7.3.1 正弦函数的性质与图像-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 73三角函数的性质与图象 7.3.1正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 C.sinl1°<sinl68°<cosl0° 效果评价 D.sinl68°<cosl0°<sinl1° L.关于正弦函数y=sinx(x∈R),下列 6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数， 说法正确的是() 又是周期函数.若f(x)的最小正周期为π， A.值域为R 且当xe0,牙时，fx)=si,则fT等 B.最小正周期为2m 于() C.在(0，)上单调递减 D.在(T,2r)上单调递增 A方 B号 2.(多选题)下列函数是偶函数的有 C.-V3 D.V3 2 2 A.y=sinlxl B.y=xsinlxl 7.函数y=2sinx-V3的零点为 C.y=-sinlxl D.y=sin(-ll) 3.函数y=9-sinr的单调递增区间是 ( m的取值范围是 A-+2km,号+2mkeZ 9.比较下列各组值的大小： B受+2m,+2m Dsn牙和sn;(2)sm-活和 (k∈Z) C.[2kT,T+2kT](k∈Z) sin-恶；(3)sim2}和sin2 5 5 D.[-T+2km,2kπ](k∈Z) 4.y=2si的最小值是（) sinx+2 A.2 B.-2 C.1 D.-1 5.下列关系式中正确的是() A.sinl1°<cosl0°<sinl68° B.sinl68°<sin11<cos10° 22)练 第七章三角函数。 10.函数y=asinx+1的最大值为1-a,最 C.0 D.-V2 小值为-3. 2 (1)求实数a的值； 13.已知≤平， 则函数f(x)=cos2x+sinx (2)求该函数的单调递增区间； 的最小值为 (3)若x∈[-T,T],求该函数的单调 递增区间. l4.若fn)=sin 则f1)+f2)+f3)+ 4 +f(2025)= 15.已知函数fx)=x3+sinx,x∈(-1,1)， 则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的实数a的取值范 围为 16.已知函数f(x)对于任意实数x满足 条件*1)=石)≠0) (1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(x)满足在[-4，-3]上单调 递增，且α，B为锐角三角形的两个内角， 试判断f(sina)与f(cos3)的大小关系， 提升练习 1山.（多选题）已知函数x)=cos+罗 (x∈R),下面结论正确的有() A.函数fx)的最小正周期为2m B.函数x)在区间0，牙上单调递减 C.函数fx)的图象关于原点对称 D.函数f(x)是偶函数 12.设f(x)是定义域为R、最小正周期 为3的函数，若fx) cosx,-7≤x≤0， sinx,0kx≤T, 则f-15的值等于(） A.1 B.V2 2 练(23 N 高中数学必修第三册人教B版 第2课时 正弦函数的图象 效果评价 5.在[0,2m]内，不等式sinr<-V3 2 L.（多选题)对于正弦函数y=sinx的图 的解集是( ) 象，下列说法正确的有（) A.(0,T) A.是一条连续不断的曲线 B.图象最高点对应的纵坐标为1 c. D.,2m C.与x轴有无数个交点 6.y=sinr-1的对称轴为 D.有对称中心，没有对称轴 、 对称中心为 2.(多选题)下列各组函数中，图象相 7.方程sin=a在xe一受，T上有且仅 同的有() 有一个实数解，则实数a的取值范围是 A.y=lsinxl-与y=sinlx B.y=sin(x-T）与y=sin(x+T) C.y=sinx与y=sin(-x) 8.函数y=√og sinx的定义域是 D.y=sin(2m+x)y=sinx 3.函数=-si,xe受，变的简图 9.利用“五点法”画出函数y=2-sinx, x∈[0,2π]的简图. 是（) 10.求函数y=V-sinx+V25-x2的定 义域 4.函数y=1+sinx,x∈[0,2r]的图象 与直线y=2交点的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 （24)练 第七章三角函数。 提升练习 16.若方程2six+a-1=0在x∈牙，T 上有两个实数根，求a的取值范围. 1山.方程sim=六的根的个数是(） A.7 B.8 C.9 D.10 12.如图所示，函数y=cosxltanxl 0≤<钙且x≠7的图象是（） 3 D 13.已知函数y=sinx,x∈[m,n]的值 域是-子，1小，则n-m的最大值为 14.若函数=six受xe牙，有 两个零点，则实数m的取值范围为 两个零点之和为 15.已知函数fx)=sinxl,x∈[-2r,2r], 则方程x)=)的所有根的和等于( ) A.0 B.T C.-T D.-2m 练（254.D【解析】sin(-a)cos(m-a)=-sina:(-cosa)=sina= sin(a) cosa 子故选D 5.B【解析】2sin(m-6)-cos(π-0)=2sin0+cos0_2tanH1 sin(+0)-cos(0)-sing+cos0 -tan+1 =4+1=-5.故选B. -2+1 6.D【解析】sin牙-a=coa,cos号-a=sin[牙 (号-asim君是故选D 7.ACD【解析】-l00°角是第三象限角，.sin(-100) <0:320角是第四象限角，c0s3200:-10e(←2m, 7 -3π），.角-10是第二象限角，∴tan(-10)<0;cosπ=-1<0. 故选ACD &.BD【解折】n子a卢7，eos年e±Y sin平aj=sinm+平aj--sin(t）F-之，cos牙aj= co号年asim平u卢7，cos平os+ =-cos年aF-)故选BD. 9.专【解析】.sin()sin(g]如g 10.【解折】na+号=o+a cos号+号u）上-in(号a片号 1l.-3【解析】tan0+,1=sin0+cos0=sin0+cose tan cosa sina sindcos 1 sindcoso:,'sing+coso=33:.(sino+cos0)2=1+2singcoso= 号，解得sin-号.则no一-3，即a0+ an =-3. 2石号【解折】若四边形01MN的面积为子，则 子-5am+5an=号0-0N分0A3+分，解得)r 合由三角函数的定义可得sm∠A0W=yF分，M为第- 象限内的点，∴.∠AOM为锐角，因此∠AOM= 6 若△4N的面积为号，则号=5aun=S号aa一5am 参考答案⊙ Samt5 MS-之r之即rF5,由三角函数 1,11 的定义可得sin AOM=yM,sin∠AON=yw 又yw=-sinA0N=-sin(A0M+7=cos∠A0M, .cos∠AOM-sin∠AOM=L 5 由 cos∠A0M-sin∠AOM=L, 5, si∠AOM+cos2∠AOM=1, 解得sin∠AOM=子或sm∠A0M=-号.又：∠A0M为 锐角，.sin LAOM=3 13.解：.角a的终边经过点P(-2,2V3),sina= V,coa=分tma=-V万. (1)原式=sina-tana=V3+V3=3y3: 2 2 (2)原式=c0 sacosa=-1. cos'a 14.解：(1)由根与系数的关系知，singrcoseV了+1 2 ①sin0.cos0=m.②将①式平方得1+2sin0·cos0= 2+V3 2 ,n6rcoV,代入②得m=V 4 (2)sing cose sin'0 cos0 sin20-cos0 11 1-tansind cos0cos sin0sine cos tan =sin0+cos0=V3 +1 2 (3)已求得m至，原方程化为2-(V万+1x+ 3-0 2 sin=V3 sin= 1 解得=V3 1 2, 或 2 cos0 V3 2 又6∈(0，π)，.=T或0= 3 6 ●"7.3三角函数的性质与图象 7.3.1正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 效果评价 1.B 2.ACD 3.B 4.B 5.C【解析】.sinl68°=sin(180°-12°)=sinl2°，cos10°= sin(90°-10°)=sin80°..∴.由正弦函数的单调性，得sinl1°< sin12°<sin80°，即sinl1°<sin168°<cosl0°.故选C. 67 N 高中数学必修第三册人教B版 6.D【解桥1f川)=/-2m)=2牙-m-号) 得sm号=罗故选D 7.牙+2km或2受+2km,keZ【解析】令2sin-V3 0,得sn=V写=号+2k,kez或=罗+2，keZ 3 8.[3,2]【解析】当x=-石时，y=sinx取得最小值 分，当罗时，)sin取得最大值1，当xe石， 时，号≤in≤1，即-分≤30≤1，解得号≤m≤2， 2 即m的取值范围是分，2， 9解：(1)血=sin-号in号0<牙<号< 受，且sin在区间0，受]上单调递增，in牙<n牙。 即sin4<sin牙 2)号<06受，且)imr在区间受.受引 上单调递增，sim-石>sin-哥) (3)sin2sin4m+写)-sin号，sim42sin(8m+2牙 5 =n牙0c号<<受，且yin在区间0，罗]上单调 递增，sin写sin2牙，即sin2π<sn2产 5 5 10.解：(1)ym=l-a,∴.a<0,故y=l+e-3,∴e-4 (2)由()）得y=4sinx+1,当7+2km≤x≤3+2km, keZ时，函数y=4sinx+1单调递增，y=4sinx+l的单调 递增区间为[受+2km,37+2km](keZ) (3)[-]2k2 (h) [-m,m]=m,-受]U[受，m小，当xe[-m,m]时， -4ix+1的单调递增区间为[-m,-受]，[受，π小 提升练习 I山.ABC【解析】~fx)=cos+受=-sinr,结合函数 y=-sinx的性质知A,B,C正确. 12.B【解折117)受x(-3)+要]/要 血平-.故述B 68 13.L-y2【解析】y=x)=cosx+sinx=-sinx+simx+l. 令si,w≤牙，7≤x≤7，即Y2s 2 2 2 s竖，则1-3+引竖≤≤Y月 当=写，甲=牙时，)有最小值，且最小值为 1-V2 2 14.牙【解标】fsn牙=7.21,3) 2 =2,4=0.5)=-2,f6)=-1,7)=-2 2 2 2 8-0.9)=竖，…，m)的-个周期为8。且 +f2)+…+f8)=0..2025=253x8+1,故f1)+2)+f(3)+…+ f2025)=253x041)=1Y2 15.(1,V2)【解析】.函数f(x)=x2+sinx,x∈(-1， 1),f(-x)=-x2-sinx=f(x),y=f(x)是奇函数.又y=x2与 y=sinx在区间(-1,1)上单调递增，y=f(x)在(-1,1) 上单调递增.f(d2-1)+f(a-1)0,f(d2-1)>f(1-a), -1<a-1<1, -1<d-1<1,解得1<a<V2,即实数a的取值范围为(1， 1-a<2-1, V2). ,f6+2)=- 16.(1)证明：f(x+1)=-1 f代x+1) 三x).一)是周期函数，2就是它的一个周期 f(x) (2)解：2是fx)的一个周期，且f(x)在[4，-3] 上单调递增，f(x)在[0,1]上单调递增.又a,B为 锐角三角形的两个内角，且a6受，0<号B<a<受.y= sinr在0.号]上单调递增，su>in号p)=cosg又 .sina∈(0,1)，cos3e(0,1),.f(sina)>fcos9). 第2课时正弦函数的图象 效果评价 1.ABC 2.BD 3.D 4.B 5.C 6x=牙hm,keZ(km,-l),keZ【解析】y sinx的对称轴为x=受+m,k∈Z,对称中心为(km,0), keZ,=sin-1的对称轴为x=受6m,keZ,对称中心 为(km,-1),k∈Z. 7.[-1,0)U1【解析】作 出=sinr,xe受，π的图象， 如图所示.由图知，a的取值范围 是[-1,0)U. 8.xl2kT<<T+2kT,kEZ 第7题答图 logLsinx:≥0， 【解析】由题意得 解得0<sinx≤1，由正弦函 sinx>0, 数图象（图略）知2kT<x<π+2kT,k∈Z. 9.解：(1)取值，列表如下. 0 T T 3m 2 品 y=sina 0 1 0 -1 0 y=2-sinx 2 1 2 3 2 (2)描点作图，如图所示. y=2-sinx,x∈[0,2r] 3m2mx -2m-5 第9题答图 第10题答图 -sinx≥0， 10.解：由题意得x满足不等式组 即 25-x2≥0， Sinx≤0，作出y=si,xe[-2m,2m]的图象，如图所 -5≤x≤5. 示.结合图象可得x∈[-π，0]U[π，5] 提升练习 I1.A【解析】在同一坐标系内画出y=。和ysix的 图象如图所示，根据图象可知方程有7个根.故选A. Γ10 i10 3T y=sinx 第11题答图 12.C【解析】当0≤x<T时，y=cosltan=-sinx;当T <x≤T时，y=cosxltanx=-sinr;当T<x<3r时，y=cosx· Itan=sinx,故其图象为C. 13.暂【解析】作出正弦函数y=simv(xeR)的部分 参考答案。 图象，如图所示，：函数=sinx的定义域为[m,n],值域 为分小又n(石)m2石=分，结合正弦函数 =m的图象与性质可知n-m的最大值为石-君)卢智 第13题答图 第14题答图 14.[V了，2)T【解析】由sin-受-0得sx=罗 2 在同一平面直角坐标系中作出函数)=sxe[骨，智]】 的图象与直线y=?,如图所示。 2 由图知，当Y了≤<1，即V3≤m<2时，两图象 2 有两个交点，即原函数有两个零点，此时m∈[V3,2) 设两个零点分别为，，由于两交点关于直线x=T对称， =受 15.A【解析】方法一：若f)=分，即sim方，则 sn=分或s血=一分xe[-2,2],如图1，结合图象 2 可知，方程sin=号有4个根，且关于=受对称，对称的 2个根之和为-T,则4个根之和为-2π.由对称性可得 sinr=2的四个根之和为2m,综上所述，方程fx)=)的所 有根的和等于0.故选A. T. 2 图1 图2 第15题答图 方法二：作出函数f代x)的图象，如图2所示，易知函 数x)为偶函数，图象关于y轴对称，若x)=即n 子则函数x)与直线=号的图象共有8个交点，且两 69 N 高中数学必修第三册人教B版 两关于y轴对称，故所有根之和为0.故选A. 16.解：原方程可化为sinx= .在同一直角坐标系中作出 y=in,xe[号，可]与=2的 0π 3 图象，由图象可知，当V≤ 第16题答图 生2<1，即当-1a≤1-V3时，，e号，可的图 象与))巴的图象有两个交点，即方程2sixa-1=0在xe [号，π]上有两个实数根，a的取值范围为(L,1-V3]· 7.3.2正弦型函数的性质与图象 效果评价 1.C2.AC3.C4.D 5.ABD【解析】由题意得g(x)=sin[2x-受+于]= sm2x-牙)函数g)的最小正周期上2受=m,A正确： g受)）=sn2石-2牙)-sin受1，为函数gx)的最大 值，即)的图象关于直线=侣对称，B正确： 当xe石，哥]时，2罗e-m,01,则函数g) 在区间石，号]上不单调，C错误； g写0，即gx)的图象关于点（胥，0）对称，D正 确.故选ABD 6.D【解析】由题意得 厂石oe-km (keZ):且函数 m=2, 的最小正周期为T=4×T=2m,A错误； 0=票山，代人-看um(keZ得g=君如 eZ).又ok受，g=石，“)=sin+石+2，则函 数fx)的值域为[1,3]，B错误； 由x+石=受m,keZ得图象的对称轴为=写6m, keZ,故C错误； 由-受+2Mm≤x+石≤号+2km,keZ得-2罗+2km≤ x≤哥+2m,keZ,令k1得暂≤x≤石，故D正确，故 3 选D. 70 7.0-V7【解折】xe0,罗引，年≤2x-牙≤ 平，当2-子-子即0时，)s血2-)取得 最小值 82【解折】由题意可得号号元0>0,0 2m=2m=2. 9解：（)由图象可得42，子T:7g+号=受 7=2m0>0,o=2牙=l,fx)=2sin(x+p).又fe)的 图象过点(7石，-2列.可得2n7石o=-2.即sim2石p) =山.e要2km,keZ,解得=骨+2m,keZ又 0<4<受写，函数x)的解析式为x)=-2sin+号」 (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 分得到g2sn2+号由a)≥V3,可得n2x+号） ≥Y,六号+2k≤2+号≤+2km,keZ,解得m≤ 2 ≤石km,keZ,即不等式w)≥V3的解集为km,石hm], keZ. 10.解：()~一个最低点的坐标为-石，-2,4 2又沿君引牙鼓小正周期T,0罗 =2江-2，y=2sin(2x+p).点石，-2在该函数图象 上，2x石+e=受2km,长eZ,解得9=石+2km (keZ)又olK受，0=-石，函数的解析式为) 2sin() (2)将y=2sn2-石)的图象向左平移石个单位后得 到函数y=2in2x+石-石]=-2sin2x+石)的图象，再向上 平移2个单位得到g(x)=2sin2+石)+2的图象.x∈ [石，号]，2x+ge[石，]，sin2x+e 3,小g)e[1,41,故函数ge)在石号]上 的值域为[1,4].