8.2.1 两角和与差的余弦-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

b=(-4,-6). 例2(1)-3【解析】a+mb=(2+m,4+m),.b⊥(a+mb), ∴.(2+m)×1+(4+m)×1=0,得m=-3. (2)解：AB=(2,3),AC=(1,k),.BC=AC-AE= (-1,k-3. 若乙490，则.℃2x1+3=0,k=-号；若 ∠B=90°，则正.BC=2x(-1)+3k-3)-0,k=号；若 ∠C=90°，则AC·BC=1×(-1)+k(k-3)=0,k=3±V3 2 故所求k的值为-子或号或3进) 3 变式训练2解：AB-40C=(-3,-1)-t(2,-1)=(-3-2, t-1),(4B-40C)⊥0C,∴.(AB-0C)0C=2(-3-2)-(t 1)=-5-5=0..∵1=-1. 例3解：w合流V5A司 -2-1 又.90°<0180°，.-1<cos0<0, V5V0, .-1< -2λ-1 .-2λ-1<0， 1-2λ-1>-V52+5, 即， 解得 (2λ+1)2<5λ2+5，λ≠2， A的取值范围是7,2U(2,+0) 变式训练3(1)解：由a=(1,V3),b=(V3+l, V3-1),得ab=V3+1+V3×(V3-1)=4,lal=2,b1= 2V7.设a与b的夹角为0.则co8的-Y?,又0≤ 0≤m,年 (2)证明：由条件得AB=(1,1),BC=(-4,3),CA= (3,-4),AB.BC=-4+3=-1<0,AB,BC的夹角是钝角 从而∠ABC为锐角.同理∠BCA,∠BAC也为锐角，..△ABC 是锐角三角形 例4解：(1)a=(3,5),，b=(-2,1),·a-2b= (3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),a-2b1=V7432= V58. (2)a·b=3×(-2)+5×1=-6+5=-1,∴.c=a+b=(1,6), .lcl=V1+6=V37. 变式训练4解：设点D的坐标为(x,y),则AD=(x-2, y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2).点D在直线BC 上，即BD与BC共线，存在实数入，使BD=ABC, 即(x-3,y-2)=入(-6，-3). 20-2.m3a 又AD⊥BC,Ad·BC=0,即(x-2,y1)(-6,-3) =0,.-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0. 参考答案。 联立方程组-2+10.解得， 2x+y-3=0, ly=1. 点D的坐标为(1,1)，4D=V(1-2+(1+17=V5. 例5解：(1)点C是直线OP上一点，向量0C与 0P共线，设0C=i0P(t∈R),则0C=(2L,t).CA=OA- 0C=(1-21,7-t),CB=0B-0C=(5-21,1-1), :.CA.CB=(1-2)(5-2t)+(7-t)(1-)=52-20+12=5(t-2)2-8. 当=2时，CA.CB取得最小值，此时0C=(4,2). (2)由(1)知0C=(4,2),.CA=(-3,5), CE=(1,-1), ..ICA'=V34,ICBI=V2,CA'.CB=-8,..cos LACB= C·CB=-4V7 ICA'ICBI 17 变式训练5解：a=(v.-D.分罗 ma+-3V3+分，-1+V5-3》， 2 n=a+b=V3k+之，6+小.又m⊥m,m n=0,即(3+学)V3+判+1V-3》] -k+i=0,4h+(e-3)0,k=3,址 2 3=（-443)=ú-2月4子故当-2时，有 最大值子 数学文化 例解：(1)MN=MA+M4+AN,MN=MB+BB+ BN,两式相加，又M,N分别是线段AB1,AB2的中 点，M=(AA+BB. (2)由已知可得向量AA?与BB,的模分别为1与2， 夹角为号，A4·BB=1,由=号(AA+BB)得 M=1V4M不+BEP=V42+BB+21·BB =V 2 >"8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 要点精析 例1(1)C【解析】cos345°=cos(360°-15)=cos15°=cos(45 -30°)=e0s45c0s30°+sin45°sin30°=V6+YD.故选C. (2)解：①原式=c0s[(0+21°)-(0-24)]=c0s45°=V2 2 ②原式=-sin(180°-13)sin(180°+43)+sin(180°+77°)· sin(360°-47)=sinl3°sin43°+sin77sin47°-sin13sin43+cos13°. 49 N 高中数学必修第三册人教B版 c0s439=c0s(13°-43)=c0s(-30°)=V3 2 变式训练1解：（)os=0os+)=c0s号 =o77）-os子-石】 =-cos平cos石+sin平sin石) =竖x号 2 =-V6+V2 4 (2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin80°. sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60° (3)cos(a+20°)cos(40°-a)-sin(a+20°)sin(40°-a)= c0s[(a+20°)+(40°-a)]=cos60°=1 Γ21 例2解：(1)原式=cos(x+20°)cos(x40°)+sin[90°+(x- 70°)]sin(x-40°)=cos(x+20°)cos(x-40°)+sin(x+20°)sin(x- 40°)=c0s[(x+20°)-(x-40°)]=c0s60°= 2 (2)原式=sin(-13°+360°)cos(180°-32°)+sin77°c0s58°= sin(-13)(-cos32°)+sin77cos58=-sin13°(-cos32°)+sin77°. c0s(90°-32°)=cos77°cos32°+sin77°sin32°=c0s(77°-32°)= c0s45°=V2 2 变式训练2解：(1)原式=cos80°cos35+sin80°sin35°= c0s(80°-35°)=c0s45°=V 2)原式=V27simt7os 2 122 V2 sinsin +cos cos =V7cas-晋V7cosg=Y5 6 2 例3解：原式=2cos(30°-20)-sin20°= c0s20° V3cos20°+sin20°-sin20°=V3. cos20° 变式训练3解：原式=2cos(60°-10°)-V3sin10° cos10° =2(cos60Pcos10°+sin60°sinl0°)-V3siml0° cos10° =2cos60°cos10°+2sin60°sinl0°-V3siml0° cos10° =cosl0°+V3sinl0°-V3sinl0e cos10° =c0s10°=1 cos100 例4解：ae(受，m,Be0,罗)，a-号e (年，以受8e平，受， 50 na-号)=V1-eowa-号=V1=4y5 cas号p-V1sim(号9=Vg-Y os学-cos[a-号（受到 -cosa-号)cos号p)+na-号)ngp) g×+号×y- 9 27 变式训练4解：“平<a<号，08<牙，小牙<2a6cm .cos(2-)sin(2a-) 2 开a<号，0开，开<a-29<受 .in(a-)) ..cos(@+B)=cos[(2a-B)-(a-2B)]-cos(2a-B)cos(a-2B) tsin(2a-B)sin(a-2B)=-V2xV2+V2xV2-0. 2 2 2 2 例5解：x,B均为锐角，sina=Y5,ing=3YD 5 10 .'.cos(a-B)=cosacosB+sinasinB=25x15x 5 10 5 3V0=y2.又sina<sinB、0<asB<受，-7<a-B 10 2 0.a平 变式训练5解：a,B∈(0，受)，且coa=7，cos(a6) 0).ina-VI-co 7 smee=V1owa啊-5Y.又g-(ape,amg cos[(aB)-w]os(aB)cosa+sin(+B)sina) V3x4y3=).又8e0,受)B=哥 14 7 2 变式训练6C【解标】：角速度为瓷=号，、箭客从离 地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为f(t)= 4sin哥+-7)+56=4c0sg456(0≤1≤18). 由题意可得，甲、乙在摩天轮上游玩的过程中他们所 在的高度之和 g)=44c0sg+56)+[44cosg(+6)+56] =124cosg4cosg+号月 3 l24o号4n号 =i12+4cos(5-5 =124eos号-号+g月 =12+4simg+石）(0≤1≤18). 0≤1≤18.8≤哥4g≤1 6 -2≤sing+君)≤1，-22≤4sing+)≤4， 2 ∴90≤12+4sing+石)）≤156， ,∴g()=156,即他们所在的高度之和的最大值约为 156.故选C 变式训练7解：(1)如图 设EF与圆D相切于点H,连 接DH,DE,则DH⊥EF,DH= AD=15,.Rt△ADE与Rt△HED E 全等，.AE-EH,∠ADE∠HDE= 变式训练7答图 20°. 在Rt△HED中，EH=DH·tan20°=15tan20°，∠HDF=90° -2∠ADE=50°， 在Rt△FHD中，HF=AD.tan50°=l5tan50°， BF-B1:hHF15(an20r4an509)=15(ga28+2 =15xsin20cos50°+cos20°sin50° cos20°cos50° =15×cos70°c0s50°+sin70°sin509 cos20°cos50° =15×C0s(70°-50) 'cos20°cos50° 15 c0s509 ≈23.3. 数学文化 例A【解析】设大正方形的边长为1，由于小正方形 与大正方形面积之比为4：9，“小正方形的边长为子。 cosa-sina-号①.sing-cosg=号② 由图可得cosa=sinB,sina=cos3, ①x②可得4=-cossinB+sinc0g-cosacosB--sinosinB= 9 sinB+cosB-cos(a-B)=l-cos(a-B),解得cos(a-B)=).故 选A. 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 要点精析 例1(1)C【解析】sin47°-sinl7cos30 cos17° =sin(17+30)-sin17cos30 c0s17° =sinl7cos30°+cos17°sin30°-sinl7cos30° cos17° =os7030°=sin30=7.故选C. cos170 参考答案。 (2)解：原式=sin(180°-23°)cos67°+cos23°sin67°= sin23cos67°+cos23sin67°=sin(23°+67°)=sin90°=1. (3)解：sin(0+75)+cos(0+45°)-V3cos(0+15°)= sin(0+15°+60°)+cos(0+15°+30°)-V3cos(0+15°)=sin(0+ 15)cos60°+cos(0+15°)sin60°+cos(0+15°)cos30°-sin(0+15°)· sin30P-V3cos(0+15)=7sim(0+15°)+y3cos(0+15°)+ Y3cos(015)3sm(e15)-V3cos(0+159)-0 变式训练1解：(I)）原式=-sincos-号+osin号+2sin· eos号-2 i号-V3cos7cos-V3sn27snm=号nx+ osa-V5mw学nm3m-分t号mr V3 ou-0. (2)原式=sin[(a+)+a]-2cos(aB)sina sina =sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina sina =sin[(a+β)-al=sin3 sina sina 例2解：ae受m）coa=-7,in=Y空8e (7,2m,ng=,og2 sina48）-inc+n=Yx分+号x 2 变式训练2解：sin(a-B)+cos(a-B)=-sinacos3-cosasinB+ cosucov sincnsing-x 2 +×4-- 变式训练3解：ae受，小，coa=子，∴sina=Y B为第三象限角，c098=号 in()ieng comin- 9+40 变式训练4解：(1)sina=专，ae受，π，osa -V1na=-V-号=子e0yg=-音B是第三象限 角，sng-V1cosB=-√-厂=-号 n(a+B)-nco9+=专×高)+号)× (号}-g将，sn(a8 in-coirp=-告×-音-号】 51N 高中数学必修第三册人教B版 8.2 三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 反思感悟 学习目标 (1)在两角和与差的余弦公式中，， 1.掌握两角和与差的余弦公式，会利用 B可以是单个角，也可以是两个角的和或 公式进行三角函数式的化简和求值， 差，在运用公式时常将两角的和或差视为 2.掌握常用角的变换，会利用公式进行 一个整体 化简和求值. (2)两角和与差的余弦公式在求值应 用中的一般思路。 要点精析 ①把非特殊角转化为特殊角的和或差， 川要点1公式的简单应用 正用公式直接求值， ②在转化过程中，充分利用诱导公式， 例1(1)c0s345的值等于() 构造两角和或差的余弦公式的结构形式， A.V2-V6 B.V6-V2 然后逆用公式求值 C.V2+V6 D.-V2+V6 变式训练1 4 4 求下列各式的值。 (2)化简下列各式： ①cos(0+21°)cos(0-24°)+sin(0+21°). (1)co sin(0-24°)； (2)sin460°sin(-160°)+c0s560°. ②-sinl67°sin223+sin257°sin313°. cos(-280°)； (3)cos(a+20°)cos(40°-ax)-sin(a+ 20°)sin(40°-ax). (70)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 例3化简： 2cosl0°-sin20° 要点2逆用或变形应用公式 cos20 例2求下列各式的值 (1)cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)· sin(x-40°)； (2)sin347°cos148°+sin77cos58°. 变式训练3 求2cos50°-Y3sinl0°的f值. cos10° 反思感悟 本题若将各式用两角和与差的三角函 数公式展开，运算将很麻烦，以上解法是 对上式进行整体分析，寻找角度之间的关 系，再逆用公式进行化简 川要点3给值求值问题 B变式训练2 例4设cos-号-号，sin号1 求下列各式的值： 其中ae7,π，Be0,罗，求 (1)cos80°c0s35+cos10°cos55°； (2)sinT+cos石 cos+坦的值. 12 121 学(71 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 川要点4给值求角问题 给值求值问题的解题步骤： (1)找角的差异：已知某些角的三角 例5已知a,B均为锐角，且cosx= 函数值，求另外一些角的三角函数值，先 注意观察已知角与所求表达式中角的差异. 2Y5.cayg-Y,求9的值 (2)拆角与凑角：根据需要灵活地进 行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：= (a+B)-B,a=B-(B-),a=(2a-B)-(a-B), a=[a48)+a1,a=7[B+）-(B-m] 等 (3)求解：结合公式Cg求解便可. 变式训练④ 已知cos(2a-B)=-V2，sin(a-2B)= 2 Y,且a<号0epk子，求casa9 4 变式训练5 已知coa=7,cos(a+8)=-4,且a Be0,罗. 求B的值. (72)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 数学文化 变式训练6 例 《周髀算经》中给 石景山游乐园“梦 出了弦图.所谓弦图是由四个 想之星”摩天轮采用国 全等的直角三角形和中间一 内首创的横梁中轴结构， a 个小正方形拼成一个大正方 风格现代简约.“梦想之 图8-2-3 形，若图中直角三角形的两 星”摩天轮直径88m, 图8-2-1 锐角分别为α，B,且小正方形与大正方形面 总高约100m,匀速旋转一周时间为18min, 积之比为4：9，则cos(a-B)的值为() 配有42个球形全透视360度全景座舱.如果 不考虑座舱高度等其他因素，该摩天轮的示 A.5 B.4 9 意图如图所示，游客从离地面最近的位置进 C.2 D.0 入座舱，旋转一周后出舱.甲、乙两名同学 通过即时交流工具发现，他们两人进入各自 座舱的时间相差6min.这两名同学在摩天 轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的 最大值约为() A.78m B.112m C.156m D.188m ③变式训练⑦ 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵 古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半 径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m, AD=15m,点E为AB上的动点，点F为 CD上的动点，满足EF与圆D相切.若 ∠ADE=20°，求EF的长.(c0s50°≈0.643， 长度精确到0.1m) E 图8-2-2 学(73