8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 确； a.[b(a.c)-c(a-b)]=(a.b)(a-c)-(a.c)(a.b)=0, 正确」 变式训练1①③④【解析】根据向量数量积的分配律知① 正确； .[(b·c)·a-(c"a)b]c=(bc)(ac)-(ca)(bc)=0, ∴.(b·c)a-(c·a)b与c垂直，②错误； a,b不共线，.lal,bl,la-b1组成三角形三边，.la- bl<la-b1成立，③正确； ④正确.故正确命题的序号是①③④ 例2解：a-b=-llbcos025,a+bVa4bP=Var42a:b+b =5V3,la-bl=V(a-b)2=VlaP-2a.b+lbP=5,13a+bl= V(3a+b)=V9laP+6ab+lbP =5V13. 变式训练2解：已知a·b=lallblcose0=4×2×cos120°=-4，a2= la2=16,b2-=lb12=4. (1)".la+b1=(a+b)2=2+2ab+b2=16+2×(-4)+4=12,.a+ b=2V3. (2).3a-4b12=(3a-4b)2-9a2-24a·b+16b2=9×16-24×(-4) +16×4=16×19,.13a-4b1=4V/19. (3).(a+b)·(a-2b)=a2-2ab+ab-2b2=16-(-4)-2×4 12,.l(a+b)(a-2b)=12. 例3解：若c⊥d,则cd=0,即(3a+5b)(ma-3b)=0, 3ma2-9ab+5ma.b-15b2=0.a'=lal2=9,b2=1bP=4,ab= a6-cow0=3.得27m-27+15m-60-0.解得m得 变式训练3解：：四边形ABCD为平行四边形，AD= BC=b,BD=AD-AB=ba,而AC=a+b,.BD·AC=(b a)(b+a)=b2-a2=bP-a.又lal=lbl,BD·AC=0,即BD⊥ AC. 例4证明：设PD=ACD,并设正三角形ABC的边长为a, 则有P所-P币+D-AC而+号Bm-A子B丽-BC+}Bm =号(2A+1)B-ABC 又=-}BC,/,设网=kE,∴号(2+ 1)BA-ARC-kBA-kBC 于是有 A-3t. 解得A P成⑦，办9励又C=子m-武， BC+CBC+9C市=B+9(子BC)=号BC+号B, 成.C迹(BC+号（号-BC）=子配m 号C4景厨号C异060-7r+景r-号 acos60°=0，.Bp⊥CD,BP⊥CD. 变式训练4解：四边形ABCD是矩形.理由： 48 .a+b+c+d=0,∴.a+b=-(c+d),∴.(a+b)2=(c+d)2,即laP+ 2ab+lb2=cP+2c…d+ld. 由于a…b=c…d,laP+b2=lc2+ld,① 同理有la2+ld2=lc2+lb2.② 由①②可得la=lcl,且b1=ldI,即四边形ABCD两组对 边分别相等..四边形ABCD是平行四边形 由ab=bc,有b·(a-c)=0,而由平行四边形ABCD可 得a=-c,代入上式得b·(2a)=0,即ab=0,.a⊥b,即 AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形 例5解：(1)a上b,ab=0.又x1y,xy=0,即 [a+(t-3)b]·(-ha+ib)=0, 整理得-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)-b2-0..a=2,bl=1, 4k-3=0,即=4-3)， 2)由)知，k=-30=号-了品即两数 4 的最小值为-6 .9 变式训练5解：不能.证明： .向量a与b是两个互相垂直的单位向量， .'.lal=bl=1,a.b=0. 又lml2=(ka+b)2=k2+1,m2=(a+kb)2=k2+1, m.n=(ka+b).(a+kb)=2k, .2k=Vk2+1·V2+1·c0s60°，即4k=h2+1,解得k=2± V3,这与k为整数矛盾，m与n的夹角不能等于60. 数学文化 例ABC【解析】在正八边形ABCDEFGH中，HD⊥ B那，则而0，①正确：00丽x1cos平-Y号 2 ②正确；0成+0=V20A=-V2OE,③正确；连接AF, M-Ff=0-0.则-1+1-2x1x1eos平-24 V2,由此得A日-Fi1=AF=V2+V2,④错误.故选 ABC. 8.1.3向量数量积的坐标运算 要点精析 例1解：(1)ab=(1,3)(2,5)=1×2+3×5=17. (2).a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8),2a-b=2×(1,3)- (2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1),.(a+b)(2a-b)=(3,8)· (0,1)=3×0+8×1=8. (3)(a·b)c=17-c=17×(2,1)=(34,17),a·(b·c)=a· [(2,5)(2,1)]=a(2x2+5x1)=9a=(9,27) 变式训练1解：方法一：a=(-3,-2),b=(4,k),5a- b=(-11,-10-k),b-3a=(5,k+6), .∴.(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+ 10)(k+6)=-55, .(k+10)(k+6)=0,k=-10或k=-6,.b=(-4,-10) 或b=(-4,6). 方法二：.(5a-b)·(b-3)=5ab-15a2-b2+3ab=-15a2+ 8ab-b2=-15×(9+4)+8[(-3)×(-4)-2k]-(16+k2)=-55.整理 得k2+16k+60=0,解得k=-10或k=-6,.b=(-4,-10)或 b=(-4,-6). 例2(1)-3【解析】a+mb=(2+m,4+m),.b⊥(a+mb), ∴.(2+m)×1+(4+m)×1=0,得m=-3. (2)解：AB=(2,3),AC=(1,k),.BC=AC-AE= (-1,k-3. 若乙490，则.℃2x1+3=0,k=-号；若 ∠B=90°，则正.BC=2x(-1)+3k-3)-0,k=号；若 ∠C=90°，则AC·BC=1×(-1)+k(k-3)=0,k=3±V3 2 故所求k的值为-子或号或3进) 3 变式训练2解：AB-40C=(-3,-1)-t(2,-1)=(-3-2, t-1),(4B-40C)⊥0C,∴.(AB-0C)0C=2(-3-2)-(t 1)=-5-5=0..∵1=-1. 例3解：w合流V5A司 -2-1 又.90°<0180°，.-1<cos0<0, V5V0, .-1< -2λ-1 .-2λ-1<0， 1-2λ-1>-V52+5, 即， 解得 (2λ+1)2<5λ2+5，λ≠2， A的取值范围是7,2U(2,+0) 变式训练3(1)解：由a=(1,V3),b=(V3+l, V3-1),得ab=V3+1+V3×(V3-1)=4,lal=2,b1= 2V7.设a与b的夹角为0.则co8的-Y?,又0≤ 0≤m,年 (2)证明：由条件得AB=(1,1),BC=(-4,3),CA= (3,-4),AB.BC=-4+3=-1<0,AB,BC的夹角是钝角 从而∠ABC为锐角.同理∠BCA,∠BAC也为锐角，..△ABC 是锐角三角形 例4解：(1)a=(3,5),，b=(-2,1),·a-2b= (3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),a-2b1=V7432= V58. (2)a·b=3×(-2)+5×1=-6+5=-1,∴.c=a+b=(1,6), .lcl=V1+6=V37. 变式训练4解：设点D的坐标为(x,y),则AD=(x-2, y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2).点D在直线BC 上，即BD与BC共线，存在实数入，使BD=ABC, 即(x-3,y-2)=入(-6，-3). 20-2.m3a 又AD⊥BC,Ad·BC=0,即(x-2,y1)(-6,-3) =0,.-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0. 参考答案。 联立方程组-2+10.解得， 2x+y-3=0, ly=1. 点D的坐标为(1,1)，4D=V(1-2+(1+17=V5. 例5解：(1)点C是直线OP上一点，向量0C与 0P共线，设0C=i0P(t∈R),则0C=(2L,t).CA=OA- 0C=(1-21,7-t),CB=0B-0C=(5-21,1-1), :.CA.CB=(1-2)(5-2t)+(7-t)(1-)=52-20+12=5(t-2)2-8. 当=2时，CA.CB取得最小值，此时0C=(4,2). (2)由(1)知0C=(4,2),.CA=(-3,5), CE=(1,-1), ..ICA'=V34,ICBI=V2,CA'.CB=-8,..cos LACB= C·CB=-4V7 ICA'ICBI 17 变式训练5解：a=(v.-D.分罗 ma+-3V3+分，-1+V5-3》， 2 n=a+b=V3k+之，6+小.又m⊥m,m n=0,即(3+学)V3+判+1V-3》] -k+i=0,4h+(e-3)0,k=3,址 2 3=（-443)=ú-2月4子故当-2时，有 最大值子 数学文化 例解：(1)MN=MA+M4+AN,MN=MB+BB+ BN,两式相加，又M,N分别是线段AB1,AB2的中 点，M=(AA+BB. (2)由已知可得向量AA?与BB,的模分别为1与2， 夹角为号，A4·BB=1,由=号(AA+BB)得 M=1V4M不+BEP=V42+BB+21·BB =V 2 >"8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 要点精析 例1(1)C【解析】cos345°=cos(360°-15)=cos15°=cos(45 -30°)=e0s45c0s30°+sin45°sin30°=V6+YD.故选C. (2)解：①原式=c0s[(0+21°)-(0-24)]=c0s45°=V2 2 ②原式=-sin(180°-13)sin(180°+43)+sin(180°+77°)· sin(360°-47)=sinl3°sin43°+sin77sin47°-sin13sin43+cos13°. 49N 高中数学必修第三册人教B版 8.1.3向量数量积的坐标运算 学习目标 B变式训练① 1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进 已知a=(-3,-2),b=(-4,k),若 行向量数量积的坐标运算。 (5a-b)·(b-3a)=-55,试求b的坐标. 2.能运用数量积表示两个向量的夹角、 计算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系， 要点精析 川要点1向量数量积的坐标运算 向量内积的坐标运算：已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),a.b=xw2tyy2 例1已知向量a=(1,3),b=(2,5), 川要点2两向量垂直的坐标表示 c=(2,1).求： (1)ab;(2)(a+b)·(2a-b);(3)(a 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： b)c,a(b·c). 设a=(x1,y),b=(x2,y2,则a1b台 xx2+y10y2=0. 例2（1)设a=(2,4),b=(1,1), 若bL(a+mb),则实数m= (2)在△ABC中，AB=(2,3),AC= (1,k),若△ABC是直角三角形，求k的值. 反思感悟 对于公式的直接应用，体现了一种程 序化的思想，就是将已知逐步代入公式， 直至算出结果，由(3)也进一步验证了向 量的数量积的运算律中不适合结合律，即 (ab)c≠a(bc). 66)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 反思感悟 分析a与b的夹角0为钝角时，ab< 利用向量数量积的坐标表示解决垂直 0.当ab<0时，T<0≤π，因此求解本题 问题的实质是把垂直条件代数化，题(2) 中未明确哪个角是直角，故要分类讨论 时，要排除0=T,即a与b反向的时候， B变式训练2 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1, 4),B(-2,3),C(2,-1),若(AB-t0C) ⊥OC,求实数t的值. 反思感悟 利用向量法求夹角的方法与技巧： (1)若求向量a与b的夹角，利用公 式cos(a,b)=ab xix2+YIY2 当 lallbl Vxi+y7·V场+y 向量的夹角为特殊角时，再求出这个角！ 川要点3两向量夹角的坐标表示 (2)非零向量a与b的夹角0与向量 设非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2). 的数量积的关系. (1)cosa,b)=8i论分cos(a,b) ①若0为直角，则充要条件为向量a1 b. 则转化为a·b=0台xx2+yy2=0. abi+ab2 ②若0为锐角，则充要条件为ab>0, Vai+a.Vbi+b2 且a与b的夹角不能为0（即a与b的方向 (2)labl≤lallbl台lab1+ab2l≤Va+aG· 不能相同)· 1V0+b房 ③若0为钝角，则充要条件为ab<0, 例3已知a=(-2,-1),b=(入，1)，若 且a与b的夹角不能为T(即a与b的方 a与b的夹角0为钝角，求入的取值范围. 向不能相反) 学 67 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练③ 反思感悟 求向量的模的两种基本策略： (1)已知a=(1,V3),b=(V3+1, (1)字母表示下的运算：利用laP=a2, V3-1),求a与b的夹角： 将向量模的运算转化为向量与向量的数量 (2)已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5), 积的问题 求证：△ABC是锐角三角形. (2)坐标表示下的运算：若a=(x,y), 则aa=a2=lalP=x2+y2,于是有lal=Vx2+y2. B变式训练④ 已知在△ABC中，A(2,-1),B(3,2), C(-3,-1),AD为BC边上的高，求点D的 坐标与AD1 川要点4向量的长度、距离问题 例4设平面向量a=(3,5),b=(-2,1), (1)求a-2b的坐标和模的大小； (2)若c=a-(ab)·b,求lcl. (68)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 要点5向量数量积的综合应用 数学文化 例5已知0P=(2,1),0A=(1,7), 例如图，∠AOB= OB=(5,1),设C是直线OP上的一点（其 号，动点A,A,与B 中0为坐标原点)· B2分别在射线OA,OB (1)求使CA.CB取得最小值时的0C； 上，且线段AA2的长为 图8-1-3 (2)对于(1)中求出的点C,求 1,线段BB2的长为2， cos∠ACB. 点M,N分别是线段AB1,AB2的中点. (1)用向量AA与BB2表示向量MN; (2)求向量MN的模. 变式训练⑤ 已知a=(V3,-1),b=},3 且存在实数k和t,使m=a+(t2-3)b,n=ka+ b,且mLn,试求+比的最大值. 学(69