8.1.3 课时1 向量数量积的坐标计算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.1.3 课时1 向量数量积的坐标计算 1.已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若e1,e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴正半轴同向的单位向量,则a,b如何用e1,e2来表示?并求出ab与λa的坐标. 探究 数量积的坐标形式. 在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2,则与这两个向量有关的数量积为： e1·e1=1,e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0 我们称 是一组单位正交基底.由平面向量基本定理可知，对于平面内任一向量a，都存在唯一的实数对x,y，使得a=xe1+ye2 则(x,y)就是向量a的坐标，记作a=(x,y). 问题1：如何用数量积的相关内容证明：向量a的横坐标x和纵坐标y其实就是向量a在单位正交基底e1，e2上的投影的数量？ 证明： 类似地， 即 问题2：设a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) ，如何用a，b的坐标表示出向量a·b？ 解：由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底 使得 因此 从而 问题3：当a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) ，都不是零向量时，如何用坐标表示a，b的模以及cos<a，b>？ 解： 问题4：在平面直角坐标系中，如果A=(x1,y1) ，B=(x2,y2), 如何利用向量的数量积得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式？ 解： 从而 因此 思考：利用向量数量积的坐标运算求两个向量夹角的步骤. 已知a=(3,-1)，b=(1,-2)，求a·b，|a|，|b|，<a,b>. 解：由题意可知 又因为 所以 利用向量数量积的坐标运算求两个向量夹角的步骤： 1.利用两个向量数量积的坐标公式求出两个向量的数量积； 2.求出两个向量的模； 3.由 求出两个向量夹角的余弦值； 4.在[0,π]范围内根据cos<a，b>的值确定两个非零向量的夹角<a，b>. 已知A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的余弦值. 证明：因为 所以 因此 2.设向量a与b的夹角为α，且a=（3，3），2b-a=（-1，1），则cos α= . 3.已知向量a=(3,-1),b=(1,-2). (1)求; (2)求(a+b)·(a-b). 解:(1), . 1.向量数量积坐标下如何表示？ 2.坐标下两向量夹角的余弦如何表示？ 3. 利用向量数量积的坐标运算求两个向量夹角的步骤是什么？ 1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于(　　) A．3 B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－3 解析　∵a＝(3,3)，由2b－a＝(－1,1)可得b＝(1,2)， ∴cosα＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(9,\r(18)×\r(5))＝eq \f(3\r(10),10). $