3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆的定义及标准方程，通过细绳和图钉演示画椭圆，引导学生观察距离和的变化，衔接必修阶段曲线方程求法，搭建从直观到抽象的学习支架。 资料以直观演示生成定义，分步推导突破两次平方化简难点，例题练习覆盖定义法、待定系数法等题型。通过几何直观培养数学眼光，逻辑推理强化数学思维，模型应用提升数学语言表达，助力学生理解概念，为教师提供可操作的教学方案。

人教A版 3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计-2026-2027学年 数学 高二 选择性必修第一册 一、课型 课题 椭圆及其标准方程 课型 新授课 课时 1 二、学习目标 1. 理解椭圆的定义，能准确表述平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，掌握焦点、焦距及半焦距的概念。 2. 掌握椭圆标准方程的推导过程，理解两次平方化简的核心步骤与 ，， 的关系 ，能根据焦点位置正确写出 （）或 （）。 3. 能运用定义法或待定系数法求椭圆的标准方程，解决与椭圆有关的简单轨迹问题。 三、学情分析 学生在必修阶段已学习了直线与圆的方程，掌握了求曲线方程的一般步骤（建系设点、列等式、坐标化、化简），具备了一定的坐标法思想和代数运算能力。椭圆是学生接触的第一种圆锥曲线，对从何处入手建立椭圆的几何定义、为何要在推导中两次平方以及 ，， 三个量之间的内在联系缺乏认知经验。此外，学生在处理含两个根号的等式化简时容易产生畏难情绪，运算能力有待强化。教学中需借助直观画图与动画演示帮助学生建立几何直观，再以分步代数推导降低化简难度。 四、教学过程及教师活动设计 1. 创设情境，引入概念。 教师演示用一根细绳和两枚图钉在黑板上画出椭圆的过程：将细绳两端固定在两点 ，，用粉笔尖绷紧细绳移动一周，粉笔所画轨迹即为椭圆。引导学生观察并思考：在此过程中粉笔尖到两定点 ， 的距离之和是否改变？预设学生回答：距离之和始终等于绳长，为定值。教师追问：若将绳长缩短到恰好等于 ，轨迹是什么？若绳长小于 呢？预设回答：等于时轨迹为线段 ，小于时无法画出图形。由此引出椭圆定义中常数必须大于 的条件。 2. 归纳定义，明确要素。 教师板书椭圆定义：我们把平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。教师强调定义的三个要素：两个定点、距离和为常数、常数大于 ，并设焦距为 （），距离和为 ，则椭圆可看作点集 ，且 即 。 3. 推导方程，突破难点。 取经过椭圆两焦点 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系 。设 是椭圆上任意一点，焦距为 （），焦点坐标为 ，。由 ，得 。 教师引导学生化简：将一个根号移到等号右侧，得 ，两边平方并整理得 ，此为第一次平方。再对上式两边平方，整理得 ，此为第二次平方。两边同除以 ，由 得 ，令 （即 ），得 （），这就是椭圆的标准方程，它表示焦点在 轴上、焦点分别是 ， 的椭圆，这里 。 教师说明：如果焦点在 轴上，坐标分别为 ，，用同样的方法可得椭圆的标准方程是 （）。两种标准方程中， 始终表示距离和的一半， 由 确定，焦点位置由分母较大的变量所对应的轴决定。 4. 例题精讲，巩固应用。 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ，，并且经过点 ，求椭圆的标准方程。 解析：由焦点坐标知焦点在 轴上，设标准方程为 （）。因 ，故 。将点 代入方程得 ，即 。两边同乘 得 ，即 ，整理得 ，即 。解得 或 。因 ，故 ，。所以椭圆的标准方程为 。 例2 已知椭圆 的焦点在 轴上，求实数 的取值范围。 解析：椭圆标准方程为 （）时焦点在 轴上，需 项的分母大于 项的分母。即 ，此不等式无解。但需注意方程表示椭圆还要求分母均为正数，即 且 。由于 恒不成立，故原方程不可能表示焦点在 轴上的椭圆， 的取值范围为 。 例3 已知定点 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 解析：因 ，且 ，故点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆。其中 即 ， 即 ，。因焦点在 轴上，故轨迹方程为 。 5. 课堂练习。 练习1 椭圆 的焦点坐标为 ，焦距为 。答案：焦点坐标为 ，，焦距为 。 练习2 已知椭圆 的焦点在 轴上，求 的值。答案：。 练习3 已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，若 ，求 。答案：。 五、板书设计 第一行：椭圆及其标准方程。一、椭圆定义：，；焦点、焦距、半焦距。二、标准方程：（，焦点在 轴）；（，焦点在 轴）；，。 第二行：三、推导要点： 两次平方 。四、例题区：例1、例2、例3 解题过程。 六、作业设计 1. 求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）焦点在 轴上，，；（2）焦点在 轴上，，经过点 。答案：（1）；（2）。 2. 已知椭圆 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围。答案： 无解，故 的取值范围为 。 3. 已知定点 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。答案：。 七、教学反思 本节课从直观画图入手，让学生在动手操作中感受椭圆定义的生成过程，有效降低了概念理解的难度。在标准方程推导环节，两次平方化简是教学难点，部分学生在移项平方后符号处理不够准确，后续教学中应在关键步骤处适当停顿，让学生独立完成中间步骤的演算以暴露问题并及时纠正。例题与练习覆盖了待定系数法、焦点位置判定和轨迹问题三种基本题型，课堂反馈显示学生对 ，， 关系的理解基本到位，但在含参方程的分母大小比较上仍有混淆，下节课需增加针对性训练。 学科网（北京）股份有限公司 $