8.2.3 倍角公式-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

8.2.3 学习目标 1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍 角公式与和角公式之间的内在联系. 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 并能运用这些公式进行简单的恒等变换。 要点精析 川要点1给角求值问题 例1求下列各式的值. (1)sm8cos2:(2)1-2sin750°： 3)250:④w sinl0°cosl0° P变式训练① 利用倍角公式求下列各式的值， (1)sin cos (2)cossin 6 6 8；(4) (3)2-sin㎡ _2tanl5° 1-tan215°1 第八章向量的数量积与三角恒等变换 倍角公式 川要点2给值求值问题 例2(1)已知a为第二象限角，sina+ cosa=V3,求cos2a; 3 (2)已知sin牙+asin牙-a=g 6 ae号，，求sin4r 反思感悟 直接应用二倍角公式求值的三种类型： (1)sina（或cosa) 同角三角函数的关系 cosa(或sina)二倍角公式sin2a(或cos2a). (2)sina(或cosa)二倍角公式，c0s2a= 1-2sin'a 2cos'a-1). (3)Sin(或cosa)同角三角函数的关系 cosa(或sina), tana二倍角公式tan2a. 学(83 N 高中数学必修第三册人教B版 B变式训练2 已知xe年，引，sn-= 5, 求cos2x的值. 川要点3三角函数式的化简 例3(1)化简： 2cos2a-1 2am年sinl年a 4 (2)已知π<< 3 ·π，化简 1+sina 1-sina V1+cosa-V1-cosa V1+cosa+V1-cosa (84)学 B变式训练③ 化简：cos2(0+15°)+cos2(0-15°)- V3cos20. 2 例4已知tan(ax+B)=3tana,求证： 2sin28-sin2a=sin(20+23). B变式训练④ 求证：tanx+,1,=2(3+cos4x) tanx 1-cos4x 川要点4三角公式的综合应用 例5已知函数fx)=sinx+V3 sinxcosx+ 2cos2x,x∈R.求函数fx)的最小正周期和单 调增区间。 分析 求形如y=Asin'x+Bsinxcosx+ Ccos'x的函数的周期性、单调性、最值等， 可逆用倍角公式化为一个一次式，从而使 问题得以解决 反思感悟 本题是逆用二倍角公式，将已知函数 化简成)=sin2x+君+号，从而使问题 得以解决.在求形如y=asinx+bsinxcosx+ cc0s2x+d的函数的最值时，应先降幂，再利 用公式化成和角或差角的三角函数来求. 第八章向量的数量积与三角恒等变换 变式训练5 已知函数f(x)=sin(T-wx)cOS@x+coswx (ω>0)的最小正周期为T. (1)求w的值； (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐 标缩短到原来的】，纵坐标不变，得到函数 =gx)的图象，求函数g)在区间0，无 上的最小值， 数学文化 例著名数学家华罗庚先生被誉为“中 国现代数学之父”.他倡导的“0.618法”在 生产和科研实践中得到了广泛的应用，黄金 分割比1=V-1≈0.618还可以表示成 2 2sin18°，则2cos27°-1=（ tV4-2 A.4 B.V5-1 C.2 D.2 学(85N 高中数学必修第三册人教B版 1+1 tan(2a-B)=tan[(a-B)+a]=tan(a-B)+tana 23 1-tan(a-B)anal-}×2 l.tma=}0,tag-70.ae(0.受）Be号，m, a-B∈(-π，0). 又an(a-B)=3>0,a-Be-m,-7),2B=a+ (a-B)∈(-T,0). 而an(2a-6)=l,2a-f=子m 变式训练4解：由根与系数的关系，得tana+tanB=-6<0, tanatanB=7>0,.'.tana<0,tanB<0. ∴.-T<a+B<0. m(a)器吾 a4g-子n 例5解：若tanA tanB=l,·tanA+tanB+V3=V3· tanA tanB,则tanM+tanB-0,.tanA=-tanB,tanB=-1,不可 能，故tanA tanB≠l. 由tanA+anB+V3=V3 tanAtanB得，tanM+tanB 1-tanAtanB -V3,即tan(A+B)=-V3. .:tanC=-tan(A+B)=V3,从而C=60° 由sn4e0s4=Y军得sin=-G,整理得1cos4- 4 16cosM+30.cosM=子或cos1=,解得cos4=±V 4 2 或c0s1=±7又Me(0,m),4=30或150或60°或120 当A=150°或120°时不符合题意，舍去. 当A=30°时，C=60°，.B=90°，与tanB有意义矛盾， 舍去..A=60°，B=60°，C=60°，即△ABC为正三角形 变式训练5解：若tanBtanC-l,tanB4tanC+V3 tanBtanC= √3，则tanB+tanC=0,.tanB=-tanC,.tanC=-l,不可 能，故tanBtanC≠l. 由tanB+tanC+V3 tanBtanC=V3得，tanB+tanC 1-tanBtanC V3,tan(B+C)=V3.同理tanA tanB≠l,V3tanA+ V3 tanB=tanAtanB-1..tanm Biand=3.'.tan(4+B) 1-tanBtanA =-Y5.又A,B,C为△4BC的内角，B+C=60°，A+ 3 B=150°，.∵A=120°，B=C=30°，∴.△4BC为顶角是钝角的等 腰三角形. 数学文化 例16V下【解析】由题意得8即待B0号， 54 6460 因此tan(a-B)=,tana-tang dd 1+tanatanB 1+64.60 d464x60 d d d 4 1 当且仅当d=16V15时取等号，因 21V.64x60 8V15 d 此当d=l6V15时，tan(a-B)取最大值，即标杆到大雁塔 的距离d为16V15m. 8.2.3倍角公式 要点精析 例1解：(1)原式= 2 2-4 (2)原式=c0s(2×750°)=cos1500°=c0s(4×360°+60°)= cos60r=号 (3)原式=tan(2x150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60 =-/3. (4)原式=cos10°-V3sin10 sinl0°cos10° 2cs1sinto sinl0°cos10° =4(sin30°c0s10°-cos30°sinl0°） 2sinl0°cos10° =4sin20°=4. sin20° 变式训练1解：（山)原式-分2n晋cos晋=宁×in子 xv 2 4 (2)原式=c0s2x君=c0s写=号 2 4 (4)原式-tan(2x15)tan30°=Y3 3 例2解：(1)由s5ina+cos=Y3两边平方可得1+sin2a 3 分，sin2a子a是第二象限角，sina0,c0ensl,cosa sina=-V(cosa-sina)=-V1-sin2a =_V15 3 ..cos2a=cosa-sina=(cosa+sina).(cosa-sina)=V3x 3 (2)方法一：sin(年+asim牙-a=sin(牙+a cos平a6,sin受+2a片3，即coc2a=了 ae(受，m,则2ae(m,2m), ..sin2a=-V1-cos'2a=2V2 3 于是sin4a=2sin2acos2a=-4V2 9 方法二：由条件得，Y号(eoa4na):Y号(coa sina)=1 即号(eosa-sinw= 6，c0s2a= 3 由2ae(m,2m)得，sn2a=22,n4a -4V2 9 变式训练2解：方法一：由已知条件得cos-sin=-3V2 5 将此式两边平方得2sno0s子，由此可得(co4sinm产爱 xe年，受），sino0,cos0,:cotsin=4V2 5 cos2 -cosx-sint =(cosx +sin)(cosx -sint)=4 5 3=器 方法二：cos2x=sin7-2x=2sin年-xcos年-x, m牙归号，e经受 开-xe(平，0，cos牙=号，故cos2x=2× 房×号浩 例3解：(1)方法一：原式 2c0s2a-1 ,sin平- 2. cos年- sim+a 2cos'a-1 2 sn平a os(a) cos开-a =2cos'a-1-cos2a=1. sin(-2ar) cos2a 方法二：原式 cos2a 2.1-tana v2 sina+V2c 12 -cosa 1+tano 2 cos2a cosa-sin (sina+cosa) cosa+sina cos2a (cosa-sina)(cosa+sina) cos20。=1. cos'a-sin'a 参考答案。 .VI+cos-V2 cos--V2 cos V1-com-V2sm受V2sim号 1+sina 1-sina V1+cosa-V1-cosa V1+cosa+V1-cosa 1+sina 1-sina -V2cosg+sing）V2 sin cos号】 cos号sn受} sin号-cosg月 -V2(cosg+sing）V2(sin cos】 =-V2cos受 变式训练3解：cos(0415°)+eos0-159)-Vcos20 =1+cos[2(0+159)1+1+cos[2(0-159)1-V3cos20 =1+2[c0(20+30°)+c0s(20-30°)]-Yy5c0s20 2 -1+](cos20cs3P-sin20sin3Pcs2cs3sin20sin3) v3cos20 =1+号X2c0s20s30-Y3c0s20=1+V3c0s20- 2 2 v3cos20=1. 2 例4证明：tan(a+B)=3tana可变形为sin(a+B)·cosa= 3 sinacos(a+B)→sin(a+B)·cosa-sina·cos(a+B)=2 sinacos(a+ B)→sin[(a+B)）-a]=2sina·(cosocos3--sinosinB)=sinB=2sina· cosacosB-2sin'a'sinB=(1+2sin'a).sinB=sin2acosB. 两边同乘以2cos3(cos9≠0，否则由1+2sin2a≠0得 sinB=0,矛盾)， 得(1+2sin2a)·sin2B=sin2a·2cos2B=→sin2B+(1-cos2a)· sin28-sin2a(1+cos28)2sin28-sin2a-sin2acos2B+cos2asin28= sin(2a+2B)..命题成立 变式训练4证明：左边=tanx+,=sn+cos2= tanx cos sin 1-c02x}+1+c02}2 2+2c0s22x sin'x+cos 2 2 4 sincos 咖2 =1.1-c04x 4 2 44.1+cos4 1-cos4x -2o2-有边am-2 1-cos4x 例5解：f八)=-分（1-2nmn)+Y(2 inv)+ 2 (2cosx-l0+2=Y7sim2x+分co2x+-im2+看+ 22 多，x)的最小正周期T受m,由题意得2必m受≤ 2+石≤2m+号，keZ,即km号≤x≤km+石，keZ. 55 N 高中数学必修第三册人教B版 “fx)的单调增区间为km-牙，km+石，keZ 变式训练5解：(1)fx)=sin(Twx)cowx+cos@x, =inco2sim2c 2 =V2sn2r+子+7，由于o>0,依题意得无=n, 2 ∴.0=1. (2)由()知x=2sin2+平+，ge)与f2) =Ysm4+好+分当0≤≤8时，平≤+≤号 2 Y≤sin4+牙)≤1.因此1≤g)≤45.故g 2 2 在区间0,6]上的最小值为1 数学文化 例D【解析】1=2sin18°，.2cos27°-1 1V4-P c0s54° sin36° sin36° 2sin18V4-4sin'180 故选D. 82.4三角恒等变换的应用 第1课时半角的正弦、余弦和正切 要点精析 例1 ()C【解析】由题意知受e0,受)，cos受>0， cos受-V1g94-Y0.故述C 2 6 (2)D【解析】V:o3设-V3o-Vim- Itanal; sina 2sin受cos号 -tan a sina」 sino 1+cosa 2os号 2 1-cos2a 2sin'a 2sina 1-cos2a 2sin'a =tana.故选D. sin2a 2sinacosa 变式训练1sn号【解折】√oa-V90 Vsm号m ae(m,2m),受e(牙，π，sing>0.故原式 例2解：原式 sm号+eos号2 V2 cos -V2 sin sm号cos号2 V2os受+V2sin号 56 ∴.原式 -V2(sin号+cos受)V7(sin号-cos受) m号s号，如受tw受.V2号 v2 变式训练2解：“受<0c2m,平<号<m,0in号 Y,-1<s- 2 从而n号+cos号<0，血号c号>0 原式Vm号wT-Vm号s号 sn号-号-2n号 例3解：由罗<3m,且leco号可知，co0=-子，号 5 e平，受 由号14是 2 mg-V2 5 由cos9=1+cog.1上是 22230s9-V5 51 2 5 5 -=2. 2 5 5 变式训练3解：(6in号-cos号广1-snw写，snu= 5 25 sin受cos号_tan号 sm号cos号am受号.解得am号-2或1am号 _2 450<a<540,225<号<270，an号>1，tan号 2. 综上可知，na号m号2 2 例4证明：（1)）左边=1+2x1+c0s20-c0s20=2=右边.原 2 等式成立 (2)左边= 2sinxcosx (2 2sincos22sin受川2sin2cos2+2snm受