7.3.1 第1课时 正弦函数的性质 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．函数f(x)＝sin (－x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数，又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A.由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 2．函数y＝sin (x2＋7)的最大值是(　　) A．0 B．1 C． D．7 解析：选B.易知sin (x2＋7)≤1，当且仅当x2＋7＝(2k＋)π(k∈Z)时取等号，所以最大值是1. 3．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) 解析：选D.易知A，B，C均为周期函数．对于D，当x∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． 4．(2025·抚顺月考)已知函数f(x)＝a sin x＋bx3－1，若f(1)＝2，则f(－1)＝(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 解析：选C.由函数解析式可知，f(x)＋f(－x)＝a sin x＋bx3－1＋a sin (－x)＋b(－x)3－1＝asin x＋bx3－1－a sin x－bx3－1＝－2，即f(x)＋f(－x)＝－2，可知f(1)＋f(－1)＝－2，则f(－1)＝－2－f(1)＝－4. 5．(多选)若函数f(x)＝1－sin2x＋2sinx在区间上的最大值为2，则θ的可能取值为(　　) A．0 B． C． D．π 解析：选CD.因为f(x)＝－sin2x＋2sinx＋1＝2－(sin x－1)2，所以当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝2，又因为x∈，所以∈，根据选项θ的可能取值为，π.故选CD. 6．(多选)已知函数f(x)＝2sin x，则(　　) A．f(x)是R上的奇函数 B．f(x)的最小正周期为2π C．f(x)有最大值1 D．f(x)在[0，π]上单调递增 解析：选AB.A中，函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝2sin (－x)＝－2sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故A正确；B中，易知函数f(x)的最小正周期为T＝2π，故B正确；C中，－1≤sin x≤1，得f(x)＝2sin x的最大值为2，故C错误；D中，函数f(x)＝2sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，当k＝0时，为，即函数f(x)在上单调递增，故D错误． 7．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的交点坐标是____________． 解析：令sin x＝， 则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z. 又因为x∈[0，2π]，故x＝或x＝. 答案：， 8．函数y＝sin2x＋sinx的值域为____________． 解析：令sin x＝t， 则－1≤t≤1， 则y＝t2＋t＝－. 由于－1≤t≤1，则－≤y≤2. 所以函数y＝sin2x＋sinx的值域为. 答案： 9．函数y＝的定义域是____________，单调递减区间是______________． 解析：由－2sin x≥0，得sin x≤0， 所以2kπ－π≤x≤2kπ(k∈Z)， 即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ](k∈Z). 因为y＝与y＝sin x的单调性相反， 所以函数y＝的单调递减区间为 (k∈Z). 答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　(k∈Z) 10．(13分)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值． (1)y＝2sin x－1；(6分) (2)y＝－sin2x＋sinx＋.(7分) 解：(1)由－1≤sin x≤1知，当x＝＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2sin x－1取得最大值，ymax＝1； 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2sin x－1取得最小值，ymin＝－3. (2)y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sin x－)2＋. 因为－1≤sin x≤1， 所以当sin x＝， 即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝； 当sin x＝－1， 即x＝＋2kπ(k∈Z)时， 函数取得最小值，ymin＝－－. 11．设函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，若f(x)＝则f＝(　　) A．1 B． C．0 D．－ 解析：选B.f＝f＝f＝sin ＝. 12．(多选)已知函数f(x)＝cos (x∈R)，下面结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上单调递减 C．函数f(x)的图象关于原点对称 D．函数f(x)是偶函数 解析：选ABC.因为f(x)＝cos ＝－sin x， 结合函数y＝－sin x的性质知A，B，C正确，D错误． 13．函数y＝3sin2x－4sinx＋1，x∈，当x＝____________时，y取最小值，最小值为____________． 解析：令t＝sin x，x∈，所以t∈， y＝3t2－4t＋1＝3－. 因为y＝3－在t∈上单调递减， 所以当t＝，即x＝时， ymin＝3×－4×＋1＝－. 答案：　－ 14．(13分)函数y＝a sin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值；(4分) (2)求该函数的单调递增区间；(4分) (3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间．(5分) 解：(1)因为ymax＝1－a，所以a<0， 故ymin＝1＋a＝－3，所以a＝－4. (2)由(1)得y＝－4sin x＋1. 当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时， 函数y＝－4sin x＋1单调递增， 所以y＝－4sin x＋1的单调递增区间为[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). (3)因为x∈[－π，π]，所以[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)∩[－π，π]＝[－π，－]∪[，π]. 所以当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为[－π，－]，[，π]. 15．(15分)已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋1)＝－(f(x)≠0). (1)求证：函数f(x)是周期函数；(6分) (2)若f(x)满足在[－4，－3]上单调递增，且α，β为锐角三角形的两个内角，试判断 f(sin α) 与f(cos β)的大小关系．(9分) 解：(1)证明：因为f(x＋1)＝－， 所以f(x＋2)＝－＝－＝f(x)， 所以f(x)是以2为周期的周期函数． (2)因为2是f(x)的一个周期， 且f(x)在[－4，－3]上单调递增， 所以f(x)在[0，1]上单调递增． 又α，β为锐角三角形的两个内角，且α＋β>， 所以0<－β<α<， 因为y＝sin x在上单调递增， 所以sin α>sin ＝cos β， 又因为sin α∈(0，1)，cos β∈(0，1)， 所以f(sin α)>f(cos β). 学科网（北京）股份有限公司 $