8.2.4 三角恒等变换的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

马 第八章向量的数量积与三角恒等变换 课时作业与 数课时 8.2.4 三角恒等变换的应用 间 学作业 纠错空间 基础过关 JI CHU GUO GUAN 9.（多空题)已知函数f(x)=23sin 2cos 1.若c0s2a= 且a[受小则sna 4 +2cosz 一1(w>0)的最小正周期为x,当x A.30 B.10 ∈[0，号]时，方程)=m恰有两个不同的 10 10 实数解x1,x2,则x1十x2 ,f(z c D.-I0 十x2)= 10 之，则an号的值 ☑-sina-cos a)sin%+cos 2.已知sin0=- 5,3<0< 10.化简： √2-2cosa 为 ( ) (-r<a<0). A.3 B.-3 c n-号 3.函数y=3sin4x十√5cos4x的最大值是 ) A.5 B.25 C.3 D.6 方法总结 4.函数fx)=2(1+cos2x)·sin2x(x∈R)是 1 ( A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为受的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 2sin xcos x D,最小正周期为受的偶函数 11.证明：(snr十cosx-1)(sinx-cosx十D -1+cos x sin a 5.在△ABC中，若sin Asin B=cos ,则 △ABC是 ( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 6.(多选题)如果若干个函数的图像经过平移后 能够重合，则称这些函数为“同族函数”.给出 下列函数，其中与函数f(x)=√3sinx一cosx 是“同族函数”的是 () A.f(x)=2sinx·cosx+1 Bf)=2sm(+) C.f(x)=sinx+√3cosx D.f(x)=√2sin2x+1 7.化简√1+sin2的结果是 8.函数f(x)=sin2x十sin zcos a+1的最小正 周期为 ·49· XL数学B 必修第三册 能力提升 13.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为 NENG LI TI SHENG 中心，正北方向和正东方向的马路为边界的 12. 已知函数f(x)=os(ξ+x· cos 扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用 这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求 (后-8)-2sm2z-子 该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界 (1)求函数f(x)的最小正周期； 上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的 (2)求函数h(x)=f(x)一g(x)的最大值，并 半径OM=R,∠MOP=45°，OB与OM之间 求使h(x)取得最大值时x的集合， 的夹角为0. 北 东 0 (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示 成0的函数 (2)若R=45m,求当0为何值时，矩形AB CD的面积S最大？最大面积是多少？（取√2 =1.414) ·50·参考答案 10.解：(1)原式 2 2sinc_sn6=1 π π 2 2 4 (2)原式=cos(2×750°)=c0s1500° =c0s(4X360+60）=0s60=7 (3)原式=tan(2×150)=tan300 =tan(360°-60)=-tan60°=-√3. (4)原式=cos10°-3sin10 sin10°cos10° sin10cos10° _4(sin30cos10°-cos30°sin10) 2sin10cos10° _4sin20° 4. sin20° 11.解：左边=3-4c0s2A+2cos22A-1 3+4cos 2A+2cos22A-1 (1-cos 2A)2 2sin2 A)? (1+cos 2A 2cos2 A =(tan2 A)2 =tan4A=右边， .3-4cos 2A+cos 4A 3+4cos 2A+cos 4A =tan A. 12解，1)周为0亦.6成-日 即71-cos2m-cos20=-7所以cos2g=号 所以c0s20=2c0s20-1=子 (2)因为og0=号，所以sim20=号 所以点P(合号)点Q(仔-) 又点P(分，号)在角a的终边上， 所以sina= 合msa= 3 同理sin3= 10,cos B=10 3√10 10 所以sin(a十)=sin acos B+cos asin3 10 13.解：(1)f(x)=a·b=cosx·√5sinx- 2cos 2.x 最小正周期T-登=元 所以f代x)=sim(2r-看）的最小正周期为元 课时作业兰 (2)当x[受]时，(2x-若)[] 由正弦函数y=sin 在[一晋]上的因像知， f)=m(2x-若)[合小 所以，f(x)在[0，受]上的最大值和最小值分别为1 8.2.4三角恒等变换的应用 1A[因为a∈[学小所以m。>0,由字角公式可 得sina 1-cos 2a3 10 2 10· 2B[3x<9受m0=-是os0=-号 3 sin tan 21+cos 0 =-3.] 3.B [y=3sin 4x+3cos 4x -2停n+m =25(4红+若）： ymax=23,故选B] 4.D[由题意得fx）)=子1+cos2x)1-cos2x) 子1-co322）)=sin22x=g1-cos4). 又f(-x)=f(),所以画数fx)是最小正周期为受 的偶函数，选D.] 5.B [sin Asin B(1c0sC), 即2 sin Asin B=1+cosC, .'2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B, 故得cos(A-B)=1, 又因为A-B∈(-元，x), ∴.A-B=0,即A=B,则△ABC是等腰三角形.] 6.BC[A式化简f(x)=sin2.x十1， C式化简fx)=2sin(+晋） fx)=5simx-cosx=2sin(r-吾）： 显然A中的周期、D中的振幅和周期与已和函数不 符，B、C符合.] 7.解析：√1+sinz=√sin21+cos21+2sin1cos1 =v(sin 1+cos 1)2=I sin 1+cos 11, 图为1(0，受）所以in1>0,e0s1>0, 则W1+sinz=sin1+cosl. 答案：sin1十cos1 77 世数学B 8.解析：fx)=sin2x+-sin xcos十1=1-cos2L+ 2 号m2z+1 sn2-ms2+号(2z）+是 T=元. 答案：π 9.解析：画教fx)=25sin学c0s受+2cos受-1= 2 5 sin+Os=2sin(or+若） 由T=20=元，可得w=2,.f(x)=2sim(2x+石） ze[p]晋≤2x+吾<语-1<fx ≤2. 画出f()的图像（图略），结合图像知x1十=子， 则fx1+)=f(5)=2sin(肾+若）=2im君 =1. 答案：3 1 10.解：原式= √2x2x㎡号 2sin a 2 -cos号)(sin号+cos号） sin 2 2m受 sn受(sin号-cos2 2 -sincosa sin号 sin 因为-心a<0,所以-受<号<0，所以in号<0， 所以原式= -sin 2cos a =cos a. 一sin2 11.解：左边= 2sin rcos r (2n÷s受+1-2r号-1）(2n云s÷-1+2sir+1） 2sin xcosx 7 必修第三册 -2sin xcos t 2sincosco 4sn2受eost 2sn号 sin 1+2cos2号-1c0号 右边 2sin乞cos艺sin号 所以左边=右边，即等式成立， 12架0-(2r9nj小（合=+9n 2r3C1-cos 2r) 8 c0s2a- 1 “x)的最小正周期为T-受=元 1 1 (2)h(x)=f(a)-g(x)=2cos 2x-2sin 2x -(+ 当2x+开=2xk∈Z 即x=饭一君(k∈Z》时，h()有最大值吗 此时x的集合为{红x=x一吾k∈Z 13.解：(1)由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM ⊥AD. 设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsin0,OF= Rcos0, 所以AB=0F-AD=RCOs0-Rsin0, 所以S=AB·BC=2 Rsin 0(Rcos0-Rsin) =R2(2sin Ocos 0-2sin2 0)=R2 (sin 20-1+cos 20) =2Rsim(20+4)-R,e(0,) (2)因为(（0，）所以20+子∈（至，） 所以当20+ 4 =2,即0= 否时，S有最大值。 Smax=(W2-1)R2=(W2-1)×452=0.414×2025 838.35(m2). 故当)-答时，矩形ABD的面积S最大，最大面积为8器 35m.