围求解|概念在几何情境中的应用拓展，提升数学语言表达能力|

内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.1向量数量积的概念限时作业一 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知平面向量，下，=√3，设6-在上的投影向量为-，则与式的夹角为() A号 B号 c D. 2.己知非零向量冠，满足=3，且向量6在向量上的投影向量为a,则与式的夹角为 () A.30° B.45° C.60° D.120° 3.已知向量冠与币的夹角为5若2殖-下在方向上的投影向量为则唱气) A.3 B c D 4.已知平面向量ā，6，同=√36，设6-在上的投影向量为-a,则与式的夹角为() A号 B. C.3 D.8 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量a=(2,1),6=（-3,1),则() A.(+b)//a B.向量在向量6上的投影向量为-B C.a与@-b的夹角余弦值为25 D若c=(5-,则1e 6.在△ABC中，下列说法正确的是() A.与AB共线的单位向量为+哥 B.若△ABC是等边三角形，则向量AB在向量AC上的投影向量为AC C.若AB·AC<0,则△ABC为钝角三角形 D.若△ABC是等边三角形，则AB,BC的夹角为60° 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知=2，l=3,与式夹角为135°，则在方向上的投影向量为 (用表示) 8.若向量冠，满足同=6，⑥=4，与6之间的夹角为60°，则.(a-= 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在ABC中，己知AB=5,BC=4,AC=3, (1)求AB.BC: (2)设与AB同方向的单位向量为，求AC在AB上的投影向量. 第2页，共3页 10.(本小题14分) 已知=√2,61=1，a与6的夹角为45°. (1)求在6方向上的投影向量： (2)若向量(2-)与(a-3b)的夹角为锐角，求实数入的取值范围. 第3页，共3页内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.1向量数量积的概念限时作业二 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知平面向量，下，=√3心，设6-在上的投影向量为-，则与式的夹角为() A B月 C.3 D.a 【答案】A 【解析】解：设a与b的夹角为(0∈[0，)， 由题意知， 则有而-)京=6a-2=6cos0-2=-, 结合条件=V6,即=月 可得cos日-日-， 两边同时除以（间+0）得罗-1=一昌 解方程得：增-+1-=c0s0一5， 因为9E[0,m,所以θ= 故选：A. 第1页，共7页 2.已知非零向量冠，满足=3，且向量在向量上的投影向量为，则与6的夹角为 () A.30° B.45° C.60° D.120° 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 由投影向量公式计算可得， 【解答】 解：由题可得6oa)青-点，且间=3l, 所以cosa,可= 又因为(a,b)E[0,, 即与b的夹角为60°， 故选：C. 3.已知向量与5的夹角为5若2殖-下在方向上的投影向星为号，侧吗气) A.3 B c D 【答案】A 【解析】设=m,⑥=，向量与式的夹角为0=。 由投影向量的定义，发-在方向上的投影向量为（②D习豆 已知该投影向量为，则系数满足： (2-6.a1 即 -2 展开分子的数量积： (2a-b·a=2a·a-b.a=22-b1cos0 代入0=cos0=,得： 11 2m2-mm·22m2 第2页，共7页 两边同除以mm≠0)： 2、01 2m2 解得： 13n =2-2 =3 2m 3. 故选A. 4.已知平面向量a,币，=√3，设6-a在上的投影向量为-a,则与6的夹角为() A君 B月 c. D. 【答案】A 【解析】解：设与b的夹角为0(0∈[O,π) 由题意知， 一d,司 则有而-动·a=元·-即=bcos0-2=-, 结合条件=√36，即而=丹 可得cos0-心-一部， 两边同时除以P(间≠0)得-1=一多 解方程得：增-+1一=0s0一号 因为9E[0,刑所以0-g 故选：A. 第3页，共7页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量a=(2,1),6=（-3,1),则() A.(+b)//a B.向量在向量6上的投影向量为- C.a与a-币的夹角余弦值为5 D=(5,-9,则i1d 【答案】BCD 【解析】【分析】 本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量数量积的坐标表示与向量的垂 直关系、向量平行关系的坐标表示、投影向量、向量线性运算的坐标表示、向量模的坐 标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题. 利用向量平行关系的坐标表示和向量线性运算的坐标表示，即可判断选项A的正误. 利用向量模的坐标表示和向量数量积的坐标运算，结合投影向量，即可判断选项B的正 误。 利用向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算，即可判断选项C的正误. 利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，即可判断选项D的正误. 【解答】 解：对于A,a=(2,1),b=(-3,1), 则+=(-1,2)，所以a+6≠（≠0），故A不正确. 对于B,=(2,1),币=(-3,1)， 则6=√(-3)2+12=V10,6=2×(-3)+1×1=-5, 所以同风在向5L上的投影向为号；后×品一玉放B止稍 对于C,a=(2,1),6=(-3,1),则a-=(5,0), 所以=√22+1卫=V5,a-0=5,a(a-=2×5+1×0=10, 似o运者-8E码启-当收e流 第4页，共7页 对于D,i=(2,1),=(5,-5),则a8=5-5=0, 所以a1c,故D正确. 故选：BCD 6.在△ABC中，下列说法正确的是() A与A正类线的单位向量为上需 B.若△ABC是等边三角形，则向量AB在向量AC上的投影向量为AC C.若AB·AC<0,则△ABC为钝角三角形 D.若△ABC是等边三角形，则AB,BC的夹角为609 【答案】AC 【解析】选AC对于A,与AE共线的单位向量为± ® 故A正确，对于B,因为△ABC 为等边三角形，所以AE在AC上的投影向量为AcosA需-AC,故B错误，对于C AB·AC=ABACIcosA<0,所以cosA<0,又0°<A<180°，所以A为钝角，则 △ABC为钝角三角形，故C正确；对于D,若△ABC是等边三角形，则AB,BC的夹角为 120°，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知=2,6=3，与6夹角为135°，则在6方向上的投影向量为一（用表示） 【答案】- 【解析】【分析】 解：co8<,6西=2xx(盟 3 -2, 方向上的投影向量为cos<豆5>高-V区写-导6，。 故答案为：-6 第5页，共7页 【解答】 本题考查投影向量，属于基础题， 利用投影的变形公式©08<豆石一计算出投影，再求得投影向量即可。 8.若向量，满足同=6,6=4，与式之间的夹角为60°，则.-币=一 【答案】24 【解析】a.-D=a.a-a.b=·-.dcos60°=6×6-6×4×2=24. 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在ABC中，己知AB|=5,BC=4,AC=3, (1)求AB.BC: (2)设与AB同方向的单位向量为，求AC在AB上的投影向量， 【答案】解：因为AB=5,BC=4,AC=3,所以△ABC为直角三角形，且 C=90°， 所以c0A=智-cosB=器- (1)AB.BC=-B.BC-5×4×16. (②)设AC与AE的夹角为0，则AC在AB上的投影向量为AC·cose=T仓=x5X空= 5 10.(本小题14分) 已知=V2,6=1,与6的夹角为45°. (1)求a在b方向上的投影向量： (2)若向量(2-6与(a-36的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】解：(1)=√2，b=1,与b的夹角为45°， 回1cs53=v2x9x石=-石， 21 .a在b方向上的投影向量为奶： 第6页，共7页 (2):(2-6与(a-3的夹角是锐角， (2-λb)·(Qa-3b>0,且(2-b)与(a-3)不能同向共线， .λ2-7入+6<0，且2a-λb≠k(0-3b),k>0, .1<λ<V6或v6<λ<6. 故实数入的取值范围是(1，V6)U(V6,6). 【解析】本题考查了向量的数量积，投影向量以及向量的夹角，属基础题。 (1)根据向量的投影向量的定义求解即可： (2)向量(2-)与(a-36的夹角是锐角，则(2-6·Oa-36>0且(2a-b)与Qa- 3b)不能同向共线，列出不等式组则答案可得. 第7页，共7页 内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.1 向量数量积的概念限时作业二 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知平面向量，，，设在上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设与的夹角为， 由题意知， ，得， 则有， 结合条件，即， 可得， 两边同时除以得， 解方程得：， 因为，所以． 故选：． 2.已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题． 由投影向量公式计算可得． 【解答】 解：由题可得，且， 所以， 又因为， 即与的夹角为， 故选：． 3.已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】设，，向量与的夹角为。 由投影向量的定义，在方向上的投影向量为。 已知该投影向量为，则系数满足： 展开分子的数量积： 代入，，得： 两边同除以： 解得： 即。 故选A． 4.已知平面向量，，，设在上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A.                                          B.                                 C.                                   D.   【答案】A  【解析】解：设与的夹角为， 由题意知， ，得， 则有， 结合条件，即， 可得， 两边同时除以得， 解方程得：， 因为，所以． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则(    ) A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量平行关系的坐标表示、投影向量、向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题． 利用向量平行关系的坐标表示和向量线性运算的坐标表示，即可判断选项A的正误． 利用向量模的坐标表示和向量数量积的坐标运算，结合投影向量，即可判断选项B的正误． 利用向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算，即可判断选项C的正误． 利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，即可判断选项D的正误． 【解答】 解：对于，，， 则，所以，故A不正确． 对于，，， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确． 对于，，，则， 所以，，， 所以，故C正确． 对于，，，则， 所以，故D正确． 故选：． 6.在中，下列说法正确的是(    ) A.  与共线的单位向量为 B.  若是等边三角形，则向量在向量上的投影向量为 C.  若，则为钝角三角形 D.  若是等边三角形，则，的夹角为 【答案】AC  【解析】选AC对于，与共线的单位向量为，故A正确对于，因为为等边三角形，所以在上的投影向量为，故B错误对于，，所以，又，所以为钝角，则为钝角三角形，故C正确对于，若是等边三角形，则，的夹角为，故D错误． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为          用表示 【答案】  【解析】【分析】 解：， 在方向上的投影向量为， 故答案为：． 【解答】 本题考查投影向量，属于基础题． 利用投影的变形公式计算出投影，再求得投影向量即可． 8.若向量，满足，，与之间的夹角为，则          ． 【答案】  【解析】． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，已知，，， 求； 设与同方向的单位向量为，求在上的投影向量． 【答案】解：因为，，，所以为直角三角形，且， 所以，． ． 设与的夹角为，则在上的投影向量为． 10.本小题4分 已知与的夹角为． 求在方向上的投影向量； 若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】解：，的夹角为， ， 在方向上的投影向量为； 与的夹角是锐角， ，且与不能同向共线， ，且，， 或． 故实数的取值范围是． 【解析】本题考查了向量的数量积，投影向量以及向量的夹角，属基础题． 根据向量的投影向量的定义求解即可； 向量与的夹角是锐角，则且与不能同向共线，列出不等式组则答案可得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修三第八章） 8.1.1 向量数量积的概念限时作业二 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知平面向量，，，设在上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 2.已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A. B. C. D. 3.已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 4.已知平面向量，，，设在上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A.                                          B.                                 C.                                   D.   二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知向量，，则(    ) A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 6.在中，下列说法正确的是(    ) A.  与共线的单位向量为 B.  若是等边三角形，则向量在向量上的投影向量为 C.  若，则为钝角三角形 D.  若是等边三角形，则，的夹角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为          用表示 8.若向量，满足，，与之间的夹角为，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，已知，，， 求； 设与同方向的单位向量为，求在上的投影向量． 10.本小题分 已知与的夹角为． 求在方向上的投影向量； 若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $