3.2.1 双曲线及其标准方程教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦双曲线的定义及标准方程，通过回顾椭圆“距离之和”的定义，引导学生将“和”改为“差的绝对值”，构建从椭圆到双曲线的知识迁移支架，梳理圆锥曲线的研究脉络。 本资料以类比与探究为核心，通过定义中“差的绝对值”及常数范围的辨析、坐标法推导方程等环节，培养学生数学抽象与直观想象素养。典型例题与分层练习结合，助力教师突破难点，帮助学生掌握双曲线知识，提升逻辑推理能力。

高二 选择性必修第一册 教学设计-2026-2027学年 数学 3.2.1 双曲线及其标准方程 人教A版 一、章节名称 章节名称 3.2.1 双曲线及其标准方程 课型 新授课 教材版本 人教A版（选择性必修第一册） 学科 数学 学段 高中 年级 高二 课标要求 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程；掌握双曲线的几何定义及其标准方程的推导方法，能根据已知条件求出双曲线的标准方程。 课时 1课时 重点 双曲线的定义与标准方程的推导及应用。 难点 定义中“差的绝对值”与常数小于 的条件理解；双曲线中 ，， 的关系与椭圆中相应关系的区别。 学习目标 理解双曲线的定义及焦点、焦距等概念；掌握双曲线标准方程的两种形式并能根据条件求解；体会类比与坐标法在圆锥曲线研究中的核心作用，提升直观想象与数学抽象素养。 评价方式 课堂提问、练习反馈 教学方法 启发式引导与探究式学习相结合，辅以坐标法推演。 教学手段 多媒体课件、黑板板书 作业布置 课本练习题及配套补充习题。 教学反思 课后撰写 备注 无 设计者 数学组 二、课标要求 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程；掌握双曲线的几何定义及其标准方程的推导方法，能根据已知条件求出双曲线的标准方程。 三、重点 双曲线的定义与标准方程的推导及应用。 四、难点 定义中“差的绝对值”与常数小于 的条件理解；双曲线中 ，， 的关系与椭圆中相应关系的区别。 五、学习目标 理解双曲线的定义及焦点、焦距等概念；掌握双曲线标准方程的两种形式并能根据条件求解；体会类比与坐标法在圆锥曲线研究中的核心作用，提升直观想象与数学抽象素养。 六、评价设计 评价方式：课堂提问、练习反馈。 七、教学过程 1. 新课导入 回顾椭圆的定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹。教师提出问题：如果把“距离的和”改为“距离的差的绝对值”，且满足一定条件，点的轨迹会是什么图形？设计意图：通过类比椭圆定义，引发认知冲突，激发探究双曲线的欲望。预设回答：轨迹可能分成两支，不再是封闭曲线。 2. 新知探究 2.1 双曲线的定义。我们把平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。教师追问：定义中为什么要限制常数小于 且非零？预设回答：若常数等于 ，轨迹是两条射线；若大于 ，轨迹不存在；若等于零，轨迹是线段 的垂直平分线。设计意图：辨析定义关键条件，深化对双曲线几何特征的理解。双曲线的集合表示为 。 2.2 双曲线标准方程的推导。取经过两焦点 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系 。设焦距为 （），则焦点坐标为 ，。设 为双曲线上任意一点，由定义有 （ 为大于 的常数，）。类比椭圆标准方程的化简过程，整理得 。两边同除以 ，由定义知 即 ，所以 。令 （），得 （，）。设计意图：引导学生经历坐标法推导全过程，体会代数化简的严谨性。 2.3 焦点位置与方程形式。上述标准方程表示焦点在 轴上、焦点分别是 ， 的双曲线，这里 。若焦点在 轴上，焦点为 ，，则标准方程为 （，）。教师强调：与椭圆中 不同，双曲线中 最大，满足 。设计意图：通过对比辨析，防止将椭圆与双曲线的参数关系混淆。 3. 典型例题 例1. 已知双曲线的两个焦点分别为 ，，双曲线上一点 到两焦点距离的差的绝对值等于 ，求此双曲线的标准方程。 解析：由焦点坐标 ， 可知，双曲线的焦点在 轴上，且 。由双曲线定义，，得 。根据双曲线中 ，， 的关系 ，得 。因为 ，所以 。因此，所求双曲线的标准方程为 。答案：。 例2. 求经过点 ，且焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 解析：因为焦点在 轴上，设双曲线的标准方程为 （，）。将点 的坐标代入方程，得 。由于仅有一个点条件，无法直接确定 与 的具体值，但题目要求求出标准方程，故此处需利用待定系数法的整体代换思想。将方程变形为 ，即 （其中 ，）。代入 得 ，即 。整理得 。取 ，则 。此时方程为 。验证：点 满足 ，符合题意。答案：。 4. 巩固练习 练习1. 判断下列命题的真假：“平面内到两定点 ， 的距离之差为常数 的点的轨迹是双曲线。”预设回答：假命题。因为定义要求距离的差的绝对值等于常数，且该常数必须满足 。若去掉绝对值，轨迹仅为双曲线的一支。答案：假命题。 练习2. 已知双曲线 的两个焦点为 ，，设点 在双曲线上，且 ，求 的值。解析：由方程得 ，，则 ，，，。根据双曲线定义，。由 ，得 。解得 或 。又点 可能在双曲线左支或右支，需验证：若 在左支，则 ，；若 在右支，则 ，。两者均符合 。答案： 或 。 5. 课堂小结 教师引导学生回顾本节课的核心内容：双曲线的定义中“差的绝对值”与常数范围 的限定意义；标准方程的两种形式与焦点位置的对应关系；参数关系 与椭圆 的本质区别。设计意图：梳理知识脉络，强化易错点，巩固坐标法研究圆锥曲线的基本思想。 6. 作业设计 教学过程 课堂小结 设计意图： 通过小结梳理本课知识脉络，强化双曲线定义中绝对值与常数范围的理解，辨析双曲线与椭圆中 ，， 关系的区别，巩固坐标法研究圆锥曲线的基本思想。 作业：课本习题3.2第1、2、3题。 补充题：已知双曲线焦点在 轴上，且经过点 与点 ，求其标准方程。 教学过程 作业布置 设计意图： 分层巩固双曲线定义及标准方程的求解方法，补充题侧重待定系数法在焦点位置不确定时的综合运用，提升运算求解能力。 补充题答案： 设 ，代入两点解得 ，，方程为 。 教学过程 总体评价 设计意图： 本课以类比导入，以定义建构与方程推导为核心，以例题与练习巩固应用，环节紧凑，逻辑严密，突出重点并有效突破难点。 评价方式： 课堂提问反馈与课后作业批改相结合。 八、板书设计 1. 双曲线的定义：（），焦点 ，，焦距 。 2. 双曲线的标准方程：焦点在 轴上为 （，）；焦点在 轴上为 （，）。 3. 核心关系与例题板演区：（其中 ，）；例1与例2的化简与求解过程演示。 学科网（北京）股份有限公司 $