8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

=124eos号-号+g月 =12+4simg+石）(0≤1≤18). 0≤1≤18.8≤哥4g≤1 6 -2≤sing+君)≤1，-22≤4sing+)≤4， 2 ∴90≤12+4sing+石)）≤156， ,∴g()=156,即他们所在的高度之和的最大值约为 156.故选C 变式训练7解：(1)如图 设EF与圆D相切于点H,连 接DH,DE,则DH⊥EF,DH= AD=15,.Rt△ADE与Rt△HED E 全等，.AE-EH,∠ADE∠HDE= 变式训练7答图 20°. 在Rt△HED中，EH=DH·tan20°=15tan20°，∠HDF=90° -2∠ADE=50°， 在Rt△FHD中，HF=AD.tan50°=l5tan50°， BF-B1:hHF15(an20r4an509)=15(ga28+2 =15xsin20cos50°+cos20°sin50° cos20°cos50° =15×cos70°c0s50°+sin70°sin509 cos20°cos50° =15×C0s(70°-50) 'cos20°cos50° 15 c0s509 ≈23.3. 数学文化 例A【解析】设大正方形的边长为1，由于小正方形 与大正方形面积之比为4：9，“小正方形的边长为子。 cosa-sina-号①.sing-cosg=号② 由图可得cosa=sinB,sina=cos3, ①x②可得4=-cossinB+sinc0g-cosacosB--sinosinB= 9 sinB+cosB-cos(a-B)=l-cos(a-B),解得cos(a-B)=).故 选A. 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 要点精析 例1(1)C【解析】sin47°-sinl7cos30 cos17° =sin(17+30)-sin17cos30 c0s17° =sinl7cos30°+cos17°sin30°-sinl7cos30° cos17° =os7030°=sin30=7.故选C. cos170 参考答案。 (2)解：原式=sin(180°-23°)cos67°+cos23°sin67°= sin23cos67°+cos23sin67°=sin(23°+67°)=sin90°=1. (3)解：sin(0+75)+cos(0+45°)-V3cos(0+15°)= sin(0+15°+60°)+cos(0+15°+30°)-V3cos(0+15°)=sin(0+ 15)cos60°+cos(0+15°)sin60°+cos(0+15°)cos30°-sin(0+15°)· sin30P-V3cos(0+15)=7sim(0+15°)+y3cos(0+15°)+ Y3cos(015)3sm(e15)-V3cos(0+159)-0 变式训练1解：(I)）原式=-sincos-号+osin号+2sin· eos号-2 i号-V3cos7cos-V3sn27snm=号nx+ osa-V5mw学nm3m-分t号mr V3 ou-0. (2)原式=sin[(a+)+a]-2cos(aB)sina sina =sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina sina =sin[(a+β)-al=sin3 sina sina 例2解：ae受m）coa=-7,in=Y空8e (7,2m,ng=,og2 sina48）-inc+n=Yx分+号x 2 变式训练2解：sin(a-B)+cos(a-B)=-sinacos3-cosasinB+ cosucov sincnsing-x 2 +×4-- 变式训练3解：ae受，小，coa=子，∴sina=Y B为第三象限角，c098=号 in()ieng comin- 9+40 变式训练4解：(1)sina=专，ae受，π，osa -V1na=-V-号=子e0yg=-音B是第三象限 角，sng-V1cosB=-√-厂=-号 n(a+B)-nco9+=专×高)+号)× (号}-g将，sn(a8 in-coirp=-告×-音-号】 51 N 高中数学必修第三册人教B版 x最治 (2)由0<a<受，受<B<m,得号<a6<,故由 snag)-得得cosa8)治由cog言得sp=是 65 in-sin[(in(-c) ×是多 V，sia 例3解：由已知a,B均为锐角，且cosa= /10 s、1 V10 ,.'sin(a-B)=sinacosB-cosasinB=-1 2x3=-V② V502 又sina<sin8,0<a<8<7,-号<aB<0,a-B= 变式训练5解：a0,牙)，Be-号，0，a-Be(0, m以由cos-)=号，知smaB)专由sng-Y是，知 co-72:.sina-sin[(a)-sin(a-B)cosBicos(a-) ms号×0+号}号.又ae0,引 a=年 例4解：方法一：sinA+cosA=V2cos(4-45°)=Y2 2 cos14591=2 又.0°<A<180°，.A-45°=60°，..A=105 ∴.sin4=sinl05°=sin(45°+60)=sin45°cos60°+cos45sin60°= V2+V6 4 方法二：‘sin4cos4=V2sim(4+45)=V2,sin(4+ 2 5=号 又.0°<A<180°，.∴A+45=150°，.∴4=105. .sin4=sin105=sin(45°+60°)=sin45cos60°+cos45sin60°= V2+V6 变式训练6C【解析】在△ABC中，sinC=sin(A+B)= sinA cosB +cosA sinB,..2cosBsinA =sinA cosB +cosA sinB, sinA cosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,.'.A-B=0,A=B, 从而△ABC是等腰三角形，故选C. 例5解：=sim5-20)+cos号+20 52 =sm号cos20-os号sin20+cos7cos20-sin号sin29 3 =1+y3(eos2a-sim20)=-V2+V6. 2 2 in20-平)，当20-年-2km-受，即0-m-gkez 4 时，=V2V6,=2=m, 2 2 、函数的最大值是Y2V6,最小正周期是m, 2 变式训练7解：f(x)=V32+4sin(5x+0)=5sin(5x+0).∴函 数f(x)=3cos5x+4sim5x的最大值是5，最小值是-5，最小正 周期为2 5 例6解：(I)设=sinx+cosx=V2sin+4)e[-V2, V ],=1+2sinxcosx,..2sinxcosx=2-1. f1-4号月2e.34V -3 .ym=3+V2,yu (2)若xe[0,罗]，则te[1,V21.ye3,3+ V2],即ym=3+V2,ym=3. 变式训练8解：设sinx+cOs-,则=V2sinx+牙： l≤sin+平)≤l,又：l+nc0,te[-V2, 2-1 -u1,21,则mom号e=云=号当 2 -V2时，x)取最小值-V?+1；当=V2时，x)取最 2 大值Y?-山.因此，x)的最小值是-V?+1,最大值是 2 2 V2-1 2 变式训练9C【解析】由题意得，∠0AD=180°-105°=75， 则∠B0C=∠A0D=15°， l.-0c-0Bcas15°-7cos(450-30)）=2(cos459cos30+ sints'sn30) 2 2 (m). 由FL=FL,得V6+V2F=150V2,解得F= 8 600(V3-1)≈439.2(N), ·.当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石 头的重力约为439.2N.故选C 数学文化 例C【解析】，△ABC是顶角为36的等腰三角形， 六∠ACB=72°，则c0s72°=c0s∠ACB=2 2。=V5-1 4 sin126°=sin(90°+36°)=c0s36°，而c0s72°=c0s(36°+36°)= c0s236°-sin236°=c0s236°-(1-c0s236°)=2cos236°-1， 6=V2-V+￥5-V2g 2 16 V5+1.故选C 4 第2课时两角和与差的正切 要点精析 例1解：.sino-；，a是第四象限角，得cosa=V-sin0 V1-4 5 3 tana=sina= 子于是有anaπ上 tana-tan 4 cosa 4 4/月 5 I+tanatan 4 3-1 sma-).sina】 4 tana-) =-c0sa=5 cosa-号eos号-a）mm 3 变式训练1解：(1)tanl05°=tan(180°-75)=-tan75= 1+V3 -tan(45°+30°)=- 33+V3=-12+6V3=-2-V3. 1-V33-V3 6 3 （2)co0-号0em,）,m0-V1os0 cose 12 ∴tanaπ】 tan0-tanπ 4/ 7 +-tantan牙1+7 1+an60 tan135o=tam(60°-15°)=tan45 例2解：(1)原式=tan60°-tanl5° =1. (2).(1+tanl°)(1+tan44o)=l+tanl°+tan44°+tanl°tan44c =1+tan(1°+44°)·(1-tan1°tan44o)+tan1 tan44°-=1+tan45o- tan45tan1tan44o+tan1tan44°-2， 同理(1+tan2°)(1+tan43°)=2，…， ·原式=22 (3):tan60°=tan(25°+35°)=tan25+tan35° 1-tan25an350=V3, ..tan25+tan35=V3 (1-tan25tan35),..tan25+tan35 +V3tan25tan35°=V3. 变式训练2解：(1)原式=tanl5+1=tanl5°+tan450 tan15-1 tan45tan15-1= -tan(15°+45)=-tan60°=-V3. (2)原式=tan[（石-0)+石+8小：[1-tan石-0· 参考答案。 ian石+e)+V3tan石9)tan石+0tan号·[l-tan石0： tan石0)+V3ian石0tan石0=V3-V3tan石0： tan石+0+V3tan石-0tan石+0)=V3. 例3解：sina=子>0，ae(0,π). (1)）当ae(0,Σ)时，cosa=V1-sima-V1-号= 3 c0sa44’ 31 .'tanB-tan[a-(a-B)]=tana-tan(a-B)=4 22 1+-tancxtan(a-Bl+3×号11 3,1 tan(2a-B)=tan[a+(ax-B)]=tancttan(aB42=2 1-tanotan(a-P)1-3× (2)当ae(7,m时，coa=-V1-sima=-1V-(号T 4 5, .'.tano=sina= 5 3 cosa 4 4, 5 31 .'.tanB=tan[a-(q-B)]=tana-tan(a-B)_ 42 ntan(-B)l+子x2 =-2 31 -4+2 tan(2-)tan[ot()=tananioan() 品 综上可得，当ae0.号时，anp9品，am(2ag) 2:当ae(号m时，mg-2,n(2a9)-品 变式训练3解：tan2ax=tan[(a+B)+(a-B)]= n设把器产5品。-号.us-mag-a B)]=tan(atB)-tan(a B)5-31 =18a到-1品-8，am2a+}片m2 3 例4解：tag=-7,tan(a-g)=3,ano-tan[(a-B)+ 1 器 1-1 27 53 N 高中数学必修第三册人教B版 1+1 tan(2a-B)=tan[(a-B)+a]=tan(a-B)+tana 23 1-tan(a-B)anal-}×2 l.tma=}0,tag-70.ae(0.受）Be号，m, a-B∈(-π，0). 又an(a-B)=3>0,a-Be-m,-7),2B=a+ (a-B)∈(-T,0). 而an(2a-6)=l,2a-f=子m 变式训练4解：由根与系数的关系，得tana+tanB=-6<0, tanatanB=7>0,.'.tana<0,tanB<0. ∴.-T<a+B<0. m(a)器吾 a4g-子n 例5解：若tanA tanB=l,·tanA+tanB+V3=V3· tanA tanB,则tanM+tanB-0,.tanA=-tanB,tanB=-1,不可 能，故tanA tanB≠l. 由tanA+anB+V3=V3 tanAtanB得，tanM+tanB 1-tanAtanB -V3,即tan(A+B)=-V3. .:tanC=-tan(A+B)=V3,从而C=60° 由sn4e0s4=Y军得sin=-G,整理得1cos4- 4 16cosM+30.cosM=子或cos1=,解得cos4=±V 4 2 或c0s1=±7又Me(0,m),4=30或150或60°或120 当A=150°或120°时不符合题意，舍去. 当A=30°时，C=60°，.B=90°，与tanB有意义矛盾， 舍去..A=60°，B=60°，C=60°，即△ABC为正三角形 变式训练5解：若tanBtanC-l,tanB4tanC+V3 tanBtanC= √3，则tanB+tanC=0,.tanB=-tanC,.tanC=-l,不可 能，故tanBtanC≠l. 由tanB+tanC+V3 tanBtanC=V3得，tanB+tanC 1-tanBtanC V3,tan(B+C)=V3.同理tanA tanB≠l,V3tanA+ V3 tanB=tanAtanB-1..tanm Biand=3.'.tan(4+B) 1-tanBtanA =-Y5.又A,B,C为△4BC的内角，B+C=60°，A+ 3 B=150°，.∵A=120°，B=C=30°，∴.△4BC为顶角是钝角的等 腰三角形. 数学文化 例16V下【解析】由题意得8即待B0号， 54 6460 因此tan(a-B)=,tana-tang dd 1+tanatanB 1+64.60 d464x60 d d d 4 1 当且仅当d=16V15时取等号，因 21V.64x60 8V15 d 此当d=l6V15时，tan(a-B)取最大值，即标杆到大雁塔 的距离d为16V15m. 8.2.3倍角公式 要点精析 例1解：(1)原式= 2 2-4 (2)原式=c0s(2×750°)=cos1500°=c0s(4×360°+60°)= cos60r=号 (3)原式=tan(2x150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60 =-/3. (4)原式=cos10°-V3sin10 sinl0°cos10° 2cs1sinto sinl0°cos10° =4(sin30°c0s10°-cos30°sinl0°） 2sinl0°cos10° =4sin20°=4. sin20° 变式训练1解：（山)原式-分2n晋cos晋=宁×in子 xv 2 4 (2)原式=c0s2x君=c0s写=号 2 4 (4)原式-tan(2x15)tan30°=Y3 3 例2解：(1)由s5ina+cos=Y3两边平方可得1+sin2a 3 分，sin2a子a是第二象限角，sina0,c0ensl,cosa sina=-V(cosa-sina)=-V1-sin2a =_V15 3 ..cos2a=cosa-sina=(cosa+sina).(cosa-sina)=V3x 3 (2)方法一：sin(年+asim牙-a=sin(牙+a cos平a6,sin受+2a片3，即coc2a=了 ae(受，m,则2ae(m,2m), ..sin2a=-V1-cos'2a=2V2 3N 高中数学必修第三册人教B版 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 学习目标 变式训练1 化简下列各式， 1.理解两角和与差的正弦公式的推导过 程及公式的结构特征」 ()sinx+罗+2sinx-号-V了· 2.掌握两角和与差的正弦公式并能运用 cos 公式进行化简和求值： 罗： (2)sin(B)-2cos(a+B). 要点精析 sino 川要点1两角和与差的正弦公式的简单应用： 例1(1)）sin47°-sinl7cos30°=( c0s17° A.-V3 B.-1 2 c D.V3 2 (2)求sinl57°cos67°+cos23°sin67的值 川要点2给值求值问题 (3)求sin(0+75°)+cos(0+45°)-V3. cos(0+15)的值. 例2设ae受，m,Be贸，2如， 分析(1)化简求值应注意公式的 逆用 若cosa=-2,ing=-Y5,求sn(a+B 2 (2)(3)对于非特殊角的三角函数式 的值. 化简应转化为特殊角的三角函数值。 (74)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 变式训练② 变式训练4 (变结论)若例2中的条件不变，试求 (1)已知sina= 号，ae受，cowg sin(a-B)+cos(a-B)的值. ,B是第三象限角，求sin(a+),sin(a- 5 B)的值 (2)已知a∈0，受，Be罗，π， 且ina4B3.cog=高.求sinu 川要点3给值求角问题 变式训练3 例3已知，B均为锐角，且cos= (变条件)若将例2中的角B的条件改 sinB=- 3 求-B. 为在第三象限，其他条件不变，则结果 V5 10 如何？ 分析根据平方关系求出sina,cosB, 从而可求出sin(a-B). 学(75 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 反思感悟 已知，B的三角函数值，求，B的 解决三角形中的有关问题的解题方法： 和或差的值，通常是先求其三角函数值， (1)三角形的内角和等于180°. 再求角.需要注意的是，要先对角的范围进 (2)创设条件使之能运用两角和与差 行判断，再确定其值， 的三角函数公式 (3)记住以下常用结论。 B变式训练⑤ 在△ABC中，sin(A+B)=sinC,cos(A+ 已知ae0,受，Be-牙，0，且 B)=CosC,sinA3=cos2:c 2 Cos4+B-sin C 2 coa-子ngY是，试球角a的大小 tan(A+B)=-tanC. B变式训练6 在△ABC中，若2 cosBsinA=sinC,则 △ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 要点5 asinx+-bcosxz=Va2+b2sin(x+0) 的应用 ‖要点4利用公式解三角形 例5 求函数y=sim写-20cos写+20 例4在△ABC中，sinA+cosA=Y2 的最大值和最小正周期 2 分析将函数解析式化为y=Asin(ωx+ 求sinA的值， P)的形式，然后求其最大值和最小正 周期 (76)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 反思感悟 例6已知函数y=sinx+cosx+2 sinxcosx+-2. 使用公式asinx+bcosx=V+bsin(x+0) (1)若x∈R,求函数的最大值和最小值； 时应注意的问题： (2)若x∈ 0, 2 ,求函数的最大值 (1)asinx,bcosx中的x是同一个角. 和最小值 (2)一般在提取系数时，我们提取 分析 将sinx+cosx平方得1+2 sinxcosx,. a+b,特殊情况下，也可以提取-1a+b 于是sinr+cosx和2 sinxcosx可用一个未知数 (3)0由cos0= a sine=- b 代替，这样就可以把原函数转化为关于此 Vatb2 V2+b2 未知数的二次函数 决定，通常将0化归到区间 22 (4)若令sino= b COS= Va+b2 Va+b2 则有asinx+bcosx=-Vab2.(singsinx+-cospcosx) =Va+b2cos(x-o). B变式训练⑦ 求函数f(x)=3cos5x+4sin5x的最大值、 最小值、最小正周期： 反思感悟 在解与三角函数有关的最值问题中经 常用到三角函数的有界性，即Isinx≤1， lcosxl≤1.在这类问题中，要注意最值，点是 否在定义域内 变式训练8 求函数f(x)= sinxcosx 的最大值和最 1+sinx+cosx 小值. 学(77 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练9 数学文化 桔槔见于《墨子·备城门》，作“颉皋”， 例德国著名的天文 是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔的结 学家开普勒说过：“几何 构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某 学里有两件宝，一个是勾 处（点O处）由竖木支撑或悬吊起来，横杆 股定理，另一个是黄金分 的一端（点A处）用一根绳子与汲器相连， 割.如果把勾股定理比作 另一端（点B处）绑上一块重石头，如图 黄金矿的话，那么可以把 图8-2-5 8-2-4所示，已知CD⊥BC,OD=L1,OC=L2 黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种， 当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压， 其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形 汲满后，就让另一端的石头下降.经测量，： 被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 0B=号m,=V7m,当桶装清水时水与 :36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的 等腰三角形)·例如，五角星由五个黄金 桶共重150N,且当水桶恰好离开水面时， 角形与一个正五边形组成，如图所示，在其 横杆与套桶的绳的夹角为105°，则在没有外 力的干扰下，当水桶恰好离开水面，且杠杆 中一个黄金△ABC中，BC=VTL.根据 AC 2 处于静止状态时，石头的重力约为() 这些信息，可得sin126°=() [由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态时有 A.1-2V5 B.3+V5 FL1=FL2(F,等于水和桶的重力，F等于石 4 8 头的重力)·绳子的质量忽略不计，V3≈ C.1+V5 D.4+V5 1.7321 8 D A.400.5N B.419N C.439.2N D.445N 图8-2-4 78)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 第2课时 两角和与差的正切 学习目标 ③变式训练① 1.理解两角和与差的正切公式的推导」 (1)求tanl05的值； 2.掌握公式的正、逆向及变形运用 (2)已知co0=号，0em,罗，求 3.能够灵活应用和、差角公式进行化 简、求值、证明. an0-平的值。 要点精析 川要点1两角和与差的正切公式的直接应用？ 例1已知sina=- ，α是第四象限角， 3 求tana平，ana-的值. 例2求下列各式的值： (1）)V3-tanl50 1+V3 tan15 (2)(1+tan1)(1+tan2°)…(1+tan44°)； (3)tan25°+tan35°+V3tan25tan35°. 反思感悟 运用两角和与差的正切公式时应注意： (1)公式TB成立的条件是：Qx≠kT+ ∑，B≠km+7,B≠m+牙(keZ. (2)公式TB成立的条件是：≠kT+ 受，B≠m+受，a-B≠6m+号(keZ),且 在从左向右写出等式时，角，B的位置不 要写反， 学(79 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 川要点2给值求值问题 (1) “1”的代换：在Tg中，如果分 子中出现“1”常利用1=tan45°来代换，以 达到化简求值的目的， 例3已知nu=子，&e(0,2m), (2)若a+B=T+km,k∈Z,则有(1+ tan(aB)=7,求tans及tan(2a-B), 4 tana)(1+tanB)=2. 分析先求出tana,然后将所求式中 的角拆分，并运用两角和与差的正切公式 (3)公式tan(a+B)= tana+tanB 有以下 1-tangtanB 求解。 些变形： Dtana+tanB=tan(a+B)(1-tanatanB); 2tanotanB=1-tanc+tanB tan(a+B) 3tana+tanB+tanatanBtan (a+B)=tan (a+ β)： ④当B=元时，tan(a+B)=tana+ 4 4/ 1+tana 1-tano 对于公式tan(a-B)=an-tang 也有 1+tanatanB 变式训练3 类似的结论」 已知tan(a+B)=5,tan(aB)=3,求tan2a, 变式训练② tan2g,tan2a+平 求值：(1) sinl5°+cos15° sinl5°-cosl5o (2)am石-0tan石+9+V3ian石0 tan +0 6 (80)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 要点3给值求角问题 川要点4利用公式解三角形 例4已知ama-B)=7,tang=-7,a 例5已知在△ABC中，满足tanA+ tanB+V3 =V3 tanAtanB,sinA cosA B∈(0，T),求2aB的值. 分析本题主要考查巴知三角函数值4，判断△ABC的形状 求角，可先利用已知条件求出tan(2a-B)的 值，然后由2α-B的范围作出判断，求出 2a-B的值. ⑧变式训练③ B变式训练④ 已知△ABC中，tanB+tanC+V3 tanBtanC 已知-牙<a<受，-号B<,且aa, =V3,V3 tanA+V3 tanB=tanAtanB-1, tanB是方程x2+6x+7-0的两根，求a+B的值. 试判断△ABC的形状. 学(81 N 高中数学必修第三册人教B版 数学文化 准备用数学知识探究大雁塔的高度与，B 的关系.该小组测得αx,B的若干数据并分析 例大雁塔作为 测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔 现存最早、规模最大 的距离d,使α与B的差较大时，可以提高 的唐代四方楼阁式砖 测量精确度，求B最大时，标杆到大雁塔 塔，是凝聚了中国古 B 的距离d为 m. 代劳动人民智慧结晶 图8-2-6 分析本题是两角和与差的正切在生 的标志性建筑.如图所示，已知∠ABE=, 活中的应用，结合条件，选择合理公式解决 ∠ADE=B,垂直放置的标杆BC的高度h= 问题 4m,大雁塔高度H=64m.某数学兴趣小组 (82)学