8.2.4 三角恒等变换的应用-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 8.2.4三角恒等变换的应用 第1课时 半角的正弦、余弦和正切 学习目标 变式训练① 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的 设e(r,2r),则 1+cos(T+a）= 2 正弦、余弦和正切公式的过程， 2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式， 要点2利用半角的正弦、余弦和正切 能正确运用这些公式进行简单的三角函数式 公式化简 的化简、求值和恒等式的证明. 要点精析 例2已知<受，化简： 1+sina 1-sino 要点1半角的正弦、余弦和正切公式的 V1+cosa-V1-cosa V1+cosa+V1-cosa 简单应用 半角公式： O一±1/SQ比 os受-±V 1+cosa 2 2 tang=士 1-cosa sino 1-cosa 2 1+cosa 1+cosa sino 思考 如何确定半角的正弦、余弦和 正切公式的符号？ 例1 (1)若c0a=号，&e(0,m. 则cosa的值为() A.V6 B.-V6 6 6 反思感悟 C.V30 D.-V30 6 6 要熟记一些可用公式的形式，如：1+ (2)下列各式与tana相等的是( cosa =2cos2a ，1-cosa=2sim号，1sina AVo” B. sino 1+cosa 士c0、号尸等，解题时应有意识地将这 sina 2 sina C.1-cos2a D.1-cos2a sin2a 些形式变形寻求思路 (86)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 能涉及解的不定性，故在求解中应注意求 变式训练② 的范围 2 已知3<0<2m,试化简：V1+si0- (2)用某些三角函数值或三角函数式 V1-sin0. 来代替三角函数式中的某些常数，使之代 换后能运用相关公式，化简得以顺利进 行，我们把这种代换称为常值代换 (3)角的变换沟通了已知角与未知角 之间的联系，使公式顺利运用，解题过程 被简化.常见的角的变换有：a=(α+B)-B, a=B-(B-a),a=}[(a+8)+(a-8)1,a 1[(a+B)-(B-a)],&+B=(2a+B)-a等. 要点3利用半角的正弦、余弦和正切 公式求值 B变式训练3 例3已知co子，且受<3m,求 2 已知sin --cos a=-V5 2 ,450°<a< sn号，cos 0 的值. 2,tan 2 540°，求sina及tang的值. 反思感悟 (1)已知0的某三角函数值，求日的 相应三角函数值时，常借助于半角公式 sin20=1-cos0 cos20=1+cose,tan 0= 2 2 2 2 sin0=1-cos8来处理，由于上述式子中可 1+cos0 sin0 学(87 N 高中数学必修第三册人教B版 要点4利用半角的正弦、余弦和正切 变式训练④ 公式进行三角恒等式证明 已知0<a年，0<g牙，且3sing=sin(2a 例4 (1)求证：1+2cos20-cos20=2. (2)求证： 2sinxcosx +p),4an号l-tar号，求证：a+B=平 (sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1) =1+cosx sinx 反思感悟 三角恒等式证明的五种常用方法： (1)执因索果法：证明的形式一般化 繁为简 (2)左右归一法：证明左右两边都等 要点5三角恒等变换与三角函数图象 于同一个式子 性质的综合应用 (3)拼凑法：针对题设和结论之间的 差异，有针对性地变形，以消除它们之间 思考 (1)如何求函数y=sin2x- 6 的差异，简言之，即化异求同 (4)比较法：设法证明“左边-右边= +2sin (x∈R)的最小正周期？ 0”或“左边= (2)研究形如f(x)=asin2wx+bsinox: 右边 c0Sωx+cC0swx的性质时，应首先把函数 (5)分析法：从被证明的等式出发， f(x)化简成什么形式再解答？ 逐步探求使等式成立的条件，一直到已知 条件或明显的事实为止，就可以断定原等 例5已知函数fx)-4 csin+牙】 式成立 (w>0)的最小正周期为π 88)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 (1)求w的值： B变式训练⑤ (2)讨论)在区间0，变上的单调性， 已知函数fx)=-V2sin2x+T +6sinx- 4 cosx-2cos2x+1,x∈R, (1)求f(x)的最小正周期； (2)求fx)在区间0，受上的最大值 和最小值. 反思感悟 (1)三角恒等变换与三角函数图象性 质的综合问题的解题策略：运用三角函数 数学文化 的和、差、倍角公式将函数关系式化成y= 例如图，一个边长为 asinox-+bcoswx+k的形式，借助辅助角公式 400m的正方形公园ABCD 化为y=Asin(wx+p)+k[或y=Acos(wx+p)+ 在以四个角的顶点为圆心， k]的形式，将ωx+p看作一个整体研究函 以150m为半径的四分之一 数的性质」 图8-2-7 圆内都种植了花卉.现在中 (2)切化弦：当待化简式中既含有正 间修建一块长方形的活动广场PQMW，其 弦、余弦，又含有正切时，利用同角的基 中P,Q,M,N四点都在相应的圆弧上，并 本三角函数关系式tanc=sina, 将正切化 coSo 且活动广场边界与公园边界对应平行，连接 为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想： BQ,记∠QBC=,长方形活动广场的面积 方法，切化弦的好处在于减少了三角函数：为S 名称 (1)请把S表示成关于x的函数关系式； (3)降幂与升幂：由C变形后得到 (2)求S的最小值. 公式：sima=7(1-cos2a),cosa=7(1+ cos2),运用它就是降幂.反过来，直接运 用倍角公式或变形公式1+cos2a=2cos2a, 1-cos2a=2sina,就是升幂. 学(89 N 高中数学必修第三册人教B版 第2课时 三角函数的积化和差与和差化积 学习目标 cosx+cosy=2cos cos*Y 2 cosx-cosy= L.能根据公式Sag和C.g进行恒等变 -2sin +y 2 sin y 换，推导出积化和差与和差化积公式， 思考和差化积公式的适用条件是什么？ 2.了解三角变换在解数学问题时所起的 作用，进一步体会三角变换的特点，提高推 反思感悟 只有系数绝对值相同的同名函数的和 理、运算能力， 与差，才能直接运用公式化成积的形式， 3.通过三角函数的积化和差与和差化积 如果是一个正弦与一个余弦的和或差， 公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养。 则要先用诱导公式化成同名函数后再运用 4.借助积化和差与和差化积公式的应 公式 用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心 例1 (1)计算sinl05°cos75°的值是 素养 ( 要点精析 B. 4 要点1积化和差与和差化积公式的简单· 应用 c.- D.-2 (2)sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为 1.积化和差公式 cosacosB--][cos(a+B)+cos(a-B)l; B sinasirp--cos(cos(-)]; c D sinacosB -]Isin(o+)+sin(-)]; B变式训练① cososin-[sin(a+B)-sin()] 下列等式正确的是( 2.和差化积公式 A.sinx+siny=2sin siny 设aB=,aBy,则a=宁，B=号 B.sinx-siny=2cosx cosy 2 2 这样，上面的四个式子可以写成， C.cosx+cosy=2coscos-Y sinx+iny=2sin空cos分；sine-siny 2os岁sn号； D.cosx-cosy=2sin sin 2 90)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 川要点2由积化和差公式求值 要点3由和差化积公式求值 例2求值：sin20°sin40°sin60°sin80°. 例3已知cosa-cos5=分，sina-sing= 号求map)的值 反思感悟 积化和差公式的功能与关键 (1)功能：①把三角函数的一种形式 (积的形式)转化为另一种形式（和差的 形式) ②将角度化为特殊角求值或化简，将 函数式变形以研究其性质 反思感悟 (2)关键是正确地选用公式，以便把 和差化积公式应用时的注意事项 非特殊角的三角函数相约或相消，从而化 （1)在应用和差化积公式时，必须是 为特殊角的三角函数 次同名三角函数方可施行，若是异名」 B变式训练② 必须用诱导公式化为同名，若是高次函数， 必须用降幂公式降为一次。 求sin20°+cos250°+sin20cos50°的值 (2)根据实际问题选用公式时，应从 以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式， 能否约分，能否合并或消项。 (3)为了能把三角函数式化为积的形 式，有时需要把某些常数当作三角函数值 才能应用公式，如 -cosa=cos T -cosa. 3 学 91 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 变式训练3 证明三角恒等式的基本思路是根据等 (1)(变结论)本例中条件不变，试求 式两端的特征，通过三角恒等变换，应用 cos(a+B)的值. 化繁为简、左右归一、变更论证等方法， (2)(变条件)将本例中的条件“cos- 使等式两端的“异”化为“同”，分式不好 cosB=,sina-simB=-”变为“cosa+ 证时，可变形为整式来证 3 co9g=子，sina+sin8=号”，结果如何？ B变式训练④ 在△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC= 4cosA cos Bcos C 2 cos- 要点4积化和差与和差化积公式的综合 应用 思考(1)解决与三角形有关的问题 时应注意哪些隐含条件的应用？ (2)在△ABC中，有哪些重要的三角 关系？ 例4在△ABC中，求证：sinA+sinB sinC=4sin号si BosC cos 2 2 (92)学N 高中数学必修第三册人教B版 “fx)的单调增区间为km-牙，km+石，keZ 变式训练5解：(1)fx)=sin(Twx)cowx+cos@x, =inco2sim2c 2 =V2sn2r+子+7，由于o>0,依题意得无=n, 2 ∴.0=1. (2)由()知x=2sin2+平+，ge)与f2) =Ysm4+好+分当0≤≤8时，平≤+≤号 2 Y≤sin4+牙)≤1.因此1≤g)≤45.故g 2 2 在区间0,6]上的最小值为1 数学文化 例D【解析】1=2sin18°，.2cos27°-1 1V4-P c0s54° sin36° sin36° 2sin18V4-4sin'180 故选D. 82.4三角恒等变换的应用 第1课时半角的正弦、余弦和正切 要点精析 例1 ()C【解析】由题意知受e0,受)，cos受>0， cos受-V1g94-Y0.故述C 2 6 (2)D【解析】V:o3设-V3o-Vim- Itanal; sina 2sin受cos号 -tan a sina」 sino 1+cosa 2os号 2 1-cos2a 2sin'a 2sina 1-cos2a 2sin'a =tana.故选D. sin2a 2sinacosa 变式训练1sn号【解折】√oa-V90 Vsm号m ae(m,2m),受e(牙，π，sing>0.故原式 例2解：原式 sm号+eos号2 V2 cos -V2 sin sm号cos号2 V2os受+V2sin号 56 ∴.原式 -V2(sin号+cos受)V7(sin号-cos受) m号s号，如受tw受.V2号 v2 变式训练2解：“受<0c2m,平<号<m,0in号 Y,-1<s- 2 从而n号+cos号<0，血号c号>0 原式Vm号wT-Vm号s号 sn号-号-2n号 例3解：由罗<3m,且leco号可知，co0=-子，号 5 e平，受 由号14是 2 mg-V2 5 由cos9=1+cog.1上是 22230s9-V5 51 2 5 5 -=2. 2 5 5 变式训练3解：(6in号-cos号广1-snw写，snu= 5 25 sin受cos号_tan号 sm号cos号am受号.解得am号-2或1am号 _2 450<a<540,225<号<270，an号>1，tan号 2. 综上可知，na号m号2 2 例4证明：（1)）左边=1+2x1+c0s20-c0s20=2=右边.原 2 等式成立 (2)左边= 2sinxcosx (2 2sincos22sin受川2sin2cos2+2snm受 2sinxcosx os号 =sinx= 4 4sincin）2sin号 sin号 2cos =1+c0sx=右边 2sin cos sinx ·.原等式成立 变式训练4证明：3sinB=sin(2a+B),即3sin(a+B-a)= sin(a+B+a), ..3sin (a+B)cosa-3cos (a+B)sina=sin (a+B)cosa+cos (a+ B)sina, ..2sin(a+B)cosq=4cos (a+B)sina,.'.tan (a+B)=2tana. 又4an受l-tan受，tana= ,∴.tan(at 2 1-tan2a 2 B)=2tana=1. a+Be(0,7）,a+8=牙， 41 例5解：()f(x)=4cos0x·sin(ar+牙）=2V2 sinox. coswx+2V2 cosw -V2(sin20r+c0s20x)+V2-2sin(2+)+V2. )的最小正周期为，且ω0，从而有无=，故 w=1. (2)由(1)知，x)=2sim(2x+年)+V2.若0≤x≤ ,则牙≤2+s 当平≤2+于≤受，即0≤x≤晋时，)单调递增： 当罗<2+牙≤平，即及<≤罗时，儿)单调递减 4 综上可知，(x)在区间0，及]上单调递增，在区间 (及，受]上单调递减。 变式训练5解：(1)f(x)=-sin2x-cos2x+3sin2x-cos2x= 2sin2x-2c0s2x=2V2sin2x-平)，x)的最小正周期7= 受- (2)由(1)知f(x)=2V2sin2x-年)，由于x∈ [0,受引2e年，]， 则n2-e竖，小 )在[0，罗]上的最大值为2V2,最小值为-2 数学文化 例解：(1)∠QBC=a,如图所示，过点Q作QE⊥ BC于点E,在Rt△BQE中，BE=150cosa,QE=150sina, 参考答案。 0≤a≤牙，可得矩形PQMN的边 2 PQ=400-300sina,QM=400-300cosa. 则S=P0.QM=(400-300sina)·(400 300cosa)=10000(4-3sina)(4-3 cosa) ae0.} E (2)由(1)知，S=10000[16- 例题答图 12(sina4cosa)+9 sinacosa],设i-sina+cosa=V2sina+平）， 则平≤a+开≤7，可得1≤1≤V2,sinacoso=-号，可 4 4 得s=100016-12*号(-1)]500p-号47，当1 子∈[1，V2]时，S取得最小值5000x7=35000m 第2课时三角函数的积化和差与和差化积 要点精析 例1(1)B【解析】sin105cos75°=2(sinl80°+sin30) 子故选B (2)B【解析】sin20cos70°+sin10°sin50°= sin(20°+ 2 70H5in20-70y]+7cos10-50co10450157(sn80- sn50)+2(eos40e-cos60)=4-2in50+7cov40r=4 42 4 号sin0+分in50=子故选B 变式训练1C【解析】由和差化积公式知C正确 例2解：原式-cos10°c0s30°cos50°c0s70°=V3cos10°. 2 c0s50°cos70° cos60cos40)o cos70 2【2 3cos40cos70 4 =V3c0s70°+V3(c0s110°+c0s30°)=3c0s70°+ 8 8 8 5cos110°+3=3 1616 变式训练2解：原式=1上-c940+1+o0+号（n70- 2 2 sin30°) sin30)+sin7 =3-1sin70°+1sin70°=3 42 例3屏：4) -2sin4esin9=.① 2 22 57 N 高中数学必修第三册人教B版 又ag=月 2cs学m9-g2 2 in学0.由①@.得-am学9-2 即anc圯=3 2-2 2sin cos 2tan a+tB 2×3 2 2 ∴.sin(a+B)= sin2B +cos2B 1+tan2B 1+9 2 2 变式训练3解：(1)c0sa-c09=号，所以-2sin9. sm-分① 又sina-sing=-3,2 cosin“B-3.② sn“9≠0，由①②.得-4am9-号，即am盟 cos2a+Bsin2a+B ∴.cos(a+B)= 2 2 1-tan sincosB1+tan 1+高 5 二 (2).cosa+cosB=1 2o“2cos9-7① 2 又sina+sing=-3,2sing9cos“B=-分.② 2 (58 os“≠0，由①2，得am“g8-号 2 2 2sin+cos+坦 2 .sin(a+3) sim㎡+e+cos3+2 2 2 2tan a+B 2x2 12 l+tan2a+ 13 2 例4证明：左边=sin(B+C)+2sinB-C cos B+-C 2 2 -2sin B+C cos B4C+2sin B-C cos B+C 2 2 2 2 =2cos B+C (sin BC +sin BC) 2 2 27 2 .原等式成立. 变式训练4证明：由A+B+C=180°，得C=180°-(A+B), 即990-4生，os号-n45 2 2 2 .'.sinA+sinB+sinC=2sin 4B cos4-B+sin (A+B) 2 2 =2sm4cos49+2sn4生co49 2 2 2 -2sin A+cos4-B +cos4+B) 2 2 2 .原等式成立.