8.1.3 向量数量积的坐标运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.1.3 向量数量积的坐标运算 人教B版（2019）（必修第三册） 学习目标 CONTENTS 1. 掌握用坐标形式表示平面向量数量积，会进行平面向量数量积的坐标运算,体现逻辑推理能力（重点） 2. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，体现数学计算和逻辑推理能力（重难点） 课程引入 我们前面学习了两个向量数量积以及它们之间的运算律，那么根据前面学习的知识，如果给两个向量坐标，如何根据数量积的运算表示出两个向量的数量积、夹角以及垂直关系呢？ 课程内容教学 向量a的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1,e2之后，如果对于平面内的向量a，有 则(x，y)就是向量a的坐标，记作a＝(x，y)．而且，{e1,e2}是一组单位正交基底. a=xe1+ye2 课程内容教学 向量a在正交基底坐标表示 由 e1·e1=e2·e2=1，e1·e2=e2·e1=0 因此 a·e1=(xe1+ye2)·e1=xe1·e1+ye2·e1=x， a·e2=(xe1+ye2)·e2=xe1·e2+ye2·e2=y, 也就是说， 在单位正交基底{e1,e2}下的坐标为(a·e1,a·e2)，如图所示. 这也可通过向量数量积的几何意义看出来. y a·e2 x a·e1 e1 e2 O 课程内容教学 尝试与发现 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，能否用a，b的坐标表示a·b？ 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1,e2},使得 a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2 因此 a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2) =x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2 =x1x2+y1y2 从而 a·b=x1x2+y1y2 课程内容教学 尝试与发现 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，能否用a，b的坐标表示a·b？ 当a=(x1,y1)，b=(x2,y2)都不是零向量时，因为 |a|2=a·a=x12+y12，|b|2=b·b=x22+y22 所以 课程内容教学 在平面直角坐标系中，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 从而 因此 这就是说，利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式. 课程内容教学 向量数量积的坐标相关定义 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则 a·b=x1x2+y1y2 |a|2=a·a=x12+y12，|b|2=b·b=x22+y22 课程内容教学 例1：已知a＝(3,-1)，b＝(1,-2)，求a·b，|a|，|b|，<a,b>. 由题意可知 a·b=(3,－1)·(1,－2)=3×1+(-1)×(-2)=5， 又因为 所以<a,b>= 课程内容教学 例2：已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，求∠BAC的余弦值． 因为 ＝(3－1，4－2)＝(2，2)， ＝(5，-1，0－2)＝(4，-2)， 所以 ＝2×4＋2×(－2)＝4 因此 课程内容教学 尝试与发现 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，能否用a，b的坐标表示出a⟂b的充要条件？ 因为a⟂b的充要条件是a·b =0， 因此 a⟂b⇔x1x2+y1y2=0 课程内容教学 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a⟂b的充要条件是 a⟂b⇔x1x2+y1y2=0 这就是说，利用向量的坐标与向量的数量积，可以方便地表达出向量垂直的条件. 课程内容教学 例3：已知点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证： 因为 =(2，3)－(1，2)＝(1，1)， =(－2，5)－(1，2)＝(－3，3) 所以 =(1，1)·(－3，3)＝1×(－3)＋1×3＝0 因此 课程内容教学 例4：如图所示，已知点A(2，1)，将向量 绕原点O逆时针旋转得到 ，求点B的坐标． y x B A O 由已知可得 又因为 =(2，1)， 设B(x，y)，则 ＝(x，y)，从而有 解得 或 又因为由图可知x＜0，所以B(－1，2)． 课程内容教学 例5：如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF，求证：DP⊥EF． A B C D E F P y x O 以A为原点，AB所在直线为x轴，正方形的边长为单位长，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，D(0，1) ，从而 ＝(1，0)， ＝(0，1)． 由已知，可设P(a，a) ，其中0＜a＜1，则E(a，0) ，F(1，a) ，因此 ＝(a，a－1)， ＝(1－a，a) 课程内容教学 例5：如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接DP，EF，求证：DP⊥EF． A B C D E F P y x O 又因为 ＝a(1－a)＋(a－1)a＝0， 所以 ，因此DP⊥EF． 例5的启示：建立合理的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题． 课程内容教学 拓展：利用向量处理几何问题的一般步骤为： 1.建立平面直角坐标系； 2.设点的坐标； 3.求出有关向量的坐标； 4.利用向量的运算计算结果； 5.得到结论． 课程内容教学 拓展：向量的数量积与三角形的面积 1.△OAB的面积： y x B(x2,y2) A(x1,y1) O 2.四边形OACB的面积： C 课后练习 D 课后练习 课后练习 D 课后练习 课后练习 B 课后练习 课后练习 B 课后练习 课后练习 D 课后练习 课后练习 6 课程总结 1.向量的坐标表示 2.用坐标表示向量的夹角、模长以及数量积 3.用坐标表示垂直的条件 感谢各位同学观看 TEACHING COURSEWARE $