7.3.1 正弦函数的性质与图象-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N高中数学必修第三册人教B版 73三角函数的性质与图象 7.3.1正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 C.sinl1°<sinl68°<cosl0° 效果评价 D.sinl68°<cosl0°<sinl1° L.关于正弦函数y=sinx(x∈R),下列 6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数， 说法正确的是() 又是周期函数.若f(x)的最小正周期为T, A.值域为R 且当xe0,牙时，fx)=si,则fT等 B.最小正周期为2m 于() C.在(0，T)上单调递减 D.在(T,2π)上单调递增 A方 B号 2.(多选题)下列函数是偶函数的有 C.-V3 D.V3 ( 2 2 A.y=sinlxl B.y=xsinlxl 7.函数y=2sinr-V3的零点为 C.y=-sinlxl D.y=sin(-ll) 3.函数y=9-sinx的单调递增区间是 &若sm=30,xe[，，则 2 ( m的取值范围是 A号+2km,+2kmk∈Z 9.比较下列各组值的大小： B受+2m,+2km （)sin平和sn2；（(2)sin-6和 (kEZ) C.[2kT,T+2kT](k∈Z) sin-8;(3)sin21和sim2 5 5 D.[-T+2kT,2kT](k∈Z) 4.y2s的最小值是() sinx+2 A.2 B.-2 C.1 D.-1 5.下列关系式中正确的是() A.sinl1°<cosl0°<sinl68° B.sinl68°<sin11°<cos10° 22)练 第七章三角函数。 10.函数y=asinx+1的最大值为1-a,最 C.0 D.-V2 小值为-3. 2 (1)求实数a的值； 13.已知≤牙，则函数fx)=cosx+sinv (2)求该函数的单调递增区间； 的最小值为 (3)若x∈[-T,T],求该函数的单调 递增区间. 14.若fn)=sinr, 4 则f1)+f2)+f3)+ +f2025)= 15.已知函数fx)=x3+sinx,x∈(-1,1)， 则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的实数a的取值范 围为 16.已知函数f(x)对于任意实数x满足 条件+1=入)≠0). (1)求证：函数fx)是周期函数； (2)若f(x)满足在[-4，-3]上单调 递增，且α，B为锐角三角形的两个内角， 试判断f(sina)与f(cos3)的大小关系. 提升练习 I山.（多选题）已知函数fx)=cos+罗 (x∈R),下面结论正确的有() A.函数fx)的最小正周期为2m B.函数x)在区间0，牙上单调递减 C.函数f代x)的图象关于原点对称 D.函数f(x)是偶函数 12.设f(x)是定义域为R、最小正周期 为的函数，若x) cosx,-7≤x≤0， sinx,0kx≤T, 则f-15的值等于() A.1 B.V 2 练(23 N 高中数学必修第三册人教B版 第2课时 正弦函数的图象 效果评价 5.在[0,2m]内，不等式sinr<-V3 2 1.(多选题)对于正弦函数y=sinx的图 的解集是( 象，下列说法正确的有() A.(0,π) B A.是一条连续不断的曲线 B.图象最高点对应的纵坐标为1 c. D.,2m C.与x轴有无数个交点 6.y=sinx-1的对称轴为 D.有对称中心，没有对称轴 、 对称中心为 2.(多选题)下列各组函数中，图象相 7.方程sin=a在xe一受，尔上有且仅 同的有() A.y=lsinxl-与y=sinlxl 有一个实数解，则实数a的取值范围是 B.y=sin(x-T）与y=sin(x+T) C.y=sinx与y=sin(-x) 8.函数y=√og sinx的定义域是 D.y=sin(2m+x)y=sinx 的简图 9.利用“五点法”画出函数y=2-sinx, x∈[0,2π]的简图. 是() 10.求函数y=V-sinx+V25-x2的定 义域 4.函数y=1+sinx,x∈[0,2m]的图象 与直线y=2交点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 （24练 第七章三角函数。 提升练习 16.若方程2six+a-1=0在x∈牙，元 上有两个实数根，求a的取值范围. 川.方程sim=六的根的个数是() A.7 B.8 C.9 D.10 12.如图所示，函数y=cosxltanxl 0≤×罗且x≠受的图象是(） 3 13.已知函数y=sinx,x∈[m,n]的值 域是-子，1小，则m-m的最大值为 14.若函数)=simx受xe牙，智}有 两个零点，则实数m的取值范围为 ， 两个零点之和为 15.已知函数fx)=sinxl,x∈[-2m,2π]， 则方程fx)=)的所有根的和等于( A.0 B.T C.-T D.-2m 练（254.D【解析】sin(-a)cos(m-a)=-sina:(-cosa)=sina= sin(a) cosa 子故选D 5.B【解析】2sin(m-)-cos(m-9)=2sin04cos0_2tan041 sin(+0)-cos(+)-sin0+cos0 -tan0+1 =4+1=-5.故选B. -2+1 6.D【解析】sin受-acoa,∴cos号-a上sin[受 (号]=m吾a号故迹D. 7.ACD【解析】-l00°角是第三象限角，.sin(-100) <0:320角是第四象限角.c0s3200:-10e子 -3π，.角-10是第二象限角，∴tan(-10)<0;cosm=-1<0. 故选ACD 8.BD【解折】m年e卢片，eos年e±Y sin+a）=sin+平ta）=-sim年+a）=-3,cos牙a）月 co号-（年u小=sina7,cos)-cos+ =-cos牙aF-)故选BD. 9.专【解析1 sin()sin(g]儿如g】 10.5【解折】na+号=o+a cos受+号w卢-n(骨+aF-号 11.-3【解析】tan0+,1=sin0+cosf=sin20+cos29 tane cosa sin sincost 1 sindcoso..'sing+coso-33:(sino+cose)2=1+2singcos= 号，解得snko:号，则sno-3.即a0+ tan =-3. 2名号【解析】若四边形01N的面积为子，则 是-5m+5am=0M-0+号0Ayr号+，解得 分由三角函数的定义可得sm∠A0M=y分，M为第一 象限内的点，.∠AOM为锐角，因此∠AOM= 6 若△4Mv的面积为号，则号=5Aan=S号a5am 参考答案。 S5aa-5aw之+2r之，即ryr},由三角函数 1,11 的定义可得sin AOM=yM,sin ZAON=yx xsinLAON=sin(AOM+)=cosLAOM. 'cos∠A0M-sin/AOM=L 51 ,cos∠AOM-sin AOM=L, 由 5, sin∠AOM+cos2∠AOM=1, 解得sin∠AOM=号或sn∠A0M=-号.又：∠A0M为 锐角，sin∠AOM=3 13.解：.角a的终边经过点P(-2,2V3),.sina= V,oa=号，tama=-V. (1)）原式=siw-taa=V3+V3=3y3: 2 2 (2)原式=-cosqcosa=-1. cos'a 14.解：(1)由根与系数的关系知，sin4cosV了+1 2 ①sin0cos0=m.②将①式平方得1+2sin0·cos0= 2+V3sin0:cos=4，代人②得m=V3 2 4 (2)sing +cose sin20 cos sin20-cos0 11 1-tanosind cos0cos0 sin sind cos tan =sin@+cos0=V3+1 2 (3)已求得m厚，原方程化为2-(V万+1x+ V3=0 2 sind=V3 解得x=V3, 1 2, sin= 2, 或 2 cos0=V3 2 又0e0,m,写或= 6 >"7.3三角函数的性质与图象 7.3.1正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 效果评价 1.B 2.ACD 3.B 4.B 5.C【解析】.sin168°=sin(180°-12°)=sin12°，cos10°= sin(90°-10°)=sin80°.∴.由正弦函数的单调性，得sinl1°< sinl2°<sin80°，即sinl1<sinl68°<cosl0°.故选C. 67 N 高中数学必修第三册人教B版 6.D【解析1f西)=5-2m=-m-号) 号)n号=Y罗故选D, 7.牙+2km或2受+2k,keZ【解析】令2sin-V3: 0,得n=V写=号+2，kez或=受+2，keZ 3 8.[2,2]【解析】当x=-石时，y=six取得最小值 分，当受时，)sin取得最大值1，当xe石，石 时，号≤in≤1，即-乃≤30≤1，解得}≤m≤2， 2 即m的取值范围是7,2 9.解：(1)sin2=sinm-）=sin牙.0<年<牙< 受，且in在区间0，受]上单调递增，in牙<n号。 即sin牙<sin牙 2)”受<06受，且)simx在区间受，受] 上单调递增，sim-石>sim-0) (3)sin2sin4m+-sin号，sm42sin|8m+2牙) 5 5 =n牙0c写<<受，且yin在区间0，罗]上单调 递增，六sin霄<sin2牙，即sin2到<m42 5 10.解：(1)ym=l-a,∴a<0,故ym=l+e-3,∴e-4 (2)由()）得y=4sinx+1,当7+2km≤x≤3+2km, keZ时，函数y=4sinx+1单调递增，y=4sinx+1的单调 递增区间为[受+2km,3亚+2km](keZ) (3)e[-.2k2k(h [-m,m]=m,-受]U[受，，当xe[-m,m]时， =-4i+1的单调递增区间为[-m,-受]，[受，π小 提升练习 I山.ABC【解析】“fx)=cosx+受=-sinr,结合函数 y=-sinx的性质知A,B,C正确. 12.B【解折】f1严)f受×(-3)+]f要 sm平-.故选B 68 N 13.L-y2【解析】yx)=cosx+sinx=-sin+sinx+l. 令im,W≤好，竖≤nsy,用-Yy2s 2 2 s竖，则=1-3+引竖≤≤Y竖月 当=，甲=牙时，)有最小值，且最小值为 1-V2 2 4.Y【解析11)sm=Y竖，2)=1.3) 2 =Y2,f4)=0,f5)=-2,f6)=-1,f7)=-2 2 2 2 8)-0.9)=号，，a)的-个周期为8，且 +f2)+…+f8)=0..2025=253×8+1,故f1)+f2)+f(3)+…+ f2025)=253x04f1)=Y2 2■ 15.(1,V2)【解析】.函数f(x)=x+sinx,x∈(-1， 1),f(-x)=-x2-sinx=f(x),y=fx)是奇函数.又y=x2与 y=sinx在区间(-1,1)上单调递增，y=f(x)在(-1,1) 上单调递增.f(d2-1)+f(a-1)>0,f(a2-1)>f(1-a),. -1<a-1<1, -1<2-1<1,解得1<a<V2,即实数a的取值范围为(1， 1-a<2-1, V2). f),fx+2)=- 16.(1)证明：fx+1)=-1 fx+1) =x)、一九)是周期函数，2就是它的一个周期 f(x) (2)解：·2是fx)的一个周期，且f(x)在[4，-3] 上单调递增，∴f(x)在[0,1]上单调递增.又a,B为 锐角三角形的两个内角，且a6号，0<号B<a<受.y= sinr在0，受]上单调递增，sina>sin受)=cosg又 .sina E(0,1),cosB(0,1),..f(sina)>f(cosB). 第2课时正弦函数的图象 效果评价 1.ABC 2.BD 3.D 4.B 5.C 6.x=受hm,keZ(k,-l),keZ【解析】y sinx的对称轴为x=受+hm,居∈Z,对称中心为(m,0), keZ,=sinr-1的对称轴为x=7hπ，keZ,对称中心 为(km,-1),keZ. 7.[-1,0)U1【解析】作 出y=sir,xe号，的图象， 如图所示.由图知，a的取值范围 是[-1,0)U{. 8.(xl2kT<<+2kT,kEZ) 第7题答图 log1sinx≥0， 【解析】由题意得 解得0<sinx≤1，由正弦函 sinx>0, 数图象（图略）知2kT<x<T+2kπ，k∈Z. 9.解：(1)取值，列表如下. 0 2 T 3π 2 品 y=sinx 0 1 0 -1 0 y=2-sinx 2 1 2 3 2 (2)描点作图，如图所示. 1y=2-sinx,x∈[0,2m] 27* -2m-5 第9题答图 第10题答图 -sinx≥0， 10.解：由题意得x满足不等式组 即 25-x2≥0， sinr≤0，作出)=ins,xe[-2m,2m]的图象，如图所 -5≤x≤5. 示.结合图象可得x∈[-π，0]U[π，5] 提升练习 1.A【解析】在同一坐标系内画出y六和y=sir的 图象如图所示，根据图象可知方程有7个根.故选A. 10 10 3T y=sinx 第11题答图 12.C【解析】当0≤x<T时，y=cosItan=sinx;当 2 <x≤T时，y=cosxltanxl=--sinr;当T<x<3r时，y=cosr· Itanx=sinx,故其图象为C. 13.4【解析】作出正弦函数)sine(xeR)的部分 参考答案。 图象，如图所示，：函数=sinx的定义域为[m,n],值域 为7小，又sin(-石)in君=子，结合正弦函数 =snm的图象与性质可知n-m的最大值为石-君)=智 第13题答图 第14题答图 14.[V了，2)m【解析】由sin-受-0得snx=罗 2 在同一平面直角坐标系中作出函数y=sxce[号，智]》】 的图象与直线y=乃，如图所示. 2 由图知，当Y≤受<1，即V3≤m2时，两图象 2 有两个交点，即原函数有两个零点，此时m∈[V3,2) 设两个零点分别为，，由于两交点关于直线=T对称， 2 =受 15.A【解析】方法一：若f)=分，即sin=分，则 sn=号或n=分江e[-2,2,如图1，结合图象 2 可知，方程sn=有4个根，且关于x=受对称，对称的 2个根之和为-π，则4个根之和为-2π.由对称性可得 sinr=2的四个根之和为2m,综上所述，方程f代x)=的所 有根的和等于0.故选A. 图1 图2 第15题答图 方法二：作出函数f代x)的图象，如图2所示，易知函 数)为偶函数，图象关于y轴对称，若x)=,即n 子，则函数x)与直线=的图象共有8个交点，且两 69 N 高中数学必修第三册人教B版 两关于y轴对称，故所有根之和为0.故选A. 16.解：原方程可化为sinx= y .在同一直角坐标系中作出 ysim,xe停，]与)=1的 0 3 图象，由图象可知，当Y空≤ 第16题答图 <1,即当-1<a≤1-V3时，=sinx,xe[写，m]的图 2 象与y=1与巴的图象有两个交点，即方程2 sinw+a--1=0在xe [号，π]上有两个实数根，a的取值范围为(1,1-V3]. 7.3.2正弦型函数的性质与图象 效果评价 1.C2.AC3.C4.D 5.ABD【解析】由题意得g(x)=sin[2x-)+牙] sn2x-牙)函数g)的最小正周期上2受=m,A正确： g受)）=sn2石-2)-sin受1，为函数gx)的最大 值，即)的图象关于直线=侣对称，B正确： 当xe石，哥]时，2要e[-,01,则函数g) 在区间石，零]上不单调，C错误； g牙0，即g(x)的图象关于点（号，0）对称，D正 确.故选ABD 6.D【解析】由题意得 石otw=m(eZ),且函数 m=2, 的最小正周期为T=4×牙=2π，A错误； w=领l,代人-石0o=m(keZ)得p=君+hm eZ).又ok受，g=石，“f)sin+石2，则函 数fx)的值域为[1,3]，B错误； 由x+石=受忧π，keZ得图象的对称轴为=写6m, keZ,故C错误； 由-受+2km≤x+石≤号+2km,keZ得-2罗+2km≤ ≤写+2m,keZ,令1得暂≤x≤石，故D正确，故 3 选D. 70 7.0-2【解析】xe0,罗引，牙≤2x-牙≤ 平当2x-晋-子，即-0时，)-s如2x-景)取得 最小值-V② 2 8.2【解析】由题意可得号=受1=元w0,0 2π=2π=2. Tπ 9解：（)由图象可得42，子1：7g+号-受 7=2m.0>0,0=2严=l,fx)=2sin(xtp).又fx)的 图象过点7石，-2列.可得2sn7石e=-2.即sin2石p) =山.7召e贺2km,keZ.解得=骨+2m,keZ又 0<4<受写，函数f代x)的解析式为代x)-2sinx+号》 (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 7,得到gc)-2sn2+号由)≥V3,可得sm2+号） ≥，号+2k≤2+胃≤+2m,keZ,解得m≤ 2 ≤石6m,keZ,即不等式)≥V3的解集为km,石m], kEZ. 10.解：()一个最低点的坐标为-石，-2,4 2又资君引景最小正调期，号 =2江-2，y=2sin(2x+p).点石，-2在该函数图象 上，2×君)+9=-受+2m,keZ,解得p=石+2km (keZ).又olk受，0=-石，函数的解析式为)= 2sin2x-石} (2)将y=2sn2-石)的图象向左平移石个单位后得 到函数y=2sin[2+石-石]=-2sin2x+石)的图象，再向上 平移2个单位得到g(x)=2sin2x+石)+2的图象.x∈ [,号]，2x+ge[-石，]，sm2+君)e [7,1,g)e[1,4小，故函数g)在石，号]上 的值域为[1,4].